Stell Dir vor, Du gehst Einkaufen und musst am Ende \(10{,}98\,\text{€}\) zahlen. Das ist eine Zahl, welche einer bestimmten Zahlenmenge zuzuordnen ist. Es gibt verschiedene Zahlenmengen, darunter zählen die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen, irrationalen und komplexen Zahlen, welche in diesem Artikel erläutert werden.
Wenn Du direkt etwas über Mengen im Allgemeinen erfahren möchtest, dann schau Dir gerne die Erklärungen „Mengenverknüpfung und Mengenbeziehung“ und „Grundlagen der Mengenlehre“ an.
Zahlenmengen – Definition
Eine Zahlenmenge fasst in der Mathematik bestimmte Zahlen zu einer Menge zusammen.
Die Zahlenmenge ist eine Zusammenfassung bestimmter Zahlen zu einer Menge, wobei alle Elemente voneinander unterscheidbar sind. Jede Zahlenmenge lässt sich durch bestimmten Eigenschaften beschreiben.
Die verschiedenen Zahlenmengen werden mit großen lateinischen Buchstaben symbolisiert.
Zahlenmengen Symbole
Hier hast Du alle Symbole für die verschiedenen Zahlenmengen auf einen Blick. Welche Zahlen die Zahlenmengen jeweils enthalten, erfährst Du in den nächsten Kapiteln.
Die verschiedenen Zahlenmengen kannst Du auch anschaulich darstellen, wie beispielsweise in folgender Abbildung 1.
Abb. 1 - Übersicht der Zahlenmengen.
Jede Zahlenmenge schließt die vorherigen Zahlen mit ein. So gehören zu den reellen Zahlen die natürlichen, ganzen, rationalen und auch irrationalen Zahlen. Es gilt demnach:
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]
Die Zahlenmenge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\) fällt hier etwas aus der Reihe. Sie zählt nicht zur Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\), ist aber ein Teil der reellen Zahlen der Zahlenmenge \(\mathbb{R}\).
Los geht es mit der Zahlenmenge der natürlichen Zahlen.
Zahlenmengen N – Natürliche Zahlen
Die erste Zahlenmenge ist die Menge \(\mathbb{N}\) der natürlichen Zahlen. Du hattest vielleicht schon mal die Situation, dass Du bei einem Spieleabend mit einem Würfel die Zahl \(6\) gewürfelt hast. Das ist zum Beispiel eine natürliche Zahl.
Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) sind alle positiven ganzen Zahlen \(>0\). Zu den natürlichen Zahlen kann allerdings auch die \(0\) hinzugefügt werden.
| Zahlenmenge | Menge |
| Natürliche Zahlen \(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{N}=\{1;\,2;\,3;\,4;\,...\}\) |
| Natürliche Zahlen mit Null \(\mathbb{N}_0\) | \(\mathbb{N}_0=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,...\}\) |
Schau Dir gerne die Erklärung „Natürliche Zahlen“ an, wenn Du mehr über diese Zahlen und die entsprechende Zahlenmenge erfahren möchtest.
Übrigens: In den natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) gibt es auch Zahlen, die nur durch \(1\) und sich selbst teilbar sind, wie etwa die Zahlen \(5,\, 7\) und \(19\). Alles rund um das Thema findest Du im Artikel „Primzahlen“.
Die nächste Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitert die natürlichen Zahlen um weitere Elemente.
Zahlenmengen Z – Ganze Zahlen
Du kennst dies vielleicht schon bei Thermometern im Winter, wenn die Temperatur beispielsweise \(-3\,°C\) beträgt. Diese negativen Zahlen zählen, neben den natürlichen Zahlen, zu der Zahlenmenge \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen. Du hast in dieser Menge also alle Zahlen der natürlichen Zahlen noch einmal dabei, aber mit einem negativen Vorzeichen.
Zu den ganzen Zahlen gehört auch die Zahl 0.
| Zahlenmenge | Menge |
| Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\). | \(\mathbb{Z}=\{...;\,-5;\,-3\;\,0;\,1;\,2;\,4;\,...\}\) |
Im nächsten Abschnitt findest Du mehr zu den Zahlenmengen der rationalen, irrationalen und reellen Zahlen.
Zahlenmengen R – Reelle Zahlen
Die Zahlenmenge \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen umfasst alle Zahlen, die auf einer Zahlengeraden darstellbar sind. Das sind sowohl alle ganzen Zahlen als auch Brüche und Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, wie beispielsweise die Eulersche Zahl \(e\). Damit beinhaltet die Zahlenmenge der reellen Zahlen sowohl die Menge der rationalen Zahlen und ebenfalls die Menge der irrationalen Zahlen.
| Zahlenmenge | Menge |
| Reelle Zahlen \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}= \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\) |
Schau Dir gerne die Erklärung „Reelle Zahlen“ an, wenn Dich das Thema interessiert.
Was genau beinhalten denn überhaupt die rationalen und irrationalen Zahlen? Mehr dazu im nächsten Abschnitt.
Zahlenmengen Q – Rationale Zahlen
Als Du einkaufen warst, musstest Du vielleicht schon mal \(11{,}78\,\text{€}\) bezahlen. Das ist ein Beispiel für eine rationale Zahl.
Zu der Zahlenmenge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) gehören alle Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen lassen. Das sind zum Beispiel auch endliche und periodische Dezimalzahlen.
| Zahlenmenge | Menge |
| Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{Q}=\{x|x=\dfrac{m}{n}\,(\text{mit}\, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N})\}\) |
In der Erklärung „Rationale Zahlen“ findest Du weitere Informationen und Beispiele zu dieser Zahlenmenge.
Neben den rationalen Zahlen gehören auch die irrationalen Zahlen zur Zahlenmenge der reellen Zahlen.
Zahlenmenge I – Irrationale Zahlen
Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, welche nicht rational sind und sich somit nicht als Bruch darstellen lassen. Das sind alle Dezimalzahlen, die unendlich viele und nicht periodische Nachkommastellen besitzen.
Dazu zählen zum Beispiel die Kreiszahl \(\pi\) und die Eulersche Zahl \(e\).
| Zahlenmenge | Menge |
| Irrationale Zahlen \(\mathbb{I}\) | \(\mathbb{I}=\mathbb{R} / \mathbb{Q}\) |
Waren das somit alle Zahlenmengen? Jein. Zumindest umfassen die vorherigen Zahlenmengen alle Zahlen, die sich auf einer Zahlengeraden darstellen lassen. Es gibt aber noch weitere Zahlen.
Zahlenmengen C – Komplexe Zahlen
Die Menge \(\mathbb{C}\) der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen. Mit ihnen ist es möglich, Wurzeln auch aus negativen Zahlen zu berechnen. Dafür gibt es ein neues Element, die imaginäre Einheit \(i\).
\[z={\color{#1478c8}\overbrace{a}^{Realteil}}+{\color{#00dcb4}\underbrace{b\cdot i}_{Imaginärteil}}\]
Zusammen mit einem Realteil (eine reelle Zahl) und dem Imaginärteil lassen sich komplexe Zahlen darstellen.
| Zahlenmenge | Menge |
| Komplexe Zahlen \(\mathbb{C}\) | \(\mathbb{C}=\{z|z=a+bi\, (\text{mit}\,a,b \in \mathbb{R})\}\) |
Erfahre mehr über diese Zahlenmenge, wenn Du Dir die Erklärung „Komplexe Zahlen“ ansiehst.
Im Zusammenhang mit den Zahlenmengen fällt auch der Begriff Teilbarkeit. Wann lassen sich beispielsweise natürliche Zahlen durch andere natürliche Zahlen wie \(2\), \(3\) oder \(10\) teilen, ohne dass ein Rest entsteht?
Zahlenmengen – Teilbarkeit
Bei der Suche nach Antworten auf die Fragen, wann Du Zahlen durch verschiedene Zahlen teilen kannst, helfen Dir die Teilbarkeitsregeln. Hier siehst Du einen Ausschnitt verschiedener Regeln zur Teilbarkeit:
- Eine Zahl ist durch \(2\) teilbar, wenn sie eine gerade Zahl ist.
- Eine Zahl ist durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch \(4\) teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch \(4\) teilbar sind.
- ...
Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.
Aufgabe
Überprüfe, ob die Zahl \(153\) durch \(2\), \(3\) und \(4\) geteilt werden kann, ohne dass ein Rest bleibt.
Lösung
Um herauszufinden, durch welche Zahl die Zahl \(153\) teilbar ist, musst Du nun die Teilbarkeitsregeln durchgehen.
- Die letzte Ziffer der Zahl \(153\) ist eine ungerade Zahl, also ist \(153\) nicht durch \(2\) teilbar.
- Die Zahl \(153\) ist durch \(3\) teilbar, weil ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist.
\[153=1+5+3=9 \hspace{1cm}9:3=3\]
- Die Zahl \(153\) ist nicht durch \(4\) teilbar, weil die letzten beiden Ziffern \(53\) nicht durch \(4\) teilbar sind.
\[53:4=13\, R1\]
Wie Du noch mehr Regeln zur Teilbarkeit lernen und überprüfen kannst, erfährst Du in der Erklärung „Teilbarkeitsregeln“.
Sieh Dir gerne auch die zugehörigen Karteikarten zu den Zahlenmengen an, um die Theorie in dieser Erklärung zu überprüfen!
Zahlenmengen – Das Wichtigste
| Zahlenmenge | Symbol | Menge |
| Natürliche Zahl | \(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{N}=\{1;\,2;\,3;\,4;\,...\}\) |
| Natürliche Zahl mit Null | \(\mathbb{N}_0\) | \(\mathbb{N}_0=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,...\}\) |
| Ganze Zahl | \(\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Z}=\{-5;\,-3\;\,0;\,1;\,2;\,4;\,...\}\) |
| Reelle Zahl | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}= \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\) |
| Rationale Zahl | \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{Q}=\{x|x=\dfrac{m}{n}\,(\text{mit}\, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N})\}\) |
| Irrationale Zahl | \(\mathbb{I}\) | \(\mathbb{I}=\mathbb{R} / \mathbb{Q}\) |
| Komplexe Zahl | \(\mathbb{C}\) | \(\mathbb{C}=\{z|z=a+bi\, (\text{mit}\,a,b \in \mathbb{R})\}\) |
Nachweise
- Witt (2013): Zahlenmengen. In: Mathematische Grundlagen für die Informatik. Springer Vieweg. Wiesbaden.
- Teschl, Teschl (2013): Zahlenmengen und Zahlensysteme. In: Mathematik für Informatiker. Springer Spektrum. Berlin, Heidelberg.
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