Was sind Potenzen? Basis, Exponent und Potenzwert
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein wiederholtes Produkt: aⁿ bedeutet, die Basis a genau n-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Die Zahl a heißt Basis, der hochgestellte Exponent n gibt die Anzahl der Faktoren an, und das Ergebnis ist der Potenzwert. Die Potenzgesetze sind die Regeln, mit denen man solche Potenzen zusammenfasst.
Bevor die Regeln Sinn ergeben, lohnt sich ein Blick auf die drei Bausteine jeder Potenz. In 2⁴ ist die 2 die Basis und die 4 der Exponent. Ausgeschrieben heißt das 2 · 2 · 2 · 2, also vier gleiche Faktoren, deren Ergebnis 16 der Potenzwert ist.
Sobald die Exponenten größer werden, wird das Ausschreiben mühsam, und genau hier setzen die Potenzgesetze an. Sie fassen Produkte, Quotienten und Klammern von Potenzen zu einer einzigen Potenz zusammen, ohne dass du alles ausrechnen musst. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um die Potenzregeln sicher für Klassenarbeit, Abschlussprüfung und Abitur zu üben.
Potenzgesetze lernen?
Die Potenzgesetze im Überblick
Die Potenzgesetze bestehen aus wenigen Grundregeln: Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert (Multiplikation) oder subtrahiert (Division). Beim Potenzieren einer Potenz werden sie multipliziert. Bei gleichem Exponenten verrechnet man die Basen. Dazu kommen die Sonderfälle für Exponent null, negative und rationale Exponenten. Die folgende Tabelle zeigt alle Regeln mit Beispiel.
Diese Übersicht ist dein Spickzettel für Klassenarbeit und Prüfung. Danach nehmen wir jedes Gesetz einzeln durch, mit Herleitung und einem durchgerechneten Beispiel. Wichtig vorab: Alle Regeln gelten nur für Multiplikation, Division und Potenzieren, niemals für Addition oder Subtraktion.
| Potenzgesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt gleicher Basis | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2² = 2⁵ = 32 |
| Quotient gleicher Basis | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁵ / 3² = 3³ = 27 |
| Potenz einer Potenz | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Gleicher Exponent (Produkt) | aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ | 2² · 3² = 6² = 36 |
| Gleicher Exponent (Quotient) | aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ | 6³ / 2³ = 3³ = 27 |
| Negativer Exponent | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Exponent 0 und 1 | a⁰ = 1, a¹ = a | 5⁰ = 1, 7¹ = 7 |
| Rationaler Exponent | a^(1/n) = ⁿ√a | 8^(1/3) = ³√8 = 2 |
Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis erhalten und die Exponenten werden addiert: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Das gilt, weil beide Potenzen dieselbe Basis als Faktor haben und man die Faktoren einfach zusammenzählt. Ein häufiger Fehler ist, dabei auch die Basen zu multiplizieren, das ist falsch.
Ein Beispiel: 2³ · 2² besteht ausgeschrieben aus (2 · 2 · 2) · (2 · 2), also fünf Faktoren der Zahl 2, und das ist 2⁵. Statt auszurechnen genügt 3 + 2 = 5. Diese Regel ist der Schlüssel, um Terme zu vereinfachen, in denen dieselbe Basis mehrfach als Faktor auftaucht.
Vereinfache x⁴ · x³ · x. Alle drei Faktoren haben die gleiche Basis x, ihre Exponenten sind 4, 3 und 1, denn x = x¹. Die Exponenten werden addiert: 4 + 3 + 1 = 8. Also gilt x⁴ · x³ · x = x⁸. Die Basis x bleibt dabei unverändert.
Potenzen mit gleicher Basis dividieren
Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis erhalten und die Exponenten werden subtrahiert: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Der Exponent des Nenners wird also vom Exponenten des Zählers abgezogen. Voraussetzung ist, dass die Basis nicht null ist, denn durch null darf man nicht teilen.
Auch das lässt sich am Ausschreiben sehen: 3⁵ / 3² bedeutet (3 · 3 · 3 · 3 · 3) geteilt durch (3 · 3). Zwei Faktoren im Nenner kürzen zwei Faktoren im Zähler weg, es bleiben drei übrig, also 3³ = 27. Statt mühsam zu kürzen genügt die Rechnung 5 − 2 = 3.
Vereinfache y⁷ / y⁴. Die Basis y ist in Zähler und Nenner gleich, die Exponenten sind 7 und 4. Subtrahieren ergibt 7 − 4 = 3, also y⁷ / y⁴ = y³. Wird der Exponent im Nenner größer als im Zähler, entsteht ein negativer Exponent, dazu gleich mehr.
Eine Potenz potenzieren (Potenz einer Potenz)
Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die beiden Exponenten multipliziert: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Die äußere Hochzahl gibt an, wie oft die innere Potenz als Faktor auftritt, und beim Zusammenzählen dieser Faktoren entsteht das Produkt der Exponenten. Die Klammer ist dabei entscheidend.
Beispiel: (2³)² heißt, die Potenz 2³ zweimal als Faktor zu nehmen, also 2³ · 2³. Nach der Produktregel addieren sich die Exponenten zu 3 + 3 = 6, und das ist genau 3 · 2 = 6. Also gilt (2³)² = 2⁶ = 64. Das Multiplizieren der Exponenten ist nur die Abkürzung für dieses wiederholte Produkt.
(2³)² = 2⁶ = 64, aber 2^(3²) = 2⁹ = 512. Ohne Klammer wird der Potenzturm von oben nach unten gelesen, 2^(3²) meint also erst 3² und dann die Potenz. Klammern legen eindeutig fest, was zuerst potenziert wird.
Potenzen mit gleichem Exponenten verrechnen
Haben zwei Potenzen den gleichen Exponenten, aber verschiedene Basen, darf man die Basen verrechnen: aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ und aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ. Der gemeinsame Exponent bleibt außen an der Klammer stehen. So fasst du Produkte und Quotienten von Potenzen zu einer einzigen Potenz zusammen oder spaltest sie umgekehrt auf.
Diese Regel arbeitet spiegelbildlich zu den ersten beiden: Dort war die Basis gleich, hier ist der Exponent gleich. Das Beispiel 2² · 3² zeigt es: (2 · 3)² = 6² = 36, was auch 4 · 9 = 36 ergibt. Für das Potenzieren von Klammern, etwa bei den binomischen Formeln, ist dieses Gesetz die Grundlage.
| Fall | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt | aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ | 2² · 3² = 6² = 36 |
| Quotient | aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ | 6³ / 2³ = 3³ = 27 |
| Klammer aufspalten | (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (5x)³ = 5³ · x³ = 125x³ |
Exponent null, eins, negativ und rational
Neben den Grundregeln gibt es vier Sonderfälle: a¹ = a, a⁰ = 1 (für a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ und a^(1/n) = ⁿ√a. Sie folgen alle aus den Grundgesetzen, wenn man die Exponenten über die natürlichen Zahlen hinaus fortsetzt. Besonders der Wert a⁰ = 1 und die negativen Exponenten sorgen oft für Verwirrung.
Warum ist a⁰ = 1? Nach dem Quotientengesetz gilt aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Da ein Term geteilt durch sich selbst 1 ergibt, muss a⁰ = 1 sein, solange a ≠ 0 ist. Verringert man den Exponenten Schritt für Schritt, teilt man jedes Mal durch die Basis und landet unterhalb von a⁰ bei den negativen Exponenten als Kehrwerten, wie die folgende Treppe zeigt.
Ein negativer Exponent bedeutet also Kehrwert: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Solche Kehrwerte rechnest du wie mit Bruchtermen. Ein Bruch im Exponenten steht für eine Wurzel: a^(1/n) = ⁿ√a und allgemein a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). So ist 8^(1/3) = ³√8 = 2 und 8^(2/3) = 4. Mehr dazu bei den Wurzelgesetzen und bei der Logarithmusfunktion als Umkehrung des Potenzierens.
| Sonderfall | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Exponent 1 | a¹ = a | 7¹ = 7 |
| Exponent 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 5⁰ = 1 |
| Negativer Exponent | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Stammbruch-Exponent | a^(1/n) = ⁿ√a | 16^(1/2) = √16 = 4 |
| Rationaler Exponent | a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | 8^(2/3) = 4 |
Ein negativer Exponent macht das Ergebnis nicht negativ. 2⁻³ ist 1/8 und nicht −8. Das Minuszeichen betrifft nur den Exponenten und bedeutet Kehrwert, nicht das Vorzeichen des Potenzwerts.
Potenz-Rechner: Produktregel ausprobieren
Mit dem Potenz-Rechner übst du die Produktregel direkt: Gib eine Basis und zwei Exponenten ein. Der Rechner addiert die Exponenten, zeigt die zusammengefasste Potenz aᵐ⁺ⁿ und den Potenzwert. So siehst du sofort, dass die Basis erhalten bleibt und nur die Exponenten sich verändern.
Basis a, Exponent m und Exponent n eingeben, dann fasst der Rechner aᵐ · aⁿ zu aᵐ⁺ⁿ zusammen.
2³ · 2² = 2⁵ = 32
Probiere ruhig negative Exponenten aus, etwa a = 10, m = −1 und n = −2. Der Rechner liefert 10⁻¹ · 10⁻² = 10⁻³ = 0.001 und macht anschaulich, dass die Produktregel auch für negative Exponenten gilt.
Häufige Fehler bei den Potenzgesetzen
Die häufigsten Fehler bei den Potenzgesetzen sind: die Basen mitmultiplizieren statt nur die Exponenten zu verrechnen, Potenzen mit gleicher Basis addieren zu wollen, einen negativen Exponenten als negatives Ergebnis zu deuten und die Klammer bei der Potenz einer Potenz zu übersehen. Wer diese vier Fallen kennt, vermeidet die typischen Punktabzüge in der Prüfung.
Diese Fehler tauchen in Klassenarbeiten immer wieder auf. Rechne im Zweifel ein kleines Zahlenbeispiel nach, um deine Umformung zu überprüfen.
Bei 2³ · 2⁴ bleibt die Basis 2, nur die Exponenten werden addiert: 2⁷ = 128. Falsch wäre 4⁷. Die Basis wird bei gleicher Basis niemals mitmultipliziert.
Die Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation und Division. a² + a³ lässt sich weder zu a⁵ noch zu a⁶ zusammenfassen, die Summe bleibt stehen. Sauberes Umformen übst du bei Terme vereinfachen.
2⁻³ bedeutet Kehrwert, also 1/8, und nicht −8. Das Minus betrifft nur den Exponenten und steht für den Kehrwert, nicht für ein negatives Ergebnis.
(2³)² = 2⁶, weil die Exponenten multipliziert werden, aber 2 · 2³ = 2⁴, weil hier addiert wird. Achte genau auf Klammern und Rechenzeichen, sonst verwechselst du Addieren und Multiplizieren der Exponenten.
Übungsaufgaben zu den Potenzgesetzen
Fünf Übungsaufgaben zu den Potenzgesetzen decken die Produkt- und Quotientenregel, die Potenz einer Potenz sowie negative und kombinierte Exponenten ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Weg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
Gleiche Basis a, also Exponenten addieren: 5 + 3 = 8. Ergebnis: a⁵ · a³ = a⁸.
Gleiche Basis 7, also Exponenten subtrahieren: 6 − 2 = 4. Ergebnis: 7⁶ / 7² = 7⁴.
Exponenten multiplizieren: 2 · 5 = 10. Ergebnis: (x²)⁵ = x¹⁰.
Negativer Exponent bedeutet Kehrwert: 3⁻² = 1/3² = 1/9. Das Ergebnis ist positiv.
Zuerst die Klammer: 2³ · 2⁻¹ = 2³⁻¹ = 2². Dann potenzieren: (2²)² = 2⁴ = 16.
Karteikarten zu den Potenzgesetzen
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Potenzgesetzen, von der Produkt- und Quotientenregel über die Potenz einer Potenz bis zu negativen Exponenten und dem Wert a⁰ = 1. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
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Potenzgesetze, das Wichtigste auf einen Blick
Die Potenzgesetze fassen Potenzen zusammen: Bei gleicher Basis werden Exponenten addiert (Mal) oder subtrahiert (Geteilt), beim Potenzieren einer Potenz multipliziert. Bei gleichem Exponenten verrechnet man die Basen. Ein negativer Exponent ist ein Kehrwert, a⁰ ergibt 1 und ein Bruch im Exponenten ist eine Wurzel.
- Gleiche Basis, Mal: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (Exponenten addieren).
- Gleiche Basis, Geteilt: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (Exponenten subtrahieren).
- Potenz einer Potenz: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (Exponenten multiplizieren).
- Gleicher Exponent: aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ, aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ.
- Sonderfälle: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1 (a ≠ 0), a^(1/n) = ⁿ√a.
- Gilt nur für Mal und Geteilt, nie für Plus und Minus.
Häufige Fragen zu den Potenzgesetzen
Die Potenzgesetze sind Rechenregeln für Potenzen. Bei gleicher Basis addierst du beim Multiplizieren die Exponenten (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) und subtrahierst sie beim Dividieren (aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ). Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
Bei gleicher Basis bleibt die Basis erhalten und du verrechnest nur die Exponenten: beim Multiplizieren werden sie addiert, beim Dividieren subtrahiert. Aus 2³ · 2² wird also 2⁵ und aus 3⁵ / 3² wird 3³. Die Basis wird dabei nie mitmultipliziert.
Weil aⁿ / aⁿ nach dem Quotientengesetz aⁿ⁻ⁿ = a⁰ ergibt und ein Term geteilt durch sich selbst 1 ist. Deshalb gilt a⁰ = 1 für jede Basis a ≠ 0. Beispiel: 5⁰ = 1.
Ein negativer Exponent steht für den Kehrwert: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (für a ≠ 0). Das Ergebnis wird dadurch nicht negativ. Beispiel: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Ein häufiger Fehler ist, 2⁻³ als −8 zu schreiben.
Ein Bruch im Exponenten ist eine Wurzel: a^(1/n) = ⁿ√a und allgemein a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) für a > 0. Beispiel: 8^(1/3) = ³√8 = 2 und 8^(2/3) = ³√(8²) = 4.
Nein. Die Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation und Division, nicht für Addition oder Subtraktion. aᵐ + aⁿ lässt sich nicht zu einer Potenz zusammenfassen. Nur gleiche Potenzterme zählt man wie Summanden, etwa 2a³ + a³ = 3a³.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und staatlichen Lehrmaterialien:
- Potenz (Mathematik) (Definition, Potenzgesetze mit Bedingungen und Beispielen). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Selbstlernkurs Potenzgesetze (Unterrichtsmaterial). schule-bw.de (PDF)
- Mathe für Nicht-Freaks: Potenz (offenes Lehrbuch, Definition und Herleitung). Wikibooks. de.wikibooks.org