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Matrizen multiplizieren

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Mathe

In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Matrizenmultiplikation auf sich hat und zeigen dir anhand von Tipps, Tricks und Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Matrizen.

Was ist überhaupt eine Matrix?

Mit Hilfe von Matrizen können Daten strukturiert dargestellt werden. Daten werden meist tabellarisch aufbereitet, wobei diese Informationen auch vereinfacht in Form einer Matrix dargestellt werden können. Eine Matrix setzt sich zusammen aus m Zeilen und n Spalten und ihren Elementen. Eine (m x n)-Matrix hat demnach folgende Form:

Matrizendarstellung:

Die Elemente einer Matrix sind definiert durch reelle Zahlen oder deren Platzhalter. Bei der Angabe, bzw. Schreibweise einer Matrix ist zu beachten, dass zuerst die Zeilennummer und anschließend die Spaltennummer angegeben wird. Beispielsweise findet man das Element in der dritten Zeile und fünften Spalte einer (m x n)-Matrix.

Unter einem Spaltenvektor versteht man eine Matrix mit nur einer Spalte [n=1] und dementsprechend unter einem Zeilenvektor eine Matrix mit nur einer Zeile [m=1].

Die Matrixschreibweise, bzw. die Matrix an sich ist eine kurze, treffende und angenehme Schreibweise für mathematische Probleme, Methoden und Daten. Matrizen können addiert, subtrahiert und multipliziert, jedoch nicht dividiert werden.

Wann benötige ich die Matrizenmultiplikation?

Durch strukturelle Datenaufbereitung können beispielsweise Lineare Gleichungssysteme oder Lineare Abbildungen vereinfacht in Matrixform dargestellt werden. Dadurch lassen sich verschiedene Rechenoperationen mit Matrizen bewerkstelligen. Elementare Rechenoperationen wie Matrizenaddition, Matrizensubtraktion oder Matrizenmultiplikation können unter bestimmten Voraussetzungen ausgeführt werden.

Matrizenaddition und Matrizensubtraktion sind nur möglich, wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten der beiden Matrizen miteinander übereinstimmen. Für die Multiplikation zweier Matrizen A und B muss die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der Matrix B übereinstimmen oder umgekehrt. Zu beachten ist, dass eine Division zweier oder mehrerer Matrizen voneinander in der Mathematik nicht definiert ist!

In Zusammenhang mit den Begriffen „Multiplikation“ und „Matrix“ ist zu beachten, dass eine Matrix A auf unterschiedliche Weise multipliziert werden kann.

Man unterscheidet:

  • Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar (einer Zahl)
    • S-Multiplikation
  • Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
    • Matrix-Vektor-Produkt
  • Die Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix
    • Matrizenmultiplikation

Das Verfahren der Matrizenmultiplikation beschreibt hingegen die multiplikative Verknüpfung von Matrizen und wird beispielsweise eingesetzt bei der Lösung von Linearen Gleichungssystemen oder bei der Verkettung von Linearen Abbildungen.

Werden zwei Matrizen A und B miteinander multipliziert, so entsteht die resultierende Matrix C. Diese Matrix beschreibt das Matrizenprodukt von A und B. Wie die Rechenoperation hinter der Matrizenmultiplikation genau abläuft erfahrt ihr jetzt.

Worauf muss ich bei der Matrizenmultiplikation achten

Matrizen können nur miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmt oder umgekehrt. Dabei wird der Reihe nach die Matrix A mit jedem Spaltenvektor der Matrix B multipliziert. Um die Operation der Matrizenmultiplikation anschaulich zu beschreiben seht ihr im Folgenden die Vorgehensweise bei der Multiplikation einer (3x2)-Matrix mit einer quadratischen (2x2)-Matrix.

Schema:

Gegeben ist die Matrix und die Matrix .

  1. Spaltenvektor:
  2. Spaltenvektor:

Die resultierende Matrix C, das Matrizenprodukt, hat genauso viele Zeilen wie die Matrix A und genauso viele Spalten wie die Matrix B.

Außerdem ist zu beachten, dass für die Matrizenmultiplikation das Kommunikativgesetz nicht gültig ist, d.h

Folgende Rechengesetze sind in Verbindung mit der Matrizenmultiplikation gültig:

  • [A∙E = E∙A = A] für die zugehörige Einheitsmatrizen E
  • [A∙O = E∙O = O] für die Nullmatrix O
  • [(A∙B)∙C = A∙(B∙C)] für das Assoziativgesetz
  • [A∙(B+C) = A∙B+A∙C] für das Distributivgesetz
  • [s∙(A∙B) = (s∙A)∙B = A∙(s∙B) = (A∙B)∙s] für Skalare s∈R

Im Folgenden sehen wir jetzt die Vorgehensweise bei der Matrizenmultiplikation anhand eines Beispiels nach dem Falk-Schema.

Matrizenmultiplikation – Anwendung und Übung

Da man in der Schulmathematik bei der Matrizenmultiplikation zum besseren Verständnis in der Regel das Schema nach Falk anwendet, sehen wir jetzt ein Beispiel. Das Falksche Schema beschreibt sich über eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Berechnung bietet. Im Folgenden wird eine (3x2)-Matrix mit einer quadratischen (2x2)-Matrix multipliziert. Wir starten Step by Step mit dem Rechenweg und einem Funktionsbeispiel.

Matrizenmultiplikation – Funktionsbeispiel nach dem Falkschen Schema

Um die Matrizenmultiplikation optimal nachvollziehen zu können, stellen wir jetzt ein Kochrezept, das Falksche Schema, für den Rechenweg anhand eines Funktionsbeispiels vor:

Rechenweg und Funktionsbeispiel:

Gegeben ist die Matrix und die Matrix .

  • Im ersten Schritt wird das Falsche Schema aufgestellt, indem die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben werden.

  • Im zweiten Schritt wird die erste Zeile von A elementarweise mit der ersten Spalte von B multipliziert und man erhält das Element.

  • Im dritten Schritt wird die zweite Zeile von A elementarweise mit der ersten Spalte von B multipliziert und man erhält das Element .

  • Im vierten Schritt wird die dritte Zeile von A elementarweise mit der ersten Spalte von B multipliziert und man erhält das Element .

  • Im fünften Schritt wird die erste Zeile von A elementarweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert und man erhält das Element .

  • Im sechsten Schritt wird die zweite Zeile von A elementarweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert und man erhält das Element .

  • Im siebten Schritt wird die dritte Zeile von A elementarweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert und man erhält das Element .

Das Matrixprodukt Matrix kann durch diese Rechenschritte demnach einfach bestimmt werden. Zu beachten ist das beliebige Matrizen jeglicher Form und Größe nach diesem Schema multipliziert werden können, solange die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt oder umgekehrt.

Gratuliere! Wenn du alle erklärten Schritte logisch nachvollziehen kannst und du die Grundlagen der Matrizenmultiplikation verstehst, so bist du jetzt Experte was das Grundrechnen mit Matrizen betrifft und dir werden einige mathematischen Operationen die im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen werden mit Sicherheit leichter fallen!

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Matrizenmultiplikation in einer Checkliste zusammengefasst.

Matrizenmultiplikation - Alles Wichtige auf einen Blick

Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit der du Schritt für Schritt deinen Weg zur Berechnung eines Matrixprodukts überprüfen kannst.

  • Step1: Schreibe die zu multiplizierenden Matrizen höhenversetzt und nach dem Falkschen Schema nebeneinander auf.
  • Step2: Multipliziere die erste Zeile der ersten Matrix elementarweise mit der ersten Spalte der zweiten Matrix 1. Spaltenreihe
  • Step3: Führe dieses Schema mit allen relevanten Zeilen (m-Zeilen) der ersten Matrix und der ersten Spalte der zweiten Matrix durch.
  • Step4: Multipliziere die erste Zeile der ersten Matrix elementarweise mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix -> 2. Spaltenreihe
  • Step5: Führe dieses Schema mit allen relevanten Zeilen (m-Zeilen) der ersten Matrix und der zweiten Spalte der zweiten Matrix durch.
  • Step6: Multipliziere die erste Zeile der ersten Matrix elementarweise mit allen relevanten Spalten der zweiten Matrix bis zur letzten spalte (n-Spalte)
  • Step7: Führe dieses Schema mit allen relevanten Zeilen (m-Zeilen) der ersten Matrix und mit allen relevanten spalten (n-spalten) der zweiten Matrix durch.

FERTIG!

Glückwunsch, du hast den schwierigsten Teil geschafft. Du weißt jetzt wie eine Matrizenmultiplikation funktioniert.

Natürlich verhält es sich mit der Matrizenmultiplikation wie mit anderen mathematischen Methoden auch. Du musst üben, üben, üben ...

Übungsaufgaben und hilfreiche Literatur zum Thema Matrizenmultiplikation findest du deshalb hier. (Link: https://studysmarter.de/…)

Unsere Empfehlung

Es ist unheimlich wichtig, dass du die Grundrechenarten in Zusammenhang mit Matrizen beherrscht. Du musst problemlos in der Lage sein, Matrizen miteinander addieren und voneinander subtrahieren zu können. Wenn du dich bei der Multiplikation von Matrizen noch unsicher fühlst, so mache dich zuerst mit der s-Multiplikation und dem Matrix-Vektor-Produkt vertraut.

Zusammenfassung

Bei der Matrizenmultiplikation werden gleichzeitig zwei oder nacheinander mehrere Matrizen miteinander multipliziert. Für die Multiplikation zweier Matrizen A und B muss die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der Matrix B übereinstimmen oder umgekehrt. In der Schulmathematik wird die Berechnung in der Regel vereinfacht nach dem Falkschen Schema durchgeführt.

Bei Fragen nutzt gerne auch unseren Kommentarbereich! Weitere Übungsaufgaben findet ihr in den kostenlosen* Inhalten von STARK und in unseren weiterführenden Karteikarten zu diesem und vielen weiteren Themen!

INSIDER TIPP

“ Hey, cool das du dich für das Thema Matrizenmultiplikation interessierst! Wusstest du, dass zwei Matrizen miteinander addiert, multipliziert und voneinander subtrahiert, jedoch nicht dividiert werden können? Die Division von Matrizen ist nämlich mathematisch nicht definiert. Mehr Infos dazu findest du auf dieser Learning Page! Bei Fragen nutze gerne auch unseren Kommentarbereich! Check it out! ”

Leon Jerg

StudySmarter Institute


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