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Brüche und Dezimalzahlen

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Brüche und Dezimalzahlen

Brüche und Dezimalzahlen sind Zahlen, mit denen du die vier Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) ausführen kannst. Brüche sind rationale Zahlen und geben das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander an. Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma und können meistens durch einen Bruch dargestellt werden.

In diesem Artikel erfährst du wie du mit Brüchen und Dezimalzahlen umgehen kannst und wie diese im Verhältnis zueinander stehen!

Viel Spaß beim Lernen!

Was sind Brüche?

Brüche sind rationale Zahlen, die das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander darstellen. Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner, welche in der Mitte durch den Bruchstrich voneinander getrennt sind. Prinzipiell kannst du jeden Bruch auch als Divisionsaufgabe umschreiben. Wenn du mehr über Brüche lernen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel zu Bruchteil und Anteil, Brüche und besondere Brüche, sowie Vergleichen und Anordnen von Brüchen durch.

Bruchrechnung

Da Brüche dem Zahlenbereich der rationalen Zahlen zugehören, kannst du somit auch die Grundoperationen mit ihnen durchführen. Du kannst Brüche also miteinander addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, vergleichen und vieles mehr! Wenn du mehr über die Bruchrechnung lernen möchtest, dann liest du am Besten in dem entsprechenden Kapitel weiter!

Was sind Dezimalzahlen?

Dezimalzahlen sind die sogenannten Kommazahlen. Dezimalzahlen können endlich, periodisch oder irrational sein. Dementsprechend haben Dezimalzahlen dann eine begrenzte Anzahl an Nachkommastellen oder unendlich viele. Außerdem kannst du hier lernen, wie du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kannst. Wenn du mehr über Dezimalzahlen lernen möchtest, dann liest du dir am Besten den Artikel zu Dezimalzahlen durch!

Das Rechnen mit Dezimalzahlen

Natürlich kannst du auch mit Dezimalzahlen rechnen, da diese immer der Zahlenmenge der rationalen oder irrationalen Zahlen zugehören. Du kannst Dezimalzahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, vergleichen und vieles mehr! Wenn du mehr über das Rechnen mit Dezimalzahlen lernen möchtest, dann liest du am Besten in dem entsprechenden Kapitel weiter!

Das Wichtigste auf einen Blick!

  • Brüche sind rationale Zahlen, die das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander darstellt
  • Dezimalzahlen sind Kommazahlen, die endlich periodisch oder irrational sind
  • Mit Brüchen und Dezimalzahlen kannst du die Grundoperationen ausführen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche und Dezimalzahlen

Es gibt mehrere Wege dies zu tun. So kannst du den Nenner deines Bruchs auf eine Zehnerpotenz erweitern bzw. kürzen. Dann kannst du den Bruch mithilfe deiner Zehnerpotenzen als Dezimalzahl darstellen.

Nicht jede Dezimalzahl kann in einen Bruch umgewandelt werden. Alle irrationalen Dezimalzahlen (z.B. Die Kreiszahl pi) können nicht umgewandelt werden. Ansonsten kann jede Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt werden!

Wenn du Brüche addierst oder subtrahierst musst du die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann kannst du die Zähler entsprechend zusammenzählen. Wenn du Brüche multiplizieren willst, dann rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner und kürzt das Ergebnis soweit wie möglich.

Es gibt mehrere Wege dies zu tun. So kannst du den Nenner deines Bruchs auf eine Zehnerpotenz erweitern bzw. kürzen. Dann kannst du den Bruch mithilfe deiner Zehnerpotenzen als Dezimalzahl darstellen.

Finales Brüche und Dezimalzahlen Quiz

Frage

Was ist eine gemischte Zahl?

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Antwort

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

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Frage

In welche Art von Bruch kann man eine gemischte Zahl umwandeln?

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Antwort

Jede gemischte Zahl kann in einen unechten Bruch umgewandelt werden, also einen Bruch, bei dem der Betrag des Zählers größer ist als der Betrag des Nenners.

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Frage

Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um?

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Antwort

Zunächst wird die ganze Zahl als Bruch geschrieben. Dabei sollte der Nenner derselbe sein wie beim Bruch der gemischten Zahl. Anschließend werden die beiden Brüche addiert.

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Frage

Wie wandelt man einen Bruch in eine gemischte Zahl um?

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Antwort

Zuerst zerlegt man den Zähler des Bruches in eine Summe, sodass der erste Summand ohne Rest vom Nenner geteilt werden kann, und der Nenner nicht mehr in den zweiten Summanden passt. Dann zieht man den Bruch wie bei der Addition von Brüchen auseinander, und wandelt abschließend den vorderen Bruch in eine ganze Zahl um.

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Frage

Wie addiert man gemischte Zahlen?

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Antwort

Option 1: Man addiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und addiert diese dann wie gewohnt.

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Frage

Wie multipliziert oder dividiert man gemischte Zahlen?

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Antwort

Dazu wandelt man die gemischten Zahlen in Brüche um, und multipliziert bzw. dividiert dann wie aus der Bruchrechnung bekannt.

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Frage

Wie subtrahiert man gemischte Zahlen?

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Antwort

Option 1: Man subtrahiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und subtrahiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Dezimalzahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. 


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Frage

Welche drei Arten von Dezimalzahlen gibt es?

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Antwort

  • endliche Dezimalzahlen
  • periodische Dezimalzahlen
  • unendliche Dezimalzahlen
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Frage

Was ist eine endliche Dezimalzahl?

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Antwort

Eine endliche Dezimalzahl hat endlich viele Nachkommastellen. Irgendwann hört die Zahl also auf.

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Frage

Was ist eine periodische Dezimalzahl?

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Antwort

Periodische Dezimalzahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, jedoch wiederholt sich bei den Nachkommastellen eine Ziffernfolge immer wieder. Diese wird dann Periode genannt.


Frage anzeigen

Frage

Welche Arten von periodischen Dezimalzahlen gibt es?

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Antwort

  • rein periodische Dezimalzahlen
  • gemischt periodische Dezimalzahlen
Frage anzeigen

Frage

Welche Art von Dezimalzahlen gehört nicht zu der Menge der rationalen Zahlen?

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Antwort

unendliche Dezimalbrüche

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Frage

Was ist eine unendliche Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Unendliche Dezimalbrüche haben unendlich viele Nachkommastellen, die jedoch nicht periodisch sind. 

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Frage

Was ist eine Endnull?

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Antwort

Eine Endnull ist eine Null, die man an endliche Dezimalzahlen anhängen kann. Sie verändern den Wert der Dezimalzahl nicht.

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Frage

Erläutere, wie man einen Bruch kürzt.

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Antwort

Um einen Bruch zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Brüche werden beim Kürzen kleiner.

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Antwort

Das ist falsch. Der Wert eines Bruches verändert sich nicht, wenn gekürzt wird.

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Frage

Beschreibe, was du tun musst, wenn du einen Bruch mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen möchtest.

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Antwort

  • Zunächst werden Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt
  • Anschließend kannst du diejenigen Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommen. Dabei darfst du nur so viele Faktoren kürzen, sodass du dieselbe Anzahl im Zähler und im Nenner wegstreichst.
  • Abschließend werden die Produkte wieder berechnet, sodass du einen normalen Bruch hast.
Frage anzeigen

Frage

Nenne die Methoden, die du kennengelernt hast, um Brüche zu kürzen.

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Antwort

  • Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzen
  • Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen
  • Brüche mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen
  • Brüche mit Variablen durch Ausklammern kürzen
  • Brüche über Kreuz kürzen
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Frage

Welchen Vorteil hat es, wenn du Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzt anstatt mit irgendeinem gemeinsamen Teiler?

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Antwort

Die Brüche sind dann direkt vollständig gekürzt. Wenn du mit irgendeinem gemeinsamen Teiler kürzt, sind die Brüche nicht vollständig gekürzt.

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Frage

Beschreibe, was vollständig gekürzt bedeutet.

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Antwort

Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, der größer als 1 ist. Der Bruch kann dann also nicht weiter gekürzt werden.

Frage anzeigen

Frage

"Brüche kürzen macht keinen Sinn". 

Nimm Stellung zu dieser Aussage.

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Antwort

Das Rechnen mit gekürzten Brüchen kann einfacher sein als mit ungekürzten Brüchen. Beispielsweise beim multiplizieren oder dividieren von Brüchen.


Möchtest du zwei Brüche addieren oder subtrahieren, brauchst du jedoch den gleichen Nenner. Hierzu musst du sogar manchmal Brüche erweitern, und kürzen kann die Rechnung erschweren.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Fälle, in denen du direkt siehst, dass ein Bruch vollständig gekürzt ist.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Wenn im Zähler oder Nenner des Bruches eine 1 steht.
  • Wenn die die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.
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Frage

Begründe, warum Brüche nicht gekürzt werden können, bei denen die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei aufeinanderfolgende Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler, der größer als 1 ist. Daher haben Brüche, deren Zähler und Nenner zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, keinen gemeinsamen Teiler und können nicht gekürzt werden.

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Frage

Gib an, was ein unvollständiger Doppelbruch ist. 

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Antwort

Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder nur im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Arten an unvollständigen Doppelbrüchen.

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Antwort

Es gibt

  • im Zähler unvollständige Doppelbrüche

und 

  • im Nenner unvollständige Doppelbrüche
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Frage

Beschreibe, was ein im Nenner unvollständiger Doppelbruch ist.

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Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl

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Frage

Erkläre die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch - falls möglich - gekürzt
Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den Kehrwert eines Bruchs bildet

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Antwort

Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche im Zähler unvollständige Doppelbrüche mit im Nenner unvollständigen Doppelbrüchen.


Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl


Bei einem im Zähler unvollständigen Doppelbruch steht nur im Nenner des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Zähler des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Doppelbrüche" kurz zusammen.

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Antwort

  • Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen
  • Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch. 
  • Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden: 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen; 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs; 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen
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Frage

Wie lässt sich das Multiplizieren von Dezimalzahlen vereinfachen?

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Antwort

​Das Multiplizieren von Dezimalzahlen lässt sich vereinfachen, in dem man das Komma bei der Rechnung weglässt und erst im Ergebnis setzt. 

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Frage

Welches mathematische Gesetz erlaubt es dir drei Dezimalzahlen miteinander zu multiplizieren ? 

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Antwort

​Das Assoziativgesetz. 

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Frage

Was ist eine Nachkommastelle?

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Antwort

Eine Nachkommastelle ist die Stelle rechts vom Komma. 

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Frage

Was ist eine Vorkommastelle?

Antwort anzeigen

Antwort

​Eine Vorkommastelle ist die Stelle links vom Komma. 

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Frage

Wie multipliziert man einen Bruch mit einer Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Man multipliziert einen Bruch mit einer Dezimalzahl, in dem man den Bruch zuerst in eine Dezimalzahl umwandelt und dann mit der Dezimalzahl multipliziert.

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Frage

Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander ? 

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Antwort

Man multipliziert zwei Brüche miteinander, in dem man den Zähler mit dem Zähler multipliziert und den Nenner mit dem Nenner. 

Frage anzeigen

Frage

Wo wird das Teilergebnis bei der schriftlichen Multiplikation gesetzt? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Teilergebnis wird bei der schriftlichen Multiplikation unter den dazu gehörigen Teilfaktor gesetzt. 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet sich das Teilergebnis bei der schriftlichen Multiplikation? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Teilergebnis berechnet sich bei der schriftlichen Multiplikation, in dem ein ganzer Faktor mit einem Teilfaktor multipliziert wird. 

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem Teilfaktor bei der schriftlichen Multiplikation? 

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Antwort

Unter einem Teilfaktor versteht man bei der schriftlichen Multiplikation eine Ziffer eines Faktors. 

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Frage

Wann verwendet man natürliche Zahlen?

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Antwort

Natürliche Zahlen verwendet man beim Zählen. 

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Frage

Wie viele Nachkommastellen hat das Produkt, wenn man zwei Dezimalzahlen miteinander multipliziert? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Produkt hat genauso viele Nachkommastellen wie beide Dezimalzahlen zusammen. 

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine natürliche Zahl mit einer Dezimalzahl multipliziert? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen wie die Dezimalzahl. 

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um ? 

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Antwort

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, setzt man die Zahl ohne das Komma in den Zähler und wählt für den Nenner eine Zehnerpotenz, die genauso viele Nullen hat wie die Dezimalzahl Nachkommastellen. 

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man einen Bruch in eine Dezimalzahl um ?

Antwort anzeigen

Antwort

Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln dividierst du den Zähler durch den Nenner. 

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es einen Bruch zu erweitern?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

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Frage

Du hast zwei Brüche gegeben und sollst die Erweiterungszahl bestimmen. Wie gehst du vor?

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Antwort

Um die Erweiterungszahl zu bestimmen, wird entweder der Zähler oder der Nenner des erweiterten Bruches durch den Zähler oder Nenner des ursprünglichen Bruches dividiert. In beiden Fällen sollte dieselbe Zahl herauskommen. Diese Zahl ist die gesuchte Erweiterungszahl.

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Frage

Was versteht man unter einem Hauptnenner, und wie erweiterst du zwei Brüche auf ihren Hauptnenner?

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Antwort

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei verschiedenen Brüchen.


Um zwei Brüche auf einen Hauptnenner bringen zu können, musst du dir zunächst alle Vielfache der Nenner aufschreiben. Anschließend schaust du welche Zahlen bei beiden Nennern ein Vielfaches sind und notiere dir, wenn du mehrere gefunden hast, die kleinste dieser Zahlen. Um die beiden Brüche jetzt auf den Hauptnenner zu erweitern, musst du für beide Brüche herausfinden, mit welcher Erweiterungszahl sich die Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweitern lassen.

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Frage

Lässt sich jeder Bruch erweitern?

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Antwort

Jeder Bruch lässt sich mit einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist erweitern. 

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Frage

Was versteht man unter gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen?

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Antwort

Gleichnamige Brüche sind Brüche, die denselben Nenner haben. Ungleichnamige Brüche sind demnach Brüche mit unterschiedlichen Nennern. 

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