Matrizen addieren

Möchtest Du wissen, welche Voraussetzungen und Regeln für die Addition von Matrizen gelten oder wie Du \(2\times3\)-Matrizen addierst? Antworten auf diese und weitere Fragen findest Du in dieser Erklärung. In den nächsten Kapiteln erfährst Du einfach erklärt, wie Du quadratische und besondere Matrizen addierst und wie Du die Berechnung anhand von Beispielen und Aufgaben nachvollziehen und testen kannst.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Matrizen addieren Voraussetzung

    Die Addition zweier Matrizen \(A\) und \(B\) kann nur über den gleichen Typ \((m,\,n)\) (gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl beider Matrizen) erfolgen.

    Eine Matrix \(A\) besitzt eine gewisse Anzahl an Zeilen und Spalten, die den Typ der Matrix beschreiben. So lässt sich eine \((m,\,n)\)-Matrix allgemein mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten angeben.

    Laut der Definition kannst Du demnach zwei Matrizen nur miteinander addieren, wenn sie dieselbe Zeilenanzahl und dieselbe Spaltenanzahl besitzen.

    Alles rund um die Matrix kannst Du in der Erklärung „Matrizen“ nachlesen.

    Eine \((2,\,3)\)-Matrix lässt sich nur mit einer \((2,\,3)\)-Matrix addieren, wie zum Beispiel die Matrizen \(A\) und \(B\).

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 2&1&4\end{array}\right) \hspace{2cm}B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 1&3&2\end{array}\right)\]

    Beide Matrizen besitzen \(2\) Zeilen und \(3\) Spalten.

    Hast Du überprüft, ob sich zwei gegebene Matrizen addieren lassen (also vom gleichen Typ sind), dann kannst Du mit der Berechnung der Werte fortfahren.

    Matrizen addieren einfach erklärt Matrizen addieren

    Zwei gleichartige Matrizen \(A\) und \(B\) werden durch elementweises Addieren der Matrixelemente addiert und bringen als Ergebnis eine Summenmatrix \(C\) vom gleichen Typ \((m,\,n)\) hervor.

    \[C=A+B\]

    Um die beiden Matrizen \(A\) und \(B\) zu addieren, musst Du also jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit dem entsprechenden Matrixelement der Matrix \(B\) addieren.

    Damit Du die Berechnung nachvollziehen kannst, zeigt das nächste Kapitel die Vorgehensweise der Berechnung allgemein für eine \((2,\,3)\)-Matrix.

    Matrizen addieren 2x3 Beispiel

    Die Addition der Matrixelemente ist für zwei allgemeine Matrizen \(A\) und \(B\) des Typs \((2,\,3)\) dargestellt.

    \begin{align}A\hspace{1.6cm}&+\hspace{1.6cm} B \hspace{1.6cm} = \hspace{3cm} C\\[0.3cm]\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} a_{11}}&{\color{#00DCB4}a_{12}}&{\color{#FA3273}a_{13}} \\[0.1cm]{\color{#8363E2}a_{21}}&{\color{#FFCD00}a_{22}}&{\color{#5E7387}a_{23}}\end{array}\right) &+\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8}b_{11}}&{\color{#00DCB4}b_{12}}&{\color{#FA3273}b_{13}} \\[0.1cm] {\color{#8363E2}b_{21}}&{\color{#FFCD00}b_{22}}&{\color{#5E7387}b_{23}}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} a_{11}+b_{11}}&{\color{#00DCB4}a_{12}+b_{12}}&{\color{#FA3273}a_{13}+b_{13}}\\[0.1cm] {\color{#8363E2}a_{21}+b_{21}}&{\color{#FFCD00}a_{22}+b_{22}}&{\color{#5E7387}a_{23}+b_{23}}\end{array}\right)\end{align}

    Wie Du sehen kannst, sind die jeweiligen Matrixelemente farblich markiert, die miteinander addiert werden müssen. Das nachfolgende Beispiel zeigt Dir ein kurzes Beispiel der Berechnung.

    Addiert werden sollen die Matrizen \(A\) und \(B\) zur Summenmatrix \(C\).

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 2&1&4\end{array}\right) \hspace{2cm}B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 1&3&2\end{array}\right)\]

    Auch hier soll die farbliche Markierung als Hilfestellung dienen.

    \begin{align}A\hspace{1cm}&+\hspace{1cm} B \hspace{1.1cm} = \hspace{2cm} C\\[0.3cm]\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} 1}&{\color{#00DCB4}1}&{\color{#FA3273}3} \\{\color{#8363E2}2}&{\color{#FFCD00}1}&{\color{#5E7387}4}\end{array}\right) &+\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8}1}&{\color{#00DCB4}0}&{\color{#FA3273}1} \\ {\color{#8363E2}1}&{\color{#FFCD00}3}&{\color{#5E7387}2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} 1+1}&{\color{#00DCB4}1+0}&{\color{#FA3273}3+1}\\{\color{#8363E2}2+1}&{\color{#FFCD00}1+3}&{\color{#5E7387}4+2}\end{array}\right)\end{align}

    Somit ergibt sich für die Summenmatrix \(C\):

    \begin{align}C=A+B=\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} 2}&{\color{#00DCB4}1}&{\color{#FA3273}4} \\{\color{#8363E2}3}&{\color{#FFCD00}4}&{\color{#5E7387}6}\end{array}\right)\end{align}

    Auch bei Matrizen musst Du verschiedene Rechenregeln beachten.

    Matrizen addieren Regeln

    Um zwei Matrizen addieren zu können, müssen sie denselben Typ \((m,\,n)\) besitzen. Außerdem sind bei der Addition noch weitere Rechenregeln zu beachten.

    Rechenregeln bei der Addition von Matrizen \(A\), \(B\) und \(C\) des gleichen Typs \((m,\,n)\):

    • Kommutativgesetz: \[A+B=B+A\]

    • Assoziativgesetz: \[(A+B)+C=A+(B+C)\]

    • Transponieren: \[(A+B)^T=A^T+B^T\]

    In den Erklärungen „Rechengesetze“ und „Matrix transponieren“ findest Du weitere Informationen rund um diese Themen.

    Die Addition zweier \((2,\,3)\)-Matrizen hast Du bereits kennengelernt. Aber wie verhalten sich beispielsweise quadratische Matrizen bei der Addition oder spezielle Matrizen wie die Einheitsmatrix oder die Diagonalmatrix?

    Besondere Matrizen addieren

    Egal, ob es sich bei den zwei zu addierenden Matrizen um schiefe Matrizen, symmetrische Matrizen oder auch um quadratische Matrizen handelt, die Vorgehensweise der Berechnung bleibt gleich. Sieh Dir dazu die folgenden Beispiele an.

    Quadratische Matrizen addieren 3x3

    Quadratische Matrizen besitzen genau so viele Zeilen wie Spalten, wie beispielsweise eine \((3,\,3)\)-Matrix.

    Quadratische Matrizen addieren – Aufgabe 1

    Bestimme die Summenmatrix \(C\) aus den Matrizen \(A\) und \(B\) mit:

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 2&1&4 \\ 0&1&-1\end{array}\right) \hspace{2cm}B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 1&3&2\\-2&1&0\end{array}\right)\]

    Lösung

    Die Matrizen werden elementweise miteinander addiert, wodurch sich die Summenmatrix \(C\) ergibt:

    \begin{align}C=A+B&=\left(\begin{array}{ccc} 1+1&1+0& 3+1\\ 2+1&1+3&4+2 \\ 0+(-2)&1+1&(-1)+0\end{array}\right)\\[0.4cm]&=\left(\begin{array}{ccc} 2&1&4 \\ 3&4&6 \\ -2&2&-1\end{array}\right)\end{align}

    Diagonalmatrizen sind ebenfalls quadratische Matrizen, deren Matrixelemente aber nur entlang der Hauptdiagonalen verschiedene Zahlenwerte besitzen. Alle anderen Matrixelemente sind \(0\). Eine Sonderform der Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix. Sie besitzt entlang der Hauptdiagonalen Elemente mit dem Wert \(1\).

    Quadratische Matrizen addieren – Aufgabe 2

    Addiere die Diagonalmatrix \(D\) mit der Einheitsmatrix \(E\).

    \[D=\left(\begin{array}{ccc} -2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&-1\end{array}\right) \hspace{2cm}E=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\]

    Lösung

    Auch in diesem Fall kannst Du die Berechnung schrittweise nach der gleichen Vorgehensweise durchführen.

    \begin{align}D+E&=\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8}-2+1}&0+0& 0+0\\ 0+0&{\color{#1478C8}3+1}&0+0 \\ 0+0&0+0&{\color{#1478C8}(-1)+1}\end{array}\right)\\[0.4cm]&=\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8}-1}&0&0 \\ 0&{\color{#1478C8}4}& \\ 0&0&{\color{#1478C8}0}\end{array}\right)\end{align}

    In der Erklärung „Besondere Matrizen“ kannst Du Dir alle Eigenschaften zu den speziellen Matrizen ansehen.

    Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Addition von Matrizen zu meistern? Dann los!

    Matrizen addieren Aufgaben

    Bevor Du die Addition der Matrizen beginnst, überprüfe zunächst, ob die Voraussetzung für eine Berechnung erfüllt ist. Sie müssen dieselbe Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen.

    Matrizen addieren – Aufgabe 3

    Ermittle, welche Matrizen-Paare addiert werden können.

    \[A=\left(\begin{array}{cc} -2&1&0 \\ -4&3&-1\end{array}\right) \hspace{0.5cm}B=\left(\begin{array}{cc} 4&3 \\ 1&3\end{array}\right)\hspace{0.5cm}C=\left(\begin{array}{ccc} 0&2 \\ 1&-3 \\2&-1\end{array}\right)\hspace{0.5cm}D=\left(\begin{array}{cc} -3&0 \\ 0&6\end{array}\right)\hspace{0.5cm}E=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1\end{array}\right)\]

    Lösung

    Es lassen sich lediglich die Matrizen \(B\), \(D\) und \(E\) miteinander addieren. Demnach sind folgende Berechnungen möglich:

    \[B+D\,(oder\,D+B) \hspace{2cm} B+E\,(oder\,E+B)\hspace{2cm}D+E\,(oder\,E+D)\]

    Matrizen addieren – Aufgabe 4

    Bestimme die fehlenden Matrixelemente der folgenden Addition.

    \begin{align}\left(\begin{array}{cc} 4&-2 \\ -5&5 \\ 3&{\color{#FA3273}a_{32}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0&-3 \\ {\color{#00DCB4}b_{21}}&7 \\ 6&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4&{\color{#1478C8}c_{12}} \\ 2&12 \\ 9&-4\end{array}\right)\end{align}

    Lösung

    Durch das elementweise Addieren ergibt sich für die fehlenden Matrixelemente:

    \begin{align}-2+(-3)&={\color{#1478C8}c_{12}} \hspace{1cm} &\rightarrow {\color{#1478C8}c_{12}}&=-5\\[0.1cm]-5+{\color{#00DCB4}b_{21}}&=2 &\rightarrow {\color{#00DCB4}b_{21}}&=7\\[0.1cm]{\color{#FA3273}a_{32}}+(-3)&=-4 &\rightarrow {\color{#FA3273}a_{32}}&=-1\end{align}

    In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben, um das Thema Matrizen addieren weiter zu vertiefen.

    Matrizen addieren Das Wichtigste

    • Die Addition zweier Matrizen \(A\) und \(B\) kann nur über den gleichen Typ \((m,\,n)\) erfolgen. Somit muss die Zeilen- und Spaltenanzahl beider Matrizen identisch sein.
    • Zwei gleichartige Matrizen \(A\) und \(B\) werden durch elementweises Addieren der Matrixelemente addiert und bringen als Ergebnis eine Summenmatrix \(C\) vom gleichen Typ \((m,\,n)\) hervor.

      \[C=A+B\]

    • Für die Addition zweier \((2,\,3)\)-Matrizen gilt:

      \begin{align}A\hspace{1.6cm}&+\hspace{1.6cm} B \hspace{1.6cm} = \hspace{3cm} C\\[0.3cm]\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} a_{11}}&{\color{#00DCB4}a_{12}}&{\color{#FA3273}a_{13}} \\[0.1cm]{\color{#8363E2}a_{21}}&{\color{#FFCD00}a_{22}}&{\color{#5E7387}a_{23}}\end{array}\right) &+\left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8}b_{11}}&{\color{#00DCB4}b_{12}}&{\color{#FA3273}b_{13}} \\[0.1cm] {\color{#8363E2}b_{21}}&{\color{#FFCD00}b_{22}}&{\color{#5E7387}b_{23}}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} {\color{#1478C8} a_{11}+b_{11}}&{\color{#00DCB4}a_{12}+b_{12}}&{\color{#FA3273}a_{13}+b_{13}}\\[0.1cm] {\color{#8363E2}a_{21}+b_{21}}&{\color{#FFCD00}a_{22}+b_{22}}&{\color{#5E7387}a_{23}+b_{23}}\end{array}\right)\end{align}

    • Bei der Addition gelten außerdem das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrizen addieren

    Wie werden Matrizen zusammengerechnet?

    Typgleiche Matrizen (m, n) werden addiert, indem die jeweils an gleicher Stelle stehenden Matrixelemente zusammengerechnet werden. Zum Beispiel die Elemente a12 der Matrix A und b12 der Matrix B. Das Ergebnis ist eine Summenmatrix des gleichen Typs (m, n).

    Welche Matrizen dürfen addiert werden?

    Damit Matrizen addiert werden können, müssen sie den gleichen Matrix-Typ (m, n) haben. Demnach muss ihre Zeilenanzahl und ihre Spaltenanzahl identisch sein.

    Welche Matrizen können nicht addiert werden?

    Besitzen zwei Matrizen nicht die gleiche Form (m, n), so ist ihre Zeilen- und Spaltenanzahl unterschiedlich. Dann können diese Matrizen nicht addiert werden.

    Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

    Bestimme die Form \((m,\,n)\) der Summenmatrix bei der Addition zweier Matrizen vom Typ \((5,\,3)\).

    Ordne dem Ergebnis einer Addition von Matrizen den passenden Begriff zu.

    Bei einer Addition zweier Matrizen \(A\) und \(B\) muss zumMatrixelement \(a_{31}\) das Matrixelement ____ addiert werden.

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