Das Thema Prozentrechnung kannst Du im Alltag überall finden. Beim Einkaufen erhältst Du 20 Prozent Rabatt, bei der letzten Wahl bekam eine Partei 5 Prozent der Stimmen, der Akku Deines Smartphones ist bei 65 Prozent.
Die Prozentrechnung lässt Dich solche sogenannten Prozentsätze ausrechnen. Damit ist die Prozentrechnung eine der wichtigsten Grundlagen für die Kommunikation mit Zahlen.
Prozent – Definition
Prozente geben Anteile am Ganzen an. So besteht ein Kleidungsstück z.B. zu 90 Prozent aus Baumwolle. Das Wort Prozent (%) kommt aus dem Italienischen („per cento“) und heißt übersetzt „für hundert“ oder „bezogen auf hundert“. Prozente orientieren sich also am Ganzen.
Ein Prozent wird festgelegt durch: \[1\%=\frac{1}{100}.\]
Entsprechend werden p Prozent definiert durch: \[\text{p}\%=\frac{\text{p}}{100}.\]
Das Prozentzeichen kann auch als Multiplikation mit dem Bruch \(\frac{1}{100}\) aufgefasst werden.
Willst Du einen Anteil eines Ganzen beschreiben, kannst dafür neben gewöhnlichen Brüchen auch Prozent nutzen. Dazu wird der Anteil in Hundertstel ausgedrückt, indem Du den Bruch auf den Nenner Hundert erweiterst oder kürzt. Mit Prozent kann wie mit Brüchen gerechnet werden.
Prozentrechnung einfach erklärt
Bei der Prozentrechnung gibt es Begriffe wie den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz. Damit Du Dir nicht für jeden Begriff eine Formel merken musst, gibt es eine besondere Formel: die Grundgleichung der Prozentrechnung. Im Folgenden wird Dir die Prozentrechnung einfach erklärt!
- GrundwertG: entspricht dem Ganzen, also 100 %
- Prozentsatz p: entspricht dem Anteil vom Ganzen in Prozent
- Prozentwert P: entspricht dem Wert des Prozentsatzes.
Ist der Grundwert 10 € und der Prozentsatz 40 % dann ist der Prozentwert 4 €.
Prozentrechnung Formel – Grundgleichung der Prozentrechnung
In der Prozentrechnung gibt es drei grundlegende Formeln, die sich alle aus der Grundgleichung der Prozentrechnung herleiten lassen
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%).
Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Berechnung Prozentsatz p% | Berechnung Prozentwert P | Berechnung Grundwert G |
| \[\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}\] | \[P=\text{p}\%\cdot {\text{G}}\] | \[G=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}\] |
Wenn Du den Prozentsatz p% in Formeln einsetzen möchtest, verwende dabei am besten immer den Bruch bzw. die entsprechende Dezimalzahl.
Wenn Du mehr über diese Grundgleichung erfahren willst, schau in der Erklärung Grundgleichung der Prozentrechnung vorbei.
Dreieck der Prozentrechnung
Um Dir besser merken zu können, wie die Formel bei welchem Wert aussieht, gibt es das Dreieck der Prozentrechnung als Merkhilfe. In diesem sind der Grundwert G, der Prozentwert P und der Prozentsatz p% so angeordnet, dass Du daraus die jeweiligen Formeln ablesen kannst.
Abb 1: Dreieck der Prozentrechnung
Im Dreieck kannst Du nun den gesuchten Wert umkreisen. Alles, was übrig bleibt, ergibt genau Deine gesuchte Formel.
Prozentrechnung Tabelle – Dreisatz
Wie weiter oben bereits erwähnt, kannst Du Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz mit dem Dreisatz berechnen. Er kann dank der direkten Proportionalität der Prozentrechnung genutzt werden.
Hier findest Du eine kleine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Berechnen der Werte mit dem Dreisatz am Beispiel: Wie viel sind 20 % von 120 €? Gesucht ist hier also der Prozentwert.
Beschreibung | Beispiel |
1. Gleichsetzen:Du setzt Deine gegebene Größe mit ihrem Prozentsatz gleich. | \[100\%=120\, \text{€}\] |
2. auf 1 % bringen: Du rechnest den Prozentwert für den Prozentsatz 1 % aus, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung (Multiplikation oder Division) vornimmst. | Du teilst also auf beiden Seiten durch 100 und erhältst \[1\%=1,20\, \text{€}\] |
3. auf gesuchten Prozentsatz bringen:Als Letztes multiplizierst Du die 1 % so, dass letztlich der gesuchte Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert herauskommt. | Nun multiplizierst Du mit 20, um auf die 20 % zu kommen: \[20\%=24\, \text{€}\] |
Weitere Beispiele findest Du ebenfalls in der Erklärung Grundgleichung der Prozentrechnung.
Prozentrechnung – Prozentuale Veränderung
In manchen Situationen oder Aufgaben hast Du zu Beginn einen Anfangswert gegeben, der sich über einen bestimmten Zeitraum verändert. Zum Schluss bleibt dann ein Endwert. Die Veränderung vom Anfangswert zum Endwert kannst Du in Prozent angeben. Sie nennt sich prozentuale Veränderung.
Die prozentuale Veränderung ist die Veränderung eines Anfangswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Sie wird in Prozent ausgedrückt.
Verändert sich ein Anfangswert in einer bestimmten Zeit zu einem Endwert, kannst Du die prozentuale Veränderung berechnen.
Die prozentuale Veränderung berechnest Du mit folgender Formel: \[\text{prozentuale Veränderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}\cdot 100\]
Ist die Veränderung eine prozentuale Abnahme, so ist die prozentuale Veränderung negativ. Der Endwert ist kleiner als der Anfangswert.
Wie Du den Anfangswert oder Endwert berechnest, erfährst Du in der Erklärung prozentuale Veränderung berechnen.
Prozentrechnung Aufgaben
An den folgenden Aufgaben kannst Du gleich testen, ob Du die Inhalte verstanden hast.
Prozentsatz berechnen – Aufgabe 1
In einer Klasse befinden sich 30 Lernende. Davon haben sechs Lernende die Note 4 in Mathe. Berechne, welcher Prozentsatz das ist.
Lösung
Zuerst notierst Du Dir die gegebenen Werte:
- Grundwert \(\text{G}=30\)
- Prozentwert \(\text{P}=6\)
Gesucht ist hier der Prozentsatz p%. Die entsprechende Formel für die Berechnung des Prozentsatzes lautet \[\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}.\] Du setzt also die gegebenen Werte in die Formel ein und erhältst \begin{align}\text{p}\%&=\frac{6}{30}\\[0.1cm]&=0,2\\[0.1cm]&=20\%\end{align}
Der gesuchte Prozentsatz beträgt also 20 %.
Prozentwert berechnen – Aufgabe 2
Stell Dir vor, Du besitzt ein Kapital von 200 Euro und erhältst darauf jedes Jahr 3 Prozent Zinsen. Berechne, wie viel Geld Du nach einem Jahr auf Deinem Sparkonto hast.
Lösung
Hier kannst Du die Grundgleichung der Prozentrechnung nutzen, um die Zinsen zu berechnen. Dabei gilt \[\text{Z}=\text{p}\% \cdot \text{K}.\] Die 3% Zinsen können für die Berechnung als 0,03 ausgedrückt werden. Du setzt also die gegebenen Werte ein und erhältst \begin{align}\text{Z}&=\text{0,03} \cdot 200 \\&=6.\end{align}
Du erhältst also 6 Euro Zinsen. Somit hast Du nach einem Jahr \( \text{200€} +\text{6€}=\text{206€}\) auf Deinem Sparkonto.
Grundwert berechnen – Aufgabe 3
In Deinem Lieblings-Online-Shop erhältst Du einen Rabatt von 20 Prozent. Du bestellst Dir ein neues Smartphone und siehst, dass Du am Ende 105 Euro sparen konntest. Berechne, wie teuer das Smartphone ohne Rabatt ist.
Lösung
Zuerst notierst Du Dir wieder die gegebenen Werte:
- Prozentsatz \(\text{p}\%=20\%=\text{0,2}\)
- Prozentwert \(\text{P}=\text{105€}\)
Gesucht ist also der Grundwert G. Die entsprechende Formel für die Berechnung des Grundwertes lautet \[G=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}.\] Du setzt also die gegebenen Werte in die Formel ein und erhältst \begin{align}\text{G}&=\frac{\text{105€}}{0,2}\\[0.1cm]&=\text{525€}\end{align}
Der ursprüngliche Preis des Smartphones beträgt demnach 525 Euro.
Prozentrechnung – Das Wichtigste
- Ein Prozent wird festgelegt durch: \[1\%=\frac{1}{100}.\]
- Prozentrechnung Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz:
- Der Grundwert G ist immer das Gesamte, also 100 Prozent. Er wird berechnet mit \(\text{G}=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}\).
- Der Prozentwert P ist der absolute Anteil am Gesamten. Er wird berechnet mit \(\text{P}=\frac{\text{p}\%}{\text{G}}\).
- Der Prozentsatz p beschreibt das Verhältnis des gesuchten Anteils zum Gesamten. Er wird berechnet mit \(\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}\).
- Prozentrechnung Dreisatz:
- Du setzt die gegebene Größe mit ihrem Prozentsatz gleich.
- Du rechnest den Prozentwert für den Prozentsatz 1 % aus.
- Du multiplizierst die 1 % so, dass letztlich der gesuchte Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert herauskommt.
- Die Berechnung von Zinsen erfolgt nach gleichem Prinzip wie bei der Prozentrechnung.
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