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Potenzgesetze

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Mathe

In der Mathematik gibt es Schreibweisen, die dir helfen, Rechnungen kürzer darstellen zu können. So kann zum Beispiel wiederholte Addition wie zum Beispiel einfach mithilfe der Multiplikation geschrieben werden als. In diesem Artikel schauen wir uns Potenzen an, durch die wiederholte Multiplikationen vereinfacht dargestellt werden können. Außerdem wirst du die Potenzgesetze kennenlernen, die vorgeben, wie mit Potenzen gerechnet wird.

Potenzgesetze Potenzen StudySmarter

Potenz Definition

Starten wir zunächst mit einer kurzen Wiederholung, bevor du die Potenzgesetze kennenlernst. Wenn ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert wird, so wird das als Potenzieren bezeichnet.

Eine Potenzstellt eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren dar. Der Exponent(Hochzahl) bestimmt, wie oft die Basis(Grundzahl) mit sich selbst multipliziert wird:

Potenzgesetze Definition Potenz StudySmarter

Ausgesprochen heißt der mathematische Ausdruck "a hoch n".

Das Beispiel zeigt dir, wie eine Potenz mit konkreten Zahlen aussehen kann.

Dabei istdie Basis undder Exponent.

Besondere Exponenten, die du dir merken solltest, sind die Exponenten 0 und 1.

Für den Exponenten 0 gilt allgemein für allen reellen Zahlen a:

Für den Exponenten 1 gilt allgemein für allen reellen Zahlen a:

Die Potenzgesetze geben vor, wie mit Potenzen gerechnet werden muss. Sie erleichtern aber auch das Rechnen mit Potenzen. Das nächste Kapitel gibt dir eine Übersicht über alle Potenzgesetze.

Potenzgesetze Gesetze StudySmarter

Übersicht über die Potenzgesetze - Potenzen mit gleicher Basis

Jetzt weißt du schon, was Potenzen sind. In diesem Kapitel lernst du jetzt, wie du mit Potenzen rechnen kannst. Die Potenzgesetze werden in diesem Artikel nummeriert. Es kann aber sein, dass sie in anderen Büchern oder Artikeln anders nummeriert werden. Oft werden das erste und zweite Potenzgesetz und das dritte und vierte Potenzgesetz auch zusammengefasst.

Du hast hier schon mal einen Überblick über alle Potenzgesetze, bevor sie im Detail vorgestellt werden:

1. Potenzgesetz: Potenzgesetze Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis StudySmarter2. Potenzgesetz: Potenzgesetze Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis StudySmarter3. Potenzgesetz: Potenzgesetze Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten StudySmarter4. Potenzgesetz: Potenzgesetze Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten StudySmarter5. Potenzgesetz: Potenzgesetze Potenzieren von Potenzen StudySmarter

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis

Die ersten beiden Potenzgesetze, die wir anschauen werden, befassen sich mit Potenzen, die die gleiche Basis besitzen.

1. Potenzgesetz: Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis

Sind zwei Potenzen mit gleicher Basis a gegeben, so werden sie miteinander multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. Die Basis bleibt gleich.

Mathematisch schreibt man das Potenzgesetz so auf:

Potenzgesetze Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis StudySmarter

Um dir zu erklären, warum das Potenzgesetz gültig ist, schauen wir das folgende Beispiel an.

Aufgabe 1

Vereinfachemit dem ersten Potenzgesetz.

Lösung

Zunächst kann die Potenzschreibweise wieder in eine normale Multiplikation umgeschrieben werden:

Jetzt siehst du, dass die 3 insgesamt fünfmal mit sich selbst multipliziert wird:

Vorsicht! Die Potenzgesetze vom Multiplizieren und Dividieren kannst du nicht einfach auf das Addieren und Subtrahieren übertragen.

Gegenbeispiel

Betrachte . Ist dies das gleiche wie?

Lösung

Die Antwort lautet "Nein", denn

2. Potenzgesetz: Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis

Sind zwei Potenzen mit gleicher Basis a gegeben, so werden sie dividiert, indem der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden abgezogen wird. Die Basis bleibt gleich.

Mathematisch schreibt man das Potenzgesetz so auf:

Potenzgesetze Division von Potenzen mit gleicher Basis StudySmarter

Damit du das Potenzgesetz besser verstehen und anwenden kannst, schaue dir das Beispiel an.

Aufgabe 2

Vereinfachemit dem zweiten Potenzgesetz.

Lösung

Zunächst kann die Rechnung als Bruch geschrieben werden:

Jetzt können die Potenzen als Multiplikationen ausgeschrieben werden:

Wenn du jetzt noch daran denkst, dass man bei Brüchen kürzen darf, kannst du leicht sehen, warum das Potenzgesetz funktioniert:

Übersicht über die Potenzgesetze - Potenzen mit gleichem Exponenten

Neben Potenzen mit gleicher Basis, gibt es auch Potenzen, die den gleichen Exponenten haben. Was es bedeutet, wenn Potenzen mit gleichem Exponenten multipliziert und dividiert werden, erfährst du im folgendem Abschnitt.

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichen Exponenten

Die beiden Potenzgesetze, die wir uns jetzt anschauen, befassen sich mit Potenzen, die den gleichen Exponenten haben.

3. Potenzgesetz: Multiplizieren von Potenzen mit gleichem Exponenten

Sind zwei Potenzen mit gleichem Exponenten n, so werden sie miteinander multipliziert, indem die Basen multipliziert werden. Der Exponent bleibt gleich.

Mathematisch schreibt man das Potenzgesetz so auf:

Potenzgesetze Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent StudySmarter

Jetzt kennst du zwar das Potenzgesetz. Aber auch hier möchten wir uns anschauen, warum es gilt.

Aufgabe 3

Vereinfachemit dem dritten Potenzgesetz.

Lösung

Damit man sieht, wie das Potenzgesetz funktioniert, kann man auch hier die Potenz als wiederholte Multiplikation ausschreiben.

Mit dem Kommutativgesetz kannst du jetzt die Zahlen so vertauschen, dass immer eine 2 neben einer 3 steht:

Mit dem Assoziativgesetz kannst du jetzt Klammern setzen:

Wenn du nicht mehr genau weißt, was das Kommutativgesetz oder das Assoziativgesetz ist, kannst du in den entsprechenden Artikeln noch mal nachlesen.

Der Ausdruckwird also viermal mit sich selbst multipliziert. Das kann man als Potenz schreiben:

Der Vorteil beim Rechnen, wenn man dieses Potenzgesetz anwendet, ist, dass man die Potenz von nur einer Zahl und nicht von zwei Zahlen berechnen muss.

Vorsicht! Die Potenzgesetze vom Multiplizieren und Dividieren kannst du nicht einfach auf das Addieren und Subtrahieren übertragen.

Gegenbeispiel

Betrachte. Ist es das gleiche wie?

Lösung

Die Antwort lautet "Nein", denn

4. Potenzgesetz: Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten

Sind zwei Potenzen mit gleichem Exponenten n, so werden sie dividiert, indem die Basen dividiert werden. Der Exponent bleibt gleich.

Mathematisch schreibt man das Potenzgesetz so auf:

Potenzgesetze Division von Potenzen mit gleichem Exponent StudySmarter

Auch hier kannst du dir das Beispiel ansehen, um das Potenzgesetz besser zu verstehen.

Aufgabe 4

Vereinfachemit dem vierten Potenzgesetz.

Lösung

Die Division kann man zunächst als Bruch aufschreiben:

Dann kann die Potenz ausgeschrieben werden:

Der Bruch kann folgendermaßen umgeschrieben werden:

Dies kann wieder mit der Definition von Potenzen umgeschrieben werden:

Potenzgesetze: Potenzieren von Potenzen

Will man eine Potenz potenzieren, so werden die Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt gleich.

Mathematisch schreibt man das Potenzgesetz so auf:

Potenzgesetze Potenzieren von Potenzen StudySmarter

Auch für das fünfte Potenzgesetz kannst du dir das Beispiel anschauen.

Aufgabe 5

Vereinfachemit dem fünften Potenzgesetz.

Lösung

Zuerst kann die Potenz innerhalb der Klammer aufgelöst werden:

Dann kann die Potenz außerhalb der Klammer aufgelöst werden:

Das kann dann wieder zu einer Potenz zusammen gefasst werden:

Bisher haben wir dir Beispiele gezeigt, deren Basis und Exponent aus der Menge der natürlichen Zahlen kommen. Die Potenzgesetze gelten aber auch für negative Zahlen, für rationale Zahlen und für reelle Zahlen.

Potenzgesetze Lernen StudySmarter

Die natürlichen Zahlen sind alle Zahlen der Menge .

Die rationalen Zahlen sind alle Brüche und alle abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen.

Die reellen Zahlen fassen die rationalen und irrationalen Zahlen zusammen.

In den nächsten Abschnitten wollen wir noch betrachten, was man bei Potenzen mit negativer Basis oder negativem Exponenten beachten muss. Außerdem werden wir rationale Exponenten untersuchen.

Potenzen mit negativer Basis

Wenn du mit Potenzen mit negativer Basis rechnest, solltest du darauf achten, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Warum das so ist, siehst du an den Beispielen.

Aufgabe 6

Betrachte die Exponenten 1, 2, 3 und 4 zur Basisund beschreibe, was dir auffällt.

Lösung

Beim ungeraden Exponenten 1 ist das Ergebnis eine negative Zahl.

Beim geraden Exponenten 2 ist das Ergebnis eine positive Zahl.

Beim ungeraden Exponenten 3 ist das Ergebnis eine negative Zahl.

Beim geraden Exponenten 4 ist das Ergebnis eine positive Zahl.

Vielleicht konntest du aus den Beispielen schon die Regel erkennen:

  • Das Ergebnis von Potenzen, die eine negative Basis und einen geraden Exponenten haben, ist positiv.
  • Das Ergebnis von Potenzen, die eine negative Basis und einen geraden Exponenten haben, ist negativ.

Etwas anderes ist es, wenn das Minus nicht zur Basis gehört, sondern vor der Potenz steht. Zum Beispiel ist . Deshalb sind die Klammern bei Basen mit negativen Vorzeichen sehr wichtig und dürfen nicht vergessen werden.

Potenzen mit negativem Exponenten

Potenzen mit negativem Exponenten werden auf besondere Weise definiert, sodass sie in einen Bruch umgeschrieben werden können.

Eine Potenz, die eine Basis a und einen negativen Exponentenhat, kann in einen Bruch umgeschrieben werden. Der Zähler ist immer 1 und im Nenner steht die Potenz mit Basis a und positivem Exponenten n.

Potenzgesetze negativer Exponent StudySmarter

In den beiden Beispielen siehst du, wie du die Regel konkret anwenden kannst.

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Potenzen mit rationalem Exponenten

Schließlich können wir noch rationale Exponenten betrachten, also Exponenten der Form .

Beginnen wir, indem wir Exponenten der Formbetrachten. Dabei handelt es sich um die bereits bekannten Potenzen:

Betrachten wir jetzt Exponenten der Form . Eine solche Potenz kann mithilfe der q-ten Wurzel umgeschrieben werden:

Die Potenzgesetze können also auf Wurzeln übertragen werden, indem die n-te Wurzel von a als Potenzaufgefasst wird. Die Wurzelgesetze sind analog zu den Potenzgesetzen.

Insgesamt folgt also für Potenzen mit rationalem Exponenten folgende Regel:

Die Potenzmit Basisund rationalen Exponentenkann auch geschrieben werden als:

Potenzgesetze rationaler Exponent Wurzel StudySmarter

Allerdings musst du aufpassen, denn wenn q gerade ist, darf a nicht negativ sein.

Potenzgesetze - Das Wichtigste

  • Eine Potenzstellt eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren dar. Der Exponent n (Hochzahl) bestimmt, wie oft die Basis a (Grundzahl) mit sich selbst multipliziert wird:
  • Potenzgesetze:
    • Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:

    • Division von Potenzen mit gleicher Basis:

    • Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten:

    • Division von Potenzen mit gleichem Exponenten:

    • Potenzieren von Potenzen:

  • Potenzen mit negativer Basis:

    • Das Ergebnis von Potenzen, die eine negative Basis und einen geraden Exponenten haben, ist positiv.
    • Das Ergebnis von Potenzen, die eine negative Basis und einen geraden Exponenten haben, ist negativ.
  • Potenzen mit negativem Exponenten können in einen Bruch umgeschrieben werden:

  • Potenzen mit rationalem Exponenten können mithilfe der Wurzel umgeschrieben werden:

Potenzgesetze

Es gibt Potenzgesetze zur Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis, zur Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten und zum Potenzieren von Potenzen.

Potenzen mit unterschiedlicher Basis und Exponenten werden berechnet, indem jede Potenz für sich berechnet wird. Mit den Ergebnissen wird dann weiter gerechnet.

Potenzen kannst du vereinfachen, indem du die Potenzregeln anwendest. Du kannst Potenzen mit gleicher Basis oder Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen.

Potenzen mit Klammern berechnest du, indem du die gesamte Klammer potenzierst.

Finales Potenzgesetze Quiz

Frage

Gib den fehlenden Ausdruck an



Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: 



Frage anzeigen

Frage

Gib den fehlenden Ausdruck an



Antwort anzeigen

Antwort

Es werden zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert: 



Frage anzeigen

Frage

Gib den fehlenden Ausdruck an



Antwort anzeigen

Antwort


Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten (n) werden multipliziert:




Frage anzeigen

Frage

Gib den fehlenden Ausdruck an:


 


Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten (n) werden dividiert:



Frage anzeigen

Frage

Gib den fehlenden Ausdruck an



Antwort anzeigen

Antwort

Eine Potenz wird potenziert, indem die beiden Exponenten miteinander multipliziert werden: 



Frage anzeigen

Frage

Berechne  mit Hilfe eines Potenzgesetzes.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne  mit Hilfe eines Potenzgesetzes.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Begründe warum die Gleichung  nicht stimmt und finde ein Gegenbeispiel.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gleichung  stimmt nicht, da das Potenzgesetz  für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis gilt und nicht für die Addition.


Mögliche Gegenbeispiele:


Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die Gleichung  nicht gilt, indem du ein Gegenbeispiel findest. 

Stelle die Gleichung richtig.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gleichung  ist nicht korrekt, weil z. B. nicht übereinstimmt.


Richtig wäre .

Frage anzeigen

Frage

Finde das richtige Ergebnis: 



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Finde das richtige Ergebnis: 


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welches Vorzeichen hat die Potenz ?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Potenz hat ein positives Vorzeichen, weil der Exponent gerade ist: 


.

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache  mit Hilfe der Potenzgesetze :



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mit Hilfe eines Potenzgesetzes.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Was ist bei der Potenz  der Exponent und was ist die Basis? Welche Bedeutung hat der Exponent?

Antwort anzeigen

Antwort

a ist die Basis. 

n ist der Exponent. 


Der Exponent n (Hochzahl) bestimmt wie oft die Basis a (Grundzahl) mit sich selbst multipliziert wird:


Frage anzeigen
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