Kosinusfunktion

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Du wolltest schon immer mehr zur Kosinusfunktion wissen? Dann bist du hier genau an der richtigen Stelle. Die Kosinusfunktion kannst du sowohl für normale mathematische Schulaufgaben gebrauchen als auch bei Anwendungsaufgaben in der Physik, wie zum Beispiel bei der Schwingung.

Damit du alle Bereiche der Kosinusfunktion abdeckst, kannst du dich in diesem Artikel mit der allgemeinen Definition, dem Wertebereich, der Periode, den Nullstellen, der Symmetrie, dem Verhalten im Unendlichen, dem y-Achsenabschnitt, der Ableitung, den Extremstellen, der Monotonie und den Wendepunkten befassen.

Allgemeines der Kosinusfunktion

Bei der Kosinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich innerhalb einer bestimmten Periode dasselbe wiederholt. Das passiert immer und immer wieder.

Schau dir doch zuerst einmal das Schaubild der Kosinusfunktion an:

Kosinusfunktion Schaubild StudySmarter Abbildung 1: Schaubild der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \cos (x)$

wird Kosinusfunktion genannt.

Falls du dich fragen solltest, was der Unterschied zur Sinusfunktion ist: Die Kosinusfunktion ist lediglich eine um $\frac{π}{2}$ in y-Richtung verschobene Sinusfunktion.

Kosinusfunktion – Periode

Bei der Kosinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre y-Werte in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben p angegeben.

Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was die Periode ist? Dann solltest du dir den Artikel Periodizität anschauen!

Bestimmt kennst du die Periode von $f (x) = \cos (x)$ . Diese beträgt $p = 2 π$ .

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte in Abständen von $2 π$ immer wieder wiederholen.

Das heißt zum Beispiel auch, dass wenn sich an der Stelle $x = 0$ ein Hochpunkt befindet, dass sich auch an der Stelle $x = 0 + p = 0 + 2 π = 2 π$ ein Hochpunkt befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen.

Kosinusfunktion Periode StudySmarter Abbildung 2: Periode der Kosinusfunktion

Du siehst also, dass sich das Schaubild der Kosinusfunktion immer wiederholt. Da die Kosinusfunktion eine Periode p von $2 π$ besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Kosinusfunktion zwischen 0 und $2 π$ genau so aussieht wie zwischen $2 π und 4 π$ oder zwischen $4 π und 6 π$ . Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Sinusfunktion sieht dann zwischen $100 π$ und $102 π$ auch wieder genauso aus.

Mathematisch wirkt sich die Periode p wie folgt auf die Kosinusfunktion aus:

$\cos (x) = \cos (x + p) = \cos (x + 2 π)$

Kosinusfunktion – Wertebereich

Schauen wir uns als nächstes den Wertebereich der Kosinusfunktion an.

Zur Erinnerung:

Ein Wertebereich $W_{f}$ betrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktion $f (x)$ .
Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
Damit lautet der Wertebereich $W_{f}$ wie folgt: $W_{f} = [y_{m i n}, y_{m a x}]$ .

Falls du noch einmal Details nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.

Schau dir zuerst das Schaubild der Kosinusfunktion an und überlege, wie der Wertebereich der Kosinusfunktion sein könnte:

Kosinusfunktion Wertebereich StudySmarter Abbildung 3: Wertebereich der Kosinusfunktion

Da der Kosinus zwischen 0 und $2 π$ keine kleineren y-Werte als -1 und keine größeren y-Werte als 1 annimmt, kann die Kosinusfunktion aufgrund der Periode p nie kleinere bzw. größere y-Werte annehmen. Damit entspricht der Wertebereich $W_{f} = [- 1, 1]$ .

Da die y-Werte -1 und 1 eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend gewählt.

Das bedeutet auch, dass die Kosinusfunktion eine Amplitude von $a = 1$ hat.

Die Amplitude beschreibt die maximale Auslenkung. Das heißt, um die Amplitude zu bestimmen, musst du den Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt berechnen und diesen durch zwei teilen.

Kosinusfunktion – Symmetrie

Da du weißt, dass die Kosinusfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen:

Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Zur Erinnerung: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt: $f (x) = f (- x)$ . Mehr dazu kannst du im Artikel Achsensymmetrie nachlesen.

Bei der Kosinusfunktion gilt also folgendes:

$f (x) = \cos (x) = \cos (- x)$

Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist:

Kosinusfunktion Symmetrie StudySmarter Abbildung 4: Symmetrie der Kosinusfunktion

Du siehst daran, dass $\cos (0, 5) = \cos (- 0, 5) \approx 0, 88$ und $\cos (\frac{π}{2}) = \cos (- \frac{π}{2}) = 0$ ist.

Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:

	$\cos (x)$	$\cos (- x)$
$x = 1$	$\cos (1) \approx 0, 54$	$\cos (- 1) \approx 0, 54$
$x = π$	$\cos (π) = - 1$	$\cos (- π) = - 1$
$x = 6$	$\cos (6) \approx 0, 96$	$\cos (- 6) \approx 0, 96$
$x = 2 π$	$\cos (2 π) = 1$	$\cos (- 2 π) = 1$
$x = \frac{5 π}{2}$	$\cos (\frac{5 π}{2}) = 0$	$\cos (- \frac{5 π}{2}) = 0$

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der Kosinusfunktion

Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der x-Wert immer größer oder immer kleiner wird.

Funktionen können beispielsweise auch in y-Richtung ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer x-Wert eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die x-Achse annähern.

Du kannst das Verhalten im Unendlichen von der Kosinusfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.

Du hast vorhin schon gesehen, dass die Kosinusfunktion zwischen 0 und $2 π$ genauso aussieht, wie zwischen $100 π$ und $102 π$ . Damit sieht sie auch zwischen $1000000000 π$ und $1000000002 π$ genauso aus, auch, wenn wir für x ganz kleine negative Werte einsetzen.

Das bedeutet, dass die Kosinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber nie einem konkreten Wert annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, die Funktion divergiert unbestimmt.

Wenn eine Funktion immer zwischen zwei Werten pendelt, sagt man auch, dass sie oszilliert.

Kosinusfunktion – Nullstellen

Schauen wir uns nun die Nullstellen der Kosinusfunktion an.

Zur Erinnerung: Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f mit der x-Achse.

Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel Nullstellen berechnen an.

Schau dir zuerst das Schaubild der Kosinusfunktion an, um die Nullstellen zu bestimmen:

Kosinusfunktion Nullstellen StudySmarter Abbildung 5: Nullstellen der Kosinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{0} = \frac{π}{2}$ , $x_{1} = \frac{3 π}{2}$ und $x_{2} = \frac{5 π}{2}$ eine Nullstelle existiert.

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen. Wenn du dazu mehr wissen möchtest, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Innerhalb einer Periode p gibt es genau zwei Nullstellen. Das heißt, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode $\frac{p}{2}$ wiederholen. Bei der Kosinusfunktion ist die Periode $p = 2 π$ , also hat sie eine halbe Periode von $\frac{p}{2} = π$ .

Da nach jeweils einer halben Periode $\frac{p}{2} = π$ eine Nullstelle existiert, kannst du die Formel für allgemeine Nullstellen bei der reinen Kosinusfunktion wie folgt aufstellen:

Für eine ganze Zahl $k \in ℤ$ gibt es an der Stelle $x_{k}$ eine Nullstelle:

$x_{k} = \frac{π}{2} + π \cdot k$

Um dir zu zeigen, wie du dir die Formel vorstellen musst, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen. Dies sind die Nullstellen von $x_{- 1}$ bis $x_{4}$ :

$k = - 1$	$k = 0$	$k = 1$	$k = 2$	$k = 3$	$k = 4$
$x_{- 1} = \frac{π}{2} + π \cdot (- 1) = - \frac{π}{2}$	$x_{0} = \frac{π}{2}$	$x_{1} = \frac{3 π}{2}$	$x_{2} = \frac{5 π}{2}$	$x_{3} = \frac{7 π}{2}$	$x_{4} = \frac{9 π}{2}$

Der y-Achsenabschnitt der Kosinusfunktion

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Achse.

Schau dir dazu das Schaubild der Kosinusfunktion an, dann erkennst du direkt, welchen y-Achsenabschnitt die Kosinusfunktion hat:

Kosinusfunktion y-Achsenabschnitt StudySmarter Abbildung 6: y-Achsenabschnitt der Kosinusfunktion

Du siehst, dass die Kosinusfunktion die y-Achse im Punkt $S P_{y} = (0 / 1)$ schneidet.

Die Kosinusfunktion besitzt also folgenden y-Achsenabschnitt:

$y = 1$

Die Ableitung der Kosinusfunktion

An dieser Stelle beschäftigen wir uns kurz mit der Ableitung zur Kosinusfunktion. Wenn du mehr zur Ableitung wissen möchtest, kannst du den Artikel Ableitung trigonometrische Funktionen lesen.

Bei der Kosinusfunktion kannst du dir die Ableitung relativ leicht merken. Denn wenn du die Kosinusfunktion ableitest, erhältst du die negative Sinusfunktion. Schau dir dazu die Abbildung 7 an:

Cosinusfunktion Ableitung StudySmarter Abbildung 7: Ableitung der Kosinusfunktion

Du erhältst dann folgende Definition:

Die Ableitung $f' (x)$ der Kosinusfunktion $f (x) = \cos (x)$ lautet:

$f' (x) = - \sin (x)$

Extremstellen der Kosinusfunktion

Genauso wie die Sinusfunktion hat die Kosinusfunktion unendlich viele Extremstellen.

Zur Erinnerung:

Ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist ein Punkt einer Funktion mit dem größten bzw. kleinsten y-Wert.
Eine Extremstelle ist der x-Wert eines Hoch- oder Tiefpunktes.

Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die Extremstellen und -punkte berechnen kannst, schau in unserem Artikel Extremstellen nach.

Kosinusfunktion Extremstellen StudySmarter Abbildung 8: Extremstellen der Kosinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{H P_{0}} = 0$ und $x_{H P_{1}} = 2 π$ ein Hochpunkt existiert.

An den Stellen $x_{T P_{0}} = π$ und $x_{T P_{1}} = 3 π$ existiert ein Tiefpunkt.

Die y-Koordinate der Extrempunkte betragen $y_{T P} = - 1$ und $y_{H P} = 1$ .

Auch für die Extremstellen kannst du eine allgemeine Formel aufstellen, da sich diese auch periodisch wiederholen. Wenn du möchtest kannst du mehr dazu im nächsten vertiefenden Abschnitt nachlesen.

Innerhalb einer Periode $p$ gibt es genau zwei Extremstellen - jeweils einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Das heißt, dass sich die Hoch- und Tiefpunkte nach einer Periode $p = 2 π$ wiederholen. Also kannst du die Formel für die allgemeinen Extremstellen wie folgt aufstellen:

Für eine ganze Zahl $k \in ℤ$ gibt es an der Stelle $x_{H P_{k}}$ einen Hochpunkt:

$x_{H P_{k}} = 2 π \cdot k$

Für eine ganze Zahl $k \in ℤ$ gibt es an der Stelle $x_{T P_{k}}$ einen Tiefpunkt:

$x_{T P_{k}} = π + 2 π \cdot k$

Also lauten die Extrempunkte der Kosinusfunktion wie folgt:

$\begin{array}{rcl} H P_{k} & = & (2 π \cdot k / 1) und T P_{k} = (π + 2 π \cdot k / - 1) \end{array}$

Kosinusfunktion – Monotonie

Da sich die Monotonie relativ leicht bestimmen lässt, wenn die Extremstellen gegeben oder schon berechnet sind, brauchst du hier lediglich die Extremstellen betrachten.

Noch einmal zur Erinnerung:

Eine Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt monoton steigend.
Eine Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt monoton fallend.
Bei der Sinus- und Kosinusfunktion gilt sogar, dass sie streng monoton steigend oder fallend ist.

Mehr dazu kannst du auch im Artikel Monotonieverhalten nachlesen.

Du weißt bereits, dass bei $x_{H P_{0}} = 0$ und bei $x_{H P_{1}} = 2 π$ ein Hochpunkt existiert und dass es bei $x_{T P_{0}} = π$ ein Tiefpunkt gibt.

Somit hast du folgendes Intervall, auf dem die Funktion $f (x) = \cos (x)$ streng monoton fallend ist:

$\begin{array}{rcl} I_{F} & = & [x_{H P_{0}}, x_{T P_{0}}] \\ = & [0, π] \end{array}$

Ebenso ergibt sich ein Intervall, auf dem die Funktion $f (x) = \cos (x)$ streng monoton steigend ist:

$\begin{array}{rcl} I_{S} & = & [x_{T P_{0}}, x_{H P_{1}}] \\ = & [π, 2 π] \end{array}$

Die Kosinusfunktion wechselt also in einem regelmäßigen Abstand ihr Monotonieverhalten. Du kannst also keine allgemeine Aussage für den gesamten Definitionsbereich $ℝ$ der Kosinusfunktion machen.

Wendepunkte der Kosinusfunktion

Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt dann die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.

Um mehr über Wendepunkte zu erfahren, kannst du dir unseren Artikel Krümmung und Wendepunkte anschauen.

Schau dir zuerst das Schaubild der Kosinusfunktion an, um die Wendepunkt zu bestimmen:

Kosinusfunktion Wendepunkte StudySmarter Abbildung 9: Wendepunkte der Kosinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{0} = \frac{π}{2}$ , $x_{1} = \frac{3 π}{2}$ und $x_{2} = \frac{5 π}{2}$ ein Wendepunkt existiert.

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt $y = 0$ .

Vielleicht hast du bemerkt, dass die Wendestellen den Nullstellen entsprechen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.

Super, jetzt weißt du eine ganze Menge über die Kosinusfunktion. Für einen kurzen Überblick aller Eigenschaften der Kosinusfunktion kannst du dir noch den nächsten Abschnitt durchlesen:

Kosinusfunktion - Das Wichtigste

Die Periode $p$ der Kosinusfunktion beträgt $p = 2 π$ .
Die Kosinusfunktion hat einen Wertebereich $W_{f}$ von $W_{f} = [- 1, 1]$ .
Aus dem Wertebereich ergibt sich eine Amplitude $a = 1$ .
Die Kosinusfunktion weist eine Achsensymmetrie zur $y - Achse$ auf.
Der $y - Achsenabschnitt$ der Kosinusfunktion ist $y = 1$ .
Die ersten Nullstellen bzw. Wendestellen rechts von der $y - Achse$ der Kosinusfunktion sind $x_{0} = \frac{π}{2}, x_{1} = \frac{3 π}{2}, x_{2} = \frac{5 π}{2}$ .
Es gibt eine allgemeine Formel für alle Nullstellen bzw. Wendestellen der Kosinusfunktion: $x_{k} = \frac{π}{2} + π \cdot k$ .
Die Ableitung $f' (x)$ der Kosinusfunktion $f (x) = \cos (x)$ ist: $f' (x) = - \sin (x)$ .
Die ersten beiden Hochpunkte $H P$ rechts der $x - Achse$ sind: $H P_{0} (0 / 1), H P_{1} (2 π / 1)$ .
Die ersten beiden Tiefpunkte $T P$ rechts der $x - Achse$ sind: $T P_{0} (π / - 1), T P_{1} (3 π / - 1)$ .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion ist eine periodische und trigonometrische Funktion. Die Funktionsgleichung lautet f(x)=cos(x).

Die Funktionsgleichung des Kosinus ist f(x)=cos(x).

Der Kosinus ist eine Verschiebung um π/2 in x-Richtung gegenüber der Sinusfunktion.
Der einzige Unterschied zwischen Sinus und Kosinus ist eine Verschiebung in x-Richtung.

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In welchem Abstand wiederholen sich die Extrempunkte der Kosinusfunktion?

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Extrempunkte wiederholen sich nach einer halben Periode, Hoch- und Tiefpunkte jeweils nach einer Periode.

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Wie ist das Verhalten der Kosinusfunktion im Unendlichen?

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Sie divergiert unbestimmt. Das bedeutet, dass die Kosinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert.

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Welche Symmetrie hat die Kosinusfunktion?

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Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

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In welchem Abstand wiederholen sich die Extrempunkte der Kosinusfunktion?

Extrempunkte wiederholen sich nach einer halben Periode, Hoch- und Tiefpunkte jeweils nach einer Periode.

Wie ist das Verhalten der Kosinusfunktion im Unendlichen?

Sie divergiert unbestimmt. Das bedeutet, dass die Kosinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert.

Welche Symmetrie hat die Kosinusfunktion?

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