Stellenwertsystem

Algebra

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Bevor es Stellenwertsysteme gab, mussten die Menschen bestimmte Anzahlen (zum Beispiel von ihren Tieren) auf andere Weise bestimmen. Sie nutzten oft Striche oder Punkte, um einen Überblick über die Zahlen zu bekommen.

Stellenwertsystem Zahlen vor den Stellenwertsystemen StudySmarter Abbildung 1: Zahlen vor den Stellenwertsystemen

Dieses System wird allerdings bei zu großen Zahlen recht schnell unübersichtlich. Und so mussten sie sich etwas anderes einfallen lassen.

Heute können wir mithilfe von Stellenwertsystemen und Zahlensystemen Zahlen leicht und übersichtlich darstellen.

Stellenwertsystem – Zahlensysteme

Eine Zahl im Sinne einer Anzahl von Objekten ist ein abstraktes Gedankenkonstrukt.

Denke über die Zahl 3 nach.

Könntest Du die Anzahl 3 malen, ohne das Symbol 3 dafür zu nutzen oder drei Objekte abzubilden?

Du erkennst, dass solche Symbole für Zahlen nötig sind, um sie überhaupt in Worte fassen zu können.

Zahlen, wie $10$ , $198$ oder $4567$ sind also nichts anderes, als Symbole, um das Konzept einer Zahl zu verbildlichen.

Zahlen, die Du täglich verwendest, basieren auf dem Dezimalsystem. Dezimal leitet sich hierbei von dem lateinischen Wort decimus ab, welches so viel wie Zehnter bedeutet.

Die Zehn bezieht sich hierbei auf die Anzahl der Symbole, die Dir zur Konstruktion einer Zahl im Dezimalsystem zur Verfügung stehen:

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit Basis $b = 10$ und nutzt ausschließlich Symbole aus folgender Menge:

$D e z i = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$

Du kannst also beliebige Symbole aus der Menge Dezi nehmen und Zahlen konstruieren. Die obige Definition nennt das Dezimalsystem ein Stellenwertsystem mit Basis 10. Was dies genau bedeutet, lernst Du im nächsten Kapitel.

Aufgabe 1

Konstruiere Zahlen im Dezimalsystem, indem Du Symbole aus der Menge Dezi aneinanderreihst.

Lösung

Zum Beispiel:

$1001$ ist eine Zahl im Dezimalsystem

$942 836$ ist auch eine Zahl im Dezimalsystem

Die Zahlen im obigen Beispiel werden im Dezimalsystem interpretiert, sie könnten aber auch mit anderen Stellenwertsystemen interpretiert werden. Dazu mehr im nächsten Kapitel.

Jedes Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, aber nicht jedes Zahlensystem ist ein Stellenwertsystem.

Du solltest nun also noch ein Zahlensystem kennenlernen, dass kein Stellenwertsystem ist.

Kein Stellenwertsystem – Die römischen Zahlen

Ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, sind beispielsweise die römischen Zahlen.

Diese nutzen Symbole, um das abstrakte Gedankenkonstrukt einer Zahl zu verbildlichen, aber es handelt sich hierbei um ein Additionssystem.

Bei einem Additionssystem berechnet sich der Wert einer Zahl durch die Summe der Werte der einzelnen Symbole.

Die römischen Zahlen werden aus Symbolen folgender Menge konstruiert:

$r ö m = {I, V, X, L, D, M, . . .}$

röm enthält noch weitere Symbole, die für Deine Zwecke aber gerade irrelevant sind.

Hierbei entspricht I dem Wert 1, V dem Wert 5, X dem Wert 10 und so weiter. Diese Symbole können nun nebeneinander geschrieben werden, um einen bestimmten Wert auszudrücken:

Aufgabe 2

Berechne den Wert folgender römischer Zahl:

$V I$

Lösung

Der Wert von I entspricht 1 und der von V entspricht 5:

$5 + 1 = 6$

$V I$ besitzt also den Wert 6.

Zu den römischen Zahlen gibt es noch sehr viel mehr Rechenregeln, die Du beachten solltest. Diese kannst Du in der entsprechenden Erklärung finden.

Stellenwertsystem – Definition & Erklärung

In dem vorherigen Kapitel hast Du gelernt, dass es unter anderem Zahlensysteme gibt, die keine Stellenwertsysteme sind. Überwiegend brauchst Du aber Stellenwertsysteme, wie das Dezimalsystem. Ein fundiertes Wissen über solche Zahlensysteme kann also sehr hilfreich sein.

Stellenwertsystem – Definition und Tabelle

Eine Zahl ist eine Aneinanderreihung von Symbolen. Bei einem Stellenwertsystem erhält jedes Symbol eine Gewichtung, welche abhängig ist von der Position dieses Symbols in der Zahl. Eine Stellenwerttabelle kann Dir dabei helfen, Zahlen abhängig von ihrer Gewichtung besser einzuordnen.

Es gibt folgende Stellenwerte: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender, Millionen usw.

Millionen

Hunderttausender

Zehntausender

Tausender

Hunderter

Zehner

Einer

Betrachte die Zahl: $410 211$

Hier hat das Symbol 4 eine deutlich höhere Gewichtung als das Symbol 2.

Du kannst die Zahl $410 211$ auch auf folgende Art und Weise in die Tabelle einordnen.

Millionen	Hunderttausender	Zehntausender	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
	4	1	0	2	1	1

Die Zahl ist somit aus den folgenden Stellenwerten zusammengesetzt:

$410 211 = 4 \cdot 100 000 + 1 \cdot 10 000 + 0 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 1$

Hier kannst Du sehen, dass die Gewichtung von 4 in diesem Fall Hunderttausend ist, während die 2 bloß mit Hundert gewichtet wird.

Dieses Beispiel hat bereits die entscheidende Eigenschaft eines Stellenwertsystems gezeigt:

Ein Stellenwertsystem besteht aus einer Basis b und einer Menge mit Symbolen:

$Z i f f e r n = {0, 1, 2, 3, . . ., n}$

Das Symbol n entspricht der Ziffer $b - 1$ . Nach der Ziffer 9 werden Buchstaben des Alphabets verwendet.

Der Wert einer Zahl wird auf folgende Weise interpretiert:

$\sum_{i = 0}^{x} z_{i} b^{i} = z_{0} b^{0} + . . . + z_{x} b^{x}$ ,

wobei $z_{0}, . . ., z_{x}$ die einzelnen Symbole einer Zahl sind.

Was dieser Ausdruck genau bedeutet, erfährst Du in den nächsten Kapiteln genauer anhand von Erklärungen und Beispielen.

Stellenwertsystem – Dezimalsystem

Das Dezimalsystem kennst Du bereits vom Beginn der Erklärung und vor allem auch aus Deinem Alltag. Die Preise beim Einkaufen, Einwohnerzahlen, Trikotnummern... das alles beruht auf dem Dezimalsystem.

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit Basis $b = 10$ und den Ziffern

$D e z i = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Im Dezimalsystem ist $b = 10$ und Du kannst für jede Stelle einer Zahl zwischen den Ziffern von 0 bis 9 wählen:

Aufgabe 3

Schreibe die Zahl $782$ im Dezimalsystem als Summe ihrer Komponenten nach der obigen Definition.

Lösung

Da Du Dich im Dezimalsystem befindest, ist $b = 10$ . Du orientierst Dich also an der Stelle der Zahl innerhalb der Ziffer und kannst schreiben:

$\begin{array}{rcl} 782 & = & 7 \cdot 10^{2} + 8 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0} \\ = & 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2 \cdot 1 \end{array}$

10 hoch 0 ergibt 1.

Nun kennst Du das Dezimalsystem, es gibt aber noch viele (sogar unendlich viele) weitere Stellenwertsysteme. Eins der Wichtigsten, außer dem Dezimalsystem, ist noch das Binärsystem.

Stellenwertsystem – Binärsystem

Wie das Dezimalsystem ist auch das Binärsystem ein wichtiges Stellenwertsystem. Vielleicht kennst Du es auch unter dem Namen Dualsystem oder Zweiersystem. Diese Begriffe können synonym benutzt werden.

Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem mit Basis $b = 2$ und den Ziffern

$b i n ä r = {0, 1}$

Im Binärsystem kannst Du also Zahlen nur aus der Aneinanderreihung von Einsen und Nullen kreieren. Trotzdem kannst Du mit Binärzahlen alle Werte darstellen, die Du auch mit Dezimalzahlen darstellen kannst.

Aufgabe 4

Berechne die Werte folgender Zahlen des Binärsystems:

a) 1010

b) 10000

Lösung

Zu a)

Orientiere Dich wieder an der Stelle der Ziffern innerhalb der Zahl. Die letzte Ziffer wird mit $2^{0}$ gewertet, die davor mit $2^{1}$ und so weiter.

$\begin{array}{rcl} 1010 & = & 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ = & 10 \end{array}$

Zu b)

$\begin{array}{rcl} 10000 & = & 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = & 16 \end{array}$

Um zu verdeutlichen, dass es sich um eine Zahl handelt, die im Binärsystem interpretiert werden soll, wird übrigens gerne eine kleine Zwei daran geschrieben.

$1010 i m B i n ä r s y s t e m = 1010_{2}$

Wenn Du den Wert einer Zahl in einem bestimmten Stellenwertsystem interpretierst, dann bestimmst Du eigentlich ihre Darstellung im Dezimalsystem.

Beispielsweise entspricht 1010 im Binärsystem der 16 im Dezimalsystem.

Auch das Binärsystem begegnet Dir ständig im Alltag, wenn auch nicht ganz so offensichtlich.

Denn alle Deine Computer nutzen in ihrer Software das Binärsystem, der Computer rechnet also nur mit 1en und 0en.

Auch Dein Handy ist ein kleiner Computer und greift auf dieses System zurück.

Stellenwertsystem Computer Binärsystem StudySmarter

Nun weißt Du also, wie Du eine Zahl vom Binärsystem ins Dezimalsystem umwandelst. Im nächsten Kapitel lernst Du, wie Du eine Zahl vom Dezimalsystem in ein beliebiges anderes Stellwertsystem umwandelst.

Stellenwertsystem umrechnen

Das Prinzip zur Umwandlung von Zahlen aus dem Dezimalsystem in andere Stellenwertsysteme ist immer dasselbe.

Schritt 1: Teile die Zahl, die im Dezimalsystem vorliegt, immer wieder durch die Basis des Stellenwertsystems, in das Du die Zahl umwandeln möchtest und notiere dabei den jeweiligen Rest, bis Du bei 0 angekommen bist.
Schritt 2: Zahl im gesuchten System ablesen, indem Du die Restzahlen von unten nach oben abliest.

Die häufigsten Umrechnungen finden zwischen dem Dezimalsystem und dem Binärsystem statt.

Dezimalsystem in Binärsystem

Du kannst Dir die einzelnen Stellen einer Zahl als Pakete vorstellen, die eine gewisse Menge an Bällen enthalten können. Diese Menge wird durch die Basis des Stellenwertsystems festgelegt und beträgt

$M e n g e a n B ä l l e n = B a s i s - 1$

Im Binärsystem ist an jeder Stelle bloß 0 oder 1 erlaubt, denn $b = 2$ .

Befindest Du Dich jetzt im Dezimalsystem, so kann jedes Paket maximal 9 Bälle fassen. Aber Du möchtest wechseln zum Binärsystem, bei dem jedes Paket nur maximal einen Ball fassen kann.

Das Schema für diese Umrechnung erklärt sich am besten an einem Beispiel:

Du hast die Zahl $123$ im Dezimalsystem gegeben und möchtest diese in die entsprechende Zahl im Binärsystem umrechnen.

Schritt 1: Teile die ursprüngliche Zahl durch die Basis des Stellenwertsystems (beim Binärsystem durch 2) und schreibe den Rest mit an (auch eine 0).

$123 : 2 = 61 R e s t 1$

Mit dem Ergebnis dieser Rechnung (ohne den Rest) wiederholst Du das Ganze. Durch 2 teilen und eventuell den Rest aufschreiben, bis Du bei 0 angekommen bist.

$\begin{matrix} 123 & : 2 & = & 61 & R e s t 1 \\ 61 & : 2 & = & 30 & R e s t 1 \\ 30 & : 2 & = & 15 & R e s t 0 \\ 15 & : 2 & = & 7 & R e s t 1 \\ 7 & : 2 & = & 3 & R e s t 1 \\ 3 & : 2 & = & 1 & R e s t 1 \\ 1 & : 2 & = & 0 & R e s t 1 \end{matrix}$

Schritt 2: Zahl im gesuchten System ablesen.

Liest Du die Rest-Zahlen von unten nach oben (!) ab, erhältst Du die gesuchte Zahl des Binärsystems.

$1111011$

Die Zahl $123$ im Dezimalsystem entspricht also der $1111011$ im Binärsystem.

Dieses Schema solltest Du Dir gut verinnerlichen. Du solltest die Zahl des ursprünglichen Systems immer zuerst ins Dezimalsystem umrechnen und danach in das gewünschte neue System.

Damit kannst Du dann jede Zahl in ein anderes Stellenwertsystem übersetzen.

Dezimalsystem in Stellenwertsystem Basis 5

Möchtest Du eine Dezimalzahl in das Stellenwertsystem zur Basis 5 umwandeln, kannst Du jetzt genau so vorgehen, wie bei der Umwandlung von Dezimalsystem in das Binärsystem. Der Unterschied ist, dass Du hier durch 5 teilst und nicht durch 2.

Aufgabe 5

Rechne die Zahl 27 vom Dezimalsystem um in ein Stellenwertsystem mit Basis 5.

Lösung

Schritt 1: Teile die ursprüngliche Zahl durch die Basis des Stellenwertsystems (hier durch 5) und schreibe den Rest mit an (auch eine 0).

$\begin{array}{rcl} 27 : 5 & = & 5 R e s t 2 \\ 5 : 5 & = & 1 R e s t 0 \\ 1 : 5 & = & 0 R e s t 1 \end{array}$

Schritt 2: Zahl im gesuchten System ablesen, indem Du die Restzahlen von unten nach oben abliest.

$102$

Die Zahl 27 aus dem Dezimalsystem entspricht also der Zahl 102 im Stellenwertsystem mit Basis 5.

Mit diesem Schema kannst Du nun beliebig zwischen Stellenwertsystemen umrechnen.

Stellenwertsystem – Beispiele & Übungen

Um Dein Wissen zu den Zahlensystemen und Stellenwertsystemen jetzt noch zu vertiefen, kannst Du die folgenden Aufgaben als Beispiele durchgehen oder selbst einmal versuchen sie zu berechnen.

Aufgabe 6

Gib jeweils eine beliebige Zahl für die folgenden Zahlensysteme an:

a) Dezimalsystem

b) Römische Zahlen

Lösung

Zu a)

Im Dezimalsystem gibt es 10 verschiedene Symbole, die Du zur Konstruktion einer Zahl verwenden kannst. Diese sind die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, die Du jetzt aneinanderreihen kannst.

$39176$

Dies ist zum Beispiel eine Zahl im Zahlensystem "Dezimalsystem".

Zu b)

Die Römischen Zahlen bestehen aus den Symbolen I, V, X, L, D, M usw. Auch hier kannst Du mit diesen Symbolen eine Zahl konstruieren,

$X I V$

$X I V$ ist eine ebenso eine Zahl im Zahlensystem der Römischen Zahlen.

Aufgabe 7

Rechne die Binärzahl 10011 ins Dezimalsystem um.

Lösung

Dafür musst Du die jeweiligen Stellen der Zahl nur mit der richtigen Zweierpotenz werten. Die letzte Stelle mit $2^{0}$ , die davor mit $2^{1}$ und so weiter.

$1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19$

Aufgabe 8

Wandle die Dezimalzahl 13 in eine Binärzahl um.

Lösung

Schritt 1: Teile die ursprüngliche Zahl durch die Basis des Stellenwertsystems (beim Binärsystem durch 2) und schreibe den Rest mit an (auch eine 0).

$\begin{array}{rcl} 13 : 2 & = & 6 R e s t 1 \\ 6 : 2 & = & 3 R e s t 0 \\ 3 : 2 & = & 1 R e s t 1 \\ 1 : 2 & = & 0 R e s t 1 \end{array}$

Schritt 2: Zahl im gesuchten System ablesen, indem Du die Restzahlen von unten nach oben abliest.

$1101$

Die Zahl $13$ wird also mit $1101$ im Binärsystem ausgedrückt.

Stellenwertsystem – Das Wichtigste

Zahlensysteme werden benötigt, um eine Zahl überhaupt ausdrücken zu können.
Die heutzutage wichtigsten Zahlensysteme sind Stellenwertsysteme.
Jede Stelle einer Zahl hat bei einem Stellenwertsystem einen anderen Wert.
Die Umrechnung zwischen Stellenwertsystemen folgt einem Schema, das Du Dir verinnerlichen solltest:
- Schritt 1: Teile die ursprüngliche Zahl durch die Basis des Stellenwertsystems und schreibe den Rest mit an (auch eine 0).
- Schritt 2: Zahl im gesuchten System ablesen, indem Du die Restzahlen von unten nach oben abliest.
Rechne die ursprüngliche Zahl immer zuerst in das Dezimalsystem um.

Nachweise

Grundschule Mathematik Stellenwert und Bündeln (2020). Friedrich Verlag.
Heinrich Winand Winter (2015). Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Springer Spektrum Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Stellenwertsystem

Beispielsweise das Zahlensystem der römischen Zahlen ist kein Stellenwertsystem, sondern ein Additionssystem.

Jede Stelle einer Zahl hat einen anderen Wert. Dies kannst Du Dir als eine Art Gewichtung vorstellen.

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem, da es jeder Stelle einer Zahl einen anderen Wert gibt.

Am häufigsten rechnest Du wahrscheinlich im Dezimalsystem. Dieses wird im Alltag überall verwendet.

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Ist jedes Zahlensystem ein Stellenwertsystem?

Nein

Ist jedes Stellenwertsystem ein Zahlensystem?

Zu welchem System musst Du zuerst beim Umrechnen zu einem anderen Stellenwertsystem wechseln?

Zum Dezimalsystem.

Was entspricht dem Wert einer Zahl?

Dem Wert einer Zahl entspricht die Zahl ausgedrückt im Dezimalsystem.

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