Radizieren

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Wenn in der Mathematik von Radizieren, beziehungsweise Wurzelziehen gesprochen wird, ist nicht von der Baumwurzel oder der Zahnwurzel die Rede. Beim Wurzelziehen in der Mathematik geht es um die Umkehrung des Potenzierens. Um eine oder mehrere Zahlen zu Radizieren gibt es verschiedene Regeln und Vorgehensweisen. Wie das Radizieren funktioniert, lernst Du in dieser Erklärung kennen.

Radizieren Wurzeln Beispiele StudySmarter

Radizieren – Definition und Bedeutung

Das Radizieren ist die Umkehrung der Potenzrechnung und wird auch Wurzelziehen genannt.

Unter Radizieren wird in der Mathematik die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenzgleichung

$x^{n} = a$

verstanden. Wenn die Gleichung $x^{n} = a$ nach x aufgelöst wird, ergibt sich:

$x = \sqrt[n]{a}$

Der Wurzelexponent n ist der Wert, mit dem der Wurzelwert x potenziert werden muss, um den Radikanden a der Wurzel zu erhalten.

Das Zeichen für das Wurzelziehen ist dieses:

$\sqrt{}$

Bei geraden Wurzelexponenten n muss der Radikand a positiv oder 0 sein. Bei ungeraden Wurzelexponenten n kann der Radikand a auch negativ sein.

Das Ergebnis des Wurzelziehens wird als Wurzel oder Radikal bezeichnet.

Radizieren – Wurzeln

Beim Radizieren erhältst Du eine Wurzel. Eine Wurzel in der Mathematik besteht aus drei Teilen: dem Wurzelzeichen, dem Wurzelexponenten und dem Radikanden.

Die Bezeichnung der einzelnen Teile des Wurzelausdrucks sieht folgendermaßen aus:

Radizieren Radizieren Wurzel StudySmarter Abbildung 2: Bezeichnung der Wurzelbestandteile

Eine Wurzel kann auch als Potenz geschrieben werden:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Den Ausdruck $\sqrt[n]{a}$ kannst Du als „n-te Wurzel von a“ aussprechen.

Wenn die Wurzel den Wurzelexponenten $n = 2$ besitzt, kann dieser weggelassen werden. Diese Wurzel wird als Quadratwurzel bezeichnet:

$\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$

Radizieren Rechengesetze

Beim Wurzelziehen gibt es verschiedene Rechengesetze, je nachdem, von welcher Zahl die Wurzel gezogen wird, oder ob andere Grundrechenarten zusätzlich verwendet werden. Diese Rechengesetze lernst Du im Folgenden kennen.

Wurzeln multiplizieren

Du kannst zwei Wurzeln multiplizieren, wenn Sie denselben Wurzelexponenten n haben.

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten m lautet:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

Im folgenden Beispiel werden zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n multipliziert:

Du möchtest $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7}$ rechnen. Dies ist möglich, da in beiden Fällen die dritte Wurzel gezogen wird:

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{5 \cdot 7} = \sqrt[3]{35}$

Wurzeln dividieren

Auch das Rechengesetz für die Division von Wurzeln ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Du kannst es nur anwenden, wenn beide Wurzeln denselben Wurzelexponenten n haben.

Das Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n lautet:

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Statt des Bruchstrichs darfst Du auch das Divisionszeichen : verwenden. Im Folgenden siehst Du ein Beispiel zum Dividieren von Wurzeln.

Du möchtest $\sqrt{32} : \sqrt{2}$ rechnen. Der Wurzelexponent n ist bei beiden Wurzeln 2. Die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 würden Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen ergeben. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst Du 16. Die Zahl 16 ist eine Quadratzahl, somit kannst Du die Wurzel aus 16 schnell berechnen:

$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Wurzeln addieren

Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Radikand a und der Wurzelexponent beider Wurzeln gleich ist.

Das Wurzelgesetz für die Addition von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n und demselben Radikanden a basiert auf dem Distributivgesetz und lautet:

$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz erlaubt Dir auszuklammern und somit die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.

Das Distributivgesetz der Multiplikation lautet für die Zahlen a, b und c wie folgt:

$1 . (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c 2 . (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

In der Erklärung „Distributivgesetz“ kannst Du Dein Wissen zu diesem Thema vertiefen

Die Addition von Wurzeln kannst Du Dir mithilfe des Beispiels ansehen:

$4 \cdot \sqrt[3]{5} + 2 \cdot \sqrt[3]{5} = (4 + 2) \cdot \sqrt[3]{5} = 6 \cdot \sqrt[3]{5}$

Das Beispiel zeigt, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. $\sqrt[3]{5}$ bleibt $\sqrt[3]{5}$ . Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.

Wurzeln subtrahieren

Das Wurzelgesetz für die Subtraktion von zwei Wurzeln ist analog zu dem Wurzelgesetz für die Addition. Bei beiden Wurzeln muss der Wurzelexponent n und der Radikand a übereinstimmen.

Das Wurzelgesetz für die Subtraktion von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n und demselben Radikanden a lautet:

$x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Auch hier wird das Distributivgesetz angewendet. Dazu kannst Du Dir das Beispiel ansehen:

$6 \cdot \sqrt[4]{3} - 2 \cdot \sqrt[4]{3} = (6 - 2) \cdot \sqrt[4]{3} = 4 \cdot \sqrt[4]{3}$

Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal $\sqrt[4]{3}$ . Davon ziehst Du zweimal $\sqrt[4]{3}$ ab. Du hast dann nur noch viermal $\sqrt[4]{3}$ .

Wurzeln potenzieren

Da alle reellen Zahlen potenziert werden dürfen, darfst Du jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen.

Zur Erinnerung: Potenzieren meint eine Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizieren und dies mit einem Exponenten m ausdrücken, der die Anzahl angibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

Eine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ wird mit einem Exponenten m potenziert, indem der Radikand a der Wurzel mit dem Exponenten m potenziert wird:

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Da das Radizieren das Gegenteil vom Potenzieren ist, heben sich, wenn der Exponent m dem Wurzelexponent n entspricht, diese auf und das Ergebnis ist der Radikand: ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$

Die Umsetzung des Potenzierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Folgende Wurzelpotenzen sollen gelöst werden:

${(\sqrt[3]{4})}^{6}$

Es gilt

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

also wird der Exponent m, in diesem Beispiel 6, unter die Wurzel gezogen und die Basis a, hier 4, zuerst potenziert.

Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:

$\begin{array}{rcl} {(\sqrt[3]{4})}^{6} & = & \sqrt[3]{4^{6}} \\ = & \sqrt[3]{4096} \\ = & 16 \end{array}$

Wurzeln radizieren

Da das Ergebnis von Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten n nicht negativ sein kann, darf jede Wurzel mit geraden Wurzelexponenten n radiziert werden. Wenn von Deiner Ursprungswurzel der Radikand a negativ und der Wurzelexponent n ungerade ist, darfst Du nur mit einem ungeraden Wurzelexponenten m radizieren.

Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden.

Die Umsetzung des Radizierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Folgende Aufgabe soll gelöst werden:

$\sqrt[4]{\sqrt[2]{256}}$

Es gilt

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

also werden die Wurzelexponenten n und m miteinander multipliziert.

Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{\sqrt[2]{256}} & = & \sqrt[4 \cdot 2]{256} \\ = & \sqrt[8]{256} \\ = & 2 \end{array}$

Wie Du Wurzeln potenzierst und radizierst, kannst Du in der Erklärung „Wurzeln potenzieren und radizieren“ noch mal nachlesen.

Wurzeln als Potenz

Eine Wurzel darfst Du als Potenz umschreiben. Dabei drückt der Exponent n der neuen Potenz die Wurzel aus.

Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[n]{a^{m}} & = & a^{\frac{m}{n}} \\ \sqrt[n]{a} & = & a^{\frac{1}{n}} \end{array}$

Zwei Beispiele für das Schreiben von Wurzeln als Potenz siehst Du im Folgenden

$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{6} & = & 6^{\frac{1}{3}} \\ \sqrt{3^{5}} & = & 3^{\frac{5}{2}} \end{array}$

Möchtest Du Dein Wissen zu den Wurzelgesetzen weiter vertiefen, dann schaue in der Erklärung „Wurzelgesetze“ vorbei.

Radizieren – Vorgehen

Damit Du die Wurzel mit beliebigen Wurzelexponenten n aus beliebigen Radikanden a ziehen kannst, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst.

Die Schritte, die Du befolgen kannst, lauten:

Primfaktorzerlegung
Wurzeln/Faktoren aufteilen
Wurzel ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)

Zur Erinnerung: Die Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung einer Zahl in das Produkt aus seinen Primzahlen. Wenn Du Dein Wissen vertiefen möchtest, kannst Du in der Erklärung „Primfaktorzerlegung“ alles zu diesem Thema nachlesen.

Die Anwendung der einzelnen Schritte der Vorgehensweise beim Radizieren kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Schritt 1: Primfaktorzerlegung

Im ersten Schritt zerlegst Du Deine Wurzel in seine Primfaktoren und fasst diese zusammen, bzw. schreibst sie als Potenz.

Gegeben ist die Zahl 144. Aus ihr soll die Quadratwurzel gezogen werden. Dafür zerlegst Du 144 unter der Wurzel in seine Primfaktoren, fasst die einzelnen Faktoren zusammen und schreibst sie als Potenz:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{144} & = & \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} \\ = & \sqrt{2^{4} \cdot 3^{2}} \end{array}$

Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen

Im nächsten Schritt teilst Du, falls Du verschiedene Faktoren unter Deiner Wurzel stehen hast, diese in einzelne Wurzeln auf. Dies ist aufgrund des Gesetzes zur Multiplikation von Wurzeln möglich.

$\sqrt{2^{4} \cdot 3^{2}} = \sqrt{2^{4}} \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3: Wurzeln ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)

Im letzten Schritt rechnest Du die Wurzeln aus. Dabei kann Dir das Schreiben der Wurzel als Potenz behilflich sein:

$\sqrt{2^{4}} \cdot \sqrt{3^{2}} = 2^{\frac{4}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Nun kannst Du die Exponenten kürzen und anschließend Dein Ergebnis ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} 2^{\frac{4^{2}}{2^{1}}} \cdot 3^{\frac{2}{2} 1} & = & 2^{2} \cdot 3 \\ = & 4 \cdot 3 \\ = & 12 \\ \Rightarrow & \sqrt{144} = 12 \end{array}$

Somit konntest Du alle Schritte durchlaufen und so das Ergebnis des Radizierens berechnen. Du kannst das Vorgehen auch beim Radizieren mit höheren Wurzelexponenten n anwenden.

Partielles Radizieren – teilweise radizieren

Das partielle Radizieren, auch teilweises Radizieren genannt, ist ein Weg, um Wurzeln umzuformen.

Beim partiellen Radizieren wird der Radikand a unter der Wurzel in Faktoren zerlegt, sodass die Faktoren unter Beachtung der Wurzelgesetze einzeln radiziert werden können.

Wenn Du den Radikand a geschickt zerlegst, kannst Du Deine Wurzel so zerlegen, dass Du ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln erhältst.

Ziehbare Wurzeln

Wurzeln, die ziehbar sind, ergeben eine ganze Zahl.

Eine Wurzel ist ziehbar, wenn der Radikand a unterhalb der Wurzel als eine Potenz geschrieben werden kann und dabei der Wurzelexponent n ein Vielfaches des Exponenten m des Radikanden darstellt.

Beispiele für ziehbare Wurzeln sind:

$\sqrt{4} = 2 \sqrt[6]{8^{2}} = 2$

Hier ist der Wurzelexponent 6 das Dreifache von dem Exponenten 2 des Radikanden.

Nicht-ziehbare Wurzeln

Nicht-ziehbare Wurzeln ergeben keine glatte Zahl.

Eine Wurzel ist nicht-ziehbar, wenn der Exponent m der Potenz unter der Wurzel kein Vielfaches des Wurzelexponenten n und kleiner als der Wurzelexponent n ist.

Beispiele für nicht-ziehbare Wurzeln sind:

$\sqrt{2} \sqrt[3]{5}$

Nicht-ziehbar heißt nicht, dass Du kein Ergebnis x berechnen kannst. Allerdings ist bei solchen Wurzeln das Ergebnis x eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Solche Wurzeln, bei denen Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma als Ergebnis x herauskommen, gehören zu den irrationalen Zahlen.

Zur Erinnerung: Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Ein gängiges Beispiel für eine irrationale Zahl ist die Kreiszahl Pi: $π$ . Auch bestimmte Wurzeln, deren Radikand keine Quadratzahl ist, sind irrationale Zahlen, wie $\sqrt{8}$ .

Wenn Du den Radikand a geschickt zerlegst, kannst Du danach oft die Wurzeln einzeln aus einem oder mehreren Faktoren ziehen und Deine Wurzel so weit wie möglich vereinfachen. Diese Zerlegung der Ursprungswurzel ist aufgrund des Wurzelgesetzes zur Multiplikation von Wurzeln möglich. Du hast gelernt, dass Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten n multipliziert werden, indem die Radikanden a und b multipliziert werden und das Produkt mit dem Wurzelexponenten n radiziert wird:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

Umgekehrt darf die Wurzel aus einem Produkt faktorenweise gezogen werden:

$\sqrt[n]{a^{n + m}} = \sqrt[n]{a^{n}} \cdot \sqrt[n]{a^{m}} = a \cdot \sqrt[n]{a^{m}}$

Um teilweise zu radizieren, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst. Diese ist wieder in mehrere Schritte unterteilt:

Primfaktorzerlegung
Potenzen aufteilen
Wurzel aufteilen
Ziehbare Wurzel ziehen

Schritt 1: Primfaktorzerlegung

In diesem Schritt zerlegst Du Deinen ursprünglichen Radikanden a so weit es geht in Primzahlen. Die Primzahlen werden anschließend durch das Schreiben in der Potenzschreibweise zusammengefasst.

Die Wurzel $\sqrt[3]{80}$ soll so weit wie möglich ohne Taschenrechner vereinfacht werden. Dafür zerlegst Du den Radikanden a, in diesem Fall 80, in seine Primfaktoren:

$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$

Nun kannst Du die Primfaktoren zu Potenzen zusammenfassen:

$\sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^{4} \cdot 5}$

Wenn der Radikand a bereits eine Primzahl ist und die Wurzel nicht ziehbar ist, kann die Wurzel nicht partiell radiziert werden.

Schritt 2: Potenzen aufteilen

Falls sich unter Deiner Wurzel eine Potenz befindet, deren Exponent m kein Vielfaches des Wurzelexponenten n und größer als der Wurzelexponent n ist, kannst Du die Potenz auseinanderziehen. So kannst Du die Wurzel in ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln unterteilen.

Der Wurzelexponent n ist in diesem Beispiel 3. Der Exponent der 2 ist eine 4, die kein Vielfaches von 3 und größer als 3 ist. Somit kannst Du die Potenz $2^{4}$ aufteilen in $2^{3} \cdot 2$ , da Du so Deine Wurzel in ziehbare und nicht-ziehbare Teile aufteilen kannst:

\sqrt[3]{2^{4} \cdot 5} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 \cdot 5}

Schritt 3: Wurzeln aufteilen

In diesem Schritt kannst Du nun die ziehbaren und nicht ziehbaren Wurzeln, die Du in Schritt 2 identifiziert hast, durch die Umkehrung des Wurzelgesetzes für die Multiplikation auseinanderziehen.

Um nun die Wurzel so weit es geht zu lösen, teilst Du die Wurzel $\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 \cdot 5}$ in ziehbare und nicht-ziehbare Wurzeln auf:

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 \cdot 5} = \underset{z i e h b a r}{\underset{⏟}{\sqrt[3]{2^{3}}}} \cdot \underset{n i c h t - z i e h b a r}{\underset{⏟}{\sqrt[3]{2}}} \cdot \underset{n i c h t - z i e h b a r}{\underset{⏟}{\sqrt[3]{5}}}$

Schritt 4: Ziehbare Wurzeln ziehen

In diesem Schritt ziehst Du die Wurzeln, die Du zuvor als ziehbare Wurzeln identifiziert und auseinandergezogen hast. Hier kann Dir behilflich sein, die Wurzeln als Potenz zu schreiben. So können sich Exponenten kürzen und Du kannst Deine Wurzel gegebenenfalls schnell und effizient im Kopf ausrechnen.

Nun zeihst Du in Deinem Beispiel erst die ziehbare Wurzel:

$\sqrt[3]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{3} 1} = 2$

Die anderen Wurzeln $\sqrt[3]{2}$ und $\sqrt[3]{5}$ sind nicht-ziehbar. Du kannst sie wieder zu einer Wurzel zusammenfassen:

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}$

Nun kannst Du Dein Ergebnis aufschreiben:

$\sqrt[3]{80} = 2 \cdot \sqrt[3]{10}$

Das Vorgehen für das teilweise Radizieren ist ähnlich dem Vorgehen für das vollständige Radizieren, jedoch bleibt ein Teil der Wurzel übrig. Diese Vorgehensweise kannst Du für jede Art von Wurzeln anwenden.

Radizieren – Anwendung

Radizieren wird verwendet, wenn es darum geht, eine Gleichung nach der Variable x auszurechnen. Das ist bei quadratischen Gleichungen der Fall sowie bei höhergradigen Gleichungen. Die Anwendung des Radizierens zur Lösung von Gleichungen kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung

$x^{2} - 4 = 0$

Um diese Gleichung zu lösen, bringst Du die Variable x auf eine Seite der Gleichung:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x^{2} - 4 & = & 0 & + 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} x^{2} & = & 4 \end{matrix} \end{array}$

Nun hast Du eine Gleichung der Form $x^{n} = a$ gegeben und kannst diese durch das Ziehen der Quadratwurzel aus 4 lösen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x^{2} & = & 4 & \pm \sqrt{} \\ \pm \sqrt{x^{2}} & = & \pm \sqrt{4} \\ x & = & \pm 2 \end{matrix} \end{array}$

Somit konntest Du die Gleichung mithilfe des Radizierens lösen.

Ein bekanntes Beispiel ist auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen. In ihr ist auch eine Wurzel enthalten.

Zu Erinnerung: Mit der Mitternachtsformel $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $0 = a x^{2} + b x + c$ bestimmt werden.

Radizieren – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du prüfen, ob Du das Prinzip des Radizierens verstanden hast.

Aufgabe 1

Radiziere die Zahl 81 mit dem Wurzelexponenten 4.

Lösung

Schritt 1: Zerlegung in Primfaktoren

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{81} & = & \sqrt[4]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \\ = & \sqrt[4]{3^{4}} \end{array}$

Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen

Da nur ein Faktor unter der Wurzel steht, kannst Du diesen Schritt weglassen.

Schritt 3: Wurzel berechnen

Nun berechnest Du die Wurzel. Du kannst Deine Wurzel wieder als Potenz umschreiben, um den Rechenweg zu vereinfachen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{3^{4}} & = & 3^{\frac{4}{4} 1} \\ = & 3 \\ \Rightarrow & \sqrt[4]{81} = 3 \end{array}$

Aufgabe 2

Ziehe die dritte Wurzel aus $\frac{27}{8}$ .

Lösung

Schreibe zuerst die dritte Wurzel aus $\frac{27}{8}$ auf:

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

Nun kannst Du wieder die gängige Vorgehensweise zum Radizieren anwenden:

Schritt 1: Zerlegung in Primfaktoren

$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{3^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen

Um diese Wurzel zu lösen, kannst Du nun das Wurzelgesetz der Division rückwärts anwenden und so die Wurzeln aufteilen:

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \Rightarrow \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

So kannst Du die Wurzeln in Nenner und Zähler einzeln ziehen:

$\sqrt[3]{\frac{3^{3}}{2^{3}}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3}}}{\sqrt[3]{2^{3}}}$

Schritt 3: Wurzel berechnen

Nun berechnest Du die Wurzel. Du kannst Deine Wurzel wieder als Potenz umschreiben, um den Rechenweg zu vereinfachen:

$\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt[3]{3^{3}}}{\sqrt[3]{2^{3}}} & = & \frac{3^{\frac{3}{3} 1}}{2^{\frac{3}{3} 1}} \\ = & \frac{3}{2} \\ \Rightarrow & \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \end{array}$

Somit hast Du Deine Lösung berechnet.

Aufgabe 3

Löse die folgende Gleichung nach der Variable x auf:

$x^{4} - 128 = 0$

Lösung

Um diese Gleichung zu lösen, bringst Du die Variable x auf eine Seite der Gleichung:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x^{4} - 128 & = & 0 & \begin{matrix} + 128 \end{matrix} \\ x^{4} & = & 128 \end{matrix} \end{array}$

Nun hast Du eine Gleichung der Form $x^{n} = a$ gegeben und kannst diese durch das Ziehen der vierten Wurzel aus 128 lösen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x^{4} & = & 128 & \pm \sqrt[4]{} \\ \pm \sqrt[4]{x^{4}} & = & \pm \sqrt[4]{128} \\ x & = & \pm \sqrt[4]{128} \end{matrix} \end{array}$

Um $\sqrt[4]{128}$ zu lösen, wendest Du wieder die Vorgehensweise zum Radizieren an:

Schritt 1: Zerlegung in Primfaktoren

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{128} & = & \sqrt[4]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt[4]{2^{7}} \end{array}$

Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen

Der Exponent der Potenz unter der Wurzel ist größer, als der Wurzelexponent n. Du kannst nun die Faktoren aufteilen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{2^{7}} & = & \sqrt[4]{2^{4} \cdot 2^{3}} = \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{2^{3}} \end{array}$

So kannst Du die Wurzel jetzt teilweise Radizieren.

Schritt 3: Wurzel berechnen

Nun berechnest Du die Wurzel. Du kannst Deine Wurzeln wieder als Potenz umschreiben, um den Rechenweg zu vereinfachen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{2^{3}} & = & 2^{\frac{4}{4} 1} \cdot \sqrt[4]{2^{3}} \\ = & 2 \sqrt[4]{8} \\ \Rightarrow & \sqrt[4]{128} = 2 \sqrt[4]{8} \end{array}$

Somit gilt als Lösung Deiner Gleichung:

$x = \pm 2 \sqrt[4]{8}$

Radizieren – Das Wichtigste

Unter Radizieren wird in der Mathematik die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenzgleichung $x^{n} = a$ verstanden. Wenn die Gleichung $x^{n} = a$ nach x aufgelöst wird, ergibt sich $x = \sqrt[n]{a}$ .
Das Zeichen für das Wurzelziehen ist dieses: $\sqrt{}$
Eine Wurzel kann auch als Potenz geschrieben werden: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
Beim Wurzelziehen gibt es verschiedene Rechengesetze, je nachdem von welcher Zahl die Wurzel gezogen wird, oder ob andere Grundrechenarten zusätzlich verwendet werden.
- Wurzelgesetz für die Multiplikation von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten m: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
- Wurzelgesetz für die Division von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
- Wurzelgesetz für die Addition von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n und demselben Radikanden a: $x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$
- Wurzelgesetz für die Subtraktion von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten n und demselben Radikanden a: $x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$
- Wurzelgesetz für das Potenzieren von Wurzeln: ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
- Wurzelgesetz für das Radizieren von Wurzeln: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$
Beim Radizieren kannst Du diese Vorgehensweise anwenden:
1. Primfaktorzerlegung
2. Wurzeln/Faktoren aufteilen
3. Wurzel ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)
Beim partiellen Radizieren wird der Radikand a unter der Wurzel in Faktoren zerlegt, sodass die Faktoren unter Beachtung der Wurzelgesetze einzeln radiziert werden können.
Das Radizieren findet auch bei der Lösung von höhergradigen Gleichungen Anwendung.

Nachweise

Körner (2011). Grundwissen Wurzeln und Potenzen. Persen Verlag
Lamm (2016). Potenzen & Wurzeln - ... kinderleicht erlernen. Kohl Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Radizieren

Damit Du die Wurzel mit beliebigen Wurzelexponenten n aus beliebigen Radikanden a ziehen kannst, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst.

Die Schritte, die Du befolgen kannst, lauten:

Primfaktorzerlegung
Wurzeln/Faktoren aufteilen
Wurzel ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)

Um Brüche zu radizieren, kannst Du das Wurzelgesetz der Division anwenden. Bei gleichen Wurzelexponenten können Nenner und Zähler so jeweils einzeln oder der Bruch im Ganzen radiziert werden.

Wurzelgesetze sind Rechengesetze, die Du beim Radizieren anwenden kannst. Gesetze gibt es beispielsweise für die Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Wurzeln. Aber auch für das Potenzieren und Radizieren von Wurzeln gibt es bestimmte Regeln.

Damit Du die Wurzel mit beliebigen Wurzelexponenten n aus beliebigen Radikanden a ziehen kannst, gibt es eine Vorgehensweise, die Du anwenden kannst.

Die Schritte, die Du befolgen kannst, lauten:

Primfaktorzerlegung
Wurzeln/Faktoren aufteilen
Wurzel ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)

Finales Radizieren Quiz

Radizieren Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes multiplizieren kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Wurzel multiplizieren kann.

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Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes dividieren kannst?

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Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Radikanden dividieren kann.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du die Wurzel aus einer Wurzel ziehen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Ich kann die Wurzel aus einer Wurzel ziehen, indem ich die beiden Wurzelexponenten multipliziere. Das Produkt ist der neue Wurzelexponent. Der Radikand verändert sich nicht.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, ob alle Wurzeln addiert werden können.

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Antwort

Wurzeln können nicht beliebig addiert werden. Eine Addition von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln gleich sind.

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Frage

Welche Aussage zum Addieren von Wurzeln ist richtig?

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Antwort

Wurzeln können nur addiert werden, wenn die Wurzeln gleich sind.

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Frage

Wann sind zwei Wurzeln gleichnamig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind Wurzeln ungleichnamig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzeln sind ungleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Rechenweg funktioniert ausnahmslos bei jeder Art von Wurzelausdruck?

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Antwort

Du berechnest zunächst jede Wurzel separat und verrechnest anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander. So kannst Du sowohl bei gleichnamigen als auch bei ungleichnamigen Wurzeln vorgehen.

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Frage

Wie kannst Du bei der Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln vorgehen?

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Antwort

Bei ungleichnamigen Wurzeln gilt das Wurzelgesetz nicht. Daher musst Du sie für die Anwendung des Gesetzes vorher gleichnamig machen. Alternativ kannst Du jede Wurzel separat berechnen und die jeweiligen Lösungen miteinander multiplizieren.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du vorgehen, wenn Du Wurzeln mit Variablen multiplizieren möchtest?

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Antwort

Beim Rechnen von Wurzeln mit Variablen kannst Du Dich nach folgendem Ablaufplan richten:

Schritt 1: Wende, wenn möglich, das Wurzelgesetz der Multiplikation an
Schritt 2: Sortiere die Faktoren nach Zahlen und Buchstaben (unter Beachtung des Kommutativgesetzes)
Schritt 3: Fasse die jeweiligen Zahlen und Variablen zusammen
Schritt 4: Vereinfache so weit wie möglich durch teilweises Wurzelziehen

Frage anzeigen

Frage

Wie findet das Radizieren von Wurzeln in der Mathematik Anwendung?

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Antwort

Angewendet wird das Prinzip des Radizierens von Wurzeln auch rückwärts. Das heißt, der Wurzelexponent wird als ein Produkt aus zwei Zahlen m und n geschrieben, um dann aus der Wurzel eine Doppelwurzel zu machen. Die innere Wurzel wird dann als erstes aufgelöst. Dies kann Dir dabei helfen Wurzeln mit hohem Wurzelexponenten zu lösen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Schritte helfen Dir beim Radizieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Primfaktorzerlegung
Wurzeln/Faktoren aufteilen
Wurzel ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)

Frage anzeigen

Frage

Was ist das partielle Radizieren?

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Antwort

Beim partiellen Radizieren wird der Radikand a unter der Wurzel in Faktoren zerlegt, sodass die Faktoren unter Beachtung der Wurzelgesetze einzeln radiziert werden können.

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Welche Schritte kannst Du beim partiellen Radizieren befolgen?

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Primfaktorzerlegung
Potenzen aufteilen
Wurzel aufteilen
Ziehbare Wurzel ziehen

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Gib an, wie eine Potenz mit rationalem Exponenten berechnet werden kann.

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Jede Potenz mit rationalem Exponenten kann als Wurzel und jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben werden. Dann greifen entweder Wurzelgesetze oder Potenzgesetze. Diese Umformung kann das Berechnen vereinfachen.

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Beschreibe, wie ein rationaler Exponent einer Potenz definiert wird.

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Ein Exponent einer Potenz wird als rational bezeichnet, wenn im Exponenten keine ganze Zahl, sondern eine rationale Zahl steht. Eine rationale Zahl lässt sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.

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Bestimme den Fall, wann es bei der Addition von Wurzeln praktisch ist, die Wurzeln in Potenzschreibweise umzuformen.

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Wenn weder der Wurzelradikand noch der Wurzelexponent gleich sind, bietet es sich an, die Wurzeln in Potenzschreibweise umzuformen und anschließend den Exponenten, wenn möglich, zu vereinfachen.

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Erläutere, was der Begriff Potenz bedeutet.

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Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

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Erläutere, wie Potenzen mit rationalem Exponenten potenziert werden.

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Potenzen kannst Du potenzieren, Du hast dann also eine Potenz als Basis. Das funktioniert genau wie bei den Potenzen mit ganzem Exponenten. Multipliziere hierzu die Exponenten und behalte die Basis bei.

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Zeige auf, was der Exponent einer Potenz angibt.

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Die Hochzahl (der Exponent) gibt an, wie oft die Zahl (die Basis) mit sich selbst multipliziert wird. Er steht klein rechts oben neben der Zahl selbst.

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Erläutere, ob es bei der Berechnung von Potenzen mit rationalem Exponenten eine Rolle spielt, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt.

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Nein, denn aufgrund der Potenzgesetze, ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt. Alle Potenzgesetze zählen auch für das Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten.

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Welche Tatsache nutzt Du aus, wenn Du Dich der Lösung einer Wurzel annähern willst?

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Quadrate sind leichter zu berechnen als direkt die Wurzel und man kann das Ergebnis bekannter Quadratzahlen als Grenzen nutzen.

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Wie läuft eine Intervallschachtelung ab?

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Du wählst zwei bekannte Lösungen, die das Ergebnis eingrenzen und näherst sich mit einfacheren Rechenmethoden Stück für Stück dem Ergebnis an.

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Wann hörst Du bei einer Intervallschachtelung auf, das Ergebnis weiter einzugrenzen?

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Wenn die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

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Welche Zahlen nutzt Du im Allgemeinen als Startgrenzen für die Ermittlung einer Wurzel?

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Du nutzt die Wurzeln bekannter Quadratzahlen, weil Du mit ihnen leichter rechnen kannst.

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Welche Startwerte für die Intervallgrenzen würden sich zur Annäherung an $\sqrt{30}$ anbieten?

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5 und 6, da 30 zwischen 25 und 36 liegt.

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Schritt 1: Primfaktorzerlegung

Schritt 2: Wurzeln/Faktoren aufteilen

Schritt 3: Wurzeln ausrechnen (durch Umschreiben in Potenz)

Partielles Radizieren – teilweise radizieren

Ziehbare Wurzeln

Nicht-ziehbare Wurzeln

Schritt 1: Primfaktorzerlegung

Schritt 2: Potenzen aufteilen

Schritt 3: Wurzeln aufteilen

Schritt 4: Ziehbare Wurzeln ziehen

Radizieren – Anwendung

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Radizieren

Wie ziehe ich die Wurzel aus einer Zahl?

Wie werden Brüche radiziert?

Was sind die Wurzelgesetze?

Wie wird die Wurzel berechnet?

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