Maßstäbe treten in unserem Alltag in unterschiedlichen Formen auf. Du nimmst sie nur nicht direkt wahr, weil es für Dich schon selbstverständlich erscheint, dass Berlin und Köln keine, wie es auf der Landkarte erscheint, 3 cm voneinander entfernt sind, sondern etwa 480 km. Dass eine technische Zeichnung auf einem DIN-A4-Blatt von einem Wolkenkratzer nicht der tatsächlichen Größe des Gebäudes entspricht, liegt an dem Maßstab. Der Maßstab setzt die Größen der realen Welt mit unseren Landkarten oder Zeichnungen ins Verhältnis. Es gibt an, wie groß etwas in Wirklichkeit ist.
Maßstab - Definition & Formel
Schau Dir zuerst die Definition des Maßstabes an.
Ein Maßstab setzt die Größen einer Nachbildung, z.B. auf einer Landkarte, mit den Größen in der Wirklichkeit ins Verhältnis.
Ein Verhältnis zwischen zwei Größen wird über einen Doppelpunkt (öfter auch als Bruch) dargestellt.
Als Nächstes kannst Du anhand eines Beispiels verinnerlichen, wie die beiden Größen miteinander in Verbindung stehen.
Maßstab: 1 : 32
Ein Zentimeter einer nachgebildeten Größe entsprechen in Wirklichkeit 32 cm.
Ein nachgebautes Modell eines VW-Busses wäre somit 32-mal kleiner als das Original.
Einfachheitshalber wird eine der beiden Größen als 1 definiert. Das Verhältnis lässt sich dadurch besser nachvollziehen.
Abb. 2 - Ein Modellauto im Vergleich zum Original
Die Einheiten werden üblicherweise in cm angegeben. Die erste Zahl gibt die Größe des nachgebildeten Objektes wieder und die zweite Zahl die der Wirklichkeit.
Ein Maßstab von 1:5 bedeutet, dass 1 cm auf unserer Zeichnung 5 cm in der Wirklichkeit entsprechen.
Ein Maßstab von 5:1 dagegen bedeutet, dass 5 cm auf unserer Zeichnung 1 cm in der Wirklichkeit entsprechen.
Unser nachgebildetes Modell ist in dem Fall größer als in der Wirklichkeit. Zur Verdeutlichung sind in der nachfolgenden Tabelle einige Maßstäbe angegeben:
| Maßstab | Nachgebildete Größe (z. B. Zeichnung) | Wirklichkeit |
| 1 : 100 | 1 cm | 100 cm 1 m |
| 2 : 5.000 | 2 cm | 5.000 cm 50 m |
| 10 : 1.000.000 | 10 cm | 1.000.000 cm 10.000 m |
| 30 : 200.000 | 30 cm | 200.000 cm 2.000 m |
| 400 : 1 | 400 cm | 1 cm |
Maßstab berechnen - Erklärung
Einheiten lassen sich je nach Sachverhalt beliebig umformen. Dies ist besonders bei größeren Zahlen bzw. Maßstäben sinnvoll. In der Erklärung Größen und Einheiten hast Du bereits kennengelernt, dass man 100 cm auch als 1 Meter schreiben kann. Genauso wie man 0,1 cm auch als 1000 Mikrometer schreiben kann. Je nach Problemstellung kann es von Vorteil sein, die Einheiten umzurechnen.
Um den 368 Meter großen Berliner Fernsehturm auf ein DIN-A4-Blatt maßstabgetreu abzubilden, benötigt man einen Maßstab von etwa 1:1.300. Ein Zentimeter auf dem DIN-A4-Blatt entsprechen 1.300 cm bzw. 13 m in Wirklichkeit.
Umrechnung von Zentimetern in Metern
Maßstab berechnen - Dreisatz
Bei einem Maßstab von 8:200.000 kannst Du direkt ablesen, dass 8 cm in Wirklichkeit 200.000 cm entsprechen. Wenn Du wissen möchtest, wie viel z.B. 6 cm auf Deiner Zeichnung (oder auf einem anderen nachgebildeten Objekt) in Wirklichkeit entsprechen, verwendest Du den Dreisatz.
Bei der Anwendung des Dreisatzes werden beide Größen des Maßstabes mit dem gleichen Faktor multipliziert, sodass am Ende die interessierende Größe direkt aus dem Maßstab ablesbar ist. Vorher multipliziert oder dividiert man jedoch die beiden Größen so, dass man einfacher an die gesuchte Größe kommt.
Schau Dir dafür das folgende Beispiel an:
8 cm auf unserer Zeichnung entsprechen 200.000 cm (auch 2000 m) in Wirklichkeit. Um zu wissen, wie viel 6 cm auf der Zeichnung entsprechen, verwendet man den Dreisatz und multipliziert bzw. dividiert beide Seite zuerst mit einem Faktor, sodass auf einer Seite eine 1 stehen bleibt.
In dem Fall dividierst Du beide Seiten des Maßstab 8:200.000 mit der Zahl 8 und erhältst den gleichen Maßstab nur umgeformt zu 1:25.000. Damit lässt sich der gesuchte Maßstab im zweiten Schritt einfacher berechnen.
Im zweiten Schritt multiplizierst Du den neuen Maßstab 1:25.000 mit dem Faktor 6 und erhältst den Maßstab 6:150.000. Die gesuchte Größe lässt sich nun aus Deinem Ergebnis direkt ablesen.
Demnach entsprechen 6 cm auf unserer Zeichnung 150.000 cm in Wirklichkeit.
Alle Maßstäbe in der Rechnung besitzen die gleiche Information. Das Verhältnis zwischen nachgebildeter Größe und die Größe in der Wirklichkeit bleibt unverändert.
Maßstab berechnen - Übungen
Du weißt jetzt, wofür Maßstäbe gebraucht werden und wie man sie umrechnet. Um das Rechnen mit Maßstäben zu üben und Dein Wissen auf die Probe zu stellen, kannst Du die unten stehenden Aufgaben lösen.
Aufgabe 1
Berlin und Köln haben auf einer Landkarte eine Entfernung von 6 cm. Der Kartenmaßstab beträgt 1:8.000.000 Wie weit liegen die beiden Städte in der Wirklichkeit voneinander entfernt. Gib das Ergebnis in km an.
Lösung
Um zu wissen, wie viel 6 cm auf der Landkarte in der Wirklichkeit entsprechen, kannst Du den Maßstab umrechnen.
Multipliziere dafür beide Seiden mit dem Faktor 6. Du erhältst 6:48.000.000.
6 cm auf der Landkarte entsprechen 48.000.000 cm in der Wirklichkeit. Jetzt musst Du nur noch 48.000.000 cm in km umrechnen.
Die beiden Städte liegen 480 km voneinander entfernt.
Aufgabe 2
Du möchtest eine maßstabgetreue Zeichnung des 300 Meter hohen Eiffelturm anfertigen. Der Maßstab, mit dem Du arbeitest, beträgt 1:1.200. Wie hoch wird der Eiffelturm in Deiner Zeichnung?
Lösung
Uns interessiert die Größe auf unserem nachgebildetem Objekt (der Zeichnung). Die erste Zahl in einem Maßstab gibt diese Größe an.
Ein Maßstab von 1:1.200 bedeutet, dass 1 cm auf unserer Zeichnung 1200 cm bzw. 12 m in Wirklichkeit entsprechen. Um zu wissen, wie groß Deine Zeichnung sein wird, um den 300 Meter hohen Eiffelturm zu zeichnen, musst Du den Maßstab umformen.
Dafür multiplizierst Du wieder beide Seiten des Maßstabes mit einem Faktor. Davor musst Du aber noch den Faktor, mit dem Du beide Seiten multiplizieren möchtest, herausfinden.
Als Ergebnis erwarten wir 300 m also 30.000 cm. Teilst Du die 30.000 cm durch die 1.200 weißt Du, wie groß der Faktor sein muss.
Wie viel sind 300 m in cm?
Mit wie viel muss ich mit 1.200 multiplizieren, damit 30.000 herauskommt?
Maßstab umformen
Aus dem umgeformten Maßstab kannst Du nun ablesen, dass der 30.000 cm hohe Eiffelturm auf der Zeichnung eine Höhe von 25 cm haben muss.
Aufgabe 3
Eine 2-Euro-Münze hat einen Durchmesser von etwa 26 mm. Die Münze wird mit einem Durchmesser von 130 mm auf ein Blatt Papier gezeichnet. Mit welchem Maßstab wurde gezeichnet.
Lösung
Der Maßstab beträgt 130:26 (in mm) bzw. 13:2,6 (in cm)
Maßstab berechnen - Das Wichtigste
Maßstäbe geben das Verhältnis zwischen nachgebildeten und den entsprechenden Größen in der Wirklichkeit an
Ein Maßstab von 1:50.000 bedeutet, dass 1 cm auf einer Zeichnung 50.000 cm in Wirklichkeit entsprechen
Maßstäbe lassen sich über den Dreisatz umrechnen, indem beide Seiten mit einem Faktor multipliziert bzw. dividiert werden. Das Verhältnis bleibt dabei gleich.
Größen und Einheiten können umgerechnet werden.
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