Brüche dividieren

Wir zeigen Dir einen kleinen Zahlentrick. Dafür brauchst Du Deinen Taschenrechner. Zunächst rechnest Du 7 geteilt durch Dein Alter. Notiere Dir diese Zahl. Nun rechnest Du 1 geteilt durch das Sechsfache Deines Alters (Klammern nicht vergessen). Notiere Dir auch diese Zahl.

Jetzt nimmst Du die erste Zahl und teilst sie durch die zweite Zahl. Ohne, dass wir Dein Alter kennen, können wir das Ergebnis voraussagen: Es ist 42, richtig?

Das funktioniert aber nicht nur mit Deinem Alter, sondern mit jeder Zahl ungleich Null. Teste es aus und verwende unterschiedliche Zahlen, die Du statt Deinem Alter verwendest.

Wieso ist das der Fall? Die Antwort liegt darin verborgen, wie die Division von Brüchen funktioniert. Und genau das schauen wir uns im Detail hier an. Dabei beginnen wir mit einem Gedankenexperiment, der Dir dabei helfen soll, eine gewisse Rechenregel zu entdecken.

Brüche dividieren – zwei Wege zur Rechenregel

Brüche der Form

$\frac{1}{n}$

für eine natürliche Zahl n größer Null heißen Stammbruch. Im Artikel zur Bruchrechnung findest Du viele weitere Details und Beispiele zu Stammbrüchen und Brüchen allgemein.

Der Weg über Stammbrüche

Für die Division von Brüchen ist folgende Beschreibung entscheidend: Der Ausdruck "$\frac{1}{n}$" stellt eine Zahl dar, mit der Eigenschaft, dass die Summe von n Kopien zur Zahl 1 führt:

$\underset{n\mathrm{Kopien}}{\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}}}=1$

Oder kürzer gefasst:

$n·\frac{1}{n}=1$

Wenn Du damit schon vertraut bist, könntest Du nun voreilig auf der linken Seite den Faktor n kürzen. Aber widerstehe dieser Versuchung. Stattdessen sehe das als eine Gleichung der Form

Zahl mal Zahl ist gleich 1.

Darauf kannst Du vertraute Methoden zur Manipulation von Gleichungen anwenden. Von Interesse hier ist die Division der gesamten Gleichung durch eine bestimmte Zahl: die Zahl $\frac{1}{n}$. Wenn Du das machst, erhältst Du folgende Gleichung:

$\frac{n·\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\hspace{0.17em}\frac{1}{\frac{1}{n}}$

Jetzt darfst Du den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{n}$ auf der linken Seite kürzen. Damit bekommst Du

$n=\hspace{0.17em}\frac{1}{\frac{1}{n}}.$

Wenn Du diese Gleichung umdrehst, hast Du die exakt selbe Gleichung, wie Du sie über das Gedankenexperiment erhalten hattest.

Der Weg über den Kehrwert

Für diesen Weg benötigen wir ein Konzept aus "fortgeschrittenere" Mathematik. Aber keine Sorge: Du wirst das Konzept verstehen (vielleicht bist Du mit ihm sogar bereits vertraut).

Es ist das Konzept von sogenannten inversen Elementen. Wir beschränken uns hier auf den Fall von Zahlen, bei dem inverse Elemente auch Kehrwerte genannt werden. Innerhalb der Zahlen spielt die Zahl 1 eine spezielle Rolle: die Rolle des "Nichtstun" unter Multiplikation.

Du kannst Dir das auch folgendermaßen veranschaulichen: Stelle Dir die Multiplikation zweier Zahlen als eine Maschine vor, die zwei Zahlen nimmt und anschließend eine Zahl ausspuckt (siehe Abbildung 1). Im Allgemeinen unterscheidet sich diese ausgeworfene Zahl von den zwei Zahlen, die Du der Maschine als Input gegeben hast.

Abbildung 1: Eine Multiplikations-Maschine nimmt zwei Zahlen als Input und gibt deren Produkt als Output aus.

Wenn Du aber der Maschine als einen Input die Zahl 1 gibst, so ist der Output immer die zweite Input-Zahl (siehe linken Teil der Abbildung 2).

Manchmal kann es auch passieren, dass der Output von zwei Zahlen m und n die Zahl 1 ist (siehe rechten Teil der Abbildung 2); oder formal

$m·n=1.$

Abbildung 2: Die Multiplikation mit 1 lässt den zweiten Input unberührt (links). Manchmal kann der Output von zwei Zahlen gleich 1 sein (rechts).

Wir sagen dann, dass m der Kehrwert zu n ist (oder umgekehrt, dass n der Kehrwert zu m ist). Notiert wird das folgendermaßen:

$n^{-1}=\hspace{0.17em}m$

In Worten liest Du das als: Der Kehrwert von n ist m.

Umgekehrt kannst Du einen Ausdruck wie $x^{-1}=\hspace{0.17em}\frac{1}{x}$ auch als Frage verstehen: Mit welcher Zahl muss x multipliziert werden, um die Zahl 1 zu erreichen?

Das ist der Fall bei der Zahl $\frac{1}{\frac{1}{n}}.$ Du weißt aber, dass

$n·\frac{1}{n}=\frac{1}{n}·n=\hspace{0.17em}1$

gilt. Also ist der Kehrwert zu $\frac{1}{n}$ gerade die Zahl n:

${\left(\frac{1}{n}\right)}^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{n}}=n$

Das ist erneut dieselbe Gleichung, wie beim Gedankenexperiment zu Beginn der Erklärung.

Brüche dividieren – Regel für allgemeine Brüche

Soweit trat nur der Fall auf, dass im Nenner ein Stammbruch steht. Auf den ersten Blick wirkt das wie eine starke Einschränkung, denn nichts hält Dich davon ab, in den Nenner einen beliebigen Bruch zu schreiben.

In der Tat aber folgt aus der Regel für Stammbrüche die Regel für allgemeine Brüche.

Wenn ein Bruch im Nenner steht

Um das zu sehen, reicht es, wenn Du folgende Aussage verstehst:

Den Bruch $\frac{m}{n}$ kannst Du schreiben als $m·\frac{1}{n}$

Wenn Du nun diesen Bruch als Nenner verwendest, also

$\frac{1}{\frac{m}{n}},$

so kannst Du ihn folgendermaßen umschreiben:

$\frac{1}{\frac{m}{n}}=\hspace{0.17em}\frac{1}{m·\frac{1}{n}}=\hspace{0.17em}\frac{1}{m}·\frac{1}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{m}·n=\hspace{0.17em}\frac{n}{m}$

Wenn Du die vorherige Vertiefung gelesen hast, fällt Dir vielleicht auf, dass $\frac{n}{m}$ gerade der Kehrwert von $\frac{m}{n}$ ist. Der Ausdruck

$\frac{1}{\frac{m}{n}}$

verlangt von Dir, dass Du den Kehrwert zu $\frac{m}{n}$ findest. Das heißt

$\frac{1}{\frac{m}{n}}=1·\frac{n}{m}=\hspace{0.17em}\frac{n}{m}.$

Zwei Brüche dividieren

Jetzt ist die Zeit gekommen, zwei beliebige Brüche zu dividieren. Im Wesentlichen gehst Du dabei folgendermaßen vor: Den Bruch im Zähler "schiebst" Du erst einmal zur Seite und konzentrierst Dich nur auf den Bruch im Nenner, also den Divisor. Zu diesem bildest du gemäß der vorherigen Regel den Kehrwert. Anschließend multiplizierst Du die beiden Brüche.

Angewendet sieht das dann so aus:

Brüche kannst Du nicht nur durch andere Brüche dividieren, sondern auch durch ganze Zahlen. Außerdem waren bisher alle Brüche positiv. Es können aber auch negative Brüche auftauchen.

Brüche mit ganzer Zahl dividieren

Einen Bruch teilst Du durch eine ganze Zahl, indem Du den Nenner des Bruches mit der ganzen Zahl multiplizierst.

Wenn Du allgemein einen Bruch $\frac{m}{n}$ hast und Du ihn durch eine ganze Zahl $z$ teilen möchtest, so rechnest Du

$\frac{\frac{m}{n}}{z}=\hspace{0.17em}\frac{m}{n}·\frac{1}{z}=\hspace{0.17em}\frac{m}{n·z}.$

Negative Brüche dividieren

Sobald Minuszeichen auftauchen, ist ein wenig Vorsicht geboten. Zunächst ignorierst Du die Minuszeichen und führst die Division wie bisher durch. Anschließend zählst Du, wie viele Minuszeichen vorhanden sind. Es gilt dann:

• Bei einer geraden Anzahl an Minuszeichen hat das Ergebnis am Ende ein positives Vorzeichen;

• Bei einer ungeraden Anzahl an Minuszeichen ist das Ergebnis negativ.

Diese Regel folgt direkt aus der Beobachtung, dass "Minus mal Minus gleich Plus" ist; oder in Symbolen:

$(-1)·(-1)=\hspace{0.17em}+1$

Vielleicht ist Dir aufgefallen, dass Du im letzten Beispiel einen Faktor von 4 hättest kürzen können, denn $12=\hspace{0.17em}4·3$ und $28=\hspace{0.17em}4·7$. Das Kürzen von Brüchen ist im Allgemeinen sehr nützlich, denn Du kannst damit unter anderem große Zahlen vermeiden.

Division von Brüchen durch Kürzen vereinfachen

Da die Division von Brüchen im Wesentlichen eine "versteckte Multiplikation" ist, kannst Du hier dieselben Methoden verwenden, wie bei der Multiplikation von Brüchen.

Gemischte Brüche dividieren

Das letzte Beispiel ist die Division von gemischten Brüchen. Der einzige Unterschied zu den bisherigen Fällen ist ein weiterer Zwischenschritt, in dem Du aus den gemischten Brüche "normale" Brüche machst.

Des Zahlentricks Erklärung – ein kurzer Einblick in Bruchterme

Den Zahlentrick zu Beginn hatten wir damit begonnen, dass Du die Zahl 7 durch dein Alter teilen solltest. Geben wir deinem Alter die Bezeichnung x. Die Division von 7 durch dein Alter kannst Du dann schreiben als

$\frac{7}{x}.$

Die nächste Zahl war 1 geteilt durch das Sechsfache Deines Alters, also

$\frac{1}{6x}.$

Anschließend solltest Du die beiden Zahlen dividieren:

$\frac{\frac{7}{x}}{\frac{1}{6x}}$

Auch wenn das nun Bruchterme sind, kannst Du mit ihnen umgehen wie mit Brüchen. Du rechnest daher:

$\frac{\frac{7}{x}}{\frac{1}{6x}}=\hspace{0.17em}\frac{7}{\cancel{x}}·\frac{6\cancel{x}}{1}=\hspace{0.17em}\frac{7·6}{1}=42$

Die Zahl x kürzt sich demnach und spielt letztlich keine Rolle: Was auch immer Du für die Zahl x verwendest, solange es eine Zahl ungleich Null ist, wird das Ergebnis 42 sein.

Wir haben mit einem Wasserfluss durch ein Rohr begonnen und darauf aufbauend die Division von Brüchen schrittweise entwickelt. So wie aus der potentiellen Energie des Wassers kinetische Energie wird, so soll aus deinem potentiellem Wissen über die Division von Brüchen "wahres" Wissen entstehen.

Wie? Nun, beim Wasser musste es irgendjemand oder irgendwas zum Laufen bringen. Bei Dir, bist Du das selbst.

Brüche dividieren – Übungen

Jetzt ist also die Zeit gekommen, sich die Hände dreckig zu machen. Schnappe Dir Papier und Stift und arbeite die Aufgaben sorgfältig durch. Wenn es nicht so läuft, wie Du Dir das wünscht, halte kurz inne und kehre zum entsprechenden Abschnitt zurück.