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Quersumme

\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)365 Tage im Jahr rechnest Du im Alltag und im Matheunterricht mit Zahlen. Heute allerdings sind diese Zahlen nicht nur irgendwelche Zahlen, sie werden quer gelesen und es wird eine Summe daraus berechnet. Mithilfe der Quersumme werden Zahlen mal aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und dabei nützliche Hilfestellungen für das…

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Quersumme

Quersumme
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\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)365 Tage im Jahr rechnest Du im Alltag und im Matheunterricht mit Zahlen. Heute allerdings sind diese Zahlen nicht nur irgendwelche Zahlen, sie werden quer gelesen und es wird eine Summe daraus berechnet. Mithilfe der Quersumme werden Zahlen mal aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und dabei nützliche Hilfestellungen für das Bruchrechnen und Dividieren gebildet.

Quersumme Beispiel StudySmarterAbb. 1 - Die Querstumme der Zahl 365 ist 14.

Was ist eine Quersumme? – Definition

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Das bedeutet, um die Quersumme zu berechnen, musst Du die einzelnen Ziffern aus der Deine Zahl besteht zusammenrechnen.

Die Zahl \(365\) besteht aus den Ziffern 3; 6 und 5. Die Quersumme entspricht der Summe dieser Zahlen, also \[3+6+5 = 14\]

Quersumme Beispiel StudySmarterAbb. 2 - Die Quersumme der Zahl 365 ist 14.

Quersumme berechnen

Die Quersumme einer Zahl berechnest Du durch Aufaddieren ihrer Ziffern. Negative Zahlen haben dabei auch negative Quersummen.

  • Schreibe dafür die Ziffern Deiner Zahl auf
  • Addiere alle Ziffern
  • Das Ergebnis ist die Quersumme

Die Quersumme von 1337 berechnest Du wie folgt.

Sie besteht aus den Ziffern 1, 3, 3 und 7. Ihre Summe lautet \[1+3+3+7 = 14\]

Die Quersumme von 1337 ist 14.

Quersumme von negativen Zahlen

Eine negative Zahl besitzt eine negative Quersumme. Du addierst auch bei der Quersumme einer negativen Zahl alle ihre Ziffern. Zusätzlich setzt Du vor die Summe ein Minus-Symbol:

\[-432 \rightarrow -(4+3+2)=-9\]

Quersummen von negativen Zahlen berechnen sich also genauso wie die von positiven Zahlen, nur mit dem Unterschied, dass sie selbst negative Zahlen sind.

Alternierende Quersumme

Die alternierende Quersumme bezeichnet das Ergebnis der abwechselnden Subtraktion und Addition der einzelnen Ziffern von der kleinsten (Einer-) Stelle bis zur höchsten Stelle.

Auch hierbei kannst Du in zwei Schritten vorgehen, die sich allerdings von den obigen unterscheiden.

Für die Zahl 124 ergibt sich also eine zweite alternierende Quersumme.

Schritt 1:

Bei der alternierenden Quersumme nimmst Du einen alternativen Weg, und schreibst die Ziffern der Zahl in umgekehrter Reihenfolge mit Abstand auf. Das heißt, die Einer-Stelle (4) kommt ganz vorne hin, die höchste Stelle der Zahl (hier: Hunderter) steht am Ende.

4 2 1

Schritt 2:

Die alternierende Quersumme ist in diesem Sinne auch keine Summe mehr, da die Zahlen jetzt abwechselnd subtrahiert und addiert werden. Das bedeutet, Du setzt zunächst ein Minuszeichen ein, dann ein Pluszeichen, dann wieder Minus, dann wieder Plus und so weiter.

Das Ergebnis dieser Rechnung ergibt die alternierende Quersumme.

4-2+1=3

Dieses Vorgehen lässt sich jetzt ebenfalls auf jede andere Zahl anwenden.

Aufgabe 4

Bilde die alternierende Quersumme der Zahl 38 195.

Lösung

1. Schritt: Du nimmst den alternativen Weg und schreibst die Ziffern mit ein wenig Abstand in umgekehrter Reihenfolge auf.

5 9 1 8 3

2. Schritt: Nun setzt Du abwechselnd Minus- und Pluszeichen ein und berechnest den Wert der alternierenden Quersumme.

5-9+1-8+3=-8

Die alternierende Quersumme dieser Zahl ist also -8.

Du siehst also, dass bei der alternierenden Quersumme auch negative Zahlen herauskommen können.

Hier ist das gesamte Spektrum der ganzen Zahlen als Lösungsmenge möglich.

Teilbarkeitsregel von 11

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Anwendung der Quersumme – Regeln der Teilbarkeit

Die Verwendung der Quersumme kann Dir das Leben beim Dividieren und Rechnen mit Brüchen vereinfachen.

Die Quersumme ist ein wichtiger Teil einiger Teilbarkeitsregeln.

Die Teilbarkeitsregeln geben Dir einige Hilfestellungen, um die Teiler einer größeren Zahl zu finden.

In der folgenden Tabelle sind die grundlegenden Regeln aufgelistet, die mit der Quersumme zusammenhängen.

TeilbarkeitRegelBeispiel
durch 3wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Die Quersumme von 63 ist 9. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist 63 durch 3 teilbar.
durch 6wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.Die Quersumme von 246 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer ist gerade. Also ist 246 durch 6 teilbar.
durch 9 wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.Die Quersumme von 2439 ist 18. 18 ist durch 9 teilbar. Also ist 2439 auch durch 9 teilbar.

Für einen Überblick zu allen Teilbarkeitsregeln, wirf einen Blick in unsere Erklärung „Teilbarkeitsregeln“!

Quersumme berechnen – Übungsaufgaben

Jetzt bist Du dran! Anhand der folgenden Aufgaben kannst Du den Stoff einüben.

Berechne die Quersumme der Zahl...

a) 937

b) 1433

c) 90 030

d) -2100

Lösung

Zu a)

Schritt 1: Schreibe die Zahlen mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.

9 3 7

Schritt 2: Füge Pluszeichen zwischen den Zahlen ein und berechne die Summe.

9+3+7=19

Die Quersumme der Zahl 937 ist 19.

Zu b)

Schreibe die Zahlen mit Abstand auf, füge die Pluszeichen hinzu und addiere die Ziffern.

1 4 3 31+4+3+3=11

Die Quersumme der Zahl 1433 ergibt einen Wert von 11.

Zu c)

Zahlen aufschreiben, Pluszeichen einfügen, berechnen.

9 0 0 3 09+0+0+3+0=12

Die Zahl 12 ist die Quersumme der Ziffer 90 030.

Zu d)

Hier ist die Zahl negativ. Das heißt, Du schreibst die Zahlen mit Abstand auf und lässt das Minuszeichen vor der Zahl stehen.

- 2 1 0 0

Dann fügst Du Pluszeichen zwischen die Ziffern ein und setzt die Summe in Klammern.

-(2+1+0+0)=-3

Die Quersumme der Zahl -2100 ist -3.

Quersumme – Das Wichtigste

  • Die Quersumme Q(n) ist die Summe aller Ziffern einer Zahl n.
  • Quersumme bilden:
    • Quer – Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.
    • Summe – Bilde die Summe dieser Ziffern.
  • Bei einziffrigen Zahlen entspricht die Zahl der Quersumme.

  • Eine negative Zahl besitzt eine negative Quersumme.

  • Teilbarkeitsregeln:

    • Teilbarkeitsregel von 3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
    • Teilbarkeitsregel von 6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

    • Teilbarkeitsregel von 9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quersumme

Beim Bilden der Quersumme orientierst Du Dich an ihrem Namen.

Quer - Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf (z. B. 1  2  4).


Summe - Bilde die Summe dieser Ziffern (z.B. 1+2+4=7).

Die kleinste Quersumme ist die der Zahl 0, sie beträgt null.

Die Quersumme ist die Summe aller einzelnen Ziffern einer Zahl. Sie wird gebildet, indem Du zunächst die Ziffern der Zahl nebeneinander aufschreibst und diese dann zusammen addierst.

Die Quersumme Q(n) ist die Summe aller Ziffern einer Zahl n.

Finales Quersumme Quiz

Quersumme Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Bilde die Quersumme der Zahl 3185.

Antwort anzeigen

Antwort

Quer - Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.




Summe - Bilde die Summe dieser Ziffern.



Die Quersumme ist also 17.

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die Quersumme der Zahl 999?

Antwort anzeigen

Antwort

Quer - Schreibe Dir die Ziffern der Zahl quer, also von links nach rechts, mit ein wenig Abstand nebeneinander auf.


 


Summe - Bilde die Summe dieser Ziffern.


 


Die Quersumme der Zahl 999 ist also 27.

Frage anzeigen

Frage

Die Quersumme der einziffrigen Zahl 1 lautet...

Antwort anzeigen

Antwort

0

Frage anzeigen

Frage

Welche Regel gilt für die Quersumme einzelner/einziffriger Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einziffrigen Zahlen entspricht die Zahl der Quersumme. 

Also zum Beispiel ist die Quersumme der Zahl 6: Q(6)=6.

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Frage

Was gilt immer für die Quersumme negativer Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine negative Zahl besitzt immer eine negative Quersumme.

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Frage

Gib die Quersumme der Zahl -7815 an.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: Du schreibst alle Ziffern mit ein wenig Abstand nebeneinander auf. Das negative Vorzeichen bleibt (ebenfalls mit Abstand) vor der Zahl stehen.


 


Schritt 2: Du schreibst die Pluszeichen zwischen die Ziffern und setzt die gesamte Summe in eine Klammer.


Frage anzeigen

Frage

Bilde die alternierende Quersumme der Zahl 92 748.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Du nimmst den alternativen Weg und schreibst die Ziffern mit ein wenig Abstand in umgekehrter Reihenfolge auf.



2. Schritt: Nun setzt Du abwechselnd Minus- und Pluszeichen ein und berechnest den Wert der alternierenden Quersumme.



Frage anzeigen

Frage

Für welche Teilbarkeitsregeln wird die Quersumme benötigt?

Antwort anzeigen

Antwort

Teilbarkeitsregel von 6

Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 945 durch 3 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Teilbarkeit von 3 gilt folgende Regel:

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.


Schritt 1: Quersumme bilden.




Schritt 2: Quersumme durch 3 teilen



Die Rechnung geht auf. 945 ist also durch 3 teilbar!

Frage anzeigen

Frage

Finde heraus, ob die Zahl 4928 durch 9 teilbar ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gilt: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.


Schritt 1: Quersumme bilden.




Schritt 2: Quersumme durch 9 teilen.


 


Die Rechnung geht nicht restlos auf, die Zahl ist also nicht durch 9 teilbar!

Frage anzeigen

Frage

Kann man 200 004 durch 6 teilen?

Antwort anzeigen

Antwort

Für das Teilen durch 6 gilt: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.


Schritt 1: Sieh Dir die letzte Ziffer an. Hier ist das eine 4, eine gerade Zahl. Damit ist der erste Teil der Regel erfüllt.


Schritt 2: Bilde die Quersumme und teile diese dann durch 3. Geht das auf, ist die Zahl durch 6 teilbar.



Die Rechnung geht auf, damit ist die Zahl durch 6 teilbar.

Frage anzeigen

Frage

Ist 11 ein Teiler der Zahl 5808?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Zahl 11 gibt es eine besondere Teilbarkeitsregel: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.


Schritt 1: Alternierende Quersumme bilden.




Schritt 2: Das Ergebnis dieser Rechnung durch 11 teilen.



Die Zahl 11 ist ein Teiler der angegebenen Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Gib eine Zahl an, deren Quersumme den Wert 12 besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Hier kannst Du natürlich beliebige Ziffern wählen, die addiert 12 ergeben, und sie zu einer Zahl zusammen setzen.


Als zweistellige Zahlen wären zum Beispiel möglich:


Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Zahlen besitzt eine Quersumme mit dem Wert 14?

Antwort anzeigen

Antwort

7 007

Frage anzeigen

Frage

Kreuze alle Zahlen mit einer Quersumme von 25 an:

Antwort anzeigen

Antwort

9367

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