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Natürliche Zahlen

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Natürliche Zahlen

In diesem Artikel geht es um die natürlichen Zahlen. Eine kurze Definition der natürlichen Zahlen hast du vielleicht schon im Artikel Zahlenmengen gelesen. In den folgenden Abschnitten wirst du noch mehr über die natürlichen Zahlen kennenlernen. Zum Schluss kannst du dein Wissen in ein paar Übungsaufgaben testen und mithilfe der Karteikarten vertiefen.

Natürlichen Zahlen Zahlen StudySmarter

Natürliche Zahlen Definition

Mit Sicherheit kennst du bereits natürliche Zahlen, denn: immer, wenn du etwas zählst, verwendest du natürliche Zahlen.

Um die natürlichen Zahlen formal zu definieren, nutzt man die sogenannte Mengenschreibweise. Dabei wird das Formel-zeichen genutzt. Das sieht dann so aus:

Die Menge der natürlichen Zahlen lautet:

Natürliche Zahlen Definition StudySmarter

Übrigens: Zahlenmengen werden immer mit geschwungenen Klammern {...} geschrieben!

Dass in der Klammer nur die Zahlen 1 bis 5 aufgeschrieben sind, heißt nicht, dass nur diese Zahlen natürliche Zahlen sind! Die Punkte am Ende der Klammer bedeuten, dass alle folgenden Zahlen auch dazugehören. Also die 6 und die 7, aber auch die 10, die 35, die 102, die 4374679..... das geht unendlich so weiter.

Deshalb ist die Menge der natürlichen Zahlen auch nicht beschränkt, sondern in ihr befinden sich unendlich viele Zahlen.

Die natürlichen Zahlen sind alle positiv.

Es gibt allerdings eine Ausnahme: Die Zahl 0. Sie ist weder positiv noch negativ. Allerdings gehört die 0 auch nicht immer zur Menge der natürlichen Zahlen. In der oberen Definition gehört sie nicht dazu. Wenn man aber die 0 dazuzählen möchte, dann schreibt man das wie folgt:

Die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null lautet:

Natürliche Zahlen Natürliche Zahlen mit Null Definition StudySmarter

Auch wenn diese beiden Definitionen ein bisschen unterschiedlich sind, hat man sich darauf geeinigt, dass beide richtig sind.

Frag doch mal deine Mathematik-Lehrerin oder deinen Mathematik-Lehrer, welche Definition sie/er benutzt.

Keine natürlichen Zahlen Definition

Zahlen, die nicht zu den natürlichen Zahlen gehören, sind beispielsweise die negativen Zahlen. Sie gehören zu der Menge der ganzen Zahlen.

Eine negative Zahl ist eine Zahl mit einem Minus als Vorzeichen.

Es gibt noch weitere Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind. Diese sind zum Beispiel Brüche, Kommazahlen oder irrationale Zahlen. Sie gehören in die Menge der rationalen Zahlen oder in die Menge der reellen Zahlen. Die Menge ist aber in allen diesen anderen Zahlenmengen enthalten.

Man kann diesen Zusammenhang auch in einer Abbildung darstellen:

Natürliche Zahlen Übersicht Zahlenmengen StudySmarter

Abbildung 1: Die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0

Natürliche Zahlen Übersicht Zahlenmengen StudySmarter

Abbildung 2: Die Menge der natürlichen Zahlen mit 0

Natürliche Zahlen Anordnung

Es gibt natürliche Zahlen, deren Wert kleiner ist, und natürliche Zahlen, deren Wert größer ist.

Beispielsweise ist die Zahl 10 größer als die Zahl 5.

Um diese Unterschiede darzustellen, ordnet man die natürlichen Zahlen auf einer Linie an, die man auch Zahlenstrahl nennt. Sie sieht aus wie ein Lineal.

Natürliche Zahlen Zahlenstrahl StudySmarterAbbildung 3: Zahlenstrahl

Ganz links beginnt der Zahlenstrahl mit der Zahl 0. Nach rechts kannst du ihn beliebig lang zeichnen. Da man ihn aber nicht unendlich lang zeichnen kann, markiert man das Ende mit einem Pfeil.

Es gilt nun die folgende Regel:

Je weiter rechts auf dem Zahlenstrahl eine natürliche Zahl liegt, desto größer ist sie.

Möchtest du mehr über den Zahlenstrahl wissen, dann kannst du mal in das Kapitel Zahlenlehre schauen.

Natürliche Zahlen berechnen

Natürliche Zahlen kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Diese vier Grundrechenarten hast du sicherlich bereits in der Grundschule gelernt. Wenn du nochmal vertieft nachlesen möchtest, wie man diese Grundrechenarten ausführt, dann schau dir doch mal die Artikel Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division an!

Addition

Zwei (oder mehrere) natürliche Zahlen kann man ohne Einschränkung addieren. Dabei kannst du entweder im Kopf rechnen, wenn du ganz fit bist, oder du rechnest schriftlich. Vor allem, wenn du viele Zahlen addieren musst, oder die Zahlen etwas größer sind, ist das eine sichere Methode.

Im Kopf:

Oder schriftlich:

Subtraktion

Anders als bei der Addition kannst du bei der Subtraktion nicht ganz beliebig Zahlen voneinander abziehen. Du wirst mir sicherlich Recht geben, dass du beispielsweise keine 5 Kekse verschenken kannst, wenn du nur 3 Kekse hast.

Es muss also bei der Subtraktion der Minuend – die Zahl, die abgezogen wird – kleiner sein als der Subtrahend – die Zahl, von der abgezogen wird.

Auch bei der Subtraktion kannst du schriftlich oder im Kopf rechnen.

Im Kopf:

Oder schriftlich:

Multiplikation

Bei der Multiplikation ist es wieder wie bei der Addition: Du kannst beliebige und beliebig viele natürliche Zahlen miteinander multiplizieren. Das kleine Einmaleins solltest du aus der Grundschule bereits kennen und es spart dir für einige Rechnungen Zeit, wenn du es im Kopf hast. Vielleicht hast du sogar das große Einmaleins im Kopf! Auch hier gibt es aber die Möglichkeit, schriftlich zu rechnen. Diese Option solltest du auch wählen, wenn die Zahlen sehr groß werden oder du dir im Kopf nicht mehr sicher bist.

Im Kopf:

Oder schriftlich:

Division

Bei der Division ist es dagegen wieder ähnlich wie bei der Subtraktion. Es kann nicht uneingeschränkt dividiert werden. Der Dividend, also die Zahl, die geteilt wird, muss mindestens so groß sein wie der Divisor, also die Zahl, durch die geteilt wird. Zudem müssen die Fälle unterschieden werden, ob mit Rest gerechnet wird, oder ob die Division aufgehen muss.

Wie bei den drei anderen Grundrechenarten kannst du entweder im Kopf oder schriftlich rechnen.

Im Kopf:

Oder schriftlich:

Natürliche Zahlen Teilmengen

Es gibt ein paar Mengen, die in den natürlichen Zahlen liegen, und die du kennen solltest:

  • Die Menge der geraden Zahlen: {2, 4, 6, 8, 10, ...}
  • Die Menge der ungeraden Zahlen: {1, 3, 5, 7, 9, ...}
  • Die Primzahlen

Über die Primzahlen gibt es eine eigene Zusammenfassung. Diese findest du auch im Kapitel Zahlenmengen!

Außerdem gibt es noch die Mengen der Vielfachen einer natürlichen Zahl. Diese sind ebenfalls alle Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Die Menge der Vielfachen der Zahl 5 ist: V(5) = {5, 10, 15, 20, 25, ...}

Die natürlichen Zahlen sind im Prinzip nichts anderes als die Vielfachenmenge der Zahl 1!

Wenn du mehr über die Vielfachenmenge wissen möchtest, dann solltest du dir den Artikel Vielfaches im Kapitel Zahlenlehre anschauen!

Natürliche Zahlen Übungen

Um dein Verständnis zu den natürlichen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich.

Aufgabe

Welche der folgenden Zahlen ist keine natürliche Zahl?

a) 3 b) 7 c) 2457 d) -2 e) 0

f) 987 g) 0,5 h) i) 9 k)13

Lösung

Keine natürlichen Zahlen sind die Zahlen d), g) und h). Zudem kommt es bei der Zahl e) 0 darauf an, wie die Menge der natürlichen Zahlen definiert ist.

Natürliche Zahlen – Das Wichtigste

  • Die Menge der natürlichen Zahlen wird definiert durch
  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit null schreibt man
  • Alle natürlichen Zahlen sind positiv, mit Ausnahme der Null.
  • Die natürlichen Zahlen ordnet man auf einem Zahlenstrahl an. Dabei sind diejenigen Zahlen größer, die weiter rechts liegen.
  • Natürliche Zahlen kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
  • Teilmengen der natürlichen Zahlen sind beispielsweise die Primzahlen, die geraden Zahlen und die ungeraden Zahlen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Natürliche Zahlen

Negative Zahlen sind keine natürlichen Zahlen, ebenso wie Brüche, die nicht in positive ganze Zahlen umgewandelt werden können, Wurzeln, die man nicht ziehen kann oder irrationale Zahlen.

Nein, 1,5 ist keine natürliche Zahl. 1,5 ist auch keine ganze Zahl, sondern nur eine rationale Zahl.

Natürliche Zahlen sind Zahlen, mit denen man beispielsweise Kastanien abzählen kann. 5 Kastanien, 25 Kastanien, 34747 Kastanien. Das sind alles natürliche Zahlen. Manchmal zählt man auch die 0 zu den natürlichen Zahlen.

Das kommt auf die Definition der natürlichen Zahlen an. Meistens ist die 1 die kleinste natürliche Zahl, dann gehört die 0 nicht zur Menge der natürlichen Zahlen.

Zählt man die 0 dazu, dann ist die 0 die kleinste natürliche Zahl. 

Finales Natürliche Zahlen Quiz

Frage

Wie viele Zahlen befinden sich in der Menge der natürlichen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Unendlich viele

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften erfüllen alle natürlichen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie sind alle positiv.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Aussage ist falsch. 


Gegenbeispiel: Die Zahl -3 ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.


Übrigens: andersherum ist es richtig. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, was es bedeutet, wenn eine natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl ziemlich weit rechts liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Je weiter rechts eine natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer ist sie. 

Frage anzeigen

Frage

Nimm Stellung zur folgenden Aussage:

Das Ergebnis einer Differenz, bei der Subtrahend und Minuend natürliche Zahlen sind, ist immer eine natürliche Zahl. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Nur, wenn der Subtrahend eine größere natürliche Zahl ist als der Minuend, ist das Ergebnis der Differenz wieder eine natürliche Zahl.

Die Rechnung 3 - 5 erfüllt auch die Voraussetzungen, das Ergebnis ist jedoch -2 und damit keine natürliche Zahl mehr. 

Frage anzeigen

Frage

Nimm Stellung zur folgenden Aussage:

Das Ergebnis einer Summe, bei der alle Summanden natürliche Zahlen sind, ist wieder eine natürliche Zahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Aussage ist richtig.

Frage anzeigen

Frage

Nimm Stellung zur folgenden Aussage:

Das Ergebnis eines Produkts, bei dem alle Faktoren natürliche Zahlen sind, ist wieder eine natürliche Zahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Aussage ist richtig.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die kleinste natürliche Zahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Die kleinste natürliche Zahl ist die 1. Beinhaltet die Menge der natürlichen Zahlen auch die 0, so ist die 0 die kleinste natürliche Zahl.

Frage anzeigen
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