Wurzelgleichungen

Algebra

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Du sitzt vor einer Gleichung wie $\sqrt{x + 3} + 2 = 4 \sqrt{x}$ und fragst Dich, wie du solche Gleichungen lösen sollst? Super, dann bist Du hier genau richtig. Solche Gleichungen werden Wurzelgleichungen genannt und mithilfe von einigen Umformungen kannst Du die Lösung der Gleichung bestimmen. Wie du dabei vorgehst, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wurzelgleichungen Grundlagenwissen

Bevor Du mit den Wurzelgleichungen beginnst, findest Du hier einige Grundlagen die dir helfen können, das Lösen von Wurzelgleichungen besser zu verstehen.

$\sqrt[n]{x}$ wird als n-te Wurzel aus x ausgesprochen. Gesucht ist dabei eine Zahl a, sodass $a^{n}$ genau x ist. Du kannst Dich also stets fragen: Welche Zahl hoch n ergibt die Zahl unter dem Wurzelzeichen (Radikand)?

Wenn Du eine solche Zahl findest, ist dies x.

$\begin{matrix} \sqrt[n]{x} = a & |^{n} \\ \Rightarrow & x = a^{n} \end{matrix}$

Für $\sqrt[3]{27}$ ist also eine Zahl a gesucht, sodass $a^{3} = 27$ ist. Dies ist genau für die Zahl 3 der Fall:

$\begin{array}{rcl} 3^{3} & = & 27 \\ \Rightarrow & \sqrt[3]{27} = 3 \end{array}$

In diesem Beispiel ist die dritte Wurzel gesucht gewesen. Häufig wird aber auch die zweite Wurzel verwendet. Dann wird die Zwei als Wurzelexponent meist weggelassen.

$\sqrt{144}$ soll bestimmt werden. Du kannst Dich also fragen: Welche Zahl hoch zwei ergibt 144?

Es ist:

\begin{array}{rcl} 144 & = & 12^{2} \\ \Rightarrow & \sqrt{144} = 12 \end{array}

Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten

Vielleicht hast Du bereits gehört, dass häufig gesagt wird: "Quadratwurzeln haben zwei Lösungen". Das ist richtig. Im Beispiel eben ist nämlich nicht nur $12^{2} = 144$ , sondern auch ${(- 12)}^{2} = 144$ . Die Wurzel aus 144 ist also nicht nur 12 sondern auch -12.

Für eine Wurzel $\sqrt[n]{x}$ mit $n$ gerade und $a^{n} = x$ ist:

$\sqrt[n]{x} = \pm a$

Ist der Wurzelexponent gerade, hat eine Wurzel also zwei Lösungen. Aber wichtig: Dies ist wirklich nur dann der Fall, wenn $n$ gerade ist. So hat $\sqrt[3]{27}$ nur eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} = - 27$ . Da hier der Exponent ungerade ist, bleibt das Minuszeichen bestehen.

Definitionsmenge von Wurzeln

Du kannst aber nicht aus jeder Zahl die Wurzel ziehen. So ist zum Beispiel $\sqrt{- 9}$ nicht definiert. Das liegt daran, dass es keine Zahl gibt, die quadriert $- 9$ ergibt. Ist die Zahl selbst positiv, so ist auch das Quadrat positiv. Wenn Du eine negative Zahl quadrierst, so ist das Quadrat auch positiv. Deswegen gilt:

Für eine Wurzel $\sqrt[n]{x}$ ist stets $x \geq 0$ .

Der Definitionsbereich einer Wurzel sind also alle Zahlen, die größer oder gleich 0 sind.

Merke dir daher: Du kannst eine Wurzel nur aus einer positiven Zahl ziehen!

Vielleicht kennst Du den Merksatz: Minus mal Minus ergibt Plus. Wenn du eine negativ Zahl quadrierst, multiplizierst Du sie ja mit sich selbst. Du rechnest also Minus mal Minus und das Ergebnis ist Plus.

Potenzieren als Umkehrung des Wurzelziehens

Vielleicht hast Du bereits gehört, dass das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzieren ist. Wenn Du also in einer Gleichung eine Potenz hast, kannst Du diese durch das Wurzelziehen auflösen.

$\begin{matrix} x^{3} = 125 & | \sqrt[3]{} \\ \Rightarrow & x = \sqrt[3]{125} \\ \Rightarrow & x = 5 \end{matrix}$

Im Beispiel wurde das Wurzelziehen genutzt, um nach x aufzulösen.

Genauso ist aber auch das Potenzieren die Umkehrung des Wurzelziehens. Wenn Du also eine Wurzel auflösen willst, kannst Du potenzieren.

$\begin{matrix} \sqrt[3]{x} = 4 & |^{3} \\ \Rightarrow & x = 4^{3} \\ \Rightarrow & x = 64 \end{matrix}$

Das Potenzieren als Umkehrung des Wurzelziehen benötigst Du, um Wurzelgleichungen zu lösen.

Wurzelgleichung Definition

Aber was ist überhaupt eine Wurzelgleichung?

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable mindestens einmal unter einer Wurzel steht.

Es ist also nicht nur wichtig, dass Wurzelgleichungen Wurzeln enthalten, sondern auch, dass mindestens einmal die Variable unter dieser steht.

Hier findest Du ein paar Beispiele für Wurzelgleichungen. In den ersten Beispielen kommt die Variable nur je einmal vor.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{5 + x} & = & 9 \\ \sqrt{2 x + 2} - 3 & = & 1 \\ \sqrt[3]{x} & = & 8 \end{array}$

Es gibt aber auch Wurzelgleichungen bei denen die Variable mehrmals vorkommt.

$\begin{array}{rcl} 3 \sqrt{x + 1} - \sqrt{5 x + 1} & = & 2 \\ x + \sqrt{3 x + 4} - 2 & = & 0 \\ \sqrt{1 + \sqrt{x + 2}} & = & \sqrt{x - 3} \end{array}$

Und Achtung, folgende Gleichungen enthalten zwar auch Wurzeln, sind aber keine Wurzelgleichungen:

$\begin{array}{rcl} 7 - x + \sqrt{36} & = & - 2 \\ \sqrt{5 + \sqrt{16}} & = & x \end{array}$

Die Variable steht hier nicht unter der Wurzel. Du kannst die Wurzel bereits ausrechnen.

Eine Wurzelgleichung enthält also eine mindestens eine Variable unter einem Wurzelzeichen. Vielleicht hast Du auch bereits etwas von Wurzelfunktionen gehört.

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion hat eine Funktionsvorschrift, bei der die Variable mindestens einmal unter der Wurzel steht. Ein Beispiel für eine Wurzelfunktion ist $f (x) = \sqrt{x}$ .

Den Graphen der Wurzelfunktion $f (x) = \sqrt{x}$ siehst Du in Abbildung 1. Du kannst dort erkennen, dass die Wurzelfunktion nur für positive x-Werte definiert ist. Im negativen x-Bereich hast Du keinen Graphen, da Du aus negativen Zahlen nicht die Wurzel ziehen kannst.

Wurzelgleichungen Wurzelfunktion Graph StudySmarter Abbildung 1: Graph einer Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion kannst Du wie andere Funktionen auch durch Parameter Stauchen, Strecken und Verschieben.

Die allgemeine Form eine Wurzelfunktion ist

$f (x) = a \sqrt{x + b} + c$

Aber was ist nun eigentlich der Unterschied zwischen einer Wurzelgleichung und einer Wurzelfunktion? In einer Gleichung werden zwei Terme gleichgesetzt. Auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht ein Term und auf der anderen Seite auch. Gesucht ist eine Lösung der Gleichung. Es sollen also ein oder mehrere x-Werte bestimmt werden für die die Gleichung richtig ist. Bei einer Gleichung kannst Du dich auch fragen: "WelcheWerte kann ich für x einsetzen, sodass die Gleichung stimmt?

\sqrt{x + 6} = \sqrt{x - 6}

ist ein Beispiel für eine Gleichung – es ist eine Wurzelgleichung. Du kannst dich fragen: "Welchen Wert kann ich für x einsetzen, sodass

\sqrt{x + 6}

dasselbe Ergebnis hat wie

\sqrt{x - 6}

Mit einer Funktion hingegen ordnest Du x-Werten die zugehörigen y-Werte zu. Es gibt eine Funktionsvorschrift. Sie beschreibt die, wie du für einen x-Wert den zugehörigen y-Wert bestimmst.

f (x) = \sqrt{x + 6}

ist ein Beispiel für eine Funktionsvorschrift. Wenn du zu einem x-Wert du zugehörigen y-Wert bestimmen möchtest, rechnest Du also zuerst x+6 und ziehst dann die Wurzel daraus. Dadurch erhältst Du ein Wertepaar

(X | Y)

Wurzelgleichungen lösen – Regeln

Wie können Wurzelgleichungen nun eigentlich gelöst werden?

Die Vorgehensweise, um Wurzelgleichungen zu lösen, ist meistens ähnlich. Die einzelnen Schritte sind:

Wurzel isolieren
Wurzelgleichung vereinfachen durch Potenzieren
Schritt 1 und 2 wiederholen bis keine Wurzel mehr vorhanden ist
lineare oder quadratische Gleichung lösen
Lösung überprüfen
Lösungsmenge angeben

Manchmal benötigst du einen Schritt vielleicht nicht, da die Gleichung bereits umgeformt ist. Aber was beinhaltet der jeweilige Schritt genau?

Wurzelgleichung nach der Wurzel umformen

Wenn Du eine Wurzelgleichung lösen willst, versuchst du im ersten Schritt die Gleichung so umzuformen, dass die Wurzel alleine auf einer Seite steht. Wenn die Gleichung mehrere Wurzeln enthält, versucht Du eine Wurzel zu isolieren.

Gelöst werden soll die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 2} - 3 = 1$ . Du formst jetzt also so um, dass die Wurzel alleine steht.

$\begin{matrix} \sqrt{2 x + 2} - 3 = 1 & | + 3 \\ \sqrt{2 x + 2} = 4 \end{matrix}$

Wenn Du die Wurzelgleichung nach der Wurzel umgeformt hast, folgt der nächste Schritt.

Wurzelgleichung vereinfachen durch Potenzieren

Auf einer Seite der Gleichung steht momentan nur eine Wurzel. Jetzt kannst Du potenzieren und damit die Wurzel auflösen.

$\begin{matrix} \sqrt{2 x + 2} = 4 & |^{2} \\ {\sqrt{2 x + 2}}^{2} = 4^{2} \\ \Rightarrow 2 x + 2 = 16 \end{matrix}$

Die zweite Zeile der Umformung kannst Du auch weglassen. Sie steht hier nur einmal um deutlich zu machen, dass das Quadrieren die Wurzel auflöst.

Wenn die Wurzelgleichung nur eine Wurzel enthält, hast Du nach dem Quadrieren bereits keine Wurzelgleichung mehr und kannst die Gleichung so lösen, wie Du es für diese Art von Gleichungen kennst.

Meist hast Du nach dem Quadrieren eine lineare oder eine quadratische Gleichung. Im Beispiel ist es eine lineare Gleichung.

Im Beispiel steht die zweite Wurzeln. Deswegen wird quadriert, um sie auflösen. Potenzieren im allgemeinen ist aber nicht nur quadrieren sondern zum Beispiel auch "hoch 3 rechnen". Wenn Du eine Wurzelgleichung mit einer dritten Wurzel hast, quadrierst Du nicht, sondern rechnest hoch 3.

Wenn aber mehr als eine Wurzel in der ursprünglichen Wurzelgleichung auftauchen, wiederholst Du die Schritte des Umformens und Potenzierens so lange bis keine Wurzel mehr übrig ist.

Die Wurzelgleichung $3 \sqrt{x + 1} - \sqrt{5 x + 1} = 2$ hat zwei Wurzelausdrücke. Hier benötigst Du mehr Umformungsschritte.

$\begin{matrix} 3 \sqrt{x + 1} - \sqrt{5 x + 1} = 2 & | + \sqrt{5 x + 1} \\ 3 \sqrt{x + 1} = 2 + \sqrt{5 x + 1} & |^{2} \\ {(3 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(2 + \sqrt{5 x + 1})}^{2} & | P o t e n z g e s e t z b z w . b i n o m i s c h e F o r m e l \\ 9 (x + 1) = 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5 x + 1} + 5 x + 1 \\ 9 x + 9 = 4 + 4 \sqrt{5 x + 1} + 5 x + 1 & | - 5 x \\ 4 x + 9 = 5 + 4 \sqrt{5 x + 1} & | - 5 \\ 4 x + 4 = 4 \sqrt{5 x + 1} & | : 4 \\ x + 1 = \sqrt{5 x + 1} & |^{2} \\ {(x + 1)}^{2} = {\sqrt{5 x + 1}}^{2} & | b i n o m i s c h e F o r m e l \\ x^{2} + 2 x + 1 = 5 x + 1 \\ x^{2} + 2 x + 1 = 5 x + 1 & | - 5 x \\ x^{2} - 3 x + 1 = 1 & | - 1 \\ x^{2} - 3 x = 0 \end{matrix}$

Durch faktorisieren der quadratischen Gleichung $x^2-3x = x(x-3)$ findest Du die beiden Lösungen $x_1 = 0$ und $x_2 = 3$.

Gleichung mit bekannten Mechanismen auflösen

Nachdem Du die Wurzel durch Potenzieren aufgelöst hast, hast Du meist eine lineare Gleichung oder eine quadratische Gleichung, manchmal vielleicht auch eine kubische.

Eine Gleichung wird kubische Gleichung genannt, wenn der höchste Exponent, der an der Variable steht die 3 ist. Eine kubische Gleichung enthält also x³ und kein anderes x mit höherem Exponenten.

Diese löst Du dann so, wie Du es gewöhnt bist. Das bedeutet, dass Du bei einer linearen Gleichung zum Beispiel direkt nach x auflösen kannst. Eine quadratische Gleichung löst Du mithilfe der pq-Formel oder der Mitternachtsformel/abc-Formel oder durch Ausklammern (je nachdem, was Du aus der Schule kennst).

Aus der Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 2} - 3 = 1$ wurde im Beispiel die lineare Gleichung $2 x + 2 = 16$ . Diese löst Du nun nach x auf.

$\begin{matrix} 2 x + 2 = 16 & | - 2 \\ 2 x = 14 & | : 2 \\ x = 7 \end{matrix}$

Es ist jetzt möglich, dass die Lösung der linearen Gleichung aus dem Beispiel die Lösung der Wurzelgleichung ist.

Aber wieso ist das nur möglich und nicht definitiv so?

Wurzelgleichung Definitionsmenge – Probe durchführen

Die Wurzelgleichung wurde durch Potenzieren vereinfacht. Wenn Du aber eine Gleichung quadrierst, können Lösungen hinzukommen, die die Gleichung vorher nicht hatte. Erinnerst Du dich an die Definitionsmenge einer Wurzel? Du kannst nur aus positiven Zahlen die Wurzel ziehen. Durch das Quadrieren ist es aber zum Beispiel möglich, dass die gefundene Lösung zu einem negativen Radikanden führt oder doch gar keine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist.

Im diesem Beispiel findest Du einen Fall, bei dem durch Quadrieren eine Lösung hinzukommt.

Starte zum Beispiel mit der Gleichung $2 x = 8$ . Hier ist nur $x = 4$ eine Lösung. Jetzt quadrierst Du die Gleichung aber zuerst.

$\begin{matrix} 2 x = 8 & |^{2} \\ 4 x^{2} = 64 \end{matrix}$

Wenn Du nun die Gleichung $4 x^{2} = 64$ betrachtest, ist auch $x = - 4$ eine Lösung, denn:

$4 \cdot {(- 4)}^{2} = 4 \cdot 16 = 64$

Wenn du noch einmal die Gleichung $2 x = 8$ betrachtet, kannst Du feststellen, dass $x = - 4$ aber gar keine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist.

Aufgrund des im Beispiel geschilderten Problems und der Definitionsmenge einer Wurzelgleichung ist es so wichtig, dass Du nach dem Lösen der Gleichung eine Probe durchführst.

Für die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 2} - 3 = 1$ wurde durch Umformen und Quadrieren $x = 7$ als mögliche Lösung bestimmt. Jetzt überprüfst Du, ob dies wirklich eine Lösung der Wurzelgleichung ist. Dazu setzt Du $x = 7$ in die Gleichung ein.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 \cdot 7 + 2} - 3 & = & 1 \\ \sqrt{14 + 2} - 3 & = & 1 \\ \sqrt{16} - 3 & = & 1 \\ 4 - 3 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \end{array}$

Es entsteht eine wahre Aussage: $1 = 1$ . Die linke Seite der Gleichung hat denselben Wert wie die rechte Seite. $x = 7$ ist also wirklich eine Lösung der Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 2} - 3 = 1$ .

Wurzelgleichungen – Lösungsmenge angeben

Als letzten Schritt notierst Du einmal die Lösungsmenge der Wurzelgleichung. Das kannst Du machen, indem du $L$ als Abkürzung für die Lösungsmenge schreibst und dann in geschweifte Klammern die Lösung der Gleichung.

Für die Gleichung $\sqrt{2 x + 2} - 3 = 1$ ist $L = {7}$ .

Hat die Gleichung mehrere Lösungen, schreibst Du sie mit einem Komma getrennt in die geschweifte Klammer.

Umfangreichere Wurzelgleichungen lösen

Im Abschnitt Wurzelgleichung vereinfachen durch Potenzieren hast Du bereits ein umfangreicheres Beispiel kennengelernt. Dort kamen zwei Wurzelausdrücke vor. Trotzdem kannst Du aus der Wurzelgleichung durch Potenzieren eine quadratische Gleichung entwickeln, es werden nur mehr Umformungsschritte benötigt. Deswegen findest Du hier einmal zwei spezielle Fälle.

Wurzelgleichungen mithilfe der binomischen Formel lösen

Wenn die Wurzelgleichung mindestens einen Wurzelausdruck mit x, einen weiteren Ausdruck mit x und eine Zahl enthält, wendest Du beim Quadrieren eine binomische Formel an. Dann steht nämlich auf mindestens einer Seite der Gleichung eine Summe oder eine Differenz.

Wenn du einen Term mit einem Pluszeichen hast, ist das Ergebnis eine Summe. Wenn du Minus rechnest, ist das Ergebnis die Differenz.

Die Wurzelgleichung $x + \sqrt{3 x + 4} = 2$ soll gelöst werden. Zuerst ist es sinnvoll so umzuformen, dass die Wurzel alleine auf einer Seite der Gleichung steht.

$\begin{matrix} x + \sqrt{3 x + 4} = 2 & | - x \\ \sqrt{3 x + 4} = 2 - x \end{matrix}$

Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Differenz. Wenn Du im nächsten Schritt quadrierst, wendest Du daher dort die binomische Formeln an, denn ${(2 - x)}^{2} \neq 2^{2} - x^{2}$ sondern ${(2 - x)}^{2} = 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}$ .

$\begin{matrix} x + \sqrt{3 x + 4} = 2 & | - x \\ \sqrt{3 x + 4} = 2 - x & |^{2} \\ {(\sqrt{3 x + 4})}^{2} = {(2 - x)}^{2} \\ 3 x + 4 = 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2} \\ 3 x + 4 = 4 - 4 x + x^{2} \end{matrix}$

Diese Gleichung kannst Du nun weiter vereinfachen.

$\begin{matrix} 3 x + 4 = 4 - 7 x + x^{2} & | - 3 x \\ 4 = 4 - 7 x + x^{2} & | - 4 \\ 0 = x^{2} - 7 x \end{matrix}$

Diese quadratische Gleichung kannst Du nun zum Beispiel mit der pq-Formel oder durch Ausklammern lösen. Hier wird mit der pq-Formel gelöst:

Für eine quadratische Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ lautet die pq-Formel: $x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ . Beachte, dass Du für p und q auch die Vorzeichen aus der quadratischen Gleichung übernimmst.

\begin{array}{rcl} x_{1 / 2} & = & - \frac{- 7}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 7}{2})}^{2} - 0} \\ = & 3, 5 \pm \sqrt{12, 25} \\ x_{1} & = & 3, 5 + 3, 5 = 7 \\ x_{2} & = & 3, 5 - 3, 5 = 0 \end{array}

Beide Lösungen werden nun noch mit einer Probe überprüft.

$\begin{array}{rcl} 7 + \sqrt{3 \cdot 7 + 4} & = & 2 \\ 7 + \sqrt{25} & = & 2 \\ 7 + 5 & = & 2 \\ 12 & = & 2 \end{array}$

Es entsteht eine falsche Aussage. 7 ist also keine Lösung der Wurzelgleichung.

$\begin{array}{rcl} 0 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 4} & = & 2 \\ \sqrt{4} & = & 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

Für $x = 0$ stimmt die Gleichung.

$\Rightarrow L = \{0\}$

Das Beispiel ist relativ lang, da es die vollständige Lösung zeigt. Besonders wichtig ist aber der Punkt mit der binomischen Formel. Du wendest sie immer an, sobald Du eine Summe oder eine Differenz quadrierst.

Wurzelgleichungen mit 2 Wurzeln

Auch wenn Du eine Wurzelgleichung mit zwei Wurzeln hast, wendest Du in den allermeisten Fällen eine binomische Formel an, um die Wurzelgleichung umzuwandeln. Zuerst formst Du so um, dass eine Wurzel auf einer Seite der Gleichung alleine steht. Auf der anderen Seite steht dann höchstwahrscheinlich die andere Wurzel in einer Summe oder Differenz. Wenn Du jetzt quadrierst, wendest Du dort die binomische Formel an.

Die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{3 x} = - 1$ soll gelöst werden. Dazu wird im ersten Schritt eine der Wurzeln isoliert.

$\begin{matrix} \sqrt{2 x + 1} - \sqrt{3 x} = - 1 & | + \sqrt{3 x} \\ \sqrt{2 x + 1} = \sqrt{3 x} - 1 \end{matrix}$

Jetzt quadrierst Du und wendest die binomische Formel auf der rechten Seite an. Dann formst Du wieder um, sodass wieder die Wurzel alleine steht.

$\begin{matrix} \sqrt{2 x + 1} = \sqrt{3 x} - 1 & |^{2} \\ 2 x + 1 = {(\sqrt{3 x} - 1)}^{2} \\ 2 x + 1 = 3 x - 2 \sqrt{3 x} + 1 & | - 3 x \\ - x + 1 = - 2 \sqrt{3 x} + 1 & | - 1 \\ - x = - 2 \sqrt{3 x} \end{matrix}$

Jetzt quadrierst Du wieder. Du benötigst aber diesmal keine binomische Formel, da Du keine Summe oder Differenz hast.

$\begin{matrix} - x = - 2 \sqrt{3 x} & |^{2} \\ x^{2} = 4 \cdot 3 x \\ x^{2} = 12 x & | - 12 x \\ x^{2} - 12 x = 0 \end{matrix}$

Diese quadratische Gleichung kannst Du zum Beispiel durch Ausklammern oder mithilfe der pq-Formel lösen. Hier wird ausgeklammert:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 12 x & = & 0 \\ x (x - 12) & = & 0 \end{array}$

Jetzt verwendest Du, dass ein Produkt nur dann 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

$x (x - 12) = 0 Einer der beiden Faktoren muss also 0 sein: \Rightarrow x = 0 oder x - 12 = 0 Wenn x-12=0 ist, muss x=12 sein \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = 12$

Auch hier machst Du zum Schluss wieder eine Probe.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 \cdot 0 + 1} - \sqrt{3 \cdot 0} & = & - 1 \\ \sqrt{1} - \sqrt{3} & = & - 1 \\ - 0, 73 & = & - 1 \end{array}$

Es entsteht eine falsche Aussage. $x = 0$ ist keine Lösung der Wurzelgleichung.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 \cdot 12 + 1} - \sqrt{3 \cdot 12} & = & - 1 \\ \sqrt{25} - \sqrt{36} & = & - 1 \\ 5 - 6 & = & - 1 \\ - 1 & = & - 1 \end{array}$

Es entsteht eine wahre Aussage. $x = 12$ ist eine Lösung der Wurzelgleichung.

Für die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{3 x} = - 1$ ist die Lösungsmenge $L = \{12\}$ .

Im Beispiel konntest Du sehen, dass Du zweimal quadrierst, wenn zwei Wurzel in der Wurzelgleichung sind. Dies ist fast immer der Fall. Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass außer den Wurzeln keine weiteren Ausdrücke vorhanden sind. Dann kannst Du die Wurzelgleichung lösen, indem Du nur einmal quadrierst.

Die Wurzelgleichung $\sqrt{x + 5} = \sqrt{2 x + 1}$ soll gelöst werden. Wenn Du quadrierst, ist keine Wurzel mehr vorhanden.

$\begin{matrix} \sqrt{x + 5} = \sqrt{2 x + 1} & |^{2} \\ x + 5 = 2 x + 1 \end{matrix}$

Jetzt hast Du eine lineare Gleichung, die Du nach x auflösen kannst.

Wurzelgleichungen – Übungen

Die folgenden Aufgaben kannst Du nutzen, um das Lösen von Wurzelgleichungen zu üben.

Aufgabe 1

Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung $\sqrt{2 x - 1} - 3 = 0$ .

Lösung

Zuerst löst Du die Wurzelgleichung nach x auf.

$\begin{matrix} \sqrt{2 x - 1} - 3 = 0 & | + 3 \\ \sqrt{2 x - 1} = 3 & |^{2} \\ 2 x - 1 = 9 & | + 1 \\ 2 x = 10 & | : 2 \\ x = 5 \end{matrix}$

Jetzt prüfst Du, ob $x = 5$ wirklich eine Lösung der Wurzelgleichung ist.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 \cdot 5 - 1} - 3 & = & 0 \\ \sqrt{9} - 3 & = & 0 \\ 3 - 3 & = & 0 \end{array}$

Es entsteht eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge von $\sqrt{2 x - 1} - 3 = 0$ ist $L = \{5\}$ .

Aufgabe 2

Bestimme die Lösung der Wurzelgleichung $\begin{array}{rcl} \sqrt{1 + \sqrt{x + 2}} & = & \sqrt{x - 3} \end{array}$ .

Lösung

Eine Wurzel ist bereits isoliert. Du kannst direkt mit dem Quadrieren beginnen.

$\begin{matrix} \begin{array}{rcl} \sqrt{1 + \sqrt{x + 2}} & = & \sqrt{x - 3} \end{array} & |^{2} \\ 1 + \sqrt{x + 2} = x - 3 & | - 1 \\ \sqrt{x + 2} = x - 4 & |^{2} \\ x + 2 = {(x - 4)}^{2} \\ x + 2 = x^{2} - 8 x + 16 & | - x \\ 2 = x^{2} - 9 x + 16 & | - 2 \\ 0 = x^{2} - 9 x + 14 \end{matrix}$

Jetzt wendest Du die pq-Formel (oder die Mitternachtsformel/abc-Formel) an, um die quadratische Gleichung zu lösen.

$\begin{array}{rcl} x_{1 / 2} & = & - \frac{- 9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 9}{2})}^{2} - 14} \\ = & 4, 5 \pm \sqrt{6, 25} \\ = & 4, 5 \pm 2, 5 \\ x_{1} & = & 3, 5 + 2, 5 = 7 \\ x_{2} & = & 3, 5 - 2, 5 = 1 \end{array}$

Jetzt machst Du die Proben.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{1 + \sqrt{7 + 2}} & = & \sqrt{7 - 3} \\ \sqrt{1 + 3} & = & \sqrt{4} \\ \sqrt{4} & = & \sqrt{4} \end{array}$

Es entsteht eine wahre Aussage.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2}} & = & \sqrt{1 - 3} \\ \sqrt{1 + \sqrt{3}} & = & \sqrt{- 2} \end{array}$

Du kannst keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. $x = 1$ kann daher keine Lösung der Wurzelgleichung sein.

Für $\begin{array}{rcl} \sqrt{1 + \sqrt{x + 2}} & = & \sqrt{x - 3} \end{array}$ ist die Lösungsmenge $L = \{7\}$ .

Wurzelgleichungen - Das Wichtigste

Wurzelgleichungen sind Gleichungen in denen mindestens einmal die Variable unter einer Wurzel steht.
Mithilfe der folgenden Schritte kannst Du Wurzelgleichungen lösen:
- Wurzel isolieren
- Wurzelgleichung vereinfachen durch Potenzieren
- Schritt 1 und 2 wiederholen bis keine Wurzel mehr vorhanden ist
- lineare oder quadratische Gleichung lösen
- Lösung überprüfen
- Lösungsmenge angeben
Wenn Du eine Summe oder eine Differenz quadrierst, verwendest Du eine binomische Formel.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzelgleichungen

Die Lösung einer Wurzelgleichung kannst Du berechnen, indem Du zuerst so quadrierst, dass keine Wurzeln mehr vorhanden sind. Dazu formst Du die Wurzelgleichung so um, dass die Wurzel isoliert ist und quadrierst dann.

Wurzelgleichungen vereinfachst Du, indem Du zuerst nach einer Wurzel umformst. Dann quadrierst Du, sodass die Wurzel nicht mehr vorhanden ist. Diesen Schritt wiederholst Du, bis keine Wurzel mehr vorhanden ist.

Um Wurzelgleichung zu lösen, quadrierst Du sie. Durch das Quadrieren können Lösungen hinzukommen, die gar keine Lösungen der Wurzelgleichung sind. Dies überprüfst Du zum Schluss mit der Probe.

Karteikarten in Wurzelgleichungen3 Lerne jetzt

Nenne den ersten Umformungsschritt den Du machst, wenn Du eine Wurzelgleichung lösen sollst.

Um eine Wurzelgleichung zu lösen, isolierst Du zuerst eine Wurzel. Du formst also so um, dass die Wurzel alleine auf einer Seite der Gleichung steht.

Welche Schritte sind beim Lösen einer Wurzelgleichung sinnvoll?

Wurzel isolieren

Erkläre, warum du die mögliche Lösung einer Wurzelgleichung mit einer Probe überprüfen solltest.

Um Wurzelgleichungen zu lösen quadrierst Du sie. Durch das Quadrieren können Lösungen hinzukommen, die von der ursprünglichen Gleichung gar keine Lösungen sind. Deswegen prüfst Du zum Schluss, ob deine bestimmte Lösung auch wirklich eine Lösung ist.

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