\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)365 Tage im Jahr rechnest Du im Alltag und im Matheunterricht mit Zahlen. Heute allerdings sind diese Zahlen nicht nur irgendwelche Zahlen, sie werden quer gelesen und es wird eine Summe daraus berechnet. Mithilfe der Quersumme werden Zahlen mal aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und dabei nützliche Hilfestellungen für das Bruchrechnen und Dividieren gebildet.
Abb. 1 - Die Querstumme der Zahl 365 ist 14.
Was ist eine Quersumme? – Definition
Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Das bedeutet, um die Quersumme zu berechnen, musst Du die einzelnen Ziffern aus der Deine Zahl besteht zusammenrechnen.
Die Zahl \(365\) besteht aus den Ziffern 3; 6 und 5. Die Quersumme entspricht der Summe dieser Zahlen, also \[3+6+5 = 14\]
Quersumme berechnen
Die Quersumme einer Zahl berechnest Du durch Aufaddieren ihrer Ziffern. Negative Zahlen haben dabei auch negative Quersummen.
- Schreibe dafür die Ziffern Deiner Zahl auf
- Addiere alle Ziffern
- Das Ergebnis ist die Quersumme
Die Quersumme von 1337 berechnest Du wie folgt.
Sie besteht aus den Ziffern 1, 3, 3 und 7. Ihre Summe lautet \[1+3+3+7 = 14\]
Die Quersumme von 1337 ist 14.
Quersumme von negativen Zahlen
Eine negative Zahl besitzt eine negative Quersumme. Du addierst auch bei der Quersumme einer negativen Zahl alle ihre Ziffern. Zusätzlich setzt Du vor die Summe ein Minus-Symbol:
\[-432 \rightarrow -(4+3+2)=-9\]
Quersummen von negativen Zahlen berechnen sich also genauso wie die von positiven Zahlen, nur mit dem Unterschied, dass sie selbst negative Zahlen sind.
Alternierende Quersumme
Die alternierende Quersumme bezeichnet das Ergebnis der abwechselnden Subtraktion und Addition der einzelnen Ziffern von der kleinsten (Einer-) Stelle bis zur höchsten Stelle.
Auch hierbei kannst Du in zwei Schritten vorgehen, die sich allerdings von den obigen unterscheiden.
Für die Zahl ergibt sich also eine zweite alternierende Quersumme.
Schritt 1:
Bei der alternierenden Quersumme nimmst Du einen alternativen Weg, und schreibst die Ziffern der Zahl in umgekehrter Reihenfolge mit Abstand auf. Das heißt, die Einer-Stelle (4) kommt ganz vorne hin, die höchste Stelle der Zahl (hier: Hunderter) steht am Ende.
Schritt 2:
Die alternierende Quersumme ist in diesem Sinne auch keine Summe mehr, da die Zahlen jetzt abwechselnd subtrahiert und addiert werden. Das bedeutet, Du setzt zunächst ein Minuszeichen ein, dann ein Pluszeichen, dann wieder Minus, dann wieder Plus und so weiter.
Das Ergebnis dieser Rechnung ergibt die alternierende Quersumme.
Dieses Vorgehen lässt sich jetzt ebenfalls auf jede andere Zahl anwenden.
Aufgabe 4
Bilde die alternierende Quersumme der Zahl .
Lösung
1. Schritt: Du nimmst den alternativen Weg und schreibst die Ziffern mit ein wenig Abstand in umgekehrter Reihenfolge auf.
2. Schritt: Nun setzt Du abwechselnd Minus- und Pluszeichen ein und berechnest den Wert der alternierenden Quersumme.
Die alternierende Quersumme dieser Zahl ist also .
Du siehst also, dass bei der alternierenden Quersumme auch negative Zahlen herauskommen können.
Hier ist das gesamte Spektrum der ganzen Zahlen als Lösungsmenge möglich.
Teilbarkeitsregel von 11
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Anwendung der Quersumme – Regeln der Teilbarkeit
Die Verwendung der Quersumme kann Dir das Leben beim Dividieren und Rechnen mit Brüchen vereinfachen.
Die Quersumme ist ein wichtiger Teil einiger Teilbarkeitsregeln.
Die Teilbarkeitsregeln geben Dir einige Hilfestellungen, um die Teiler einer größeren Zahl zu finden.
In der folgenden Tabelle sind die grundlegenden Regeln aufgelistet, die mit der Quersumme zusammenhängen.
| Teilbarkeit | Regel | Beispiel |
| durch 3 | wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. | Die Quersumme von 63 ist 9. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist 63 durch 3 teilbar. |
| durch 6 | wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. | Die Quersumme von 246 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer ist gerade. Also ist 246 durch 6 teilbar. |
| durch 9 | wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. | Die Quersumme von 2439 ist 18. 18 ist durch 9 teilbar. Also ist 2439 auch durch 9 teilbar. |
Für einen Überblick zu allen Teilbarkeitsregeln, wirf einen Blick in unsere Erklärung „Teilbarkeitsregeln“!
Quersumme berechnen – Übungsaufgaben
Jetzt bist Du dran! Anhand der folgenden Aufgaben kannst Du den Stoff einüben.
Berechne die Quersumme der Zahl...
a)
b)
c)
d)
Lösung
Zu a)
Schritt 1: Schreibe die Zahlen mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.
Schritt 2: Füge Pluszeichen zwischen den Zahlen ein und berechne die Summe.
Die Quersumme der Zahl 937 ist 19.
Zu b)
Schreibe die Zahlen mit Abstand auf, füge die Pluszeichen hinzu und addiere die Ziffern.
Die Quersumme der Zahl 1433 ergibt einen Wert von 11.
Zu c)
Zahlen aufschreiben, Pluszeichen einfügen, berechnen.
Die Zahl 12 ist die Quersumme der Ziffer .
Zu d)
Hier ist die Zahl negativ. Das heißt, Du schreibst die Zahlen mit Abstand auf und lässt das Minuszeichen vor der Zahl stehen.
Dann fügst Du Pluszeichen zwischen die Ziffern ein und setzt die Summe in Klammern.
Die Quersumme der Zahl -2100 ist -3.
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