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Quersumme

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Quersumme

365 Tage im Jahr rechnest Du im Alltag und im Matheunterricht mit Zahlen. Heute allerdings sind diese Zahlen nicht nur irgendwelche Zahlen, sie werden quer gelesen und es wird eine Summe daraus berechnet. Mithilfe der Quersumme werden Zahlen mal aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und dabei nützliche Hilfestellungen für das Bruchrechnen und Dividieren gebildet.

Quersumme Beispiel StudySmarterAbbildung 1: Quersumme

Was ist eine Quersumme? – Definition

Wie der Name Quersumme schon sagt, arbeitest Du Dich quer durch die Zahl (von links nach rechts) und summierst dabei alle einzelnen Ziffern der Zahl miteinander.

Die Quersumme Q(n) ist die Summe aller Ziffern einer Zahl n.

Am Beispiel der Zahl 124 kannst Du Dich einmal quer durcharbeiten.

Um die Quersumme Q der Zahl zu bilden, kannst Du Dich an ihrem Namen orientieren.

Quer – Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.

Summe – Bilde die Summe dieser Ziffern.

Schon ist die Quersumme der Zahl 124 gefunden. Sie beträgt Q=7.

Mit jeder anderen Zahl klappt das ganz genauso.

Aufgabe 1

Bilde die Quersumme der Zahl... .

Lösung

Zu 1.

Auch diese große Zahl wird zunächst quer, mit Abstand zwischen den Zahlen, hingeschrieben.

Weiter geht es, indem Du Pluszeichen zwischen die Zahlen einfügst und somit die Summe dieser Zahlen bildest.

Zu 2.

Quer und mit Abstand aufschreiben.

Summe der Ziffern bilden.

Zu 3.

Und ein weiteres Mal: Quer Aufschreiben und dabei ein wenig Abstand lassen.

Pluszeichen einfügen und die Summe der Zahlen bilden.

Bei dem Ergebnis einer Quersumme handelt es sich immer um natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen). Eine Ausnahme gibt es bei negativen Zahlen (siehe unten).

Quersumme bilden – Regeln

Für ein paar besondere Fälle der Quersummenbildung gelten folgende Regeln.

Quersumme von einzelnen Zahlen

Wenn eine Zahl mit mehreren Ziffern vorliegt, kannst Du die Summe dieser Ziffern bilden.

Wie sieht es aber bei einer Zahl aus, die überhaupt nur eine Ziffer besitzt? In diesem Fall ist diese Zahl auch gleichzeitig die Quersumme und es muss keine Summe berechnet werden.

Bei einziffrigen Zahlen entspricht die Zahl der Quersumme.

Dieser Grundsatz gilt für die Zahlen null bis neun.

Aufgabe 2

Wie lautet die Quersumme der Zahl 6?

Lösung

Die Zahl 6 ist eine einziffrige Zahl, das heißt, sie besteht nur aus einer einzigen Ziffer (6). Die Quersumme entspricht dieser Ziffer, deshalb ist die gesuchte Quersumme .

Quersumme von negativen Zahlen

Bisher hast Du nur die Quersumme von positiven Zahlen berechnet.

Doch was ändert sich, wenn Du mal eine negative Zahl vor Dir hast? Das ändert an der Berechnung der Quersumme erstmal nicht viel, allerdings ist die Quersumme insgesamt am Ende negativ.

Eine negative Zahl besitzt eine negative Quersumme.

Quersumme Quersumme negativer Zahlen StudySmarter

Geht es um die Quersumme einer negativen Zahl, berechnest Du die Quersumme nach dem bekannten Vorgehen und setzt vor die Summe ein Minuszeichen.

Aufgabe 3

Wie lautet die Quersumme der Zahl ?

Lösung

Schritt 1 bleibt unverändert, Du schreibst alle Ziffern mit ein wenig Abstand nebeneinander auf. Das negative Vorzeichen bleibt (ebenfalls mit Abstand) vor der Zahl stehen.

Auch im zweiten Schritt ist das Vorgehen gleich. Du schreibst die Pluszeichen zwischen die Ziffern und setzt diesmal aber die gesamte Summe in eine Klammer.

Alternierende Quersumme bestimmen

Neben der bereits bekannten Quersumme gibt es auch noch die alternierende Quersumme.

Die alternierende Quersumme bezeichnet das Ergebnis der abwechselnden Subtraktion und Addition der einzelnen Ziffern von der kleinsten (Einer-) Stelle bis zur höchsten Stelle.

Auch hierbei kannst Du in zwei Schritten vorgehen, die sich allerdings von den obigen unterscheiden.

Für die Zahl ergibt sich also eine zweite alternierende Quersumme.

Schritt 1:

Bei der alternierenden Quersumme nimmst Du einen alternativen Weg, und schreibst die Ziffern der Zahl in umgekehrter Reihenfolge mit Abstand auf. Das heißt, die Einer-Stelle (4) kommt ganz vorne hin, die höchste Stelle der Zahl (hier: Hunderter) steht am Ende.

Schritt 2:

Die alternierende Quersumme ist in diesem Sinne auch keine Summe mehr, da die Zahlen jetzt abwechselnd subtrahiert und addiert werden. Das bedeutet, Du setzt zunächst ein Minuszeichen ein, dann ein Pluszeichen, dann wieder Minus, dann wieder Plus und so weiter.

Das Ergebnis dieser Rechnung ergibt die alternierende Quersumme.

Dieses Vorgehen lässt sich jetzt ebenfalls auf jede andere Zahl anwenden.

Aufgabe 4

Bilde die alternierende Quersumme der Zahl .

Lösung

1. Schritt: Du nimmst den alternativen Weg und schreibst die Ziffern mit ein wenig Abstand in umgekehrter Reihenfolge auf.

2. Schritt: Nun setzt Du abwechselnd Minus- und Pluszeichen ein und berechnest den Wert der alternierenden Quersumme.

Die alternierende Quersumme dieser Zahl ist also .

Du siehst also, dass bei der alternierenden Quersumme auch negative Zahlen herauskommen können.

Hier ist das gesamte Spektrum der ganzen Zahlen als Lösungsmenge möglich.

Anwendung der Quersumme – Regeln der Teilbarkeit

Wie man die Quersumme einer Zahl berechnet, ist nun klar. Doch auch die Verwendung der Quersumme ist wichtig und kann Dir das Leben beim Dividieren und Rechnen mit Brüchen vereinfachen.

Die Quersumme ist ein wichtiger Teil einiger Teilbarkeitsregeln.

Die Teilbarkeitsregeln geben Dir einige Hilfestellungen, um die Teiler einer größeren Zahl zu finden.

In der folgenden Tabelle sind die grundlegenden Regeln aufgelistet.

TeilbarkeitRegelBeispiel
durch 2wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6,8 ist. 224 ist eine gerade Zahl. Also ist 224 durch 2 teilbar.
durch 3wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Die Quersumme von 63 ist 9. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist 63 durch 3 teilbar.
durch 4wenn ihre letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind.Die letzten zwei Ziffern von 2216 sind durch 4 teilbar. Also ist 2216 auch durch 4 teilbar.
durch 5wenn die letzte Zahl eine 5 oder 0 ist.Die letzte Ziffer von 235 ist eine 5. Also ist 235 durch 5 teilbar.
durch 6wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Die Quersumme von 246 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer ist gerade. Also ist 246 durch 6 teilbar.
durch 7 Hierfür gibt es keine allgemeine Regel. Meist ist es einfacher, die Zahl direkt zu dividieren.
durch 8wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind.Die letzten drei Ziffern von 32024 sind 024. 24 ist durch 8 teilbar. Also ist 32024 durch 8 teilbar.
durch 9 wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.Die Quersumme von 2439 ist 18. 18 ist durch 9 teilbar. Also ist 2439 auch durch 9 teilbar.
durch 10wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.Die letzte Ziffer von 210 ist eine 0. Also ist 210 durch 10 teilbar.

Für die markierten Teilbarkeitsregeln zu den Zahlen 3, 6 und 9 ist die Quersumme von Bedeutung. Diese werden im Folgenden genauer beschrieben.

Teilbarkeitsregel von 3

Mithilfe der Quersumme einer Zahl kannst Du herausfinden, ob sie durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Das Vorgehen, um 3 als Teiler einer Zahl zu finden, ist also Folgendes:

  • Quersumme bilden
  • Quersumme durch 3 teilen

Bleibt dabei ein Rest, ist auch die Zahl nicht ohne Rest durch 3 teilbar. Geht die Rechnung auf, kannst Du die Zahl durch 3 teilen.

Aufgabe 5

Finde heraus, ob die Zahl durch 3 teilbar ist.

Lösung

Auf den ersten Blick kannst Du schon mal nicht erkennen, durch welche Zahlen teilbar ist. Deshalb setzt Du auf die Teilbarkeitsregeln.

1. Schritt: Quersumme bilden.

2. Schritt: Die Quersumme durch 3 teilen.

Die Rechnung geht ohne Rest auf. Das bedeutet, die Zahl ist durch 3 teilbar.

Teilbarkeitsregel von 6

Bei der 6 als Teiler einer Zahl, musst Du mehrere Dinge beachten.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Diese Punkte solltest Du dabei prüfen:

  • letzte Ziffer der Zahl muss gerade sein
  • Quersumme bilden und durch 3 teilen

Aufgabe 6

Ist die Zahl durch 6 teilbar?

Lösung

Auch diese Zahl kann nicht auf den ersten Blick als Vielfaches von 6 identifiziert werden. Wende deshalb die Teilbarkeitsregel an.

1. Schritt: Sieh Dir die letzte Ziffer genauer an, hier eine 8. Die 8 ist eine gerade Zahl, damit ist der erste Teil der Regel erfüllt.

2. Schritt: Bilde die Quersumme und teile diese dann durch 3. Geht das auf, ist die Zahl durch 6 teilbar.

Auch der zweite Teil ist erfüllt und 528 ist somit durch 6 teilbar!

Teilbarkeitsregel von 9

Bei der Teilbarkeit durch 9 kannst Du Dich wieder voll auf die Quersumme verlassen.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Das Vorgehen ist demnach ähnlich wie bei der Teilbarkeit durch 3:

  • Quersumme bilden
  • Quersumme durch 9 teilen

Aufgabe 7

Gib an, ob ein Vielfaches der Zahl 9 ist.

Lösung

Schritt 1: Quersumme bilden.

Schritt 2: Quersumme durch 9 teilen.

Die Bedingung ist erfüllt, 2079 ist also ein Vielfaches der Zahl 9.

Teilbarkeitsregel von 11

Zur Untersuchung der Teilbarkeit einer Zahl durch 11 hilft Dir die alternierende Quersumme.

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Beginne also direkt mit diesen Schritten:

  • alternierende Quersumme bilden
  • Ergebnis der alternierenden Quersumme durch 11 teilen

Aufgabe 8

Bestimme mithilfe der Teilbarkeitsregel, ob die Zahl durch 11 teilbar ist.

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, benötigst Du die alternierende Quersumme.

Zur Erinnerung: Bei der alternierenden Quersumme werden die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben und dann abwechselnd subtrahiert und addiert. Genaueres kannst Du dazu oben nachlesen.

Schritt 1: Alternierende Quersumme bilden.

Schritt 2: Das Ergebnis dieser Rechnung durch 11 teilen.

Diese Rechnung geht auf, das heißt, die Zahl ist durch 11 teilbar.

Quersumme berechnen – Übungsaufgaben

Jetzt bist Du dran! Anhand der folgenden Aufgaben kannst Du den Stoff einüben.

Aufgabe 9

Berechne die Quersumme der Zahl...

a)

b)

c)

d)

Lösung

Zu a)

Schritt 1: Schreibe die Zahlen mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.

Schritt 2: Füge Pluszeichen zwischen den Zahlen ein und berechne die Summe.

Die Quersumme der Zahl 937 ist 19.

Zu b)

Schreibe die Zahlen mit Abstand auf, füge die Pluszeichen hinzu und addiere die Ziffern.

Die Quersumme der Zahl 1433 ergibt einen Wert von 11.

Zu c)

Zahlen aufschreiben, Pluszeichen einfügen, berechnen.

Die Zahl 12 ist die Quersumme der Ziffer .

Zu d)

Hier ist die Zahl negativ. Das heißt, Du schreibst die Zahlen mit Abstand auf und lässt das Minuszeichen vor der Zahl stehen.

Dann fügst Du Pluszeichen zwischen die Ziffern ein und setzt die Summe in Klammern.

Die Quersumme der Zahl -2100 ist -3.

Quersumme – Das Wichtigste

  • Die Quersumme Q(n) ist die Summe aller Ziffern einer Zahl n.
  • Quersumme bilden:
    • Quer – Schreibe dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.
    • Summe – Bilde die Summe dieser Ziffern.
  • Bei einziffrigen Zahlen entspricht die Zahl der Quersumme.

  • Eine negative Zahl besitzt eine negative Quersumme.

  • Teilbarkeitsregeln:

    • Teilbarkeitsregel von 3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
    • Teilbarkeitsregel von 6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

    • Teilbarkeitsregel von 9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quersumme

Beim Bilden der Quersumme orientierst Du Dich an ihrem Namen.

Quer - Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf (z. B. 1  2  4).


Summe - Bilde die Summe dieser Ziffern (z.B. 1+2+4=7).

Die kleinste Quersumme ist die der Zahl 0, sie beträgt null.

Die Quersumme ist die Summe aller einzelnen Ziffern einer Zahl. Sie wird gebildet, indem Du zunächst die Ziffern der Zahl nebeneinander aufschreibst und diese dann zusammen addierst.

Die Quersumme Q(n) ist die Summe aller Ziffern einer Zahl n.

Finales Quersumme Quiz

Frage

Bilde die Quersumme der Zahl 3185.

Antwort anzeigen

Antwort

Quer - Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.




Summe - Bilde die Summe dieser Ziffern.



Die Quersumme ist also 17.

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die Quersumme der Zahl 999?

Antwort anzeigen

Antwort

Quer - Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.


 


Summe - Bilde die Summe dieser Ziffern.


 


Die Quersumme der Zahl 999 ist also 27.

Frage anzeigen

Frage

Die Quersumme der einziffrigen Zahl 1 lautet...

Antwort anzeigen

Antwort

0

Frage anzeigen

Frage

Welche Regel gilt für die Quersumme einzelner/einziffriger Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einziffrigen Zahlen entspricht die Zahl der Quersumme. 

Also zum Beispiel ist die Quersumme der Zahl 6: Q(6)=6.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt immer für die Quersumme negativer Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine negative Zahl besitzt immer eine negative Quersumme.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Quersumme der Zahl -7815 an.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: Du schreibst alle Ziffern mit ein wenig Abstand nebeneinander auf. Das negative Vorzeichen bleibt (ebenfalls mit Abstand) vor der Zahl stehen.


 


Schritt 2: Du schreibst die Pluszeichen zwischen die Ziffern und setzt die gesamte Summe in eine Klammer.


Frage anzeigen

Frage

Bilde die alternierende Quersumme der Zahl 92 748.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Du nimmst den alternativen Weg und schreibst die Ziffern mit ein wenig Abstand in umgekehrter Reihenfolge auf.



2. Schritt: Nun setzt Du abwechselnd Minus- und Pluszeichen ein und berechnest den Wert der alternierenden Quersumme.



Frage anzeigen

Frage

Für welche Teilbarkeitsregeln wird die Quersumme benötigt?

Antwort anzeigen

Antwort

Teilbarkeitsregel von 6

Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 945 durch 3 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Teilbarkeit von 3 gilt folgende Regel:

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.


Schritt 1: Quersumme bilden.




Schritt 2: Quersumme durch 3 teilen



Die Rechnung geht auf. 945 ist also durch 3 teilbar!

Frage anzeigen

Frage

Finde heraus, ob die Zahl 4928 durch 9 teilbar ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gilt: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.


Schritt 1: Quersumme bilden.




Schritt 2: Quersumme durch 9 teilen.


 


Die Rechnung geht nicht restlos auf, die Zahl ist also nicht durch 9 teilbar!

Frage anzeigen

Frage

Kann man 200 004 durch 6 teilen?

Antwort anzeigen

Antwort

Für das Teilen durch 6 gilt: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.


Schritt 1: Sieh Dir die letzte Ziffer an. Hier ist das eine 4, eine gerade Zahl. Damit ist der erste Teil der Regel erfüllt.


Schritt 2: Bilde die Quersumme und teile diese dann durch 3. Geht das auf, ist die Zahl durch 6 teilbar.



Die Rechnung geht auf, damit ist die Zahl durch 6 teilbar.

Frage anzeigen

Frage

Ist 11 ein Teiler der Zahl 5808?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Zahl 11 gibt es eine besondere Teilbarkeitsregel: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.


Schritt 1: Alternierende Quersumme bilden.




Schritt 2: Das Ergebnis dieser Rechnung durch 11 teilen.



Die Zahl 11 ist ein Teiler der angegebenen Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Gib eine Zahl an, deren Quersumme den Wert 12 besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Hier kannst Du natürlich beliebige Ziffern wählen, die addiert 12 ergeben, und sie zu einer Zahl zusammen setzen.


Als zweistellige Zahlen wären zum Beispiel möglich:


Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Zahlen besitzt eine Quersumme mit dem Wert 14?

Antwort anzeigen

Antwort

7 007

Frage anzeigen

Frage

Kreuze alle Zahlen mit einer Quersumme von 25 an:

Antwort anzeigen

Antwort

9367

Frage anzeigen
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