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Schon einmal beim Einkaufen gewesen und den Preis verschiedener Produkte zusammengerechnet? Normalerweise übernimmt das die Kassiererin oder der Kassierer an der Kasse. Aber umso besser, wenn du selbst die Preise addieren kannst.
Bevor wir uns mit dem Rechnen von Dezimalzahlen beschäftigen, wiederholen wir noch einmal, was genau eine Dezimalzahl ist, wie sie aufgebaut ist und welche Arten von Dezimalzahlen es gibt.
Mathematisch lässt sich eine Dezimalzahl wie folgt definieren.
Eine Dezimalzahl stellt eine nicht-ganze und keine natürliche Zahl dar und wird auch als Dezimalbruch bezeichnet.
Eine Dezimalzahl wird deshalb auch als Dezimalbruch bezeichnet, da sie eigentlich Brüche sind, nur in anderer Schreibweise. In der Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl notiert. Das heißt, jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. Sehen wir uns dazu gleich ein Beispiel an.
Gegeben ist der folgende Bruch:
Dieser lässt sich in eine Kommazahl in Dezimalschreibweise umwandeln.
Probiere es doch direkt selbst einmal bei verschiedenen Brüchen aus. Dann wird dir sicher noch eine Besonderheit auffallen. Zu dieser kommen wir gleich noch.
Sehen wir uns zunächst noch einmal kurz an, wie Dezimalzahlen bzw. Dezimalbrüche aufgebaut sind.
Wie du bereits gesehen hast, beschreibt eine Dezimalzahl eine Kommazahl, die aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen oder sogenannten Dezimalen besteht.
Schauen wir uns das Ganze einmal für eine Kommazahl zusammen an.
Wir haben folgenden Dezimalbruch:
Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei der Vorkommastelle bzw. den Vorkommastellen um die Zahlen, die vor dem Komma sind. Bei diesem aufgeführten Beispiel wäre das die 12.
Auch bei den Nachkommastellen läuft das recht ähnlich ab. Hier geht es um alles, was nach dem Komma kommt. Bei unserer Zahl ist das die 8 und die 4.
| Zehner | Einer | Komma | Zehntel | Hundertstel |
| 1 | 2 | , | 8 | 4 |
Genau wie natürliche Zahlen können Dezimalzahlen in eine Stellenwerttafel übertragen werden. Dabei wird die Tabelle lediglich nach rechts um die Nachkommastellen erweitert.
Hast du verschiedene Brüche schon in Dezimalschreibweise umgewandelt? Dann ist dir vielleicht aufgefallen, dass die Zahlen teilweise mehr Nachkommastellen haben als andere oder sogar gar nicht mehr aufhören. Das liegt daran, dass zwischen verschiedenen Arten von Dezimalzahlen unterschieden werden kann.
Es gibt abbrechende Dezimalzahlen, periodische Dezimalzahlen und irrationale Dezimalzahlen. Was genau das ist, kannst du dir in dieser Abbildung anschauen:
Unterschieden werden die Dezimalzahlen in zwei große Kategorien:
Das heißt, die Nachkommastellen enden irgendwann oder nicht. Nicht-abbrechende Dezimalzahlen (also mit endlosen Nachkommastellen) können weiterhin unterschieden werden in periodische und nicht-periodischen Dezimalbrüche.
Ein nicht-periodischer Dezimalbruch wird auch als irrational bezeichnet. Die Dezimalzahl hat kein Ende und besitzt keine periodische Zahlenfolge in den Nachkommastellen. Ein klassisches Beispiel dafür wäre
Auch bei periodischen Dezimalzahlen gibt es eine Unterscheidung, zwischen rein-periodisch und gemischt-periodisch. Ein Beispiel findest du in der Abbildung.
Mehr zum Thema Dezimalzahlen findest du natürlich wieder im separaten Kapitel zu den Dezimalzahlen.
Nun schauen wir uns aber erst mal an, wie wir mit diesen Dezimalzahlen rechnen. Genauer gesagt, wie wir sie zusammenzählen, also addieren können.
Dafür ist es notwendig, dass du die Addition im Kopf und die schriftliche Addition mit natürlichen Zahlen schon sehr gut beherrschst. Wenn du das lieber vorher noch mal durchgehen möchtest, lies dir doch unsere Artikel dazu durch.
Du denkst vielleicht, dass du das Addieren von Dezimalzahlen im Alltag gar nicht benötigst, du wirst aber ziemlich schnell merken, dass es dir öfter begegnet als du denkst. Ein Beispiel dafür:
Dein Supermarkt ist dafür bekannt oftmals falsche Angebote zu machen, die teurer sind als der ursprüngliche Preis.
Du stehst also im Regal und siehst folgendes Angebot:
Wichtig ist noch zu wissen, dass du Dezimalzahlen mit unterschiedlicher Anzahl an Nachkommastellen nicht einfach zusammen rechnen kannst. Dafür musst du zunächst eine der beiden Zahlen um so viele Nullen erweitern, wie die Zahl mehr Nachkommastellen hat.
Bevor wir uns mit der schriftlichen Addition beschäftigen, schauen wir uns erst mal an, wie du das Ganze im Kopf lösen kannst. Natürlich ist das nur mit besonders einfachen und abbrechenden Dezimalzahlen möglich.
Dafür gibt es zwei Methoden, mit denen du das gut meistern kannst:
Das Prinzip des Rundens sollte dir bereits bekannt sein. Wenn nicht, kannst du dir gerne noch mal unseren Artikel dazu durchlesen.
Wir schauen uns das mit dem Runden mal wieder anhand unseres Beispiels im Supermarkt an.
Da handelt es sich um diese typischen Supermarktpreise, die immer mit einer 9 hinten enden. Die eignen sich super zum Runden. Die Preise sind hier noch einmal aufgelistet:
Wir runden die Preise zunächst auf die 1. Nachkommastelle.
Dann erhalten wir also für das Obst folgende neue Preise:
So lässt es sich doch schon viel leichter rechnen, oder? Wir zählen die Zahlen im Kopf zusammen.
Dafür ignorierst du zunächst das Komma und rechnest einfach:
Dann setzt du zum Abschluss noch das Komma hinter die erste 1.
Das Ergebnis ist dann also 1,10 €.
Beim Zusammenrechnen kannst du bereits die Vermutung aufstellen, dass das Angebot teurer ist als der Einzelkauf.
Aber Achtung: Durch Runden erhältst du nur einen ungefähren und nicht den exakten Preis. Das Verfahren ist damit, je nach Rundungswert, ungenau!
Eine exakte Möglichkeit ist die Berechnung durch das Unterteilen.
Um mit einer Dezimalzahl gut im Kopf rechnen zu können, bietet es sich an, die Zahl in zwei Teile zu unterteilen: die Vorkommastelle und Nachkommastelle.
In der zweiten Methode wenden wir das an und rechnen dann zunächst die Vorkommastellen und dann die Nachkommastellen aus! Um diese Methode anzuwenden, nehmen wir uns direkt mal ein Beispiel an die Hand.
Der weltweit beste Sprinter kann eine Geschwindigkeit von ungefähr bis zu
aufnehmen. Die weltweit beste Sprinterin hat einen Rekord von 
.
Abbildung 4: Sprint Weltrekorde
Du möchtest nun ausrechnen, wie schnell sie zusammen wären. Dafür musst du die beiden Dezimalzahlen miteinander addieren.
Du nimmst dazu zunächst die Vorkommastellen zur Hand. Das sind 44 und 35. Die kannst du nun einfach zusammen rechnen.
Das Gleiche machst du nun für die Nachkommastellen 42 und 31.
Als Vorkommastelle haben wir dann die 79 und als Nachkommastelle 73. Daraus ergibt sich die Dezimalzahl:
Das Kopfrechnen ist also mit Dezimalzahlen ohne Überschlagsrechnung gar nicht so schwer. Aber wenn wir nun die Überschlagsrechnung benötigen und es etwas komplizierter wird, eignet sich die schriftliche Addition dafür mehr als das Kopfrechnen.
Bei der schriftlichen Addition unterscheiden wir zwischen der Addition zweier Dezimalzahlen oder der von einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl.
Die schriftliche Addition funktioniert allerdings in beiden Fällen gleich. Man ignoriert die Kommata zunächst und rechnet dann von links nach rechts die Reihen zusammen.
Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen, die Nullen sind. Diese Information benötigen wir nun dafür, um eine natürliche Zahl mit einer Dezimalzahl zusammenzurechnen.
Wie das Ganze funktioniert, schauen wir uns mal direkt anhand eines Beispiels an.
Wir haben die Dezimalzahl 1,2734 gegeben und die natürliche Zahl 4.
1. Schritt: Rechnung aufschreiben
Damit wir beides einfacher zusammen rechnen können, schreiben wir die 4 auch als Kommazahl auf. Dazu setzen wir einfach ein Komma hinter die 4 und füllen mit Nullen auf. Das ändert den Wert der Zahl nicht!
Achte unbedingt darauf, dass die Kommata genau untereinander stehen, sonst kann es zu Fehlern kommen. Das Ganze sieht dann folgendermaßen aus:
2. Schritt: Schriftliche Addition
Das Einzige, was du nun noch machen möchtest, ist wie gewohnt das Verfahren der schriftlichen Addition anzuwenden. Dafür addierst du die beiden Reihen miteinander.
Wenn das Ergebnis größer als 9 ist, musst du wie gewohnt einen Überschlag in die nächste Spalte übertragen.
Das ganze Verfahren kannst du hier noch mal Schritt für Schritt nachvollziehen:
Die schriftliche Addition haben wir damit bereits erledigt. Eine Sache fehlt aber noch.
3. Schritt: Ergebnis und Komma herunterziehen
Du ziehst im letzten Schritt das Komma genau an der Stelle runter, wo es auch über dem Strich ist. Dann hast du auch schon dein fertiges Ergebnis.
Die neue Dezimalzahl aus der Addition ist also 5,2734.
Sehen wir uns gleich noch ein weiteres Beispiel an, mit zwei Kommazahlen.
Bei dem Fall, dass du zwei Dezimalzahlen miteinander addieren musst, ändert sich nichts im Vorgehen zu dem von der Addition mit einer natürlichen Zahl. Denn diese haben wir ja gewissermaßen vorher auch in eine Kommazahl umgewandelt.
Da du das Verfahren ja bereits kennst, kannst du in dieser Aufgabe mal selbst testen, wie gut du das schriftliche Addieren mit Dezimalzahlen schon verstanden hast.
Berechne die Summe von 2,7769 und 4,1924.
Das Ergebnis der Aufgabe ist 6,9693. Wie du auf dieses Ergebnis kommst, kannst du jetzt hier schrittweise nachvollziehen.
Schritt 1: Aufgabe aufschreiben und auf die korrekte Position des Kommas achten
Schritt 2: Verfahren der schriftlichen Addition
Kommazahlen im Kopf und schriftlich addieren können wir bereits. Aber was, wenn wir auf einmal eine Kommazahl mit einem Bruch addieren sollen?
Das Rechnen mit Brüchen unterscheidet sich nicht wirklich von dem Prozedere, das du bereits kennst, wenn du Brüche addieren musst. Eigentlich ist es sogar etwas einfacher, da es schneller geht einen gemeinsamen Nenner zu finden. Du kannst auch vorher noch mal dein Wissen auffrischen, indem du dir unseren Artikel dazu durchliest.
Wenn du nicht beide Summanden in einem Dezimalbruch gegeben hast, sondern unter anderem einen Bruch und eine Dezimalzahl, musst du zunächst die Dezimalzahl in einen Dezimalbruch umwandeln.
Es ist auch möglich, den Bruch in eine Dezimalzahl bzw. einen Dezimalbruch umzuwandeln und dann damit weiter zu rechnen.
Das Wichtigste bei diesem Aufgabentyp ist also die Umwandlung der Zahlen. Gehen wir das anhand eines Beispiels durch.
Du hast die Dezimalzahl 0,07 und den Bruch
gegeben. Du möchtest beide miteinander addieren. Wie machen wir das?
Schritt 1: Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln
Wir haben vorhin schon erfahren, dass man die meisten Dezimalzahlen auch als Bruch darstellen kann. Genau das machen wir nun auch.
Schritt 2: Beide Dezimalbrüche auf einen Nenner bringen
So wie beim Rechnen mit normalen Brüchen, müssen wir auch hier zunächst die Brüche auf den gleichen Nenner bringen, da man sie sonst nicht miteinander addieren kann. Aktuell sieht unsere Rechnung wie folgt aus:
Um beide auf den gleichen Nenner zu bringen, erweitern wir den Bruch oben und unten jeweils mit 10. Damit haben nun beide Brüche den Nenner 1000.
Schritt 3: Brüche miteinander addieren
Um nun beide Brüche miteinander zu addieren, addieren wir die Zähler beider Brüche. Der Nenner bleibt so stehen.
Diesen Bruch können wir jetzt auch wieder in eine Kommazahl umwandeln und wir erhalten:
Alternativ können wir die gegebenen Zahlen auch als Kommazahlen schriftlich addieren. Wir addieren also die Zahlen 0,07 und 
ein zweites Mal. Dieses Mal aber als Dezimalzahlen.
Schritt 1: Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln
Zunächst wandeln wir den Bruch in eine Kommazahl um und erhalten damit:
Schritt 2: Dezimalzahlen addieren
Jetzt liegen beide Zahlen in der gleichen Form vor. Nun können wir sie wie gewohnt addieren.
Wie du sehen kannst, ist unser Ergebnis dasselbe wie oben aus der Addition mit den Brüchen.
Welches Verfahren du wählst, bleibt ganz allein deine Entscheidung. Je nachdem, was dir leichter fällt.
Du kannst natürlich nicht nur einen Bruch mit einer Dezimalzahl addieren. Wenn du zwei Dezimalzahlen miteinander addieren möchtest, kannst du beide auch in einen Bruch umwandeln und dann miteinander addieren. Manchmal fällt das leichter, als zwei Dezimalzahlen direkt miteinander zu addieren.
Jetzt bist du schon so weit gekommen und beherrschen das Addieren von endlichen Dezimalzahlen bereits super. Aktuell haben wir aber immer nur mit positiven Dezimalzahlen gerechnet. Was aber, wenn sie negativ sind?
So wie auch andere Zahlen können Dezimalzahlen ein negatives Vorzeichen besitzen. Das sind die Zahlen auf der linken Seite des Zahlenstrahls.
Abbildung 5: Negative Dezimalzahlen
Bevor wir aber dazu kommen, wie man mit diesen Zahlen rechnet, wiederholen wir noch einmal die Grundlagen der Vorzeichen. Wenn du dich gar nicht mehr erinnern kannst, wie das geht, schau dir noch mal unseren Artikel dazu an, denn hier wird es nur kurz und knapp wiederholt.
Wichtig ist hier die Unterscheidung zwischen Rechenzeichen und Vorzeichen. Wir sehen uns dazu gleich ein Beispiel an.
Wir möchten die Zahlen
addieren. Damit erhalten wir also folgende Rechnung:
Wenden wir die Regeln von oben an, so entsteht aus dem orangen Rechenzeichen und dem blauen Vorzeichen der 2. Dezimalzahl die folgende neue Rechnung:
Damit ist uns bereits klar, dass die neue Zahl auch negativ sein muss, da beide Zahlen negativ sind. Das muss aber nicht so sein, wie dir das nächste Beispiel zeigt.
Addieren möchten wir hier die Zahlen 
.
Unsere Rechnung ist demnach:
Das Zusammenfassen von Rechen- und Vorzeichen ergibt:
Welches Vorzeichen hat nun unser Ergebnis? Es muss positiv sein. Wieso? Weil der größere Summand darüber entscheidet, welches Vorzeichen das Ergebnis besitzt. In diesem Fall ist die Zahl 3,654 größer, weshalb das Ergebnis positiv sein muss.
Wir können daher noch einmal zusammenfassen:
Bei einer Addition von Dezimalzahlen entscheidet der größere Summand, welches Vorzeichen das Ergebnis (die Summe) besitzt.
Und wie berechnen wir diese Zahlen nun?
Negative Zahlen miteinander rechnen, geht das überhaupt? Na klar! Schau dir das ganze ein Mal direkt anhand eines Beispiels an.
Wir möchten nun folgende Aufgabe lösen: 
. Aus der Wiederholung zu den Vorzeichen erhalten wir damit 2 negative Zahlen, weshalb unsere Summe auch negativ sein muss.
Sind beide Zahlen mit einem gleichen Vorzeichen versehen (hier Minus), dann können wir zunächst die Vorzeichen unbeachtet lassen und die Dezimalzahlen schriftlich addieren.
Um nun diese Aufgabe lösen zu können, addieren wir einfach wie gewohnt zusammen. Das Ergebnis siehst du hier:
Nun darfst du allerdings nicht vergessen, dass wir ja mit negativen Dezimalzahlen addiert haben. Da zwei negative Zahlen miteinander addiert werden, wird die Summe ebenfalls negativ.
Daher musst du hier noch das Vorzeichen beim Ergebnis hinzufügen.
Wenn du negative Dezimalzahlen miteinander addierst, musst du immer schauen wie sich das Vorzeichen verändert und das dann in deine Rechnung mit einbeziehen. Du kannst nämlich auch eine negative Zahl mit einer positiven addieren usw.
Sehen wir uns noch ein weiteres Beispiel dazu an.
Addiere die folgenden Dezimalzahlen:
Zunächst müssen wir die zweite Dezimalzahl um eine Nachkommastelle erweitern und unsere Rechnung aufstellen.
Danach fassen wir das Rechen- und Vorzeichen wieder zusammen zu:
Schriftlich können wir dies also wie folgt notieren:
In diesem Fall haben wir vor den Zahlen zwei unterschiedliche Zeichen, weshalb wir bei der Berechnung natürlich nicht einfach die Vorzeichen weglassen können. Daher bedienen wir uns einem Trick und vertauschen die Zahlen einfach zu:
Dieser Umtausch beeinflusst unser Ergebnis nicht, solange wir auf die richtigen Vorzeichen achten. Jetzt haben wir unsere Addition einfach zu einer Subtraktion umgewandelt. Wie du solche Aufgaben berechnest, erfährst du im Kapitel zur Subtraktion von Dezimalzahlen.
Ein letztes Kapitel zur Addition von Dezimalzahlen sehen wir uns noch an. Bisher haben wir nur mit endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen gerechnet. Möglich ist das aber auch mit periodischen Dezimalzahlen.
Wie du oben bereits erfahren hast, gibt es auch periodische Dezimalzahlen bzw. Dezimalbrüche. Wie man mit den rechnet, schauen wir uns nun mal an. Aber keine Sorge, das Verfahren bleibt genau gleich! Um das Rechnen mit periodischen Dezimalzahlen durchzugehen, nehmen wir uns nun wieder ein Beispiel zur Hand.
Wir möchten die Aufgabe 
lösen.
Das Verfahren bleibt gleich wie bei der Addition mit normalen Dezimalzahlen auch. Wir müssen zunächst die periodischen Dezimalzahlen ausschreiben. Jetzt gerade sind sie ja als 
z. B. notiert. Die Zahl müssen wir nun ausschreiben, also dann:
Das Ganze sollte dann so ausschauen:
Im nächsten Schritt musst du nur noch das Ergebnis berechnen, durch die gleiche Methode wie vorher auch.
Das Ergebnis ist dann 3,9999.... Dadurch, dass wir nicht alle Nachkommastellen miteinander addieren können, erhalten wir so nur ein ungefähres Ergebnis.
Die Addition von periodischen Zahlen über Kommazahlen ist teilweise etwas umständlich und ungenau. Daher gibt es auch die Möglichkeit, diese Zahlen über Brüche zu berechnen. Sieh dir dazu gerne unsere Vertiefung an.
Wir wollen wieder dieselben Zahlen wie gerade eben addieren.
Wir haben gegeben:
Diese wandeln wir zunächst in Brüche um.
Unsere neue Rechnung ist demnach:
Da die Brüche bereits denselben Nenner besitzen, können wir sie sofort zusammenrechnen und es ergibt sich:
Die Addition von periodischen Dezimalzahlen über Brüche vorzunehmen, liefert ein exaktes Ergebnis und ist relativ einfach möglich.
So, jetzt aber genug zur Theorie. Hier findest du noch ein paar Übungsaufgaben, um dein Wissen zur Addition von Dezimalzahlen zu überprüfen.
Nun kannst du beweisen, was du schon gelernt hast! Los gehts!
1. Berechne das Ergebnis von
.
2. Berechne das Ergebnis von
.
1. Aufgabe:
2. Aufgabe:
Man schreibt beide Zahlen untereinander korrekt ab, also die kleinere unter der größeren und vergleicht jeweils die Stellen der Zahlen, welche untereinander stehen und schreibt den Unterschied deren unter die Linie unterhalb der jeweiligen Stelle.
Hierbei geht man identisch vor, nur dass man das Komma an der jeweiligen Stelle setzen muss. Hat eine Zahl mehr Kommastellen als die andere, dann muss man jene mit weniger Stellen um so viele Nullen erweitern, bis beide die gleiche Anzahl an Stellen haben.
Hierbei ist es wichtig, dass die jeweiligen Stellen der Zahlen korrekt untereinander stehen und diese von rechts nach links zusammengezählt werden.
Hierbei sind folgende Regeln zu beachten
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10, -> dies bedeutet das Ergebnis ergibt 0 mit einem Übertrag von 1 der nächsten Stelle nach links
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