Sicherlich hast bei der Bank deines Vertrauens ein Sparkonto, auf das du dein Taschengeld oder vielleicht sogar schon den Lohn von deinem Nebenjob einzahlst.
Im Vergleich zu dem Sparschwein in deinem Zimmer hat ein Konto den Vorteil, dass du in regelmäßigen Abständen Zinsen auf dein Guthaben bekommst.
Zinsrechnung einfach erklärt
Schauen wir uns zunächst mal eine Definition an:
Zinsen sind ein Entgelt, das der Schuldner – also derjenige, der sich Geld leiht – an den Gläubiger – also denjenigen, der das Geld verleiht – als Gegenleistung dafür zahlt, dass er sich vorübergehend dessen Kapital ausleihen darf.
Die Bank zahlt dir also dafür, dass du dein Erspartes bei ihnen hinterlegst, einen Zins. Denn dein Geld liegt nicht nur einfach in einem Safe in der Bank, sondern die Bank macht ihrerseits Geschäfte mit dem Geld ihrer Kunden.
Genauso ist es andersherum, wenn eine Person einen Kredit oder ein Darlehen aufnimmt, sich also Geld bei der Bank ausleiht. Die Person muss dann nicht nur das Geld, was sie ausgeliehen hat, an die Bank zurückzahlen, sondern etwas mehr.
Möchtest du nun ausrechnen, wie viel Geld du auf deinem Sparkonto in 5 oder 10 Jahren haben wirst, brauchst du die Zinsrechnung.
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung und wird zur Berechnung von Zinsen und Kapital gebraucht.
Damit du die Zinsrechnung verstehst, wird sie dir in diesem Artikel Schritt für Schritt erklärt.
Zinsrechnung Grundlagen
Zunächst einmal werden die grundlegenden Begriffe geklärt, die in der Zinsrechnung von Bedeutung sind.
Das Kapital
Wie du vielleicht in der Einleitung schon gesehen hast, geht es bei der Zinsrechnung häufig um das Kapital.
Das Kapital K ist ein anderer Begriff für Vermögen oder Guthaben.
Wenn du die Zinsrechnung mithilfe des Zinsdreiecks durchführst, oder den Dreisatz nutzt, dann reicht dir diese Definition aus.
Berechnest du Zinsen jedoch mit Zinsformeln und musst auch berücksichtigen, ob Zinseszinsen gezahlt werden, dann braucht es die Unterscheidung in Anfangs- und Endkapital. Die Definition dieser beiden Begriffe findest du im unteren Abschnitt des Artikels.
Der Zinssatz
Wie viel Geld die Bank dir für das Anlegen deines Geldes zahlt, hängt vom Zinssatz ab.
Der Zinssatz p ist derjenige Anteil des Kapitals K, welches der Schuldner dem Gläubiger pro Zeiteinheit für das Kapital zahlt.
Der Zinssatz p wird meistens in Prozent angegeben. Man kann ihn aber für die Zinsrechnung in eine Dezimalzahl umwandeln.
Ein Zinssatz von 3% kann auch durch die Dezimalzahl 0,03 ausgedrückt werden.
Wenn du nochmal nachlesen möchtest, wie Prozentangaben in Dezimalzahlen umgewandelt werden, dann findest du alle wichtigen Informationen dazu im Artikel Prozent :)
Mithilfe des Zinssatzes lässt sich also berechnen, wie viel der Schuldner dem Gläubiger zusätzlich zum Kapital zurückzahlt.
Wenn du ein Konto bei der Bank eröffnest oder Geld von der Bank leihst, wird dir der Zinssatz von der Bank mitgeteilt. Er ist diejenige Information, die darüber entscheiden kann, ob eine Geldanlage oder ein Darlehen sinnvoll ist oder vielleicht auch nicht.
Die Zinsen
Ähnlich zum Begriff des Zinssatzes ist der Begriff Zinsen.
Der Zins oder die Zinsen Z ist derjenige Geldwert, welcher der Schuldner dem Gläubiger für das Leihen von Kapital zahlt.
Falls du gerade zurück gescrollt hast, um diese Definition mit der Definition des Zinssatzes zu vergleichen, ist dir die Ähnlichkeit der beiden Definitionen aufgefallen.
Der entscheidende Unterschied ist der folgende: der Zinssatz ist eine Angabe in Prozent und ist fest. Er wird einmal zwischen Schuldiger und Gläubiger ausgemacht und in der Regel im Laufe der Zeit nicht mehr verändert. Die Zinsen sind dann der konkrete Geldwert, der für das Ausleihen von Geld gezahlt werden muss. Die Zinsen hängen also vom Zinssatz und vom Kapital ab.
Damit wären die wichtigsten Grundbegriffe für die Zinsrechnung geklärt, und wir können den nächsten Schritt hin zur Zinsrechnung wagen.
Zinsen mit dem Zinsdreieck berechnen
Die einfachste Form der Zinsrechnung findet mit einer Formel statt, die Zinsen, Kapital und Zinssatz in Zusammenhang stellt.
Die Zinsen Z können berechnet werden durch die Formel
Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie diese Formel eingesetzt wird.
Aufgabe
Tarik legt 1000€ für ein Jahr zu einem Zinssatz von 2% an. Wie viele Zinsen enthält er?
Lösung
Die wichtigen Werte aus der Angabe sind:
- Kapital
- Zinssatz
Diese Werte können einfach in die Formel eingesetzt werden:
Wenn du lieber mit dem Zinssatz als Dezimalzahl rechnest, musst du erst mal die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umwandeln. Es ist
Dann lautet die Formel:
Wie auch immer du lieber rechnest, Tarik bekommt 20 € Zinsen auf seine angelegten 1000 €.
In diesem Beispiel waren Kapital und Zinssatz angegeben und die Zinsen gesucht. Es kann aber auch sein, dass dir das Kapital und die Zinsen gegeben sind, und der Zinssatz gesucht wird, oder Zinsen und Zinssatz gegeben sind, und du das Kapital berechnen musst.
Dafür kannst du jeweils die Formel umstellen:
| für die Formel für p in Prozent und für die Formel für p als Dezimalzahl |
Zum Umstellen der Formel ist es etwas geschickter, wenn du mit p als Dezimalzahl rechnest.
Um dir diese ganzen Formeln einfach zu merken, gibt es das sogenannte Zinsdreieck:
Abbildung 1: Das Zinsdreieck
Dieses funktioniert wie folgt:
Stell dir vor, der Strick zwischen der oberen Ebene des Dreiecks, in der der Zins Z steht, und der unteren Ebene mit Kapital K und Zinssatz p wäre ein Bruchstrich, und zwischen den Feldern von K und p stände ein Malpunkt.
Abbildung 2: Das Zinsdreieck mit Rechenzeichen
Je nachdem, welche Variable du nun suchst, ergibt sich durch das Rechenzeichen die jeweilige Formel:
 Abbildung 3: Formel für die Zinsen Z
Es gilt: |  Abbildung 4: Formel für das Kapital K
Es gilt: |  Abbildung 5: Formel für den Zinssatz p
Es gilt: |
Probiere doch gleich mal aus, ob du die folgenden Aufgaben damit lösen kannst!
Aufgabe
Berechne jeweils die fehlende Variable der Zinsrechnung.
-
-
Lösung
Wir arbeiten mit der Formel, in der der Zinssatz als Dezimalzahl angegeben ist.
1. Gesucht sind die Zinsen Z. Einsetzen in die Formel ergibt:
2. Gesucht ist das Kapital. Einsetzen in die umgestellte Formel ergibt:
3. Gesucht ist der Zinssatz. Einsetzen in die umgestellte Formel ergibt:
Zinsrechnung Dreisatz
Eine weitere, recht einfache Art der Zinsrechnung funktioniert mithilfe des Dreisatzes.
Der Dreisatz ist ein mathematisches Rechenverfahren, um aus einen gegebenen Wertepaar mithilfe von einer Zwischenrechnung ein gesuchtes Wertepaar zu berechnen.
Grundsätzlich funktioniert die Berechnung von Zinsen mithilfe des Dreisatzes wie folgt:
- In der ersten Zeile des Dreisatzes steht unser Anfangskapital, welches 100% entspricht.
- In der zweiten Zeile des Dreisatzes berechnet man dann, wie viel Kapital 1% entspricht.
- In der dritten Zeile des Dreisatzes berechnet man dann, wie viel Kapital dem Zinssatz entspricht.
Sind die Zinsen nach der dritten Zeile des Dreisatzes berechnet, kann das Endkapital berechnet werden, indem die Zinsen und das Anfangskapital addiert werden.
Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an.
Aufgabe
Johannes legt bei der Bank sein erspartes Geld in Höhe von 5000 € zu einem Zinssatz von 3% an.
Berechne mithilfe des Dreisatzes, wie viele Zinsen Johannes nach einem Jahr bekommt.
Lösung
Wir stellen den Dreisatz nach dem oben genannten Schema auf:
Johannes bekommt also nach einem Jahr 150€ Zinsen.
Mit dem Dreisatz kannst du nicht nur die Zinsen ausrechnen, sondern auch direkt das Endkapital. Dazu berechnest du in der dritten Zeile jedoch nicht, wie viel Kapital dem Zinssatz entspricht, sondern das Kapital, welches dem Zinssatz + 100% entspricht.
In Johannes' Beispiel würde das wie folgt aussehen:
Aufgabe
Johannes legt bei der Bank sein erspartes Geld in Höhe von 5000€ zu einem Zinssatz von 3% an.
Berechne mithilfe des Dreisatzes, wie viele Endkapital Johannes nach einem Jahr hat.
Lösung
Wir stellen den Dreisatz nach dem oben genannten Schema mit der veränderten dritten Zeile auf:
Johannes hat also nach einem Jahr 5150€ auf der Bank.
Komplexere Zinsrechnung Grundlagen
Manchmal reichen diese einfachen Rechnungen jedoch nicht aus, um die Zinsrechnung korrekt auszuführen, beispielsweise wenn das Geld über mehrere Jahre angelegt wird oder Zinseszinsen gezahlt werden.
Wie die Zinsrechnung dann auszusehen hat, schauen wir uns im folgenden Abschnitt an. Zunächst werden jedoch noch ein paar weitere Begriffe definiert, die bei der komplexeren Zinsrechnung wichtig sind.
Das Anfangskapital und das Endkapital
Möchtest du Zinsrechnung auf einem höheren Niveau betreiben, reicht es nicht mehr, nur von einem Kapital zu reden.
Es benötigt die Unterscheidung in Anfangskapital und Endkapital.
Das Anfangskapital oder auch Startkapital in der Zinsrechnung ist das Kapital, das zu Beginn vorhanden ist.
Es wird in der Zinsrechnung mit bezeichnet.
Das Endkapital ist dasjenige Kapital, das am Ende der Laufzeit vorhanden ist. Es entspricht dem Anfangskapital plus den über die Laufzeit entstandenen Zinsen.
Es wird in der Zinsrechnung mit bezeichnet, wobei n für die Laufzeit steht.
Die Laufzeit
Damit sind wir direkt über einen weiteren Begriff gestolpert:
Die Laufzeit bezeichnet denjenigen Zeitraum, in den der Schuldner dem Gläubiger Kapital leiht.
Die Laufzeit wird meistens in Jahren angegeben und mit dem Buchstaben n markiert. Je nach Art der Verzinsung kann es sich aber auch um Tage, Monate, Quartale oder Halbjahre handeln. Dann werden die folgenden Variablen genutzt:
- t für Tage
- m für Monate
- q für Quartale
- h für halbe Jahre
Die Zinsen im Zusammenhang mit Anfangs- und Endkapital
Durch die Definition von Anfangs- und Endkapital können die Zinsen durch eine weitere Formel dargestellt werden:
Die Zinsen Z sind die Differenz zwischen Endkapital und Anfangskapital.
Das heißt:
Die Zinseszinsen
Und weil der Begriff Zinsen noch nicht reicht, gibt es auch noch die Zinseszinsen.
Der Zinseszins ist derjenige Geldwert, welcher der Schuldner dem Gläubiger durch das Anfallen von Zinsen zusätzlich zum normalen Zins zahlt.
Klingt zunächst kompliziert, ist es aber eigentlich gar nicht. Durch das folgende Beispiel wird der Begriff der Zinseszinsen klarer:
Stell dir wieder dein Konto bei der Bank vor. Nach einem Jahr Laufzeit zahlt dir die Bank Zinsen auf das Geld, welches du dort angelegt hast. Auf deinem Konto liegt jetzt also das Anfangskapital plus der Zins.
Wenn du nun das Geld – also Anfangskapital plus Zins – ein weiteres Jahr auf der Bank lässt, werden dir natürlich wieder Zinsen gezahlt.
Wenn die Bank jetzt nicht nur erneut das Anfangskapital verzinst, sondern das gesamte Geld, welches momentan auf dem Konto liegt (Anfangskapital plus Zins aus dem ersten Jahr), zahlt sie dir auch Zinsen für den Zins, den du im ersten Jahr bekommen hast.
Sie verzinst also die Zinsen aus dem vorherigen Jahr.
Achtung Zungenbrecher:
Die Zinsen, die durch das Verzinsen von vorherigen Zinsen zustande kommen, sind die Zinseszinsen.
Die Zinseszinsen sind also Zinsen, die durch die Verzinsung von Zinsen entstehen.
Zinsrechnung Komplexere Arten
Leider gibt es nicht nur eine Formel für die Zinsrechnung, sondern mehrere Arten der Verzinsung. Sie unterscheiden sich dadurch, in welchen Zeitabständen verzinst wird, und ob nur das Anfangskapital beachtet wird oder Zinseszinsen anfallen.
In den folgenden Abschnitten werden wir uns die Arten Schritt für Schritt anschauen.
Der Jahreszins mit einfacher Verzinsung
Der Jahreszins ist ein Zins, der jährlich gezahlt wird. Durch die Bezeichnung einfache Verzinsung wird ausgedrückt, dass keine Zinseszinsen gezahlt werden. Es wird also immer nur das Startkapital verzinst.
Der Jahreszins mit einfacher Verzinsung ist die einfachste Art der Verzinsung.
Das Endkapital bei einem Jahreszins mit einfacher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel
Das Endkapital setzt sich also zusammen aus dem Anfangskapital 
und den Zinsen, die über die Laufzeit hinweg angefallen sind. Die Zinsen werden durch die Formel 
berechnet.
Die hinterste Formel ist nur eine Umformung der mittleren Formel, dort wurde das Anfangskapital 
ausgeklammert. Falls dir die mittlere Formel aber lieber ist, kannst du natürlich auf mit dieser rechnen.
Schauen wir uns die Jahresverzinsung gleich an einem Beispiel an:
Aufgabe
Andreas hat 2000 € gespart und möchte das Geld bei der Bank deponieren. Er legt das Geld für ein Jahr zu 2,5% an. Berechne wie viele Zinsen anfallen und wie viel Geld er nach einem Jahr zurückbekommt.
Lösung
Zuerst schreiben wir uns die wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus:
Das Anfangskapital beträgt 2000 €. Demnach ist .
Der Zinssatz entspricht 2,5%, also ist p=2,5 % oder als umgewandelte Dezimalzahl 0,025
Die Laufzeit ist ein Jahr, also ist n=1
Diese Werte müssen jetzt in die Formel 
eingesetzt werden:
Andreas bekommt also nach einem Jahr 2050€ zurück.
Um die Zinsen Z zu berechnen, muss noch die Differenz aus Anfangskapital und Endkapital berechnet werden. Dies sind also .
Die Berechnung der Jahreszinsen bei einfacher Verzinsung ist auch bei einer Laufzeit von mehreren Jahren recht einfach zu berechnen.
Aufgabe
Dilara leiht sich von einer Freundin 5000 € für die Eröffnung eines eigenen Cafés. Sie machen einen Zinssatz von 5% bei einfacher Jahresverzinsung aus.
Berechne, wie viel Dilara nach 5 Jahren an ihre Freundin zurückzahlen muss und welcher Anteil davon Zinsen sind.
Lösung
Wie wichtigen Werte aus der Angabe sind:
- Das Startkapital von 5000 €. Es ist also
- der Zinssatz von p=5%=0,05
- Die Laufzeit n=5
Setzen wir diese Werte wieder in die Formel ein, so ergibt sich für das Endkapital:
Dilara muss also nach 5 Jahren 6250€ an ihre Freundin zurückzahlen. Davon sind 1250€ Zinsen.
Der Jahreszins mit jährlicher Verzinsung
Beim Jahreszins mit jährlicher Verzinsung wird im Unterschied zum Jahreszins mit einfacher Verzinsung ein Zinseszins bezahlt. Es werden also jedes Jahr nicht nur das Anfangskapital, sondern auch die bisher angefallenen Zinsen verzinst.
Diese Art von Zinsen gibt es normalerweise auf ein Sparbuch bei der Bank.
Das Endkapital bei einem Jahreszins mit jährlicher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel
Diese Art von Zinsen gibt es normalerweise auf ein Sparbuch bei der Bank.
Das Endkapital bei einem Jahreszins mit jährlicher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel
Diese Formel kann nicht ganz so intuitiv verstanden werden wie die Formel für den Jahreszins ohne Zinseszinsen. Damit du verstehst, wie die Formel zustande kommt, solltest du dir den nachfolgenden Beweis anschauen.
Beweis:
Überlegen wir uns zuerst einmal, ob die Formel für die Laufzeit von einem Jahr stimmt.
Bei der ersten Verzinsung kann es ja noch keine Zinseszinsen geben. Deshalb müsste die Formel identisch sein mit der Formel des Jahreszins bei einfacher Verzinsung. Und tatsächlich kann man sie entsprechend umformen:
Interessanter wird es bei einer Laufzeit von zwei Jahren. Das Kapital nach dem zweiten Jahr sollte sich zusammensetzen aus dem Kapital 
nach dem ersten Jahr und den Zinsen, die es auf das Kapital 
gibt. Damit werden also Zinseszinsen gezahlt.
Es müsste also gelten:
Versuchen wir nun, ob wir diese Formel so umformen können, dass sie der Formel aus dem Definitionskasten zum Jahreszins bei jährlicher Verzinsung entspricht.
| Erklärung | Rechnung |
Im ersten Schritt setzen wir für  die pinke Formel von eben ein. | |
Nun formen wir um. Dazu kann zunächst  ausgeklammert werden. | |
| Außerdem kann die Klammer (1+p) ausgeklammert werden. | |
| Nun müssen nur noch die beiden hintersten Klammern zusammengefasst werden, und schon erhalten wir die gewünschte Formel. | |
Die Formel sieht also genauso aus wie die Formel aus dem Definitionskasten, wenn wir dort für n die Zahl 2 einsetzen.
Die Formel scheint also auch für eine Laufzeit von zwei Jahren gültig zu sein.
Genauso können wir bei einer Laufzeit von drei Jahren vorgehen:
Willst du die Formel allgemein beweisen, kannst du dies mit der Technik der vollständigen Induktion tun.
Schauen wir uns in einem Beispiel an, wie die Formel im Alltag angewendet wird.
Aufgabe
Anna legt ihr Ersparnis von 3000€ zu jährlich 1,8% Zinsen für 5 Jahre bei der Bank an. Wie hoch ist ihr Endkapital nach den 5 Jahren?
Lösung
Die wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Das Anfangskapital von 3000 €. Es ist also
Der Zinssatz p=1,8%=0,018
Die Laufzeit n=5
Diese Werte können nun in die Formel zum Jahreszins bei jährlicher Verzinsung eingesetzt werden:
Nach 5 Jahren hat Anna also schon 3279,90€ auf ihrem Konto.
Die Zinsen und Zinseszinsen sind wieder die Differenz aus Endkapital und Anfangskapital:
Die unterjährige Verzinsung
Neben den Jahreszinsen gibt es auch noch andere Formen der Verzinsung. Es können auch andere Zinsperioden vereinbart werden:
- Tage t
- Monate m
- Quartale q
- halbe Jahre h
Die Verzinsung kann hier ebenfalls einfach sein oder Zinseszinsen beinhalten.
Da der Zinssatz jedoch trotzdem immer für ein ganzes Jahr angegeben wird, muss berücksichtigt werden, wie viele Zinsperioden x es pro Jahr gibt. Damit ändern sich die Formeln für die Verzinsung mit und ohne Zinseszinsen ein wenig.
Unterjährige Verzinsung ohne Zinseszinsen
Das Endkapital bei einer unterjährigen Verzinsung ohne Zinseszinsen kann berechnet werden durch die Formel
Dabei ist x die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr, n die Anzahl der ganzen Jahre und k die Anzahl der weiteren unterjährigen Zinsperioden.
Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie diese Formel funktioniert.
Aufgabe
Mateo legt 4000€ für 17 Monate zu einem Jahreszinssatz von 1,6% mit Monatszinsen an. Berechne, wie viele Zinsen in diesen 17 Monaten anfallen und berechne das Endkapital.
Lösung
Die wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Das Anfangskapital von 4000€ , also
Der Jahreszinssatz p=1,6%=0,016
Die Laufzeit von 17 Monaten, also einem Jahr und 5 Monaten
Zudem ist noch die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr wichtig. Da es sich um Monatszinsen handelt, sind es also 12 Zinsperioden pro Jahr.
Diese Werte können jetzt in die Formel eingesetzt werden:
Mateos Endkapital sind also etwa 4090,67€, wobei 90,67€ davon Zinsen sind.
Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen
Das Endkapital bei einer unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen kann berechnet werden durch die Formel
Dabei ist x die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr, n die Anzahl der ganzen Jahre und k die Anzahl der weiteren unterjährigen Zinsperioden.
Dass ein Jahr zwei halbe Jahre, vier Quartale und zwölf Monate hat, ist Dir wahrscheinlich klar. Wusstest du aber auch, dass ein Jahr für die Bank genau 360 Tage hat, für jeden Monat 30 Tage?
Auch hierzu schauen wir uns ein Beispiel an.
Aufgabe
Luca leiht sich 1500€ zu einem Jahreszinssatz von 6,5% mit Tageszinsen. Berechne, wie viel Geld Luca nach 10 Tagen zurückzahlen muss.
Lösung
Die wichtigen Werte aus der Angabe sind:
Das Anfangskapital von 1500€ , also
Der Jahreszinssatz p=6,5%=0,065
Die Laufzeit von 10 Tagen
Die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr: 360
Diese Werte können jetzt in die Formel eingesetzt werden:
Luca muss also 1793,93€ zurückzahlen.
Zinsrechnung - Das Wichtigste
- Zinsen sind ein Entgelt, das der Schuldner an den Gläubigen als Gegenleistung dafür zahlt, dass er sich vorübergehend dessen Kapital ausleihen darf.
- Für die Zinsrechnung sind die Parameter Anfangskapital, Endkapital, Zinssatz, Zinseszinsen und Laufzeit von Bedeutung.
- Das Endkapital bei einem Jahreszins mit einfacher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel .
- Das Endkapital bei einem Jahreszins mit jährlicher Verzinsung nach der Laufzeit von n Jahren kann berechnet werden durch die Formel .
- Das Endkapital bei einer unterjährigen Verzinsung ohne Zinseszinsen kann berechnet werden durch die Formel .
- Das Endkapital bei einer unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen kann berechnet werden durch die Formel .
- Zinsen und Endkapital können auch mithilfe des Dreisatzes berechnet werden.
Erklärungen 
Magazine 
wird nun die grüne Formel eingesetzt, die eben bewiesen wurde.
und der Ausdruck 
ausgeklammert werden.
