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Das Thema Prozentrechnung kannst Du im Alltag überall finden. Beim Einkaufen erhältst Du 20 Prozent Rabatt, bei der letzten Wahl bekam eine Partei 5 Prozent der Stimmen, der Akku Deines Smartphones ist bei 65 Prozent.
Doch wie viel Geld sparst Du oder wie lange hält Dein Akku noch, bevor Du ihn erneut laden musst?
Bei Fragen solcher Art hilft Dir die Prozentrechnung. Dabei spielen Begriffe wie der Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz eine Rolle. Zur Berechnung gibt es eine bestimmte Formel, die sogenannte Grundgleichung der Prozentrechnung oder Du nutzt den Dreisatz. Diese Erklärung gibt Dir einen Überblick über die wichtigsten Begriffe und Vorgehensweisen in der Prozentrechnung.
Um in Mathe mit Prozentrechnung umgehen zu können, solltest Du Dir zunächst ansehen, was der Begriff Prozent überhaupt bedeutet.
Prozente geben Anteile am Ganzen an. So besteht ein Kleidungsstück z.B. zu 90 Prozent aus Baumwolle. Das Wort Prozent (%) kommt aus dem Italienischen („per cento“) und heißt übersetzt „für hundert“ oder „bezogen auf hundert“. Prozente orientieren sich also am Ganzen.
Ein Prozent wird festgelegt durch: \[1\%=\frac{1}{100}.\]
Entsprechend werden p Prozent definiert durch: \[\text{p}\%=\frac{\text{p}}{100}.\]
Das Prozentzeichen kann auch als Multiplikation mit dem Bruch \(\frac{1}{100}\) aufgefasst werden.
Willst Du einen Anteil eines Ganzen beschreiben, kannst dafür neben gewöhnlichen Brüchen auch Prozent nutzen. Dazu wird der Anteil in Hundertstel ausgedrückt, indem Du den Bruch auf den Nenner Hundert erweiterst oder kürzt. Mit Prozent kann wie mit Brüchen gerechnet werden.
Mehr über Prozente erfährst Du in der Erklärung Prozent.
Ähnlich wie Prozent beschreiben Promille Anteile eines Ganzen. Der Unterschied zwischen Promille und Prozent ist allerdings die Vergleichszahl. Das Wort Promille setzt sich zusammen aus den lateinischen Wörtern pro – „im Verhältnis zu“ und mille – „tausend“.
Ein Promille ist ein Tausendstel eines Ganzen und wird festgelegt durch: \[1 \text{‰} =\frac{1}{1000}.\]
Die Vergleichszahl ist hier 1000.
Um Prozent in Promille umzurechnen, solltest Du den Prozentsatz mit dem Faktor 10 multiplizieren, oder falls Du den Prozentsatz in einen Bruch umwandelst, diesen im Nenner und im Zähler je um 10 erweitern:
\[\text{p} \%=\frac{\text{p}}{100}=\frac{10 \cdot \text{p}}{1000}=10\cdot \text{p}‰.\]
Um umgekehrt von Promille in Prozent umzurechnen, solltest Du den Prozentsatz durch 10 dividieren, oder mit der Dezimalzahl 0,1 multiplizieren.
Mehr darüber findest Du in der Erklärung Promille berechnen.
Bei der Prozentrechnung gibt es Begriffe wie den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz. Damit Du Dir nicht für jeden Begriff eine Formel merken musst, gibt es eine besondere Formel: die Grundgleichung der Prozentrechnung. Im Folgenden wird Dir die Prozentrechnung einfach erklärt!
Dieser Themenabschnitt spielt eine große Rolle in der Schulmathematik. Mithilfe der Prozentrechnung kannst Du ausrechnen, wie viel Geld Du bei gewissen Rabatten sparst, wie groß der Anteil Deiner Mitschüler ist, die den letzten Mathetest bestanden haben und vieles mehr.
Sieh Dir am besten zuerst die einzelnen Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz der Prozentrechnung an.
Der Grundwert ist, wie der Name schon sagt, der Ausgangswert.
Der Grundwert G ist immer das Gesamte, er entspricht 100 Prozent.
Die nächste wichtige Größe ist der Prozentwert.
Der Prozentwert P ist der absolute Anteil am Gesamten.
Der Prozentsatz dagegen beschreibt den Anteil in Prozent.
Der Prozentsatz p entspricht dem Verhältnis vom gesuchten Anteil zum Gesamten und wird mithilfe des Prozentzeichens (%) beschrieben.
Oft musst Du Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz, berechnen.
Dazu kannst Du entweder den Dreisatz oder die Grundgleichung der Prozentrechnung verwenden.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung liefert Dir eine Möglichkeit, durch Einsetzen zwei gegebener Werte den gesuchten Wert zu erhalten. Du benötigst zur Berechnung also zwei Angaben zu Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%).
Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Berechnung Prozentsatz p% | Berechnung Prozentwert P | Berechnung Grundwert G |
| \[\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}\] | \[P=\frac{\text{p}\%}{\text{G}}\] | \[G=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}\] |
Wenn Du den Prozentsatz p% in Formeln einsetzen möchtest, verwende dabei am besten immer den Bruch bzw. die entsprechende Dezimalzahl.
Wenn Du mehr über diese Grundgleichung erfahren willst, schau in der Erklärung Grundgleichung der Prozentrechnung vorbei.
Wie weiter oben bereits erwähnt, kannst Du Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz mit dem Dreisatz berechnen. Er kann dank der direkten Proportionalität der Prozentrechnung genutzt werden.
Hier findest Du eine kleine Schritt-für-Schritt-Anleitung für das Berechnen der Werte mit dem Dreisatz am Beispiel: Wie viel sind 20 % von 120 €? Gesucht ist hier also der Prozentwert.
Beschreibung | Beispiel |
1. Du setzt Deine gegebene Größe mit ihrem Prozentsatz gleich. | \[100\%=120\, \text{€}\] |
2. Du rechnest den Prozentwert für den Prozentsatz 1% aus, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung (Multiplikation oder Division) vornimmst. | Du teilst also auf beiden Seiten durch 100 und erhältst \[1\%=1,20\, \text{€}\] |
3. Als Letztes multiplizierst Du die 1% so, dass letztlich der gesuchte Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert herauskommt. | Nun multiplizierst Du mit 20, um auf die 20 % zu kommen: \[20\%=24\, \text{€}\] |
Weitere Beispiele findest Du ebenfalls in der Erklärung Grundgleichung der Prozentrechnung.
In manchen Situationen oder Aufgaben hast Du zu Beginn einen Anfangswert gegeben, der sich über einen bestimmten Zeitraum verändert. Zum Schluss bleibt dann einen Endwert. Die Veränderung vom Anfangswert zum Endwert kannst Du in Prozent angeben. Sie nennt sich prozentuale Veränderung.
Die prozentuale Veränderung ist die Veränderung eines Anfangswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Sie wird in Prozent ausgedrückt.
Verändert sich ein Anfangswert in einer bestimmten Zeit zu einem Endwert, kannst Du die prozentuale Veränderung berechnen.
Die prozentuale Veränderung berechnest Du mit folgender Formel: \[\text{prozentuale Veränderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}\cdot 100\]
Ist die Veränderung eine prozentuale Abnahme, so ist die prozentuale Veränderung negativ. Der Endwert ist kleiner als der Anfangswert.
Wie Du den Anfangswert oder Endwert berechnest, erfährst Du in der Erklärung prozentuale Veränderung berechnen.
Vielleicht hast Du bereits ein eigenes Sparkonto. Bei vielen Sparkonten erhält die Kontoführende Person Zinsen auf das angelegte Geld. Doch was sind Zinsen überhaupt?
Zinsen sind ein Entgelt, das der Schuldner – also derjenige, der sich Geld leiht – an den Gläubiger – also denjenigen, der das Geld verleiht – als Gegenleistung dafür zahlt, dass er sich vorübergehend dessen Kapital ausleihen darf.
Die Bank zahlt Dir also dafür, dass Du Dein Erspartes bei ihnen hinterlegst, einen Zins.
Wenn Du nun ausrechnen möchtest, wie viel Geld Du in 10 Jahren auf Deinem Sparkonto haben wirst, benötigst Du die Zinsrechnung.
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung und wird zur Berechnung von Zinsen und Kapital gebraucht.
Bei der Zinsrechnung findest Du ebenfalls wieder unterschiedliche Begriffe, die bei der Berechnung eine Rolle spielen.
Vielleicht hast Du schon mal etwas von einem Startkapital gehört.
Das Kapital K ist ein anderer Begriff für Vermögen oder Guthaben.
Wie viel Geld die Bank Dir für das Anlegen Deines Geldes zahlt, hängt vom Zinssatz ab.
Der Zinssatz p ist derjenige Anteil des Kapitals K, welches der Schuldner dem Gläubiger pro Zeiteinheit für das Kapital zahlt.
Der Zinssatz p wird meistens in Prozent angegeben. Du kannst ihn für die Zinsrechnung in eine Dezimalzahl umwandeln.
Der Zinssatz und das Kapital bestimmen, wie viel Geld Du bekommst.
Der Zins oder die Zinsen Z ist derjenige Geldwert, welcher der Schuldner dem Gläubiger für das Leihen von Kapital zahlt.
Die Berechnung der Zinsen erfolgt ähnlich wie bei der Prozentrechnung. Dabei entspricht das Kapital K dem Grundwert G, der Zinssatz p dem Prozentsatz p% und die Zinsen dem Prozentwert P. Auch hier kann mithilfe des sogenannten Zinsdreiecks oder mit dem Dreisatz gerechnet werden. Das Zinsdreieck ist dabei genau so aufgebaut wie das Dreieck der Prozentrechnung.
Genaueres zum Rechnen mit Zinsen findest Du in der Erklärung Zinsrechnung.
An den folgenden Aufgaben kannst Du gleich testen, ob Du die Inhalte verstanden hast.
Aufgabe 1
In einer Klasse befinden sich 30 Lernende. Davon haben sechs Lernende die Note 4 in Mathe. Berechne, welcher Prozentsatz das ist.
Lösung
Zuerst notierst Du Dir die gegebenen Werte:
Gesucht ist hier der Prozentsatz p%. Die entsprechende Formel für die Berechnung des Prozentsatzes lautet \[\text{p}\%=\frac{\text{P}}{\text{G}}.\] Du setzt also die gegebenen Werte in die Formel ein und erhältst \begin{align}\text{p}\%&=\frac{6}{30}\\[0.1cm]&=0,2\\[0.1cm]&=20\%\end{align}
Der gesuchte Prozentsatz beträgt also 20 %.
Aufgabe 2
Stell Dir vor, Du besitzt ein Kapital von 200 Euro und erhältst darauf jedes Jahr 3 Prozent Zinsen. Berechne, wie viel Geld Du nach einem Jahr auf Deinem Sparkonto hast.
Lösung
Hier kannst Du die Grundgleichung der Prozentrechnung nutzen, um die Zinsen zu berechnen. Dabei gilt \[\text{Z}=\text{p}\% \cdot \text{K}.\] Die 3% Zinsen können für die Berechnung als 0,03 ausgedrückt werden. Du setzt also die gegebenen Werte ein und erhältst \begin{align}\text{Z}&=\text{0,03} \cdot 200 \\&=6.\end{align}
Du erhältst also 6 Euro Zinsen. Somit hast Du nach einem Jahr \( \text{200€} +\text{6€}=\text{206€}\) auf Deinem Sparkonto.
Aufgabe 3
In Deinem Lieblings-Online-Shop erhältst Du einen Rabatt von 20 Prozent. Du bestellst Dir ein neues Smartphone und siehst, dass Du am Ende 105 Euro sparen konntest. Berechne, wie teuer das Smartphone ohne Rabatt ist.
Lösung
Zuerst notierst Du Dir wieder die gegebenen Werte:
Gesucht ist also der Grundwert G. Die entsprechende Formel für die Berechnung des Grundwertes lautet \[G=\frac{\text{P}}{\text{p}\%}.\] Du setzt also die gegebenen Werte in die Formel ein und erhältst \begin{align}\text{G}&=\frac{\text{105€}}{0,2}\\[0.1cm]&=\text{525€}\end{align}
Der ursprüngliche Preis des Smartphones beträgt demnach 525 Euro.
Mithilfe der Prozentrechnung kannst Du z. B. ausrechnen, wie viel Geld Du beim Einkaufen mit Rabatten sparen kannst oder welche Trefferquote ein Fußballspieler besitzt. Mithilfe der Grundgleichung der Prozentrechnung kannst Du den gesuchten Wert berechnen.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung hilft dir dabei, gesuchte Werte der Prozentrechnung zu bestimmen. Dabei ist G der Grundwert, P der Prozentwert und p% der Prozentsatz.
Die Formel lautet G = (P : p%).
Du kannst sie beliebig nach dem gesuchten Wert umstellen.
Zuerst setzt Du eine der gegebenen Größe mit ihrem Prozentsatz gleich. Dann rechnest Du mit dem Dreisatz auf beiden Seiten so, dass Dein Prozentsatz 1% beträgt. Als letztes multiplizierst Du die 1% so, dass sich der gesuchte Prozentsatz (oder Prozentwert oder Grundwert) ergibt.
Der einfachste Weg, mit Prozent zu rechnen, ist die Grundgleichung der Prozentrechnung.
Hier ist G der Grundwert, P der Prozentwert und p% der Prozentsatz.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet G = (P : p%).
Du kannst sie dabei beliebig nach dem gesuchten Wert umstellen.
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