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Gleichungen Grundlagen

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Gleichungen Grundlagen

Werfe einen Blick auf Abbildung 1. Das Ziel ist das x im unteren Teil der Abbildung. Keine Sorge, wenn Du an dieser Stelle die Lösung nicht finden kannst, oder Du mit der Bedeutung hinter dem x noch nichts anfangen kannst. Genau darum soll es in dieser Erklärung gehen.

Gleichungen Grundlagen Ein Kreisrätsel StudySmarterAbbildung 1: Ein Kreisrätsel

Zum Lösen des Rätsels ist das Verständnis zweier Sachen notwendig: lineare Gleichungen und einfache quadratische Gleichungen.

Die Erklärung führt Dich schrittweise durch die Details zu den Grundlagen von Gleichungen, sodass Du am Ende in der Lage sein wirst, das Rätsel mit erhobener Brust zu lösen.

Mathematische Grundlagen zu Gleichungen

Eine Gleichung erkennst Du innerhalb weniger Sekunden anhand eines einzigen Zeichens: dem Gleichheitszeichen; oder in Symbolen "=".

Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 2 an.

Gleichungen Grundlagen Eine Waage ohne Gegenstände im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 2: Die StudySmarter-Waage ohne platzierte Gegenstände.

Das ist die StudySmarter-Waage.

Wiegeschalen | Waage im Gleichgewicht

Die beiden Bestandteile der Waage, auf der Du Gegenstände platzieren kannst, heißen Wiegeschalen.

Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sich die beiden Wiegeschalen auf derselben Höhe befinden.

Gemäß der Definition befindet sich die StudySmarter-Waage ohne zusätzliche Gegenstände im Gleichgewicht. Jetzt platzierst Du ein paar Objekte auf die Wiegeschalen (siehe Abbildung 3).

Gleichungen Grundlagen Eine Waage mit Gegenständen im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 3: StudySmarter-Waage mit Gegenständen im Gleichgewicht.

Die Waage befindet sich nach wie vor im Gleichgewicht. Das heißt: Das Gewicht auf der linken ist genauso groß wie das auf der rechten Wiegeschale.

Und genau das ist der Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung

Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.

Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck

L=R

notieren. Der Ausdruck "L =R" heißt als Ganzes eine Gleichung zwischen L und R.

Dabei ist L die linke Seite und R die rechte Seite der Gleichung.

Eine konkrete Gleichung

Der rosa Block soll 2 kg (Kilogramm), der türkisene Block 1 kg und der gelbe Block 4 kg wiegen. Damit ist das Gewicht auf der linken Seite, notiert mit dem Buchstaben L, gegeben durch

L =2 kg + 1 kg + 4 kg = 7 kg .

Auf der rechten Seite kannst Du ebenfalls das Gewicht ausrechnen. Aber: Die Waage ist im Gleichgewicht. Das heißt, Du kennst sofort das Gewicht der rechten Seite: 7 kg.

In Symbolen schreibst Du das

L=R .

Die beiden Buchstaben sehen komplett anders aus. Das Gleichheitszeichen zwischen ihnen teilt Dir jedoch mit: Vorsicht, es handelt sich in Wirklichkeit um genau dasselbe, nämlich 7 kg

7 kg =7 kg .

Gleichungen sind enorm sensibel. Wenn sich das Gewicht auf der rechten Seite nur um ein wenig ändert, gilt die Gleichung nicht mehr und die Waage ist nicht mehr im Gleichgewicht.

Würde es sich etwa eine Fliege auf der rechten Wiegeschale gemütlich machen, so hätte die rechte Seite ein Gewicht von ungefähr

7,000007 kg ,

denn eine Hausfliege wiegt circa 0,000007 kg.

Wenn Dir die Zahlen nichts sagen, keine Sorge. Nur eines ist hier wichtig: Das Gewicht einer Hausfliege ist eine winzige Zahl.

Die rechte Seite ist damit schwerer als die linke und die Waage kippt daher nach rechts (siehe Abbildung 4).

Gleichungen Grundlagen Waage mit Gegenständen nicht im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 4: Waage mit Gegenständen, die sich nicht im Gleichgewicht befindet.

Würde dann eine weitere Fliege mit demselben Gewicht auf der linken Seite landen, so wäre die Waage wieder im Gleichgewicht. Was genau ist hier passiert?

Um die Balance bei einer Gleichung beizubehalten, musst Du stets sicherstellen, dass links und rechts exakt dasselbe passiert. Ansonsten verlierst Du das Gleichgewicht und die Waage kippt: Die Gleichung ist nicht mehr gültig.

Umgang mit einer Gleichung

Genau daran hat sich die Fliege nicht gehalten: Sie hat nur die rechte Seite geändert.

Aber die Fliege bei Seite. Wenn Du etwa auf der rechten Seite den türkisen Block entfernst, kippt die Waage nach links (siehe Abbildung 5).

Gleichungen Grundlagen Entfernen eines Gegenstandes führt zu Ungleichgewicht StudySmarterAbbildung 5: Das Entfernen eines einzigen Gegenstandes führt zum Ungleichgewicht.

Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf der linken Seite genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst auch auf der linken Seite den türkisen Block (siehe Abbildung 6).

Gleichungen Grundlagen Gleichgewicht der Waage wieder hergestellt StudySmarterAbbildung 6: Gleichgewicht der Waage ist wieder hergestellt.

Wiederherstellung des Gleichgewichts mathematisch

Bevor Du den türkisen Block entfernst, ist die rechte Seite gegeben durch

R =2 kg + 1 kg + 4 kg = 7 kg .

Das Entfernen des türkisen Blocks kannst Du mathematisch als eine Subtraktion verstehen: Du ziehst von der rechten Seite ein Gewicht von 1 kg ab.

Nach dem Entfernen hast Du also

R - 1 kg=2 kg + 1 kg + 4 kg - 1 kg = 2 kg + 4 kg = 6 kg .

Auf der linken Seite hast Du aber weiterhin ein Gesamtgewicht von 7 kg

L =2 kg + 1 kg + 4 kg = 7 kg .

Um das Gleichgewicht wieder herzustellen, ziehst Du nun auch von der linken Seite 1 kg ab; Du entfernst also von der linken Seite den türkisen Block

L - 1 kg=2 kg + 1 kg + 4 kg - 1 kg = 2 kg + 4 kg = 6 kg .

Wenn Du die Zwischenschritte ausblendest, sieht das Entfernen des türkisen Blocks auf beiden Seite mathematisch so aus

L - 1 kg = R - 1 kg .

Das Entfernen eines Blocks entspricht der Subtraktion, das Hinzufügen hingegen der Addition.

Umkehrung der Subtraktion durch die Addition

Du hast wieder den türkisen Block von der rechten Seite entfernt (siehe Abbildung 7). Mathematisch schreibst Du das als

R - 1 kg .

Gleichungen Grundlagen Waage im Ungleichgewicht StudySmarterAbbildung 7: Waage im Ungleichgewicht.

Zuvor hast Du das Gleichgewicht wieder hergestellt, indem Du den türkisen Block auf der linken Seite entfernt hast.

Genauso gut kannst Du aber den türkisen Block auf der rechten Seite wieder hinzufügen (siehe Abbildung 8). Mathematisch sieht das so aus

R - 1 kgEntfernendes Blocks + 1 kgHinzufügendes Blocks = R .

Gleichungen Grundlagen Waage wieder im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 8: Waage im Gleichgewicht.

Mit der Addition kannst Du also die Wirkung der Subtraktion neutralisieren und umgekehrt. Das gilt nicht nur für die Addition und Subtraktion, sondern auch für die Multiplikation und Division:

Jede der vier Grundrechenarten kannst Du umkehren.

Die Umkehrung der vier Grundrechenarten wird für das Lösen von linearen Gleichungen eine zentrale Rolle spielen.

Grundlagen zu linearen Gleichungen - mit ausführlichen Beispielen

Jetzt muss die unbekannte Variable

x

eingeführt werden.

Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die unbekannte Variable nur zu ersten Potenz auftaucht.

Die Potenz, in der die unbekannte Variable auftaucht, ist die Zahl, die "oben rechts" direkt neben der Variable steht. Zur ersten Potenz bedeutet dann

x1

oder einfach nur x; das heißt, es gilt

x1 = x.

Lineare Gleichungen

Die folgenden Gleichungen sind alles Beispiele für lineare Gleichungen

x + 4 =7und

2x + 3 =7 .

In allen Gleichungen tritt die Variable x zur ersten Potenz auf und zu keiner höheren Potenz.

Zu den linearen Gleichungen gibt es eine eigene Erklärung. Schaue also auch dort vorbei.

Die beiden linearen Gleichungen im Beispiel werden gleich schrittweise gelöst.

Lineare Gleichungen lösen

Beim Lösen einer linearen Gleichung gehst Du im Wesentlichen folgendermaßen vor: Du schaust, über welche Grundrechenarten die Zahlen mit der gesuchten Variable verbunden sind. Anschließend kehrst Du diese Vorgänge nacheinander um.

Erste lineare Gleichung lösen

Als erstes Beispiel betrachte noch einmal die lineare Gleichung

x + 4Linke Seiteder Waage =7rechte Seiteder Waage .

Du hast hier eine Gleichung, also befinden sich die linke und rechte Seite im Gleichgewicht (siehe Abbildung 9).

Gleichungen Grundlagen Lineare Gleichung als Waage im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 9: Lineare Gleichung mit einer Waage dargestellt.

Ziel beim Lösen von linearen Gleichungen ist es, die gesuchte Variable "auszuziehen". Das heißt, Du formst die Gleichung so lange um, bis Du einen Ausdruck der Form

"x =Irgendeine Kombination aus Zahlen"

erreicht hast. Im Bild der Waage bedeutet das: Du hast links nur den Block x und rechts hast Du weitere Blöcke. Die Waage befindet sich weiterhin im Gleichgewicht (siehe Abbildung 10).

Gleichungen Grundlagen Waage bleibt durch Umformungen im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 10: Waage im Gleichgewicht nach Umformung der linearen Gleichung.

Das Bild teilt Dir mit, dass die Lösung x =3 ist. Aber wie kommst Du darauf rechnerisch?

Schaue Dir die linke Seite der Gleichung

x + 4 =7

genauer an. Das x ist mit der Zahl 4 über ein Pluszeichen verbunden. Um sie also von dieser Zahl zu befreien, ziehst Du von beiden Seiten die Zahl 4 ab:

x + 4 - 4 =7 - 4 x =3 .

Im Bild der Waage hast Du also schrittweise auf der linken und rechten Seite vier der türkisen Blöcke entfernt. Dadurch hast Du links nur noch den rosa Block x übrig und rechts drei türkise Blöcke.

Jetzt könnte eine Zahl auch über ein Malzeichen mit der unbekannten Variablen x verbunden sein.

Zweite lineare Gleichung lösen

Für dieses Beispiel wird ein türkiser Block auf der linken Seite durch einen rosa Block ersetzt (siehe Abbildung 11).

Gleichungen Grundlagen Weitere Lineare Gleichung als Waage im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 11: Eine weitere lineare Gleichung als Waage im Gleichgewicht.

Die lineare Gleichung, die durch die Waage dargestellt wird, ist also

2x + 3Linke Seiteder Waage =7rechte Seiteder Waage .

Im ersten Schritt entfernst Du die Zahl 3, die über ein Pluszeichen verbunden ist:

2x + 3 - 3 =7 - 3 2x =4 .

Im Bild der Waage entfernst Du also auf beiden Seiten jeweils drei türkise Blöcke (siehe Abbildung 12).

Gleichungen Grundlagen Waage im Gleichgewicht nach Umformung StudySmarterAbbildung 12: Waage im Gleichgewicht nach Umformung.

Zwei rosa Blöcke wiegen damit genauso viel wie vier türkise Blöcke. Wie viel muss dann ein einziger rosa Block wiegen?

Ein einziger rosa Block muss genauso viel wiegen wie zwei türkise Blöcke (siehe Abbildung 13).

Gleichungen Grundlagen Ein rosa Block wiegt so viel wie zwei türkise Blöcke StudySmarterAbbildung 13: Ein rosa Block wiegt so viel wie zwei türkise Blöcke.

Rechnerisch kommst Du darauf, indem Du bei der Gleichung

2x =4 (das ist die Waage im linken Teil der Abbildung 13)

auf beiden Seiten durch 2 teilst:

2x2 = 42 x =2 (das ist die Waage im rechten Teil der Abbildung 13).

Solange Du auf beiden Seite dieselbe Aktion durchführst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Und genau das ist die zentrale Beobachtung beim Lösen von linearen Gleichungen.

Grundlagen zu quadratischen Gleichungen

Ein kleiner Hinweis vorab: Zum Lösen von allgemeinen quadratischen Gleichungen gibt es eine ausführliche Erklärung mit einer Vielzahl an Beispielen. Wenn Du Dich also für solche Beispiele interessierst, schaue auf jeden Fall dort vorbei.

Einfache quadratische Gleichung

Eine Gleichung heißt einfache quadratische Gleichung, wenn die Variable nur zur zweiten Potenz auftaucht (und zu keinen anderen Potenzen).

Du hast also zwei Bedingungen, die einfache quadratische Gleichungen erfüllen müssen.

Beispiele für einfache quadratische Gleichungen

Die folgenden zwei Gleichungen sind einfache quadratische Gleichungen

x2 = 4 und

2x2 + 4 = 12 .

Die unbekannte Variable darf mit anderen Zahlen über die Grundrechenarten verbunden sein, wie die Zahl 2 und 4 in der zweiten Gleichung.

Um einfache quadratische Gleichungen zu lösen, reichen die Grundrechenarten nicht mehr aus. Damit Du die "kleine 2" oben rechts entfernen kannst, brauchst Du das Wurzelziehen.

Du wirst das gleich in Aktion sehen, wenn es um die Lösung des Kreisrätsels geht.

Addition und Multiplikation im Kreisrätsel

Im Kreisrätsel hast Du zwei bestimmte Sorte an Pfeile: türkise durchgezogene Pfeile und gelbe gestrichelte Pfeile.

Die erste Sorte an Pfeile stellt eine Addition dar. In Abbildung 14 siehst Du die Addition

6 + 3 =9

abgebildet.

Gleichungen Grundlagen Addition im Kreisrätsel StudySmarterAbbildung 14: Addition im Kreisrätsel.

Die zweite Sorte an Pfeile ist eine Multiplikation. Zum Beispiel wird in Abbildung 15 die Multiplikation

4 · 5 =20

dargestellt.

Gleichungen Grundlagen Multiplikation im Kreisrätsel StudySmarterAbbildung 15: Multiplikation im Kreisrätsel.

Beim Kreisrätsel gehst Du nicht von unten nach oben, sondern von oben nach unten.

Lösung des Kreisrätsels

Weil das schon etwas länger her ist, hier noch einmal das Kreisrätsel:

Gleichungen Grundlagen Ein Kreisrätsel StudySmarterAbbildung 16: Ein Kreisrätsel

Du beginnst oben. Du suchst nach der Zahl, die Du mit 3 multiplizieren musst, um die Zahl 27 zu erreichen. Mathematisch suchst Du also nach der Lösung der linearen Gleichung

3x = 27 .

Indem Du auf beiden Seiten durch 3 teilst, bekommst Du als Lösung

x =9 .

Diese Lösung trägst Du nun im entsprechenden Kreis-Feld oben direkt neben der Zahl 3 ein (siehe Abbildung 17).

Gleichungen Grundlagen Erster Schritt zur Lösung StudySmarterAbbildung 17: Der erste Schritt

Jetzt suchst Du nach der Zahl, die Du zur 5 addieren musst, um die Zahl 9 zu erreichen. Das heißt, Du möchtest die lineare Gleichung

5 + x =9

lösen. Dafür ziehst Du von beiden Seiten die Zahl 5 ab und erhältst als Lösung

x =4 .

Auch diese Lösung trägst Du im entsprechenden Kreis-Feld ein (siehe Abbildung 18).

Gleichungen Grundlagen Zweiter Schritt zur Lösung StudySmarterAbbildung 18: Der zweite Schritt

Ganz unten angekommen, siehst Du: x mal x soll gleich 4 ergeben oder in Symbolen

x·x =x2 = 4 .

Das ist eine einfache quadratische Gleichung. Um sie zu lösen, ziehst Du von beiden Seiten die Wurzel

x2 = 4 x =2 oder x =- 2 .

Beim Wurzelziehen bekommst Du immer zwei Lösungen: eine positive und eine negative Lösung.

Damit hast Du das Kreisrätsel gelöst. In Abbildung 19 wird die positive Lösung gezeigt.

Gleichungen Grundlagen Die Lösung des Kreisrätsels StudySmarterAbbildung 19: Positive Lösung des Kreisrätsels

Gleichungen Grundlagen - Das Wichtigste

  • Gleichungen erkennst Du an das Gleichheitszeichen "=".
  • Es gibt zwei wichtige Sorten an Gleichungen:
    • Bei linearen Gleichungen taucht die Variable zur ersten Potenz auf (und nicht höher).
    • Bei quadratischen Gleichungen taucht die Variable zur zweiten Potenz auf (und nicht höher).
  • Das Lösen von linearen Gleichungen kannst Du Dir wie das Ausziehen von Kleidungsstücken vorstellen: Du fängst schrittweise damit an, die gesuchte Variable "auszuziehen". Das erzielst Du, indem Du die vier Grundrechenarten umkehrst.
  • Für das Lösen von einfachen quadratische Gleichungen hingegen reichen die vier Grundrechenarten nicht aus: Du brauchst noch das Wurzelziehen.
  • Beim Wurzelziehen tauchen immer zwei Lösungen auf: eine positive und eine negative Lösung.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichungen Grundlagen

Bei linearen Gleichungen kehrst Du die Grundrechenarten um, bis die unbekannte Variable alleine steht. Bei einfachen quadratischen Gleichungen brauchst Du zusätzlich noch das Wurzelziehen.

Du erblickst einen Ausdruck, der das Gleichheitszeichen "=" enthält. Auf diesen Ausdruck kannst Du nun mit Deinem Finger zeigen und rufen: Das ist eine Gleichung. Im Wesentlichen teilt Dir eine Gleichung mit: Das Objekt auf der linken Seite und das Objekt auf der rechten Seite sind in Wirklichkeit ein und dasselbe.

Sobald Klammern auftauchen, musst Du insbesondere auf zwei Sachen achten: Es steht ein Minuszeichen vor der Klammer oder es befindet sich eine Zahl vor der Klammer mit Malzeichen (oder eine Kombination von beidem).

Finales Gleichungen Grundlagen Quiz

Frage

Woran kannst Du im Allgemeinen eine Gleichung erkennen?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gleichung erkennst Du an dem Gleichheitszeichen "=", das 1557 von Robert Recorde eingeführt wurde.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, was unter einer Gleichung zu verstehen ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gleichung zwischen zwei Objekte A und B teilt Dir mit: Zwar können die Objekte anders aussehen, in Wirklichkeit sind sie aber ein und dasselbe. So zum Beispiel sieht 5 + 6 anders aus als 11, aber für alle denkbare Situationen verhalten sie sich identisch.

Eine weitere Bedeutung von Gleichungen sind die Bestimmungsgleichungen: Hier wird von Dir verlangt, Lösungen der Gleichung zu finden.

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei wichtigen Arten von Gleichungen kennst Du?

Antwort anzeigen

Antwort

Zu den wichtigsten Arten an Gleichungen gehören die linearen und die quadratischen Gleichungen.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige die folgende Aussage: Bei linearen Gleichungen taucht die Variable ...

Antwort anzeigen

Antwort

... zur ersten Potenz auf.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige die folgende Aussage: Bei allgemeinen quadratischen Gleichungen kann die Variable ...

Antwort anzeigen

Antwort

... zur zweiten Potenz auftauchen (und nicht höher).

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es, eine Grundrechenart umzukehren?

Antwort anzeigen

Antwort

Als Beispiel betrachte die Addition. Du hast die Zahl 7. Auf ihr addierst Du nun die Zahl 4. Das Ergebnis ist 11. Um zur 7 zurückzukehren, musst Du die Addition umkehren. Und die Addition mit einer Zahl kehrst Du um, indem Du mit derselben Zahl subtrahierst. Wenn Du von der 11 die Zahl 4 abziehst, bist Du wieder bei 7.

Frage anzeigen

Frage

Wie lässt sich die Multiplikation mit einer Zahl umkehren? Auf welchen Fall musst Du besonders achten?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Multiplikation mit einer Zahl kehrst Du um, indem Du durch dieselbe Zahl dividierst. Wenn Du etwa 5 mit 6 multiplizierst, erhältst Du 30. Um zurück zur 5 zu gelangen, teilst Du 30 durch 6. Das ist für alle Zahlen möglich, außer für die Zahl Null. Die Division durch die Zahl Null ist problematisch.

Frage anzeigen
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