Das Thema Prozentrechnung kannst Du im Alltag überall finden. Beim Einkaufen erhältst Du 20 Prozent Rabatt, bei der letzten Wahl bekam eine Partei 5 Prozent der Stimmen, der Akku Deines Smartphones ist bei 65 Prozent.
Doch wie viel Geld sparst Du oder wie lange hält Dein Akku noch, bevor Du ihn erneut laden musst?
Bei Fragen solcher Art hilft Dir die Prozentrechnung. Dabei spielen Begriffe wie der Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz eine Rolle. Zur Berechnung gibt es eine bestimmte Formel, die sogenannte Grundgleichung der Prozentrechnung oder Du nutzt den Dreisatz. Diese Erklärung gibt Dir einen Überblick über die wichtigsten Begriffe und Vorgehensweisen in der Prozentrechnung.
Prozentrechnung in Mathe
Um in Mathe mit Prozentrechnung umgehen zu können, solltest Du Dir zunächst ansehen, was der Begriff Prozent überhaupt bedeutet.
Prozent – Definition
Prozente geben Anteile am Ganzen an. So besteht ein Kleidungsstück z.B. zu 90 Prozent aus Baumwolle. Das Wort Prozent (%) kommt aus dem Italienischen („per cento“) und heißt übersetzt „für hundert“ oder „bezogen auf hundert“. Prozente orientieren sich also am Ganzen.
Ein Prozent wird festgelegt durch: \[1\%=\frac{1}{100}.\]
Entsprechend werden p Prozent definiert durch: \[\text{p}\%=\frac{\text{p}}{100}.\]
Das Prozentzeichen kann auch als Multiplikation mit dem Bruch \(\frac{1}{100}\) aufgefasst werden.
Willst Du einen Anteil eines Ganzen beschreiben, kannst dafür neben gewöhnlichen Brüchen auch Prozent nutzen. Dazu wird der Anteil in Hundertstel ausgedrückt, indem Du den Bruch auf den Nenner Hundert erweiterst oder kürzt. Mit Prozent kann wie mit Brüchen gerechnet werden.
Mehr über Prozente erfährst Du in der Erklärung Prozent.
Promille – Definition
Ähnlich wie Prozent beschreiben Promille Anteile eines Ganzen. Der Unterschied zwischen Promille und Prozent ist allerdings die Vergleichszahl. Das Wort Promille setzt sich zusammen aus den lateinischen Wörtern pro – „im Verhältnis zu“ und mille – „tausend“.
Ein Promille ist ein Tausendstel eines Ganzen und wird festgelegt durch: \[1 \text{‰} =\frac{1}{1000}.\]
Die Vergleichszahl ist hier 1000.
Um Prozent in Promille umzurechnen, solltest Du den Prozentsatz mit dem Faktor 10 multiplizieren, oder falls Du den Prozentsatz in einen Bruch umwandelst, diesen im Nenner und im Zähler je um 10 erweitern:
\[\text{p} \%=\frac{\text{p}}{100}=\frac{10 \cdot \text{p}}{1000}=10\cdot \text{p}‰.\]
Um umgekehrt von Promille in Prozent umzurechnen, solltest Du den Prozentsatz durch 10 dividieren, oder mit der Dezimalzahl 0,1 multiplizieren.
Prozentrechnung einfach erklärt
Bei der Prozentrechnung gibt es Begriffe wie den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz. Damit Du Dir nicht für jeden Begriff eine Formel merken musst, gibt es eine besondere Formel: die Grundgleichung der Prozentrechnung. Im Folgenden wird Dir die Prozentrechnung einfach erklärt!
Prozentrechnung – Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz
Dieser Themenabschnitt spielt eine große Rolle in der Schulmathematik. Mithilfe der Prozentrechnung kannst Du ausrechnen, wie viel Geld Du bei gewissen Rabatten sparst, wie groß der Anteil Deiner Mitschüler ist, die den letzten Mathetest bestanden haben und vieles mehr.
Sieh Dir am besten zuerst die einzelnen Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz der Prozentrechnung an.
Prozentrechnung Grundwert G
Der Grundwert ist, wie der Name schon sagt, der Ausgangswert.
Der Grundwert G ist immer das Gesamte, er entspricht 100 Prozent.
Prozentrechnung Prozentwert P
Die nächste wichtige Größe ist der Prozentwert.
Der Prozentsatz p entspricht dem Verhältnis vom gesuchten Anteil zum Gesamten und wird mithilfe des Prozentzeichens (%) beschrieben.
Oft musst Du Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz, berechnen.
Dazu kannst Du entweder den Dreisatz oder die Grundgleichung der Prozentrechnung verwenden.
Prozentrechnung Formel – Grundgleichung der Prozentrechnung
Die Grundgleichung der Prozentrechnung liefert Dir eine Möglichkeit, durch Einsetzen zwei gegebener Werte den gesuchten Wert zu erhalten. Du benötigst zur Berechnung also zwei Angaben zu Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%).
Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Berechnung Prozentsatz p% | Berechnung Prozentwert P | Berechnung Grundwert G |
| \[\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}\] | \[P=\frac{\text{p}\%}{\text{G}}\] | \[G=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}\] |
Wenn Du den Prozentsatz p% in Formeln einsetzen möchtest, verwende dabei am besten immer den Bruch bzw. die entsprechende Dezimalzahl.
Wenn Du mehr über diese Grundgleichung erfahren willst, schau in der Erklärung Grundgleichung der Prozentrechnung vorbei.
Dreieck der Prozentrechnung
Um Dir besser merken zu können, wie die Formel bei welchem Wert aussieht, gibt es das Dreieck der Prozentrechnung als Merkhilfe. In diesem sind der Grundwert G, der Prozentwert P und der Prozentsatz p% so angeordnet, dass Du daraus die jeweiligen Formeln ablesen kannst.
Abbildung 1: Dreieck der Prozentrechnung
Im Dreieck kannst Du nun den gesuchten Wert umkreisen. Alles, was übrig bleibt, ergibt genau Deine gesuchte Formel.
Prozentrechnung Tabelle – Dreisatz
Wie weiter oben bereits erwähnt, kannst Du Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz mit dem Dreisatz berechnen. Er kann dank der direkten Proportionalität der Prozentrechnung genutzt werden.
Hier findest Du eine kleine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Berechnen der Werte mit dem Dreisatz am Beispiel: Wie viel sind 20 % von 120 €? Gesucht ist hier also der Prozentwert.
Beschreibung | Beispiel |
1. Du setzt Deine gegebene Größe mit ihrem Prozentsatz gleich. | \[100\%=120\, \text{€}\] |
2. Du rechnest den Prozentwert für den Prozentsatz 1% aus, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung (Multiplikation oder Division) vornimmst. | Du teilst also auf beiden Seiten durch 100 und erhältst \[1\%=1,20\, \text{€}\] |
3. Als Letztes multiplizierst Du die 1% so, dass letztlich der gesuchte Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert herauskommt. | Nun multiplizierst Du mit 20, um auf die 20 % zu kommen: \[20\%=24\, \text{€}\] |
Weitere Beispiele findest Du ebenfalls in der Erklärung Grundgleichung der Prozentrechnung.
Prozentrechnung – Prozentuale Veränderung
In manchen Situationen oder Aufgaben hast Du zu Beginn einen Anfangswert gegeben, der sich über einen bestimmten Zeitraum verändert. Zum Schluss bleibt dann einen Endwert. Die Veränderung vom Anfangswert zum Endwert kannst Du in Prozent angeben. Sie nennt sich prozentuale Veränderung.
Die Bank zahlt Dir also dafür, dass Du Dein Erspartes bei ihnen hinterlegst, einen Zins.
Wenn Du nun ausrechnen möchtest, wie viel Geld Du in 10 Jahren auf Deinem Sparkonto haben wirst, benötigst Du die Zinsrechnung.
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung und wird zur Berechnung von Zinsen und Kapital gebraucht.
Bei der Zinsrechnung findest Du ebenfalls wieder unterschiedliche Begriffe, die bei der Berechnung eine Rolle spielen.
Zinsrechnung Kapital K
Vielleicht hast Du schon mal etwas von einem Startkapital gehört.
Das Kapital K ist ein anderer Begriff für Vermögen oder Guthaben.
Zinsrechnung Zinssatz p
Wie viel Geld die Bank Dir für das Anlegen Deines Geldes zahlt, hängt vom Zinssatz ab.
Der Zinssatz p ist derjenige Anteil des Kapitals K, welches der Schuldner dem Gläubiger pro Zeiteinheit für das Kapital zahlt.
Der Zinssatz p wird meistens in Prozent angegeben. Du kannst ihn für die Zinsrechnung in eine Dezimalzahl umwandeln.
Zinsrechnung Zinsen Z
Der Zinssatz und das Kapital bestimmen, wie viel Geld Du bekommst.
Der Zins oder die Zinsen Z ist derjenige Geldwert, welcher der Schuldner dem Gläubiger für das Leihen von Kapital zahlt.
Die Berechnung der Zinsen erfolgt ähnlich wie bei der Prozentrechnung. Dabei entspricht das Kapital K dem Grundwert G, der Zinssatz p dem Prozentsatz p% und die Zinsen dem Prozentwert P. Auch hier kann mithilfe des sogenannten Zinsdreiecks oder mit dem Dreisatz gerechnet werden. Das Zinsdreieck ist dabei genau so aufgebaut wie das Dreieck der Prozentrechnung.
Genaueres zum Rechnen mit Zinsen findest Du in der Erklärung Zinsrechnung.
Prozentrechnung Aufgaben
An den folgenden Aufgaben kannst Du gleich testen, ob Du die Inhalte verstanden hast.
Aufgabe 1
In einer Klasse befinden sich 30 Lernende. Davon haben sechs Lernende die Note 4 in Mathe. Berechne, welcher Prozentsatz das ist.
Lösung
Zuerst notierst Du Dir die gegebenen Werte:
- Grundwert \(\text{G}=30\)
- Prozentwert \(\text{P}=6\)
Gesucht ist hier der Prozentsatz p%. Die entsprechende Formel für die Berechnung des Prozentsatzes lautet \[\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}.\] Du setzt also die gegebenen Werte in die Formel ein und erhältst \begin{align}\text{p}\%&=\frac{6}{30}\\[0.1cm]&=0,2\\[0.1cm]&=20\%\end{align}
Der gesuchte Prozentsatz beträgt also 20 %.
Aufgabe 2
Stell Dir vor, Du besitzt ein Kapital von 200 Euro und erhältst darauf jedes Jahr 3 Prozent Zinsen. Berechne, wie viel Geld Du nach einem Jahr auf Deinem Sparkonto hast.
Lösung
Hier kannst Du die Grundgleichung der Prozentrechnung nutzen, um die Zinsen zu berechnen. Dabei gilt \[\text{Z}=\text{p}\% \cdot \text{K}.\] Die 3% Zinsen können für die Berechnung als 0,03 ausgedrückt werden. Du setzt also die gegebenen Werte ein und erhältst \begin{align}\text{Z}&=\text{0,03} \cdot 200 \\&=6.\end{align}
Du erhältst also 6 Euro Zinsen. Somit hast Du nach einem Jahr \( \text{200€} +\text{6€}=\text{206€}\) auf Deinem Sparkonto.
Aufgabe 3
In Deinem Lieblings-Online-Shop erhältst Du einen Rabatt von 20 Prozent. Du bestellst Dir ein neues Smartphone und siehst, dass Du am Ende 105 Euro sparen konntest. Berechne, wie teuer das Smartphone ohne Rabatt ist.
Lösung
Zuerst notierst Du Dir wieder die gegebenen Werte:
- Prozentsatz \(\text{p}\%=20\%=\text{0,2}\)
- Prozentwert \(\text{P}=\text{105€}\)
Gesucht ist also der Grundwert G. Die entsprechende Formel für die Berechnung des Grundwertes lautet \[G=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}.\] Du setzt also die gegebenen Werte in die Formel ein und erhältst \begin{align}\text{G}&=\frac{\text{105€}}{0,2}\\[0.1cm]&=\text{525€}\end{align}
Der ursprüngliche Preis des Smartphones beträgt demnach 525 Euro.
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