In diesem Artikel dreht es sich um die transponierte Matrix. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Regeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest, erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir den Matrizen und damit dem Fach Mathematik zuordnen.
Transponierte Matrix – Was hat es damit auf sich?
Bevor wir uns damit beschäftigen, wie wir eine Matrix transponieren, klären wir zunächst was eine transponierte Matrix überhaupt ist.
Allgemeine Matrizen
Die Grundlage für eine transponierte Matrix bildet die Matrix selbst. Die verschiedenen Formen der Matrizen kennen wir bereits aus dem Kapitel Matrizen. Wir werden das Wichtigste hier kurz wiederholen.
Eine Matrix A kann in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. In der allgemeinen Form besitzt sie m Zeilen und n Spalten, weshalb für die Matrix A gilt:
Die einzelnen Komponenten (wie beispielsweise 
) in der Klammer werden als Koeffizienten bezeichnet. Ein Beispiel für eine 3x3-Matrix könnte wie folgt aussehen:
Diese besitzt drei Zeilen und drei Spalten, weshalb sie auch als 3x3-Matrix oder auch als (3,3)-Matrix bezeichnet werden kann. Grundsätzlich kann sie aber auch weniger Spalten oder weniger Zeilen besitzen. Eine (2,3)-Matrix wäre zum Beispiel folgende:
Sie besitzt damit nur zwei Zeilen und drei Spalten. Wenn mehrere Matrizen miteinander verknüpft werden, müssen wir uns mit der Matrizenrechnung beschäftigen. Falls dir die Grundlagen zu den Matrizen unklar sind, lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.
Von der Matrix zur transponierten Matrix
Der Begriff transponieren hat seine Herkunft ursprünglich aus dem Latein und bedeutet so viel wie „versetzen“ und „umsetzen“. Bei einer transponierten Matrix werden die Koeffizienten der Matrix ebenfalls versetzt. Dies geschieht durch das Vertauschen der Zeilen und Spalten.
Wir werden uns später noch damit beschäftigen, wie wir dies am einfachsten durchführen können und eine Matrix transponieren. Auch die transponierte Matrix kann in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. Sie besitzt ebenfalls eine allgemeine Form.
Gekennzeichnet ist eine transponierte Matrix durch das hochgestellte T. Wir zeigen dir nachfolgend ein Beispiel für eine Matrix A und dessen transponierte Matrix 
. Der Einfachheit halber nutzen wir zunächst nur eine 2x2-Matrix.
Die Zeile 1 der Matrix A wurde zur Spalte 1 der Matrix 
, sowie die Zeile 2 der Matrix A zur Spalte 2 der Matrix 
wurde. Die Zeilen und Spalten wurden vertauscht und die Matrix somit transponiert. In unserem Beispiel wurden die Zeilen zu den Spalten. Vielleicht fragst du dich, wieso nicht die Spalten zu den Zeilen wurden. Das kann ganz einfach beantwortet werden, denn das Umtauschen wäre ebenso möglich und wir erhalten dasselbe Ergebnis. Daher gibt es mehrere Möglichkeiten eine Matrix zu transponieren und trotzdem immer das gleiche Resultat zu erhalten.
Matrix transponieren
Wie bereits erwähnt, kann auf verschiedene Art und Weise eine beliebige Matrix transponiert werden. Grundsätzlich gibt es drei Möglichkeiten für das Transponieren:
- Zeilen zu Spalten
- Spalten zu Zeilen
- Matrix spiegeln
Auf diese unterschiedlichen Fälle gehen wir nachfolgend näher ein.
1. Zeilen der Matrix A zu Spalten der Matrix 
Gegeben ist eine 2x3-Matrix A, die transponiert werden soll, indem die Zeilen der Matrix A zu den Spalten der Matrix 
werden.
Die 1. Zeile der Matrix A markieren wir rosa. Diese Zeile transponieren wir jetzt zur 1. Spalte der Matrix 
.
Im nächsten Schritt versetzen wir die 2. Zeile der Matrix A (türkis) in die 2. Spalte der transponierten Matrix 
.
Damit haben wir die Matrix A zur Matrix 
transponiert. Wie du sehen kannst, ändert sich damit die Form der Matrix.
Wir erhalten eine 3x2-Matrix durch das Transponieren. Etwas anders verhält sich die Umwandlung im nächsten Fall.
2. Spalten der Matrix A zu Zeilen der Matrix 
Gegeben ist wieder die gleiche 2x3-Matrix A, die transponiert werden soll, indem diesmal die Spalten der Matrix A zu den Zeilen der Matrix 
werden.
Die 1. Spalte der Matrix A markieren wir rosa. Diese Zeile transponieren wir jetzt zur 1. Zeile der Matrix 
.
Im nächsten Schritt versetzen wir die 2. Spalte der Matrix A (türkis) in die 2. Zeile der transponierten Matrix 
.
Wir verfahren mit der letzten orangenen Spalte der Matrix A ebenso und erhalten damit wieder die transponierte Matrix 
.
Wie wir sehen können, ist diese identisch mit der transponierten Matrix aus der vorherigen Umwandlung. Zuletzt gibt es noch eine weitere Möglichkeit für das Transponieren.
3. Matrix A spiegeln zu Matrix 
Wir nehmen wieder die 2x3-Matrix A, die transponiert werden soll und transponieren diese zur Matrix 
, indem wir die Matrix A an der Hauptdiagonalen spiegeln.
Die Hauptdiagonale beginnt immer beim ersten Koeffizienten 
. Zunächst spiegeln wir die linke Seite und danach die rechte Seite der Diagonalen.
Auch mit dieser Methode erhalten wir wieder die gleiche transponierte Matrix 
, wie bei den anderen Berechnungen. Jedoch können sich hier leicht Leichtsinnsfehler einschleichen, weshalb die anderen Vorgehensweisen zu bevorzugen wären. Es bleibt aber jedem selbst überlassen, welche Methode zum Transponieren von einer Matrix genutzt wird.
Rechenregeln und Eigenschaften zu transponierten Matrizen
Wir wissen damit bereits, wie wir eine Matrix transponieren. Mit dieser kannst du auch noch weitere Berechnungen durchführen, daher bietet es sich an die wichtigsten Rechenregeln kurz vorzustellen. Die grundlegenden Berechnungsvorschriften der Matrizen solltest du bereits aus der Matrizenrechnung kennen.
- Transponieren einer transponierten Matrix:
Durch Transponieren einer schon transponierten Matrix erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix A. Daraus folgt:
Die Summe von zwei transponierten Matrizen entspricht der Summe von zwei Matrizen, die zuerst transponiert werden und dann addiert werden. Daher gilt:
- Multiplikation von transponierten Matrizen:
Im Gegensatz zur Addition muss bei der Multiplikation die Reihenfolge der Matrizen beachtet werden. Das Produkt der einzelnen Matrizen ist umgedreht.
- Multiplikation mit Skalaren:
Transponierte Matrizen können ebenso mit Skalaren multipliziert werden. Hierbei spielt es keine Rolle, ob das vor oder nach dem Transponieren gemacht wird. Damit folgt:
Neben den Rechenregeln zu transponierten Matrizen gibt es noch zwei wichtige Sonderfälle, die nachfolgend erklärt werden.
Falls die transponierte Matrix der ursprünglichen Matrix A entspricht, wird sie als symmetrisch bezeichnet.
Dies kann aber grundsätzlich nur bei quadratischen Matrizen der Fall sein.
- Antisymmetrische/Schiefsymmetrische Matrizen:
Wenn durch das Transponieren der Matrix diese negativ wird, kann sie als antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch betitelt werden. Für diese gilt:
Damit haben wir alle wichtigen Grundlagen zu transponierten Matrizen kennengelernt. Durch das folgende Übungsbeispiel kannst du dein Wissen zu diesem Thema überprüfen.
Aufgabe
Zeige mithilfe der angegebenen Matrix A, dass gilt:
.
Lösung
1. Schritt: Wir transponieren die Matrix A
2. Schritt: Wir transponieren die neue Matrix ein weiteres Mal.
Da diese Matrix wieder der ursprünglichen Matrix A entspricht, haben wir die Aufgabe gelöst!
So einfach geht das Transponieren von Matrizen!
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