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Brüche und Dezimalzahlen

Brüche und Dezimalzahlen

Hast Du schon einmal eine Tafel Schokolade fair mit jemandem geteilt? Dann hast Du sie sicher in der Hälfte durchgebrochen. So bleibt Dir genau \(\dfrac{1}{2}\) bzw. 0,5 der Tafel übrig. Doch woher kommen diese Schreibweisen und warum kann der Anteil der Schokolade so ausgedrückt werden? Das lernst Du in dieser Erklärung über Brüche und Dezimalzahlen.

Brüche und Dezimalzahlen sind Zahlen, die Anteile an einem Ganzen beschreiben. Mit ihnen kannst Du rechnen oder Prozente angeben. Hier lernst Du unter anderem, wie Du Brüche und Dezimalzahlen addieren und subtrahieren kannst, wie Du Prozente in Brüche und Dezimalzahlen umwandeln und wie Du Brüche und Dezimalzahlen vergleichen kannst. Außerdem findest Du im Anschluss direkt Übungen zu diesen Themen.

Brüche und Dezimalzahlen – Bruchteil und Anteil

Die Begriffe Bruchteil und Anteil bedeuten verschiedene Dinge. Dabei spielen sie für Brüche eine große Rolle.

Stell Dir vor, Du hast einen runden Kuchen und schneidest ihn in zwölf gleich große Teile.

Der Kuchen entspricht hierbei dem Ganzen. Ein Bruchteil des Kuchens ist genau eines von den zwölf Stücken. Isst Du also zwei der Stücke, hast Du zwei Bruchteile des Kuchens gegessen.

Der Bruchteil gibt eine Teilmenge des Ganzen an. Für ihn kannst Du immer eine Einheit angeben.

Die Einheit des Kuchenbeispiels ist hier dementsprechend Stücke.

Da Du nun zwei Stücke des Kuchens gegessen hast, kann dies auch als Anteil ausgedrückt werden. Der gegessene Anteil des Kuchens ist \(\dfrac{2}{12}\).

Der Anteil beschreibt das Verhältnis vom Bruchteil zum Ganzen.

Du kannst den Bruchteil, das Ganze oder den Anteil mithilfe einer bestimmten Formel berechnen: \[\text{Anteil}=\frac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}}\]

Genaueres darüber erfährst Du in der Erklärung Bruchteil Anteil.

Brüche und Dezimalzahlen – Brüche

Hier bekommst Du einen Überblick zu Brüchen allgemein und zu verschiedenen Arten von Brüchen.

Brüche – Definition

Du weißt also nun, wie ein Anteil ausgerechnet wird. Die Form, die dieser annimmt, wird dann Bruch genannt.

Ein Bruch ist die Trennung zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt dabei Zähler Z, die Zahl unter dem Bruchstrich wird Nenner N genannt: \[\frac{\color{#00dcb4}Z}{\color{#fa3273}N}\]

Erinnerst Du Dich an die Kuchensituation?

Da Du zwei Stücke gegessen hast, ist der Anteil des Kuchens, den Du gegessen hast, \(\dfrac{2}{12}\). Der Zähler ist hier also die 2, der Nenner ist die 12.

Für Brüche gibt es eine wichtige Regel. Der Bruchstrich beschreibt nichts anderes als eine Division des Zählers durch den Nenner. Da allgemein nicht durch 0 geteilt werden kann, gilt also:

Der Nenner N eines Bruchs darf niemals 0 sein.

Mehr zu Brüchen und verschiedenen Arten von Brüchen erfährst Du in der Erklärung Brucharten.

Brüche – Brucharten

Es gibt verschiedene Arten von Brüchen. Diese lernst Du in der folgenden Tabelle Kennen

Echte BrücheUnechte BrücheGemische Brüche/Zahlen
Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist.Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner.Ein gemischter Bruch besteht immer aus einer ganzen Zahl \(a\) und einem Bruch. Dabei steht die ganze Zahl direkt vor dem Bruch.
\[\frac{Z}{N}\Rightarrow Z<N\]\[\frac{Z}{N}\Rightarrow N<Z\]\[a\frac{Z}{N}\]

Mehr zu gemischten Brüchen erfährst Du weiter unten im Kapitel Gemische Zahlen und Brüche.

Genauer beschrieben findest Du die Brucharten in der gleichnamigen Erklärung.

Brüche und Dezimalzahlen – Dezimalzahlen

Dezimalzahlen sind Brüche, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden.

Eine Dezimalzahl, auch als Dezimalbruch bezeichnet, ist ein Bruch in anderer Schreibweise. In der sogenannten Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl geschrieben.

Dabei lässt sich jeder Bruch in Dezimalschreibweise schreiben. Dafür teilst Du den Zähler des Bruchs durch seinen Nenner.

Hier siehst Du verschiedene Brüche, die in Dezimalschreibweise geschrieben werden.

\[\frac{1}{2}=\text{0,5}\]

\[\frac{1}{4}=\text{0,25}\]

\[\frac{3}{10}=\text{0,3}\]

Wie genau Du mit Dezimalzahlen rechnest und wie genau sie aufgebaut sind, kannst Du in der Erklärung Dezimalzahlen rechnen nachsehen.

Brüche und Dezimalzahlen – Bruchrechnen

Doch wie rechnest Du mit Brüchen? Das Bruchrechnen spielt in der Mathematik eine große Rolle, da Zahlen als Brüche oft viel genauer dargestellt werden können.

Der Anteil am Kuchen, der gegessen wurde, war \( \dfrac{2}{12}\). Dieser kann noch gekürzt werden.

Brüche kürzen und erweitern

Du kannst Brüche kürzen oder erweitern. Das Kürzen beschreibt dabei ein Vereinfachen des Bruchs, indem der Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler verkleinert werden. Das Erweitern ist das Gegenteil davon. Wie das Kürzen und Erweitern jeweils funktioniert, erfährst Du in folgenden Erklärungen:

Brüche addieren und subtrahieren

Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie denselben Nenner besitzen.

Hast Du zwei oder mehr Brüche gegeben, kannst Du sie addieren oder subtrahieren, indem Du sie auf den gleichen Nenner erweiterst oder kürzt. Besitzen zwei Brüche den gleichen Nenner, kannst Du ihre Zähler miteinander addieren oder voneinander subtrahieren. Der Nenner bleibt dabei fest.

Wie das aussehen kann, siehst Du in den folgenden zwei Beispielen.

Die Brüche \( \dfrac{1}{5}\) und \( \dfrac{3}{20}\) sollen addiert werden. Dafür kannst Du den ersten Bruch mit vier erweitern, um ihn auf den Nenner 20 zu bringen:

\[ \frac{1}{5}+\frac{3}{20}=\frac{1\cdot4}{5\cdot 4}+\frac{3}{20}=\frac{4}{20}+\frac{3}{20}=\frac{7}{20}\]

Da die 7 eine Primzahl ist, besitzt sie keine gemeinsamen Teiler mit der 20. Daher kann das Ergebnis nicht weiter gekürzt werden.

Möchtest Du nun den Bruch \(\dfrac{1}{2}\) von \(\dfrac{11}{14}\) subtrahieren, funktioniert es ähnlich. Den Bruch \(\dfrac{11}{14}\) kannst Du aufgrund der Primzahl 11 im Zähler nicht kürzen. Allerdings kannst Du auch hier wieder die \(\dfrac{1}{2}\) auf den Nenner 14 bringen, indem Du den Bruch mit 7 erweiterst.

\[ \frac{11}{14}-\frac{1}{2}=\frac{11}{14}-\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7}=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}=\frac{4}{14}\]

Dieses Ergebnis kann noch mit zwei gekürzt werden:

\[ \frac{4}{14}=\frac{4:2}{14:2}=\frac{2}{7}\]

Brüche multiplizieren

Die Multiplikation von Brüchen ist im Vergleich zur Addition und Subtraktion etwas schneller.

Möchtest Du zwei Brüche multiplizieren, multiplizierst Du ihre Zähler \(\color{#00dcb4}Z_1\) und \(\color{#00dcb4}Z_2\) sowie ihre Nenner \(\color{#fa3273}N_1\) und \(\color{#fa3273}N_2\) miteinander.

\[\frac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1} \cdot \frac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_2}=\frac{\color{#00dcb4}Z_1\cdot Z_2}{\color{#fa3273}N_1 \cdot N_2}\]

Sieh Dir dafür folgendes Beispiel an.

Die Brüche \(\dfrac{11}{12}\) und \(\dfrac{2}{5}\) sollen multipliziert werden. Du rechnest also

\[\frac{11}{12} \cdot \frac{2}{5}=\frac{11\cdot 2}{12 \cdot 5}=\frac{22}{60}\]

Diesen Bruch kannst Du kürzen:

\[ \frac{22}{60}=\frac{22:2}{60:2}=\frac{11}{30}\]

Brüche dividieren – Kehrwert und Kehrbruch

Für die Division zweier Brüche benötigst Du den sogenannten Kehrbruch einer der Brüche.

Der Kehrwert einer beliebigen Zahl x ist diejenige Zahl, die mit x multipliziert 1 ergibt. Die Zahl 0 wird dabei ausgeschlossen.

Ein Kehrbruch eines Bruchs \(\dfrac{Z}{N}\) ist also ein Bruch, der mit \(\dfrac{Z}{N}\) multipliziert 1 ergibt. Um dies zu erreichen, wird der Bruch Zähler mit dem Nenner multipliziert und der Nenner mit dem Zähler. So kann der Bruch dann auf 1 gekürzt werden. Das ist ja nichts anderes, als der ursprüngliche Bruch umgedreht.

Um den Kehrwert eines Bruchs, also den Kehrbruch, zu bilden, werden Zähler und Nenner vertauscht.

Anstatt nun durch den Bruch zu dividieren, kannst Du mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Alles über Kehrwerte und Kehrbrüche findest Du in der Erklärung Kehrwert.

Bei der Division zweier Brüche \(\dfrac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1}\) und \(\dfrac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_2}\) multiplizierst Du den Ersten mit dem Kehrwert des Zweiten:

\[\frac{\frac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1}}{ \frac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_2}}=\frac{\color{#00dcb4}Z_1}{\color{#fa3273}N_1} \cdot \frac{\color{#fa3273}N_2}{\color{#00dcb4}Z_2}=\frac{\color{#00dcb4}Z_1 \color{#000000}\cdot \color{#fa3273}N_2}{\color{#fa3273}N_1 \cdot \color{#00dcb4}Z_2}\]

Hier kannst Du Dir das genaue Vorgehen anhand eines Beispiels ansehen.

Gegeben ist die Aufgabe \[\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}}\] Du multiplizierst also die \(\dfrac{3}{4}\) mit dem Kehrbruch von \(\dfrac{7}{8}\).

\[\frac{\frac{3}{4}}{ \frac{7}{8}}=\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{7}=\frac{3\cdot 8}{4 \cdot 7}=\frac{24}{28}\]

Gekürzt lautet das Ergebnis dann \(\dfrac{6}{7}\).

Mehr über das Rechnen mit Brüchen erfährst Du in der Erklärung Bruchrechnen.

Gemischte Zahlen und Brüche

Möglicherweise hast Du schon mal von gemischten Zahlen und Brüchen gehört.

Doch was genau ist eine gemischte Zahl?

Eine gemischte Zahl, auch gemischter Bruch genannt, ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Gemischte Zahlen können also z.B. \(1\dfrac{1}{2}\) oder \(5\dfrac{6}{7}\) sein. Dabei wurde in der Mathematik ein wenig gepfuscht, indem das + zwischen der Zahl und dem Bruch weggelassen wurde. Gemischte Zahlen können also sowohl als Bruch als auch als Dezimalzahl geschrieben werden.

Möchtest Du eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandeln, so kannst Du wie folgt vorgehen:

Vorgehen
Beispiel
1. Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um, indem Du sie in den Zähler und eine 1 in den Nenner schreibst.
Gegeben ist die gemischte Zahl \(2 \dfrac{3}{4}.\) Schreibe also die 2 als Bruch:
\[2=\frac{2}{1}\]
2. Jetzt bringst Du diesen Bruch auf denselben Nenner des zweiten Bruchs.
Hier musst Du also \(\dfrac{2}{1}\) auf den Nenner 4 bringen, indem Du mit 4 erweiterst:
\[\frac{2}{1}=\frac{2 \cdot 4}{1\cdot 4}=\frac{8}{4}\]
3. Zuletzt addierst Du beide Brüche und kürzt den Bruch, falls dies möglich ist.
\[\frac{8}{4}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\]
Dieser Bruch kann nicht mehr gekürzt werden.

Bei dieser Art von Brüchen, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist, handelt es sich dann um sogenannte unechte Brüche.

Möchtest Du eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl umwandeln, geht das so:

VorgehenBeispiel
1. Die vordere Zahl bleibt stehen und Du schreibst ein + zwischen die Zahl und den Bruch.
Gegeben ist die gemischte Zahl \(5 \dfrac{1}{5}.\) Schreibe also
\[5+\frac{1}{5}\]
2. Du wandelst den Bruch in eine Dezimalzahl um, indem Du Zähler durch Nenner teilst.
Du rechnest
\[\frac{1}{5}=1:5=\text{0,2}\]
3. Du addierst beide Dezimalzahlen miteinander.
Du addierst
\[5+\text{0,2}=\text{5,2}\]

Brüche und Dezimalzahlen – mit Dezimalzahlen rechnen

Möchtest Du Dezimalzahlen miteinander verrechnen, z. B. addieren oder dividieren, so kannst Du das genau so tun wie mit natürlichen Zahlen. Du solltest lediglich beachten, an welcher Stelle das Komma steht.

Mit Dezimalzahlen rechnest Du ähnlich wie mit den Zahlen, die Du bereits kennst. So kannst Du Dezimalzahlen (schriftlich) addieren und subtrahieren. Auch das (schriftliche) multiplizieren und dividieren funktioniert wie die Multiplikation bzw. Division natürlicher Zahlen. Dabei lässt Du das Komma zunächst außer Acht und fügst es am Ende an der passenden Stelle ein.

Damit Du Dir vorstellen kannst, wo genau das Komma eingefügt werden sollte, findest Du hier eine Beispielrechnung:

Bei der (schriftlichen) Addition kannst Du so rechnen wie mit natürlichen Zahlen. Schreibe bei der schriftlichen Addition jedoch immer die jeweiligen Kommata untereinander und ziehe sie am Ende mit nach unten an die passende Stelle:

\begin{align} &3,12\\+&1,45\\ \hline &4,57\end{align} Addierst Du die Zahlen im Kopf, so solltest du ebenfalls darauf achten, das Komma an der richtigen Stelle zu platzieren.

Die (schriftliche Subtraktion) funktioniert nach dem gleichen Prinzip.

Möchtest Du zwei Dezimalzahlen (schriftlich) multiplizieren, so werden zunächst alle Kommata ignoriert. Du rechnest also eine ganz normale (schriftliche) Multiplikation zweier Zahlen: \[\text{1,5} \cdot \text{15,1} \rightarrow 22\,65.\]

Dein Ergebnis enthält noch kein Komma. Dazu musst Du noch die richtige Stelle ermitteln. Du addierst die Anzahl der Nachkommastellen für jede Dezimalzahl. Die Summe zeigt dir die Anzahl der Nachkommastellen, die dein Produkt besitzen muss. Du fügst das Komma also an entsprechender Stelle ein: \[\text{1,5} \cdot \text{15,1} =\text{22,65}.\]

Bei der (schriftlichen) Division kannst Du das Komma in beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts verschieben, um durch eine ganze Zahl teilen zu können. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht. Dann ignorierst Du auch hier das Komma und berechnest ganz normal den Quotienten: \[\text{0,18} : \text{0,6} =1,8:6 \rightarrow 3.\] Da die 1,8, also der Dividend, hier eine Nachkommastelle hat, der Divisor 6 aber nicht, so sollte vor die 3 noch ein Komma. Das Ergebnis ist also 0,3: \[\text{0,18} : \text{0,6} =\text{0,3}.\]

Mehr zum Rechnen mit Dezimalzahlen erfährst Du in der Erklärung Dezimalzahlen rechnen.

Brüche und Dezimalzahlen – Beispiele und Berechnungen

Wie Du mit Brüchen rechnest, konntest Du hier bereits erfahren. Doch was tust Du, wenn Du plötzlich Brüche und Dezimalzahlen miteinander verrechnen sollst?

Brüche und Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Beim Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen bietet es sich oft an, alle gegebenen Zahlen entweder in Dezimalzahlen oder in Brüche umzuwandeln. Manchmal kannst Du jedoch so geschickt rechnen, dass Du nicht umwandeln musst.

Gegeben ist die Aufgabe \[\frac{1}{4}+\text{4,4}+\frac{3}{4}+\text{2,5}+\text{1,6}\] Hier kannst Du die Zahlen mit dem Kommutativgesetz so umtauschen, dass manche (Dezimal-)Brüche im Kopf einfacher addiert werden können. So haben die Brüche den gleichen Nenner und können addiert werden. Außerdem ist die Summe der Dezimalzahlen 4,4 und 1,6 eine ganze Zahl. Du rechnest also:

\begin{align}\color{#8363e2}\frac{1}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}\text{4,4}\color{#000000}+\color{#8363e2}\frac{3}{4}\color{#000000}+\text{2,5}+\color{#ffcd00}\text{1,6} &=\color{#8363e2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}\text{4,4}+\text{1,6}\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm] &=\color{#8363e2}\frac{4}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}6\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm]&=\color{#8363e2}1\color{#000000}+\color{#ffcd00}6\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm] &=\text{9,5}\end{align}.

Auch bei der Subtraktion bietet es sich meist an, alle gegebenen Werte entweder in Brüche oder in Dezimalzahlen umzuwandeln. Wie Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst und umgekehrt erfährst Du in folgenden zwei Erklärungen:

Brüche und Dezimalzahlen multiplizieren

Multiplizierst Du einen Bruch mit einer (Dezimal-)Zahl, so multiplizierst Du lediglich den Zähler des Bruchs mit der Zahl.

Sollst Du die Zahl 1,5 mit dem Bruch \(\dfrac{2}{3}\), so rechnest Du also

\[\text{1,5} \cdot \frac{2}{3}=\frac{\text{1,5}\cdot 2}{3}=\frac{3}{3}=1\]

Brüche und Dezimalzahlen dividieren

Möchtest Du eine Dezimalzahl durch einen Bruch dividieren, kannst Du auch hier mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Anstelle von \(2,2: \dfrac{2}{5}\) kannst Du folgendes rechnen:

\[2,2: \frac{2}{5}=2,2 \cdot \frac{5}{2}=\frac{2,2 \cdot 5}{2}=\frac{11}{2}\]

Möchtest Du andersherum einen Bruch durch eine Dezimalzahl dividieren, so multiplizierst Du den Nenner des Bruchs mit der Dezimalzahl. Das ist möglich, da ein Bruchstrich nichts anderes als eine Division darstellt.

Gegeben ist die Aufgabe \(\dfrac{3}{4}:\text{1,5}\). Hier rechnest Du dann:

\[\frac{3}{4}:\text{1,5}=\frac{3}{4 \cdot \text{1,5}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Der Bruch wurde im letzten Schritt gekürzt.

Brüche und Dezimalzahlen vergleichen und ordnen

Es kann vorkommen, dass Du eine Menge an Brüchen und Dezimalzahlen gegeben hast und diese der Größe nach ordnen sollst.

Bei Dezimalzahlen mag dies ja noch recht übersichtlich sein, doch wie ist das mit Brüchen? Ist der Bruch \(\dfrac{3}{8}\) größer oder der Bruch \(\dfrac{4}{9}\)?

Wie Du vorgehst, hängt davon ab, wie deine Brüche aussehen. Das Vorgehen für verschiedene Brüche kannst Du Dir in folgender Tabelle ansehen:

Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche)Brüche mit gleichem ZählerBrüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern

Bei gleichnamigen Brüchen ist immer der Bruch mit größerem Zähler größer.

Haben Brüche einen gleichen Zähler, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.

Hast Du zwei oder mehrere Brüche vorliegen, die weder einen gleichen Nenner noch einen gleichen Zähler haben, kannst Du die Brüche nicht auf einen Blick anordnen.

Dann kannst Du die Brüche durch Kürzen und Erweitern gleichnamig machen oder sie in Dezimalzahlen umwandeln.

Bei gleichnamigen Brüchen ist immer der Bruch mit größerem Zähler größer.

Sieh Dir dazu am besten direkt folgendes Beispiel an.

Gegeben sind die Brüche \(\dfrac{1}{8}\), \(\dfrac{5}{8}\), \(\dfrac{1}{4}\).

Sie sollen der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge geordnet werden.

Zunächst siehst Du Dir die ersten beiden Brüche an: \(\dfrac{1}{8}\) und \(\dfrac{5}{8}\). Da beide gleichnamig sind und der Nenner des zweiten Bruchs größer ist, ist auch der zweite Bruch größer: \[\frac{1}{8}<\frac{5}{8}\]

Der Bruch \(\dfrac{1}{4}\) besitzt den gleichen Zähler wie \(\dfrac{1}{8}\), sein Nenner ist aber kleiner, weshalb \(\dfrac{1}{4}\) der größere Bruch ist. Um zu sehen, ob er größer oder kleiner als \(\dfrac{5}{8}\) ist, muss er auf den gleichen Nenner gebracht werden:

\[\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\]

Er ist also kleiner und liegt damit zwischen \(\dfrac{1}{8}\) und \(\dfrac{5}{8}\): \[\frac{1}{8}<\frac{1}{4}<\frac{5}{8}\]

Mehr zu diesem Thema erfährst Du in der Erklärung Brüche vergleichen und ordnen.

Brüche und Dezimalzahlen – in Prozente umwandeln

Für die Umrechnung einer Prozentangabe in Brüche gibt es eine konkrete Formel. Das Wort „Prozent“ ist abgeleitet aus dem italienischen und bedeutet so viel wie „bezogen auf Hundert“.

Ein Prozent ist definiert durch den Bruch

\[1\%=\frac{1}{100}.\]

Dementsprechend gilt für p%

\[\text{p}\%=\frac{\text{p}}{100}.\]

Möchtest Du eine gegebene Prozentzahl in eine Dezimalzahl umwandeln, so dividierst Du die Prozentzahl ebenfalls durch 100. Es passiert also nichts anderes als bei der Bruchschreibweise.

Du kannst Prozente in Dezimalzahlen umwandeln, indem Du sie durch 100 dividierst:

\[\text{p}\%=\text{p}:100.\]

Umgekehrt kannst Du natürlich auch Dezimalzahlen in Prozent umrechnen, indem Du sie mit 100 multiplizierst.

Schreibe 55% als Bruch und Dezimalzahl.

Als Bruch gilt

\[55\%=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}\]

Für die Dezimalzahl gilt

\[55\%=55:100=\text{0,55}\]

Wenn Du mehr über Prozente erfahren willst, sieh Dir gerne die Erklärung Prozent an.

Brüche und Dezimalzahlen – Aufgaben und Übungen

In dieser Erklärung konntest Du nun einiges über Brüche und Dezimalzahlen sowie das Rechnen mit ihnen erfahren. Hier findest Du nun ein paar Aufgaben, mit denen Du üben kannst.

Aufgabe 1

Berechne die folgenden Aufgaben.

a) \[\frac{3}{20}+\frac{1}{5}\]

b) \[\text{1,5} \cdot \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) \]

Lösung

a) Hier wird der zweite Bruch mit 4 erweitert, damit die Brüche gleichnamig sind und addiert werden können. \[\frac{3}{20}+\frac{1}{5}=\frac{3}{20}+\frac{4}{20}=\frac{7}{20}\]

b) Zuerst bringst Du beide Brüche auf den gleichen Nenner, um sie zu addieren. Hier bietet sich 12 als gemeinsamer Nenner an. Dann multiplizierst Du mit 1,5.

\begin{align}\text{1,5} \cdot \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) &=\text{1,5} \cdot \left( \frac{3}{12}+\frac{4}{12}\right)\\[0.2cm ] &= \text{1,5} \cdot \frac{7}{12} \\[0.2cm ]&=\frac{\text{10,5}}{12}\\[0.2cm ]&=\text{0,875}\end{align}

Aufgabe 2

Eine Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten Mehl. Eine halbe Tüte ist noch da. Jede der Tüten wiegt \(1\dfrac{1}{2}\) kg. Wie viel Kilogramm Mehl besitzt die Pizzeria dann?

Lösung

Die Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten und besitzt noch eine halbe Tüte. Das sind also 25,5 Tüten. Diese multiplizierst Du mit dem Gewicht einer einzelnen Tüte. Dafür kannst Du die gemischte Zahl vorab in einen Bruch umwandeln:

\[1\frac{1}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\]

Jede Tüte wiegt also \(\dfrac{3}{2}\) kg.

Nun kannst Du die Anzahl der Tüten mit ihrem Gewicht multiplizieren:

\begin{align}\text{25,5} \cdot \frac{3}{2}&=\frac{\text{25,5} \cdot3}{2}\\[0.2cm]&=\frac{\text{76,5}}{2}\\[0.2cm]&=\text{38,25}\end{align}

Die Pizzeria besitzt also \(38,25 \,\text{kg} \) Mehl.

Aufgabe 3

Sortiere die Zahlen nach Größe. Beginne dabei mit der kleinsten.

a) \[\frac{1}{3},\, \frac{1}{4},\,\frac{2}{3},\,\frac{5}{6}\]

b) \[\text{0,7},\, \frac{9}{10},\,\text{0,5} \]

Lösung

a) Die richtige Reihenfolge ist

\[\frac{1}{4}<\frac{1}{3}< \frac{2}{3}<\frac{5}{6}\]

b) Hier bietet es sich an, den Bruch in Dezimalschreibweise zu schreiben: \[\frac{9}{10}=0,9.\] Er ist also größer als die beiden anderen Dezimalzahlen.

Damit lautet die Reihenfolge

\[\text{0,5}<\text{0,7},\, \frac{9}{10}\]

Brüche und Dezimalzahlen – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Brüche beschreiben Anteile an einem Ganzen. Du berechnest sie mit der Formel \[\text{Anteil}=\frac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}}\]
  • Ein Bruch ist die Trennung zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler Z, die Zahl darunter Nenner N: \[\frac{Z}{N}\] Der Nenner eines Bruchs darf niemals 0 sein.
  • Eine Dezimalzahl ist ein Bruch in der sogenannten Dezimalschreibweise. Er wird dann als Kommazahl geschrieben.
  • Du kannst Brüche kürzen, indem Du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler teilst.
  • Brüche können erweitert werden, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden. Dies wird nützlich beim Rechnen mit Brüchen.
  • Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem sie auf den gleichen Nenner gebracht und nur die Zähler addiert/subtrahiert werden.
  • Bei der Multiplikation von Brüchen werden jeweils die Zähler untereinander multipliziert sowie die Nenner.
  • Dividierst Du durch einen Bruch, so kannst Du stattdessen mit dem Kehrbruch multiplizieren.
  • Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Du kannst sie in einen Bruch oder eine Dezimalzahl umwandeln.
  • Um Brüche und Dezimalzahlen untereinander zu verrechnen, bietet es sich meist an, alle Zahlen zunächst als Brüche oder Dezimalzahlen zu schreiben. So kannst Du außerdem Brüche vergleichen und ordnen.
  • Ein Prozent ist definiert durch den Bruch \[1\%=\frac{1}{100}\] und die Dezimalzahl berechnet sich aus \[\text{p}\%=\text{p}:100\]

Nachweise

  1. Homrighausen (2021). Klett KomplettTrainer Gymnasium Mathematik 6. Klasse. Klett Verlag.
  2. Motzer (2017). Brüche, Verhältnisse und Wurzeln. Grundlagen wiederentdecken und interessante Anwendungen neu kennenlernen. Springer Fachmedien Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche und Dezimalzahlen

Ja, jede (Dezimal-)Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Dafür zählst Du die Nachkommastellen und notierst sie als Division mit Zehnerpotenz.

Du kannst einen Bruch als Dezimalzahl schreiben, indem Du seinen Zähler durch den Nenner teilst. 

Beispiel: 1/2 ist 1 : 2 = 0,5.

Du schreibst die Dezimalzahl ohne Komma in den Zähler. In den Nenner schreibst Du eine 1 und so viele Nullen, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat.

Beispiel: 3,14 = 314/100.

Beides sind Schreibweisen für Zahlen. Jede Dezimalzahl kann als Bruch dargestellt werden. Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Bruchstrich getrennt werden. Eine Dezimalzahl dagegen ist eine Kommazahl mit Stellen vor und nach dem Komma.

Finales Brüche und Dezimalzahlen Quiz

Frage

Was ist eine gemischte Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Art von gemischten Zahlen kannst Du in einen Bruch umwandeln?

Antwort anzeigen

Antwort

alle

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um?

Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst wird die ganze Zahl als Bruch geschrieben. Dabei sollte der Nenner derselbe sein wie beim Bruch der gemischten Zahl. Anschließend werden die beiden Brüche addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man einen Bruch in eine gemischte Zahl um?

Antwort anzeigen

Antwort

Als Erstes formst Du den Zähler des Bruches in eine Summe um, wo der erste Summand ohne Rest von dem Nenner geteilt werden kann. Schreibe die Summe in den Zähler.

Danach ziehst Du den Bruch auseinander.

Zum Schluss wandelst Du den ersten Bruch in eine ganze Zahl um und kürze gegebenenfalls den zweiten Bruch. 

Frage anzeigen

Frage

Wie addiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Option 1: Man addiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und addiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert oder dividiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dazu wandelt man die gemischten Zahlen in Brüche um, und multipliziert bzw. dividiert dann wie aus der Bruchrechnung bekannt.

Frage anzeigen

Frage

Wie subtrahiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Option 1: Man subtrahiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und subtrahiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Dezimalzahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. 


Frage anzeigen

Frage

Welche drei Arten von Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • endliche Dezimalzahlen
  • periodische Dezimalzahlen
  • unendliche Dezimalzahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine endliche Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine endliche Dezimalzahl hat endlich viele Nachkommastellen. Irgendwann hört die Zahl also auf.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine periodische Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Periodische Dezimalzahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, jedoch wiederholt sich bei den Nachkommastellen eine Ziffernfolge immer wieder. Diese wird dann Periode genannt.


Frage anzeigen

Frage

Welche Arten von periodischen Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • rein periodische Dezimalzahlen
  • gemischt periodische Dezimalzahlen

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Frage

Welche Art von Dezimalzahlen gehört nicht zu der Menge der rationalen Zahlen?

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unendliche Dezimalbrüche

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Was ist eine unendliche Dezimalzahl?

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Unendliche Dezimalbrüche haben unendlich viele Nachkommastellen, die jedoch nicht periodisch sind. 

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Was ist eine Endnull?

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Eine Endnull ist eine Null, die man an endliche Dezimalzahlen anhängen kann. Sie verändern den Wert der Dezimalzahl nicht.

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Erläutere, wie man einen Bruch kürzt.

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Um einen Bruch zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert.

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Bewerte die folgende Aussage:

Brüche werden beim Kürzen kleiner.

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Das ist falsch. Der Wert eines Bruches verändert sich nicht, wenn gekürzt wird.

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Beschreibe, was du tun musst, wenn du einen Bruch mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen möchtest.

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  • Zunächst werden Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt
  • Anschließend kannst du diejenigen Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommen. Dabei darfst du nur so viele Faktoren kürzen, sodass du dieselbe Anzahl im Zähler und im Nenner wegstreichst.
  • Abschließend werden die Produkte wieder berechnet, sodass du einen normalen Bruch hast.

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Nenne die Methoden, die du kennengelernt hast, um Brüche zu kürzen.

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  • Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzen
  • Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen
  • Brüche mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen
  • Brüche mit Variablen durch Ausklammern kürzen
  • Brüche über Kreuz kürzen

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Welchen Vorteil hat es, wenn du Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzt anstatt mit irgendeinem gemeinsamen Teiler?

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Die Brüche sind dann direkt vollständig gekürzt. Wenn du mit irgendeinem gemeinsamen Teiler kürzt, sind die Brüche nicht vollständig gekürzt.

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Beschreibe, was vollständig gekürzt bedeutet.

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Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, der größer als 1 ist. Der Bruch kann dann also nicht weiter gekürzt werden.

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"Brüche kürzen macht keinen Sinn". 

Nimm Stellung zu dieser Aussage.

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Das Rechnen mit gekürzten Brüchen kann einfacher sein als mit ungekürzten Brüchen. Beispielsweise beim multiplizieren oder dividieren von Brüchen.


Möchtest du zwei Brüche addieren oder subtrahieren, brauchst du jedoch den gleichen Nenner. Hierzu musst du sogar manchmal Brüche erweitern, und kürzen kann die Rechnung erschweren.

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Nenne die beiden Fälle, in denen du direkt siehst, dass ein Bruch vollständig gekürzt ist.

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  • Wenn im Zähler oder Nenner des Bruches eine 1 steht.
  • Wenn die die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.

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Begründe, warum Brüche nicht gekürzt werden können, bei denen die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.

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Zwei aufeinanderfolgende Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler, der größer als 1 ist. Daher haben Brüche, deren Zähler und Nenner zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, keinen gemeinsamen Teiler und können nicht gekürzt werden.

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Gib an, was ein unvollständiger Doppelbruch ist. 

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Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder nur im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.

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Nenne die beiden Arten an unvollständigen Doppelbrüchen.

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Es gibt

  • im Zähler unvollständige Doppelbrüche

und 

  • im Nenner unvollständige Doppelbrüche

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Beschreibe, was ein im Nenner unvollständiger Doppelbruch ist.

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Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl

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Erkläre die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs.

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  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch - falls möglich - gekürzt

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Erläutere, wie man den Kehrwert eines Bruchs bildet

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Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.

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Vergleiche im Zähler unvollständige Doppelbrüche mit im Nenner unvollständigen Doppelbrüchen.


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Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl


Bei einem im Zähler unvollständigen Doppelbruch steht nur im Nenner des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Zähler des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl.

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Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Doppelbrüche" kurz zusammen.

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  • Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen
  • Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch. 
  • Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden: 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen; 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs; 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen

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Wie lässt sich das Multiplizieren von Dezimalzahlen vereinfachen?

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​Das Multiplizieren von Dezimalzahlen lässt sich vereinfachen, in dem man das Komma bei der Rechnung weglässt und erst im Ergebnis setzt. 

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Welches mathematische Gesetz erlaubt es dir drei Dezimalzahlen miteinander zu multiplizieren ? 

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​Das Assoziativgesetz. 

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Was ist eine Nachkommastelle?

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Eine Nachkommastelle ist die Stelle rechts vom Komma. 

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Was ist eine Vorkommastelle?

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​Eine Vorkommastelle ist die Stelle links vom Komma. 

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Wie multipliziert man einen Bruch mit einer Dezimalzahl?

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Man multipliziert einen Bruch mit einer Dezimalzahl, in dem man den Bruch zuerst in eine Dezimalzahl umwandelt und dann mit der Dezimalzahl multipliziert.

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Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander ? 

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Man multipliziert zwei Brüche miteinander, in dem man den Zähler mit dem Zähler multipliziert und den Nenner mit dem Nenner. 

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Wo wird das Teilergebnis bei der schriftlichen Multiplikation gesetzt? 

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Das Teilergebnis wird bei der schriftlichen Multiplikation unter den dazu gehörigen Teilfaktor gesetzt. 

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Wie berechnet sich das Teilergebnis bei der schriftlichen Multiplikation? 

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Das Teilergebnis berechnet sich bei der schriftlichen Multiplikation, in dem ein ganzer Faktor mit einem Teilfaktor multipliziert wird. 

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Was versteht man unter einem Teilfaktor bei der schriftlichen Multiplikation? 

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Unter einem Teilfaktor versteht man bei der schriftlichen Multiplikation eine Ziffer eines Faktors. 

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Wann verwendet man natürliche Zahlen?

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Natürliche Zahlen verwendet man beim Zählen. 

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Wie viele Nachkommastellen hat das Produkt, wenn man zwei Dezimalzahlen miteinander multipliziert? 

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Das Produkt hat genauso viele Nachkommastellen wie beide Dezimalzahlen zusammen. 

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Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine natürliche Zahl mit einer Dezimalzahl multipliziert? 

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Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen wie die Dezimalzahl. 

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Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um ? 

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Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, setzt man die Zahl ohne das Komma in den Zähler und wählt für den Nenner eine Zehnerpotenz, die genauso viele Nullen hat wie die Dezimalzahl Nachkommastellen. 

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Wie wandelt man einen Bruch in eine Dezimalzahl um ?

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Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln dividierst du den Zähler durch den Nenner. 

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Was bedeutet es einen Bruch zu erweitern?

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Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

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Du hast zwei Brüche gegeben und sollst die Erweiterungszahl bestimmen. Wie gehst du vor?

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Um die Erweiterungszahl zu bestimmen, wird entweder der Zähler oder der Nenner des erweiterten Bruches durch den Zähler oder Nenner des ursprünglichen Bruches dividiert. In beiden Fällen sollte dieselbe Zahl herauskommen. Diese Zahl ist die gesuchte Erweiterungszahl.

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Was versteht man unter einem Hauptnenner, und wie erweiterst du zwei Brüche auf ihren Hauptnenner?

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Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei verschiedenen Brüchen.


Um zwei Brüche auf einen Hauptnenner bringen zu können, musst du dir zunächst alle Vielfache der Nenner aufschreiben. Anschließend schaust du welche Zahlen bei beiden Nennern ein Vielfaches sind und notiere dir, wenn du mehrere gefunden hast, die kleinste dieser Zahlen. Um die beiden Brüche jetzt auf den Hauptnenner zu erweitern, musst du für beide Brüche herausfinden, mit welcher Erweiterungszahl sich die Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweitern lassen.

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Lässt sich jeder Bruch erweitern?

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Jeder Bruch lässt sich mit einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist erweitern. 

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Was versteht man unter gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen?

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Gleichnamige Brüche sind Brüche, die denselben Nenner haben. Ungleichnamige Brüche sind demnach Brüche mit unterschiedlichen Nennern. 

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