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Wenn in der Mathematik von Radizieren, beziehungsweise Wurzelziehen gesprochen wird, ist nicht von der Baumwurzel oder der Zahnwurzel die Rede. Beim Wurzelziehen in der Mathematik geht es um die Umkehrung des Potenzierens. Um eine oder mehrere Zahlen zu Radizieren gibt es verschiedene Regeln und Vorgehensweisen. Wie das Radizieren funktioniert, lernst Du in dieser Erklärung kennen.Das Radizieren ist die Umkehrung der…
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Jetzt kostenlos anmeldenWenn in der Mathematik von Radizieren, beziehungsweise Wurzelziehen gesprochen wird, ist nicht von der Baumwurzel oder der Zahnwurzel die Rede. Beim Wurzelziehen in der Mathematik geht es um die Umkehrung des Potenzierens. Um eine oder mehrere Zahlen zu Radizieren gibt es verschiedene Regeln und Vorgehensweisen. Wie das Radizieren funktioniert, lernst Du in dieser Erklärung kennen.
Das Radizieren ist die Umkehrung der Potenzrechnung und wird auch Wurzelziehen genannt.
Unter Radizieren wird in der Mathematik die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenzgleichung
verstanden. Wenn die Gleichung nach x aufgelöst wird, ergibt sich:
Der Wurzelexponent n ist der Wert, mit dem der Wurzelwert x potenziert werden muss, um den Radikanden a der Wurzel zu erhalten.
Das Zeichen für das Wurzelziehen ist dieses:
Bei geraden Wurzelexponenten n muss der Radikand a positiv oder 0 sein. Bei ungeraden Wurzelexponenten n kann der Radikand a auch negativ sein.
Das Ergebnis des Wurzelziehens wird als Wurzel oder Radikal bezeichnet.
Beim Radizieren erhältst Du eine Wurzel. Eine Wurzel in der Mathematik besteht aus drei Teilen: dem Wurzelzeichen, dem Wurzelexponenten und dem Radikanden.
Die Bezeichnung der einzelnen Teile des Wurzelausdrucks sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 2: Bezeichnung der Wurzelbestandteile
Eine Wurzel kann auch als Potenz geschrieben werden:
Den Ausdruck kannst Du als „n-te Wurzel von a“ aussprechen.
Wenn die Wurzel den Wurzelexponenten besitzt, kann dieser weggelassen werden. Diese Wurzel wird als Quadratwurzel bezeichnet:
Beim Wurzelziehen gibt es verschiedene Rechengesetze, je nachdem, von welcher Zahl die Wurzel gezogen wird, oder ob andere Grundrechenarten zusätzlich verwendet werden. Diese Rechengesetze lernst Du im Folgenden kennen.
Du kannst zwei Wurzeln multiplizieren, wenn Sie denselben Wurzelexponenten n haben.
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten m lautet:
Im folgenden Beispiel werden zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n multipliziert:
Du möchtest rechnen. Dies ist möglich, da in beiden Fällen die dritte Wurzel gezogen wird:
Auch das Rechengesetz für die Division von Wurzeln ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Du kannst es nur anwenden, wenn beide Wurzeln denselben Wurzelexponenten n haben.
Das Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n lautet:
Statt des Bruchstrichs darfst Du auch das Divisionszeichen : verwenden. Im Folgenden siehst Du ein Beispiel zum Dividieren von Wurzeln.
Du möchtest rechnen. Der Wurzelexponent n ist bei beiden Wurzeln 2. Die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 würden Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen ergeben. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst Du 16. Die Zahl 16 ist eine Quadratzahl, somit kannst Du die Wurzel aus 16 schnell berechnen:
Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Radikand a und der Wurzelexponent beider Wurzeln gleich ist.
Das Wurzelgesetz für die Addition von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n und demselben Radikanden a basiert auf dem Distributivgesetz und lautet:
Das Distributivgesetz erlaubt Dir auszuklammern und somit die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.
Das Distributivgesetz der Multiplikation lautet für die Zahlen a, b und c wie folgt:
In der Erklärung „Distributivgesetz“ kannst Du Dein Wissen zu diesem Thema vertiefen
Die Addition von Wurzeln kannst Du Dir mithilfe des Beispiels ansehen:
Das Beispiel zeigt, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. bleibt . Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.
Das Wurzelgesetz für die Subtraktion von zwei Wurzeln ist analog zu dem Wurzelgesetz für die Addition. Bei beiden Wurzeln muss der Wurzelexponent n und der Radikand a übereinstimmen.
Das Wurzelgesetz für die Subtraktion von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n und demselben Radikanden a lautet:
Auch hier wird das Distributivgesetz angewendet. Dazu kannst Du Dir das Beispiel ansehen:
Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal . Davon ziehst Du zweimal ab. Du hast dann nur noch viermal .
Da alle reellen Zahlen potenziert werden dürfen, darfst Du jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen.
Zur Erinnerung: Potenzieren meint eine Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizieren und dies mit einem Exponenten m ausdrücken, der die Anzahl angibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.
Eine Wurzel wird mit einem Exponenten m potenziert, indem der Radikand a der Wurzel mit dem Exponenten m potenziert wird:
Da das Radizieren das Gegenteil vom Potenzieren ist, heben sich, wenn der Exponent m dem Wurzelexponent n entspricht, diese auf und das Ergebnis ist der Radikand:
Die Umsetzung des Potenzierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Folgende Wurzelpotenzen sollen gelöst werden:
Es gilt
also wird der Exponent m, in diesem Beispiel 6, unter die Wurzel gezogen und die Basis a, hier 4, zuerst potenziert.
Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:
Da das Ergebnis von Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten n nicht negativ sein kann, darf jede Wurzel mit geraden Wurzelexponenten n radiziert werden. Wenn von Deiner Ursprungswurzel der Radikand a negativ und der Wurzelexponent n ungerade ist, darfst Du nur mit einem ungeraden Wurzelexponenten m radizieren.
Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt:
Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden.
Die Umsetzung des Radizierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Folgende Aufgabe soll gelöst werden:
Es gilt
also werden die Wurzelexponenten n und m miteinander multipliziert.
Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:
Wie Du Wurzeln potenzierst und radizierst, kannst Du in der Erklärung „Wurzeln potenzieren und radizieren“ noch mal nachlesen.
Eine Wurzel darfst Du als Potenz umschreiben. Dabei drückt der Exponent n der neuen Potenz die Wurzel aus.
Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:
Zwei Beispiele für das Schreiben von Wurzeln als Potenz siehst Du im Folgenden
Möchtest Du Dein Wissen zu den Wurzelgesetzen weiter vertiefen, dann schaue in der Erklärung „Wurzelgesetze“ vorbei.
Damit Du die Wurzel mit beliebigen Wurzelexponenten n aus beliebigen Radikanden a ziehen kannst, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst.
Die Schritte, die Du befolgen kannst, lauten:
Zur Erinnerung: Die Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung einer Zahl in das Produkt aus seinen Primzahlen. Wenn Du Dein Wissen vertiefen möchtest, kannst Du in der Erklärung „Primfaktorzerlegung“ alles zu diesem Thema nachlesen.
Die Anwendung der einzelnen Schritte der Vorgehensweise beim Radizieren kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Im ersten Schritt zerlegst Du Deine Wurzel in seine Primfaktoren und fasst diese zusammen, bzw. schreibst sie als Potenz.
Gegeben ist die Zahl 144. Aus ihr soll die Quadratwurzel gezogen werden. Dafür zerlegst Du 144 unter der Wurzel in seine Primfaktoren, fasst die einzelnen Faktoren zusammen und schreibst sie als Potenz:
Im nächsten Schritt teilst Du, falls Du verschiedene Faktoren unter Deiner Wurzel stehen hast, diese in einzelne Wurzeln auf. Dies ist aufgrund des Gesetzes zur Multiplikation von Wurzeln möglich.
Im letzten Schritt rechnest Du die Wurzeln aus. Dabei kann Dir das Schreiben der Wurzel als Potenz behilflich sein:
Nun kannst Du die Exponenten kürzen und anschließend Dein Ergebnis ausrechnen:
Somit konntest Du alle Schritte durchlaufen und so das Ergebnis des Radizierens berechnen. Du kannst das Vorgehen auch beim Radizieren mit höheren Wurzelexponenten n anwenden.
Das partielle Radizieren, auch teilweises Radizieren genannt, ist ein Weg, um Wurzeln umzuformen.
Beim partiellen Radizieren wird der Radikand a unter der Wurzel in Faktoren zerlegt, sodass die Faktoren unter Beachtung der Wurzelgesetze einzeln radiziert werden können.
Wenn Du den Radikand a geschickt zerlegst, kannst Du Deine Wurzel so zerlegen, dass Du ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln erhältst.
Wurzeln, die ziehbar sind, ergeben eine ganze Zahl.
Eine Wurzel ist ziehbar, wenn der Radikand a unterhalb der Wurzel als eine Potenz geschrieben werden kann und dabei der Wurzelexponent n ein Vielfaches des Exponenten m des Radikanden darstellt.
Beispiele für ziehbare Wurzeln sind:
Hier ist der Wurzelexponent 6 das Dreifache von dem Exponenten 2 des Radikanden.
Nicht-ziehbare Wurzeln ergeben keine glatte Zahl.
Eine Wurzel ist nicht-ziehbar, wenn der Exponent m der Potenz unter der Wurzel kein Vielfaches des Wurzelexponenten n und kleiner als der Wurzelexponent n ist.
Beispiele für nicht-ziehbare Wurzeln sind:
Nicht-ziehbar heißt nicht, dass Du kein Ergebnis x berechnen kannst. Allerdings ist bei solchen Wurzeln das Ergebnis x eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Solche Wurzeln, bei denen Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma als Ergebnis x herauskommen, gehören zu den irrationalen Zahlen.
Zur Erinnerung: Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Ein gängiges Beispiel für eine irrationale Zahl ist die Kreiszahl Pi: . Auch bestimmte Wurzeln, deren Radikand keine Quadratzahl ist, sind irrationale Zahlen, wie.
Wenn Du den Radikand a geschickt zerlegst, kannst Du danach oft die Wurzeln einzeln aus einem oder mehreren Faktoren ziehen und Deine Wurzel so weit wie möglich vereinfachen. Diese Zerlegung der Ursprungswurzel ist aufgrund des Wurzelgesetzes zur Multiplikation von Wurzeln möglich. Du hast gelernt, dass Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten n multipliziert werden, indem die Radikanden a und b multipliziert werden und das Produkt mit dem Wurzelexponenten n radiziert wird:
Umgekehrt darf die Wurzel aus einem Produkt faktorenweise gezogen werden:
Um teilweise zu radizieren, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst. Diese ist wieder in mehrere Schritte unterteilt:
In diesem Schritt zerlegst Du Deinen ursprünglichen Radikanden a so weit es geht in Primzahlen. Die Primzahlen werden anschließend durch das Schreiben in der Potenzschreibweise zusammengefasst.
Die Wurzel soll so weit wie möglich ohne Taschenrechner vereinfacht werden. Dafür zerlegst Du den Radikanden a, in diesem Fall 80, in seine Primfaktoren:
Nun kannst Du die Primfaktoren zu Potenzen zusammenfassen:
Wenn der Radikand a bereits eine Primzahl ist und die Wurzel nicht ziehbar ist, kann die Wurzel nicht partiell radiziert werden.
Falls sich unter Deiner Wurzel eine Potenz befindet, deren Exponent m kein Vielfaches des Wurzelexponenten n und größer als der Wurzelexponent n ist, kannst Du die Potenz auseinanderziehen. So kannst Du die Wurzel in ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln unterteilen.
Der Wurzelexponent n ist in diesem Beispiel 3. Der Exponent der 2 ist eine 4, die kein Vielfaches von 3 und größer als 3 ist. Somit kannst Du die Potenz aufteilen in , da Du so Deine Wurzel in ziehbare und nicht-ziehbare Teile aufteilen kannst:
In diesem Schritt kannst Du nun die ziehbaren und nicht ziehbaren Wurzeln, die Du in Schritt 2 identifiziert hast, durch die Umkehrung des Wurzelgesetzes für die Multiplikation auseinanderziehen.
Um nun die Wurzel so weit es geht zu lösen, teilst Du die Wurzel in ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln auf:
In diesem Schritt ziehst Du die Wurzeln, die Du zuvor als ziehbare Wurzeln identifiziert und auseinandergezogen hast. Hier kann Dir behilflich sein, die Wurzeln als Potenz zu schreiben. So können sich Exponenten kürzen und Du kannst Deine Wurzel gegebenenfalls schnell und effizient im Kopf ausrechnen.
Nun zeihst Du in Deinem Beispiel erst die ziehbare Wurzel:
Die anderen Wurzeln und sind nicht-ziehbar. Du kannst sie wieder zu einer Wurzel zusammenfassen:
Nun kannst Du Dein Ergebnis aufschreiben:
Das Vorgehen für das teilweise Radizieren ist ähnlich dem Vorgehen für das vollständige Radizieren, jedoch bleibt ein Teil der Wurzel übrig. Diese Vorgehensweise kannst Du für jede Art von Wurzeln anwenden.
Radizieren wird verwendet, wenn es darum geht, eine Gleichung nach der Variable x auszurechnen. Das ist bei quadratischen Gleichungen der Fall sowie bei höhergradigen Gleichungen. Die Anwendung des Radizierens zur Lösung von Gleichungen kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Gesucht ist die Lösung der Gleichung
Um diese Gleichung zu lösen, bringst Du die Variable x auf eine Seite der Gleichung:
Nun hast Du eine Gleichung der Form gegeben und kannst diese durch das Ziehen der Quadratwurzel aus 4 lösen:
Somit konntest Du die Gleichung mithilfe des Radizierens lösen.
Ein bekanntes Beispiel ist auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen. In ihr ist auch eine Wurzel enthalten.
Zu Erinnerung: Mit der Mitternachtsformel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form bestimmt werden.
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du prüfen, ob Du das Prinzip des Radizierens verstanden hast.
Aufgabe 1
Radiziere die Zahl 81 mit dem Wurzelexponenten 4.
Lösung
Schritt 1: Zerlegung in Primfaktoren
Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen
Da nur ein Faktor unter der Wurzel steht, kannst Du diesen Schritt weglassen.
Schritt 3: Wurzel berechnen
Nun berechnest Du die Wurzel. Du kannst Deine Wurzel wieder als Potenz umschreiben, um den Rechenweg zu vereinfachen:
Aufgabe 2
Ziehe die dritte Wurzel aus .
Lösung
Schreibe zuerst die dritte Wurzel aus auf:
Nun kannst Du wieder die gängige Vorgehensweise zum Radizieren anwenden:
Schritt 1: Zerlegung in Primfaktoren
Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen
Um diese Wurzel zu lösen, kannst Du nun das Wurzelgesetz der Division rückwärts anwenden und so die Wurzeln aufteilen:
So kannst Du die Wurzeln in Nenner und Zähler einzeln ziehen:
Schritt 3: Wurzel berechnen
Nun berechnest Du die Wurzel. Du kannst Deine Wurzel wieder als Potenz umschreiben, um den Rechenweg zu vereinfachen:
Somit hast Du Deine Lösung berechnet.Aufgabe 3
Löse die folgende Gleichung nach der Variable x auf:
Lösung
Um diese Gleichung zu lösen, bringst Du die Variable x auf eine Seite der Gleichung:
Nun hast Du eine Gleichung der Form gegeben und kannst diese durch das Ziehen der vierten Wurzel aus 128 lösen:
Um zu lösen, wendest Du wieder die Vorgehensweise zum Radizieren an:
Schritt 1: Zerlegung in Primfaktoren
Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen
Der Exponent der Potenz unter der Wurzel ist größer, als der Wurzelexponent n. Du kannst nun die Faktoren aufteilen:
So kannst Du die Wurzel jetzt teilweise Radizieren.
Schritt 3: Wurzel berechnen
Nun berechnest Du die Wurzel. Du kannst Deine Wurzeln wieder als Potenz umschreiben, um den Rechenweg zu vereinfachen:
Somit gilt als Lösung Deiner Gleichung:
Wurzelgesetz für das Radizieren von Wurzeln:
Beim Radizieren kannst Du diese Vorgehensweise anwenden:
Damit Du die Wurzel mit beliebigen Wurzelexponenten n aus beliebigen Radikanden a ziehen kannst, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst.
Die Schritte, die Du befolgen kannst, lauten:
Um Brüche zu radizieren, kannst Du das Wurzelgesetz der Division anwenden. Bei gleichen Wurzelexponenten können Nenner und Zähler so jeweils einzeln oder der Bruch im Ganzen radiziert werden.
Wurzelgesetze sind Rechengesetze, die Du beim Radizieren anwenden kannst. Gesetze gibt es beispielsweise für die Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Wurzeln. Aber auch für das Potenzieren und Radizieren von Wurzeln gibt es bestimmte Regeln.
Damit Du die Wurzel mit beliebigen Wurzelexponenten n aus beliebigen Radikanden a ziehen kannst, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst.
Die Schritte, die Du befolgen kannst, lauten:
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