Hast Du schon einmal eine Tafel Schokolade fair mit jemandem geteilt? Dann hast Du sie sicher in der Hälfte durchgebrochen. So bleibt Dir genau \(\dfrac{1}{2}\) bzw. 0,5 der Tafel übrig. Doch woher kommen diese Schreibweisen und warum kann der Anteil der Schokolade so ausgedrückt werden? Das lernst Du in dieser Erklärung über Brüche und Dezimalzahlen.
Brüche und Dezimalzahlen sind Zahlen, die Anteile an einem Ganzen beschreiben. Mit ihnen kannst Du rechnen oder Prozente angeben. Hier lernst Du unter anderem, wie Du Brüche und Dezimalzahlen addieren und subtrahieren kannst, wie Du Prozente in Brüche und Dezimalzahlen umwandeln und wie Du Brüche und Dezimalzahlen vergleichen kannst. Außerdem findest Du im Anschluss direkt Übungen zu diesen Themen.
Brüche und Dezimalzahlen – Bruchteil und Anteil
Die Begriffe Bruchteil und Anteil bedeuten verschiedene Dinge. Dabei spielen sie für Brüche eine große Rolle.
Stell Dir vor, Du hast einen runden Kuchen und schneidest ihn in zwölf gleich große Teile.
Der Kuchen entspricht hierbei dem Ganzen. Ein Bruchteil des Kuchens ist genau eines von den zwölf Stücken. Isst Du also zwei der Stücke, hast Du zwei Bruchteile des Kuchens gegessen.
Der Bruchteil gibt eine Teilmenge des Ganzen an. Für ihn kannst Du immer eine Einheit angeben.
Die Einheit des Kuchenbeispiels ist hier dementsprechend Stücke.
Da Du nun zwei Stücke des Kuchens gegessen hast, kann dies auch als Anteil ausgedrückt werden. Der gegessene Anteil des Kuchens ist \(\dfrac{2}{12}\).
Der Anteil beschreibt das Verhältnis vom Bruchteil zum Ganzen.
Du kannst den Bruchteil, das Ganze oder den Anteil mithilfe einer bestimmten Formel berechnen: \[\text{Anteil}=\frac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}}\]
Brüche und Dezimalzahlen – Brüche
Hier bekommst Du einen Überblick zu Brüchen allgemein und zu verschiedenen Arten von Brüchen.
Brüche – Definition
Du weißt also nun, wie ein Anteil ausgerechnet wird. Die Form, die dieser annimmt, wird dann Bruch genannt.
Ein Bruch ist die Trennung zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt dabei Zähler Z, die Zahl unter dem Bruchstrich wird Nenner N genannt: \[\frac{\color{#00dcb4}Z}{\color{#fa3273}N}\]
Erinnerst Du Dich an die Kuchensituation?
Da Du zwei Stücke gegessen hast, ist der Anteil des Kuchens, den Du gegessen hast, \(\dfrac{2}{12}\). Der Zähler ist hier also die 2, der Nenner ist die 12.
Für Brüche gibt es eine wichtige Regel. Der Bruchstrich beschreibt nichts anderes als eine Division des Zählers durch den Nenner. Da allgemein nicht durch 0 geteilt werden kann, gilt also:
Der Nenner N eines Bruchs darf niemals 0 sein.
Mehr zu Brüchen und verschiedenen Arten von Brüchen erfährst Du in der Erklärung Brucharten.
Brüche – Brucharten
Es gibt verschiedene Arten von Brüchen. Diese lernst Du in der folgenden Tabelle Kennen
| Echte Brüche | Unechte Brüche | Gemische Brüche/Zahlen |
| Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. | Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner. | Ein gemischter Bruch besteht immer aus einer ganzen Zahl \(a\) und einem Bruch. Dabei steht die ganze Zahl direkt vor dem Bruch. |
| \[\frac{Z}{N}\Rightarrow Z<N\] | \[\frac{Z}{N}\Rightarrow N<Z\] | \[a\frac{Z}{N}\] |
Mehr zu gemischten Brüchen erfährst Du weiter unten im Kapitel Gemische Zahlen und Brüche.
Genauer beschrieben findest Du die Brucharten in der gleichnamigen Erklärung.
Brüche und Dezimalzahlen – Dezimalzahlen
Dezimalzahlen sind Brüche, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden.
Eine Dezimalzahl, auch als Dezimalbruch bezeichnet, ist ein Bruch in anderer Schreibweise. In der sogenannten Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl geschrieben.
Dabei lässt sich jeder Bruch in Dezimalschreibweise schreiben. Dafür teilst Du den Zähler des Bruchs durch seinen Nenner.
Hier siehst Du verschiedene Brüche, die in Dezimalschreibweise geschrieben werden.
\[\frac{1}{2}=\text{0,5}\]
\[\frac{1}{4}=\text{0,25}\]
\[\frac{3}{10}=\text{0,3}\]
Wie genau Du mit Dezimalzahlen rechnest und wie genau sie aufgebaut sind, kannst Du in der Erklärung Dezimalzahlen rechnen nachsehen.
Brüche und Dezimalzahlen – Bruchrechnen
Doch wie rechnest Du mit Brüchen? Das Bruchrechnen spielt in der Mathematik eine große Rolle, da Zahlen als Brüche oft viel genauer dargestellt werden können.
Der Anteil am Kuchen, der gegessen wurde, war \( \dfrac{2}{12}\). Dieser kann noch gekürzt werden.
Brüche kürzen und erweitern
Du kannst Brüche kürzen oder erweitern. Das Kürzen beschreibt dabei ein Vereinfachen des Bruchs, indem der Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler verkleinert werden. Das Erweitern ist das Gegenteil davon. Wie das Kürzen und Erweitern jeweils funktioniert, erfährst Du in folgenden Erklärungen:
Brüche addieren und subtrahieren
Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie denselben Nenner besitzen.
Hast Du zwei oder mehr Brüche gegeben, kannst Du sie addieren oder subtrahieren, indem Du sie auf den gleichen Nenner erweiterst oder kürzt. Besitzen zwei Brüche den gleichen Nenner, kannst Du ihre Zähler miteinander addieren oder voneinander subtrahieren. Der Nenner bleibt dabei fest.
Wie das aussehen kann, siehst Du in den folgenden zwei Beispielen.
Die Brüche \( \dfrac{1}{5}\) und \( \dfrac{3}{20}\) sollen addiert werden. Dafür kannst Du den ersten Bruch mit vier erweitern, um ihn auf den Nenner 20 zu bringen:
\[ \frac{1}{5}+\frac{3}{20}=\frac{1\cdot4}{5\cdot 4}+\frac{3}{20}=\frac{4}{20}+\frac{3}{20}=\frac{7}{20}\]
Da die 7 eine Primzahl ist, besitzt sie keine gemeinsamen Teiler mit der 20. Daher kann das Ergebnis nicht weiter gekürzt werden.
Möchtest Du nun den Bruch \(\dfrac{1}{2}\) von \(\dfrac{11}{14}\) subtrahieren, funktioniert es ähnlich. Den Bruch \(\dfrac{11}{14}\) kannst Du aufgrund der Primzahl 11 im Zähler nicht kürzen. Allerdings kannst Du auch hier wieder die \(\dfrac{1}{2}\) auf den Nenner 14 bringen, indem Du den Bruch mit 7 erweiterst.
\[ \frac{11}{14}-\frac{1}{2}=\frac{11}{14}-\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7}=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}=\frac{4}{14}\]
Dieses Ergebnis kann noch mit zwei gekürzt werden:
\[ \frac{4}{14}=\frac{4:2}{14:2}=\frac{2}{7}\]
Brüche multiplizieren
Die Multiplikation von Brüchen ist im Vergleich zur Addition und Subtraktion etwas schneller.
Möchtest Du zwei Brüche multiplizieren, multiplizierst Du ihre Zähler \(\color{#00dcb4}Z_1\) und \(\color{#00dcb4}Z_2\) sowie ihre Nenner \(\color{#fa3273}N_1\) und \(\color{#fa3273}N_2\) miteinander.
\[\frac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1} \cdot \frac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_2}=\frac{\color{#00dcb4}Z_1\cdot Z_2}{\color{#fa3273}N_1 \cdot N_2}\]
Sieh Dir dafür folgendes Beispiel an.
Die Brüche \(\dfrac{11}{12}\) und \(\dfrac{2}{5}\) sollen multipliziert werden. Du rechnest also
\[\frac{11}{12} \cdot \frac{2}{5}=\frac{11\cdot 2}{12 \cdot 5}=\frac{22}{60}\]
Diesen Bruch kannst Du kürzen:
\[ \frac{22}{60}=\frac{22:2}{60:2}=\frac{11}{30}\]
Brüche dividieren – Kehrwert und Kehrbruch
Für die Division zweier Brüche benötigst Du den sogenannten Kehrbruch einer der Brüche.
Der Kehrwert einer beliebigen Zahl x ist diejenige Zahl, die mit x multipliziert 1 ergibt. Die Zahl 0 wird dabei ausgeschlossen.
Ein Kehrbruch eines Bruchs \(\dfrac{Z}{N}\) ist also ein Bruch, der mit \(\dfrac{Z}{N}\) multipliziert 1 ergibt. Um dies zu erreichen, wird der Bruch Zähler mit dem Nenner multipliziert und der Nenner mit dem Zähler. So kann der Bruch dann auf 1 gekürzt werden. Das ist ja nichts anderes, als der ursprüngliche Bruch umgedreht.
Um den Kehrwert eines Bruchs, also den Kehrbruch, zu bilden, werden Zähler und Nenner vertauscht.
Anstatt nun durch den Bruch zu dividieren, kannst Du mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Alles über Kehrwerte und Kehrbrüche findest Du in der Erklärung Kehrwert.
Bei der Division zweier Brüche \(\dfrac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1}\) und \(\dfrac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_2}\) multiplizierst Du den Ersten mit dem Kehrwert des Zweiten:
\[\frac{\frac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1}}{ \frac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_2}}=\frac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1} \cdot \frac{\color{#fa3273}N_2}{\color{#00dcb4}Z_2}=\frac{\color{#00dcb4}Z_1 \color{#000000}\cdot \color{#fa3273}N_2}{\color{#fa3273}N_1 \cdot \color{#00dcb4}Z_2}\]
Hier kannst Du Dir das genaue Vorgehen anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist die Aufgabe \[\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}}\] Du multiplizierst also die \(\dfrac{3}{4}\) mit dem Kehrbruch von \(\dfrac{7}{8}\).
\[\frac{\frac{3}{4}}{ \frac{7}{8}}=\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{7}=\frac{3\cdot 8}{4 \cdot 7}=\frac{24}{28}\]
Gekürzt lautet das Ergebnis dann \(\dfrac{6}{7}\).
Mehr über das Rechnen mit Brüchen erfährst Du in der Erklärung Bruchrechnen.
Gemischte Zahlen und Brüche
Möglicherweise hast Du schon mal von gemischten Zahlen und Brüchen gehört.
Doch was genau ist eine gemischte Zahl?
Eine gemischte Zahl, auch gemischter Bruch genannt, ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.
Gemischte Zahlen können also z.B. \(1\dfrac{1}{2}\) oder \(5\dfrac{6}{7}\) sein. Dabei wurde in der Mathematik ein wenig gepfuscht, indem das + zwischen der Zahl und dem Bruch weggelassen wurde. Gemischte Zahlen können also sowohl als Bruch als auch als Dezimalzahl geschrieben werden.
Möchtest Du eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandeln, so kannst Du wie folgt vorgehen:
Vorgehen | Beispiel |
1. Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um, indem Du sie in den Zähler und eine 1 in den Nenner schreibst. | Gegeben ist die gemischte Zahl \(2 \dfrac{3}{4}.\) Schreibe also die 2 als Bruch: \[2=\frac{2}{1}\] |
2. Jetzt bringst Du diesen Bruch auf denselben Nenner des zweiten Bruchs. | Hier musst Du also \(\dfrac{2}{1}\) auf den Nenner 4 bringen, indem Du mit 4 erweiterst: \[\frac{2}{1}=\frac{2 \cdot 4}{1\cdot 4}=\frac{8}{4}\] |
3. Zuletzt addierst Du beide Brüche und kürzt den Bruch, falls dies möglich ist. | \[\frac{8}{4}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\] Dieser Bruch kann nicht mehr gekürzt werden. |
Bei dieser Art von Brüchen, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist, handelt es sich dann um sogenannte unechte Brüche.
Möchtest Du eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl umwandeln, geht das so:
| Vorgehen | Beispiel |
1. Die vordere Zahl bleibt stehen und Du schreibst ein + zwischen die Zahl und den Bruch. | Gegeben ist die gemischte Zahl \(5 \dfrac{1}{5}.\) Schreibe also \[5+\frac{1}{5}\] |
2. Du wandelst den Bruch in eine Dezimalzahl um, indem Du Zähler durch Nenner teilst. | Du rechnest \[\frac{1}{5}=1:5=\text{0,2}\] |
| Du addierst \[5+\text{0,2}=\text{5,2}\] |
Brüche und Dezimalzahlen – mit Dezimalzahlen rechnen
Möchtest Du Dezimalzahlen miteinander verrechnen, z. B. addieren oder dividieren, so kannst Du das genau so tun wie mit natürlichen Zahlen. Du solltest lediglich beachten, an welcher Stelle das Komma steht.
Mit Dezimalzahlen rechnest Du ähnlich wie mit den Zahlen, die Du bereits kennst. So kannst Du Dezimalzahlen (schriftlich) addieren und subtrahieren. Auch das (schriftliche) multiplizieren und dividieren funktioniert wie die Multiplikation bzw. Division natürlicher Zahlen. Dabei lässt Du das Komma zunächst außer Acht und fügst es am Ende an der passenden Stelle ein.
Damit Du Dir vorstellen kannst, wo genau das Komma eingefügt werden sollte, findest Du hier eine Beispielrechnung:
Bei der (schriftlichen) Addition kannst Du so rechnen wie mit natürlichen Zahlen. Schreibe bei der schriftlichen Addition jedoch immer die jeweiligen Kommata untereinander und ziehe sie am Ende mit nach unten an die passende Stelle:
\begin{align} &3,12\\+&1,45\\ \hline &4,57\end{align} Addierst Du die Zahlen im Kopf, so solltest du ebenfalls darauf achten, das Komma an der richtigen Stelle zu platzieren.
Die (schriftliche Subtraktion) funktioniert nach dem gleichen Prinzip.
Möchtest Du zwei Dezimalzahlen (schriftlich) multiplizieren, so werden zunächst alle Kommata ignoriert. Du rechnest also eine ganz normale (schriftliche) Multiplikation zweier Zahlen: \[\text{1,5} \cdot \text{15,1} \rightarrow 22\,65.\]
Dein Ergebnis enthält noch kein Komma. Dazu musst Du noch die richtige Stelle ermitteln. Du addierst die Anzahl der Nachkommastellen für jede Dezimalzahl. Die Summe zeigt dir die Anzahl der Nachkommastellen, die dein Produkt besitzen muss. Du fügst das Komma also an entsprechender Stelle ein: \[\text{1,5} \cdot \text{15,1} =\text{22,65}.\]
Bei der (schriftlichen) Division kannst Du das Komma in beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts verschieben, um durch eine ganze Zahl teilen zu können. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht. Dann ignorierst Du auch hier das Komma und berechnest ganz normal den Quotienten: \[\text{0,18} : \text{0,6} =1,8:6 \rightarrow 3.\] Da die 1,8, also der Dividend, hier eine Nachkommastelle hat, der Divisor 6 aber nicht, so sollte vor die 3 noch ein Komma. Das Ergebnis ist also 0,3: \[\text{0,18} : \text{0,6} =\text{0,3}.\]
Brüche und Dezimalzahlen – Beispiele und Berechnungen
Wie Du mit Brüchen rechnest, konntest Du hier bereits erfahren. Doch was tust Du, wenn Du plötzlich Brüche und Dezimalzahlen miteinander verrechnen sollst?
Brüche und Dezimalzahlen addieren und subtrahieren
Beim Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen bietet es sich oft an, alle gegebenen Zahlen entweder in Dezimalzahlen oder in Brüche umzuwandeln. Manchmal kannst Du jedoch so geschickt rechnen, dass Du nicht umwandeln musst.
Gegeben ist die Aufgabe \[\frac{1}{4}+\text{4,4}+\frac{3}{4}+\text{2,5}+\text{1,6}\] Hier kannst Du die Zahlen mit dem Kommutativgesetz so umtauschen, dass manche (Dezimal-)Brüche im Kopf einfacher addiert werden können. So haben die Brüche den gleichen Nenner und können addiert werden. Außerdem ist die Summe der Dezimalzahlen 4,4 und 1,6 eine ganze Zahl. Du rechnest also:
\begin{align}\color{#8363e2}\frac{1}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}\text{4,4}\color{#000000}+\color{#8363e2}\frac{3}{4}\color{#000000}+\text{2,5}+\color{#ffcd00}\text{1,6} &=\color{#8363e2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}\text{4,4}+\text{1,6}\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm] &=\color{#8363e2}\frac{4}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}6\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm]&=\color{#8363e2}1\color{#000000}+\color{#ffcd00}6\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm] &=\text{9,5}\end{align}.
Auch bei der Subtraktion bietet es sich meist an, alle gegebenen Werte entweder in Brüche oder in Dezimalzahlen umzuwandeln. Wie Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst und umgekehrt erfährst Du in folgenden zwei Erklärungen:
Brüche und Dezimalzahlen multiplizieren
Multiplizierst Du einen Bruch mit einer (Dezimal-)Zahl, so multiplizierst Du lediglich den Zähler des Bruchs mit der Zahl.
Sollst Du die Zahl 1,5 mit dem Bruch \(\dfrac{2}{3}\), so rechnest Du also
\[\text{1,5} \cdot \frac{2}{3}=\frac{\text{1,5}\cdot 2}{3}=\frac{3}{3}=1\]
Brüche und Dezimalzahlen dividieren
Möchtest Du eine Dezimalzahl durch einen Bruch dividieren, kannst Du auch hier mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Anstelle von \(2,2: \dfrac{2}{5}\) kannst Du folgendes rechnen:
\[2,2: \frac{2}{5}=2,2 \cdot \frac{5}{2}=\frac{2,2 \cdot 5}{2}=\frac{11}{2}\]
Möchtest Du andersherum einen Bruch durch eine Dezimalzahl dividieren, so multiplizierst Du den Nenner des Bruchs mit der Dezimalzahl. Das ist möglich, da ein Bruchstrich nichts anderes als eine Division darstellt.
Gegeben ist die Aufgabe \(\dfrac{3}{4}:\text{1,5}\). Hier rechnest Du dann:
\[\frac{3}{4}:\text{1,5}=\frac{3}{4 \cdot \text{1,5}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]
Der Bruch wurde im letzten Schritt gekürzt.
Brüche und Dezimalzahlen vergleichen und ordnen
Es kann vorkommen, dass Du eine Menge an Brüchen und Dezimalzahlen gegeben hast und diese der Größe nach ordnen sollst.
Bei Dezimalzahlen mag dies ja noch recht übersichtlich sein, doch wie ist das mit Brüchen? Ist der Bruch \(\dfrac{3}{8}\) größer oder der Bruch \(\dfrac{4}{9}\)?
Wie Du vorgehst, hängt davon ab, wie deine Brüche aussehen. Das Vorgehen für verschiedene Brüche kannst Du Dir in folgender Tabelle ansehen:
| Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) | Brüche mit gleichem Zähler | Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern |
Bei gleichnamigen Brüchen ist immer der Bruch mit größerem Zähler größer. | Haben Brüche einen gleichen Zähler, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. | Hast Du zwei oder mehrere Brüche vorliegen, die weder einen gleichen Nenner noch einen gleichen Zähler haben, kannst Du die Brüche nicht auf einen Blick anordnen. Dann kannst Du die Brüche durch Kürzen und Erweitern gleichnamig machen oder sie in Dezimalzahlen umwandeln. |
Bei gleichnamigen Brüchen ist immer der Bruch mit größerem Zähler größer.
Sieh Dir dazu am besten direkt folgendes Beispiel an.
Gegeben sind die Brüche \(\dfrac{1}{8}\), \(\dfrac{5}{8}\), \(\dfrac{1}{4}\).
Sie sollen der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge geordnet werden.
Zunächst siehst Du Dir die ersten beiden Brüche an: \(\dfrac{1}{8}\) und \(\dfrac{5}{8}\). Da beide gleichnamig sind und der Nenner des zweiten Bruchs größer ist, ist auch der zweite Bruch größer: \[\frac{1}{8}<\frac{5}{8}\]
Der Bruch \(\dfrac{1}{4}\) besitzt den gleichen Zähler wie \(\dfrac{1}{8}\), sein Nenner ist aber kleiner, weshalb \(\dfrac{1}{4}\) der größere Bruch ist. Um zu sehen, ob er größer oder kleiner als \(\dfrac{5}{8}\) ist, muss er auf den gleichen Nenner gebracht werden:
\[\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\]
Er ist also kleiner und liegt damit zwischen \(\dfrac{1}{8}\) und \(\dfrac{5}{8}\): \[\frac{1}{8}<\frac{1}{4}<\frac{5}{8}\]
Brüche und Dezimalzahlen – in Prozente umwandeln
Für die Umrechnung einer Prozentangabe in Brüche gibt es eine konkrete Formel. Das Wort „Prozent“ ist abgeleitet aus dem italienischen und bedeutet so viel wie „bezogen auf Hundert“.
Ein Prozent ist definiert durch den Bruch
\[1\%=\frac{1}{100}.\]
Dementsprechend gilt für p%
\[\text{p}\%=\frac{\text{p}}{100}.\]
Möchtest Du eine gegebene Prozentzahl in eine Dezimalzahl umwandeln, so dividierst Du die Prozentzahl ebenfalls durch 100. Es passiert also nichts anderes als bei der Bruchschreibweise.
Du kannst Prozente in Dezimalzahlen umwandeln, indem Du sie durch 100 dividierst:
\[\text{p}\%=\text{p}:100.\]
Umgekehrt kannst Du natürlich auch Dezimalzahlen in Prozent umrechnen, indem Du sie mit 100 multiplizierst.
Schreibe 55% als Bruch und Dezimalzahl.
Als Bruch gilt
\[55\%=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}\]
Für die Dezimalzahl gilt
\[55\%=55:100=\text{0,55}\]
Wenn Du mehr über Prozente erfahren willst, sieh Dir gerne die Erklärung Prozent an.
Brüche und Dezimalzahlen – Aufgaben und Übungen
In dieser Erklärung konntest Du nun einiges über Brüche und Dezimalzahlen sowie das Rechnen mit ihnen erfahren. Hier findest Du nun ein paar Aufgaben, mit denen Du üben kannst.
Aufgabe 1
Berechne die folgenden Aufgaben.
a) \[\frac{3}{20}+\frac{1}{5}\]
b) \[\text{1,5} \cdot \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) \]
Lösung
a) Hier wird der zweite Bruch mit 4 erweitert, damit die Brüche gleichnamig sind und addiert werden können. \[\frac{3}{20}+\frac{1}{5}=\frac{3}{20}+\frac{4}{20}=\frac{7}{20}\]
b) Zuerst bringst Du beide Brüche auf den gleichen Nenner, um sie zu addieren. Hier bietet sich 12 als gemeinsamer Nenner an. Dann multiplizierst Du mit 1,5.
\begin{align}\text{1,5} \cdot \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) &=\text{1,5} \cdot \left( \frac{3}{12}+\frac{4}{12}\right)\\[0.2cm ] &= \text{1,5} \cdot \frac{7}{12} \\[0.2cm ]&=\frac{\text{10,5}}{12}\\[0.2cm ]&=\text{0,875}\end{align}
Aufgabe 2
Eine Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten Mehl. Eine halbe Tüte ist noch da. Jede der Tüten wiegt \(1\dfrac{1}{2}\) kg. Wie viel Kilogramm Mehl besitzt die Pizzeria dann?
Lösung
Die Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten und besitzt noch eine halbe Tüte. Das sind also 25,5 Tüten. Diese multiplizierst Du mit dem Gewicht einer einzelnen Tüte. Dafür kannst Du die gemischte Zahl vorab in einen Bruch umwandeln:
\[1\frac{1}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\]
Jede Tüte wiegt also \(\dfrac{3}{2}\) kg.
Nun kannst Du die Anzahl der Tüten mit ihrem Gewicht multiplizieren:
\begin{align}\text{25,5} \cdot \frac{3}{2}&=\frac{\text{25,5} \cdot3}{2}\\[0.2cm]&=\frac{\text{76,5}}{2}\\[0.2cm]&=\text{38,25}\end{align}
Die Pizzeria besitzt also \(38,25 \,\text{kg} \) Mehl.
Aufgabe 3
Sortiere die Zahlen nach Größe. Beginne dabei mit der kleinsten.
a) \[\frac{1}{3},\, \frac{1}{4},\,\frac{2}{3},\,\frac{5}{6}\]
b) \[\text{0,7},\, \frac{9}{10},\,\text{0,5} \]
Lösung
a) Die richtige Reihenfolge ist
\[\frac{1}{4}<\frac{1}{3}< \frac{2}{3}<\frac{5}{6}\]
b) Hier bietet es sich an, den Bruch in Dezimalschreibweise zu schreiben: \[\frac{9}{10}=0,9.\] Er ist also größer als die beiden anderen Dezimalzahlen.
Damit lautet die Reihenfolge
\[\text{0,5}<\text{0,7},\, \frac{9}{10}\]
Brüche und Dezimalzahlen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Brüche beschreiben Anteile an einem Ganzen. Du berechnest sie mit der Formel \[\text{Anteil}=\frac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}}\]
- Ein Bruch ist die Trennung zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler Z, die Zahl darunter Nenner N: \[\frac{Z}{N}\] Der Nenner eines Bruchs darf niemals 0 sein.
- Eine Dezimalzahl ist ein Bruch in der sogenannten Dezimalschreibweise. Er wird dann als Kommazahl geschrieben.
- Du kannst Brüche kürzen, indem Du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler teilst.
- Brüche können erweitert werden, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden. Dies wird nützlich beim Rechnen mit Brüchen.
- Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem sie auf den gleichen Nenner gebracht und nur die Zähler addiert/subtrahiert werden.
- Bei der Multiplikation von Brüchen werden jeweils die Zähler untereinander multipliziert sowie die Nenner.
- Dividierst Du durch einen Bruch, so kannst Du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
- Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Du kannst sie in einen Bruch oder eine Dezimalzahl umwandeln.
- Um Brüche und Dezimalzahlen untereinander zu verrechnen, bietet es sich meist an, alle Zahlen zunächst als Brüche oder Dezimalzahlen zu schreiben. So kannst Du außerdem Brüche vergleichen und ordnen.
- Ein Prozent ist definiert durch den Bruch \[1\%=\frac{1}{100}\] und die Dezimalzahl berechnet sich aus \[\text{p}\%=\text{p}:100\]
Nachweise
- Homrighausen (2021). Klett KomplettTrainer Gymnasium Mathematik 6. Klasse. Klett Verlag.
- Motzer (2017). Brüche, Verhältnisse und Wurzeln. Grundlagen wiederentdecken und interessante Anwendungen neu kennenlernen. Springer Fachmedien Wiesbaden.
Erklärungen 
Magazine 
