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Brüche dividieren

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Mathe

Wir zeigen Dir einen kleinen Zahlentrick. Dafür brauchst Du Deinen Taschenrechner. Zunächst rechnest Du 7 geteilt durch Dein Alter. Notiere Dir diese Zahl. Nun rechnest Du 1 geteilt durch das Sechsfache Deines Alters (Klammern nicht vergessen). Notiere Dir auch diese Zahl.

Jetzt nimmst Du die erste Zahl und teilst sie durch die zweite Zahl. Ohne, dass wir Dein Alter kennen, können wir das Ergebnis voraussagen: Es ist 42, richtig?

Das funktioniert aber nicht nur mit Deinem Alter, sondern mit jeder Zahl ungleich Null. Teste es aus und verwende unterschiedliche Zahlen, die Du statt Deinem Alter verwendest.

Wieso ist das der Fall? Die Antwort liegt darin verborgen, wie die Division von Brüchen funktioniert. Und genau das schauen wir uns im Detail hier an. Dabei beginnen wir mit einem Gedankenexperiment, der Dir dabei helfen soll, eine gewisse Rechenregel zu entdecken.

Brüche dividieren - mit Wasserfluss zur Rechenregel

Du hast ein Rohr, durch das ein Liter Wasser fließen soll. Zu Beginn soll der Vorgang vier Sekunden dauern. Du hast also ein Liter pro vier Sekunden, oder in Symbolen:

Jetzt möchtest Du, dass der Vorgang doppelt so schnell abläuft. Wenn es vorhin vier Sekunden waren, dann sollen es dieses Mal zwei Sekunden sein. Das heißt es sind ein Liter pro zwei Sekunden:

Aber zwei ist doch vier geteilt durch zwei:

Scheinbar haben wir zwar den Nenner halbiert (von 4 auf 2), aber den Bruch als Ganzes verdoppelt (von auf ).

Untersuchen wir das Ganze etwas weiter. Der Vorgang soll noch einmal doppelt so schnell ablaufen. Wie lange darf dann das Wasser für den Durchgang brauchen? Es waren zuvor zwei Sekunden. Also muss das eine Liter Wasser innerhalb einer Sekunde durch das Rohr:

Es ist wieder passiert: Der Nenner wurde halbiert (von 2 auf 1), der Bruch aber verdoppelt (von auf ).

Lass uns das noch einen Schritt weiterführen. Damit der Vorgang nochmals doppelt so schnell abläuft, darf das Wasser nur eine halbe Sekunde brauchen. Du hast also einen Liter pro halbe Sekunde:

Der Nenner wurde erneut halbiert. Und gemäß dem bisherigen Muster bedeutet das, dass der Bruch verdoppelt wird. Davor hatte der Bruch aber den Wert 1. Wir gelangen also zu folgender Beobachtung:

Das wir uns für die Verdopplung entschieden haben, war eine willkürliche Wahl. Du hättest natürlich den Vorgang auch dreimal oder viermal so schnell ablaufen lassen können; in der Tat n-mal so schnell (n ist eine natürliche Zahl größer Null). Dieselbe Begründung führt Dich dann auf

Ist das tatsächlich so? Nun, wir sind hier bei der Mathematik und unsere stärkste Waffe ist die logische Argumentation. Damit bewaffnen wir uns jetzt und gehen auf die Jagd.

Spielereien wie das Gedankenexperiment sind hauptsächlich dazu da, um mögliche Gesetze zu entdecken (oder auch etablierte Gesetze intuitiver zu machen). Solche Spielereien sind aber "verschmutzt" mit persönlichen Vorstellungen, Meinungen und Glaubensrichtungen. Oben erwähnten wir "Rohr". Wahrscheinlich hattest Du dann direkt etwas zylinderförmiges vor Augen. Was aber, wenn eine andere Person sich unter einem Rohr komplett was anderes vorstellt? Für so eine Person könnte die bisherige Argumentation zusammenbrechen. Die Stärke der Mathematik liegt unter anderem darin, dass sie (fast) von solchem "persönlichem Schmutz" befreit ist.

Brüche dividieren - zwei Wege zur Rechenregel

Brüche der Form

für eine natürliche Zahl n größer Null geben wir den Namen Stammbruch. Im Artikel zur Bruchrechnung findest Du viele weitere Details und Beispiele zu Stammbrüchen und Brüchen allgemein.

Der Weg über Stammbrüche

Für die Division von Brüchen ist folgende Beschreibung entscheidend: Der Ausdruck "" stellt eine Zahl dar, mit der Eigenschaft, dass die Summe von n Kopien zur Zahl 1 führt:

Wir können das auch kürzer fassen:

Überlege kurz, wieso diese beiden Ausdrücke dieselben sind. Einen Ausdruck wie zum Beispiel kannst Du auch kürzer schreiben als . Du kannst auch in die umgekehrte Richtung gehen. Wenn Du etwa den Ausdruck hast, dann kannst Du ihn ausschreiben als .

Wenn Du damit schon vertraut bist, könntest Du nun voreilig auf der linken Seite den Faktor n kürzen. Aber widerstehe dieser Versuchung. Stattdessen sehe das als eine Gleichung der Form

Zahl mal Zahl ist gleich 1.

Darauf kannst Du vertraute Methoden zur Manipulation von Gleichungen anwenden. Von Interesse hier ist die Division der gesamten Gleichung durch eine bestimmte Zahl: die Zahl . Wenn Du das machst, erhältst Du folgende Gleichung:

Jetzt darfst Du den gemeinsamen Faktor von auf der linken Seite kürzen. Damit bekommst Du

Wenn Du diese Gleichung umdrehst, hast Du die exakt selbe Gleichung, wie wir sie über das Gedankenexperiment erhalten haben.

Vielleicht bist Du an dieser Stelle etwas verwundert: Es heißt doch "Brüche dividieren" und bisher hatten wir nur den Fall, dass im Nenner ein Bruch steht; und nicht irgendein Bruch, sondern ein Stammbruch. Die Verwunderung ist gerechtfertigt. Weiter unten werden wir Dir aber zeigen, wie daraus die Rechenregel für beliebige Brüche folgt.

Der Weg über Inversen

Für diesen Weg benötigen wir ein Konzept aus "fortgeschrittenere" Mathematik. Aber keine Sorge: Du wirst das Konzept verstehen.

Es ist das Konzept von sogenannten inversen Elementen. Wir beschränken uns hier auf den Fall von Zahlen. Innerhalb der Zahlen spielt die Zahl 1 eine spezielle Rolle: Die Rolle des "Nichtstun" unter Multiplikation.

Wenn Du zum Beispiel die Zahl 4 nimmst und sie mit der Zahl 1 multiplizierst, passiert nichts; oder in Symbolen

Du kannst Dir das auch folgendermaßen veranschaulichen: Stelle Dir die Multiplikation zweier Zahlen als eine Maschine vor, die zwei Zahlen nimmt und anschließend eine Zahl ausspuckt (siehe Abbildung 1). Im Allgemeinen unterscheidet sich diese ausgeworfene Zahl von den zwei Zahlen, die Du der Maschine als Input gegeben hast.

Division von Brüchen Allgemeine Multiplikations-Maschine StudySmarterAbbildung 1: Eine Multiplikations-Maschine nimmt zwei Zahlen als Input und gibt deren Produkt als Output aus.

Wenn Du aber der Maschine als einen Input die Zahl 1 gibst, so ist der Output immer die zweite Input-Zahl (siehe linken Teil der Abbildung 2).

Manchmal kann es auch passieren, dass der Output von zwei Zahlen m und n die Zahl 1 ist (siehe rechten Teil der Abbildung 2); oder formal

Division von Brüchen Multiplikations-Maschine mit 1 einmal als Input und einmal als Output StudySmarterAbbildung 2: Die Multiplikation mit 1 lässt den zweiten Input unberührt (links). Manchmal kann der Output von zwei Zahlen gleich 1 sein (rechts).

Wir sagen dann, dass m das inverse Element zu n ist (oder umgekehrt, dass n das inverse Element zu m ist). Notiert wird das folgendermaßen:

In Worten liest Du das als: Das inverse Element von n ist m.

Quick Test: Wie schreibst Du in dieser Notation die Aussage, dass n das inverse Element von m ist? Antwort: Du schreibst dafür .

Inverse Elemente für Zahlen basteln

Die Zahlen haben einen enormen Vorteil, wenn es um inverse Element geht: Du kannst sie schnell selber basteln. Wenn Du zum Beispiel das inverse Element von 4 haben möchtest, nimmst Du die 4 und steckst sie in den Nenner eines Stammbruches. Das heißt,

Wieso ist das so? Du kannst das direkt nachrechnen

Inverse Elemente für Brüche (a. k. a. Kehrwert bilden)

Umgekehrt kannst Du einen Ausdruck wie auch als Frage verstehen: Mit welcher Zahl muss x multipliziert werden, um die Zahl 1 zu erreichen?

Das ist der Fall bei der Zahl Du weißt aber, dass

gilt. Also ist das zu inverse Element gerade die Zahl n:

Erneut gelangen wir zur selben Gleichung, die wir durch das Gedankenexperiment erhalten haben.

Kehrwerte von Brüchen

Diese Sichtweise erklärt auch die ominöse Regel bei der Bildung von Kehrwerten: Wenn Du einen Bruch gegeben hast und sein Kehrwert bestimmen möchtest, vertauscht Du Zähler und Nenner.

Hast Du zum Beispiel den Bruch , so ist sein Kehrwert . Aber was soll das? Operationen in der Mathematik werden nur dann eingeführt, wenn sie einen Nutzen haben.

Durch die Kehrwertbildung erhältst Du inverse Elemente. Für den Bruch kannst Du das nachrechnen:

Wenn Du einen allgemeinen Bruch hast, so ist sein Kehrwert , denn

Genau das macht die Bildung von Kehrwerten interessant und nützlich.

Brüche dividieren - Regel für allgemeine Brüche

Soweit hatten wir nur den Fall, dass im Nenner ein Stammbruch steht. Auf dem ersten Blick wirkt das wie eine starke Einschränkung, denn nichts hält Dich davon ab, in den Nenner einen beliebigen Bruch zu schreiben.

In der Tat aber folgt aus der Regel für Stammbrüche die Regel für allgemeine Brüche.

Wenn ein Bruch im Nenner steht

Um das zu sehen, reicht es, wenn Du folgende Aussage verstehst:

Den Bruch kannst Du schreiben als

Wenn Du nun diesen Bruch als Nenner verwendest, also

so kannst Du ihn folgendermaßen umschreiben:

Okay, wir waren nicht ganz ehrlich: Zusätzlich zur obigen Aussage über den Bruch brauchst Du noch ein Verständnis über die Multiplikation von Brüchen. Tatsächlich werden wir gleich die Division von Brüchen auf die Multiplikation von Brüchen zurückführen. Jetzt ist also der ideale Zeitpunkt, dein Wissen darüber aufzufrischen.

Wenn Du die vorherige Vertiefung gelesen hast, fällt Dir vielleicht auf, dass gerade der Kehrwert von ist. Der Ausdruck

verlangt von Dir, dass Du das zu inverse Element findest. Aber das ist gerade sein Kehrwert. Das heißt

Quick Test: Wieso ist das inverse Element von ? Antwort: Das inverse Element einer Zahl führt diese Zahl durch Multiplikation zur Zahl 1. Durch direktes Nachrechnen stellst Du fest, dass gilt.

Zwei Brüche dividieren - ein erstes Beispiel

Jetzt sind wir bereit, zwei beliebige Brüche zu dividieren. Im Wesentlichen gehst Du dabei folgendermaßen vor: Den Bruch im Zähler "schiebst" Du erst einmal zur Seite und konzentrierst Dich nur auf dem Bruch im Nenner. Diesen "klappst" Du gemäß der vorherigen Regel nach oben. Anschließend multiplizierst Du die beiden Brüche.

Zwei konkrete Brüche dividieren

Als Beispiel betrachte die Division

Zunächst ignorierst Du den Bruch im Zähler, indem Du schreibst

Jetzt "klappst" Du den Bruch im Nenner nach oben:

Und schließlich führst Du die Multiplikation aus. Insgesamt erhältst Du also

Bei der Division von Brüchen gibt es verschiedene Fälle, die auftreten können. Wir schauen uns nacheinander diese Fälle anhand von Beispielen an.

Brüche dividieren - ein paar ausführliche Beispiele

Für die bisherige Regel gibt es eine Merkhilfe:

Brüche werden dividiert, indem Du mit dem Kehrwert multiplizierst

Dabei musst Du Dich daran erinnern, dass es sich bei dem Kehrwert um den Kehrwert des Bruches im Nenner handelt. Den Bruch im Zähler lässt Du unberührt.

Zwei Brüche dividieren

Betrachte die Division

Der Bruch im Nenner

hat als Kehrwert

Diesen Kehrwert multiplizierst Du nun mit dem Bruch im Zähler:

Bei der Multiplikation von Brüchen kannst Du die Reihenfolge vertauschen. Wir sagen dazu, dass die Multiplikation kommutativ ist. Die Division von Brüchen ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ.

Division von Brüchen ist nicht kommutativ

Wir nehmen die beiden Brüche aus dem vorherigen Beispiel, kehren aber die Division um. Das heißt, Du hast die Division

Der Bruch im Nenner ist dieses Mal und sein Kehrwert ist

Die Multiplikation des Bruches im Zähler mit diesem Kehrwert führt auf:

Da

ist, hast Du hier ein Beispiel, bei dem die Reihenfolge eine Rolle spielt. Also kann die Division von Brüchen nicht kommutativ sein.

Brüche kannst Du nicht nur durch andere Brüche dividieren, sondern auch durch ganze Zahlen. Außerdem waren bisher alle Brüche positiv. Es können aber auch negative Brüche auftauchen.

Brüche mit ganzer Zahl dividieren

Einen Bruch teilst Du durch eine ganze Zahl, indem Du den Nenner des Bruches mit der ganzen Zahl multiplizierst.

Bevor Du Dir das Beispiel ansiehst, überlege kurz, wieso das der Fall ist. Hinweis: Du kannst den Vorgang "Bruch durch ganze Zahl" als "Bruch mal Stammbruch" schreiben. Die Regel folgt dann aus der Regel für die Multiplikation von Brüchen.

Bruch durch ganze Zahl teilen

Du hast den Bruch

und möchtest ihn durch die ganze Zahl teilen. Du kannst das kompakt schreiben als:

Diesen Ausdruck kannst Du wiederum umschreiben zu:

Und jetzt brauchst Du nur noch die Multiplikation von Brüchen anwenden. Damit erhältst Du

Wenn Du allgemeinen einen Bruch hast und Du ihn durch eine ganze Zahl teilen möchtest, so rechnest Du

Negative Brüche dividieren

Sobald Minuszeichen auftauchen, ist ein wenig Vorsicht geboten. Zunächst ignorierst Du die Minuszeichen und führst die Division wie bisher durch. Anschließend zählst Du, wie viele Minuszeichen vorhanden sind. Es gilt dann:

  • Bei einer geraden Anzahl an Minuszeichen, hat das Ergebnis am Ende ein positives Vorzeichen;

  • Bei einer ungeraden Anzahl an Minuszeichen, ist das Ergebnis negativ.

Diese Regel folgt direkt aus der Beobachtung, dass "Minus mal Minus gleich Plus" ist; oder in Symbolen:

In unserem Artikel zur Multiplikation von Brüchen geben wir dir eine geometrische Anschauung, weshalb diese Regel gilt. Wir betrachten dabei die Zahlengerade und stellen uns vor, wie ganze Zahlen sie "transformieren".

Negative Brüche dividieren, wobei das Ergebnis positiv ist

Du hast die Division

Im ersten Schritt blendest Du die Minuszeichen aus, das heißt Du betrachtest die Division

Diese Division kannst Du wie bisher ausführen:

Nun zählst Du, wie viele Minuszeichen vorhanden waren. In diesem Fall sind es 2. Gemäß der obigen Regel hat das Ergebnis also ein positives Vorzeichen:

Negative Brüche dividieren, wobei das Ergebnis negativ ist

Würdest Du im selben Beispiel das Minuszeichen von einen der beiden Brüche entfernen, so hast Du nur noch ein Minuszeichen. Damit ist die Anzahl ungerade und das Ergebnis hat ein negatives Vorzeichen.

Konkret, sagen wir, dass Du das Minuszeichen im Zähler entfernst. Du betrachtest also

Du würdest nun erneut alle Minuszeichen ignorieren und die Division wie bisher durchführen. Du kennst aber bereits das Ergebnis davon. Weil Du nun nur ein Minuszeichen hast, ist das Ergebnis negativ:

Vielleicht ist dir aufgefallen, dass Du im letzten Beispiel einen Faktor von 4 hättest kürzen können, denn und . Das Kürzen von Brüchen ist im Allgemeinen sehr nützlich, denn Du kannst damit unter anderem große Zahlen vermeiden.

Division von Brüchen durch Kürzen vereinfachen

Da die Division von Brüchen im Wesentlichen eine "versteckte Multiplikation" ist, kannst Du hier dieselben Methoden verwenden, wie bei der Multiplikation von Brüchen.

Division von Brüchen mit Kürzen

Du hast die Division

gegeben. Es fällt direkt auf, dass die Zahlen größer sind als in den bisherigen Beispielen. Das ist ein Indiz dafür, dass Du wahrscheinlich kürzen kannst.

Zunächst gehst Du vor wie bisher:

Nun zerlegst Du die großen Zahlen in kleinere Zahlen, mit dem Ziel, gemeinsam Faktoren hervorzulocken:

Gemischte Brüche dividieren

Unser letztes Beispiel ist die Division von gemischten Brüchen. Der einzige Unterschied zu den bisherigen Fällen ist ein weiterer Zwischenschritt, in dem Du aus den gemischten Brüche "normale" Brüche machst.

Für die Umwandlung von gemischten Brüchen zu "normalen" Brüchen brauchst Du die Addition von Brüchen. Schaue Dir also unseren Artikel dazu an, falls Du damit Schwierigkeiten haben solltest.

Zwei gemischte Brüche dividieren

Du hast die beiden gemischten Brüche

und

Der erste gemischte Bruch soll durch den zweiten geteilt werden, das heißt:

Um das zu berechnen, wandelst Du im ersten Schritt die beiden gemischte Brüche um:

Nun kannst Du die beiden Brüche wie gewohnt teilen:

Des Zahlentricks Erklärung - ein kurzer Einblick in Bruchterme

Den Zahlentrick zu Beginn hatten wir damit begonnen, dass Du die Zahl 7 durch dein Alter teilen solltest. Geben wir deinem Alter die Bezeichnung x. Die Division von 7 durch dein Alter kannst Du dann schreiben als

Das ist eine besondere Art von Bruch: ein sogenannter Bruchterm. Der entscheidende Unterschied zu Brüchen ist der, dass Du im Zähler und Nenner nicht nur konkrete Zahlen hast, sondern auch Variablen (hier die Variable x).

Die nächste Zahl war 1 geteilt durch das Sechsfache Deines Alters, also

Anschließend solltest Du die beiden Zahlen dividieren:

Auch wenn das nun Bruchterme sind, kannst Du mit ihnen umgehen wie mit Brüchen. Du rechnest daher:

Die Zahl x kürzt sich demnach und spielt letztlich keine Rolle: Was auch immer Du für die Zahl x verwendest, solange es eine Zahl ungleich Null ist, wird das Ergebnis 42 sein.

Wir haben mit einem Wasserfluss durch einen Rohr begonnen und darauf aufbauend die Division von Brüchen schrittweise entwickelt. So wie aus der potentiellen Energie des Wassers kinetische Energie wird, so soll aus deinem potentiellem Wissen über die Division von Brüchen "wahres" Wissen entstehen.

Wie? Nun, beim Wasser musste es irgendjemand oder irgendwas zum Laufen bringen. Bei Dir, bist Du das selbst.

Brüche dividieren - Übungen

Jetzt ist also die Zeit gekommen, sich die Hände dreckig zu machen. Schnappe Dir Papier und Stift und arbeite die Aufgaben sorgfältig durch. Wenn es nicht so läuft, wie Du Dir das wünscht, halte kurz inne und kehre zum entsprechend Abschnitt zurück.

Aufgabe 1 - Zwei Brüche dividieren

Berechne die folgende Division

und vereinfache dabei so weit wie möglich.

Lösung

Zunächst bildest Du den Kehrwert des Nenners und schreibst das Produkt hin:

Nun versuchst Du die großen Zahlen in kleinere Zahlen zu zerlegen, um gemeinsame Faktoren zu finden:

Aufgabe 2 - Bruch durch ganze Zahlen dividieren

Betrachte den Bruch

Teile diesen Bruch durch jede der folgenden ganzen Zahlen und vereinfache so weit wie möglich:

Lösung

Einen Bruch teilst Du durch eine ganze Zahl, indem Du den Nenner des Bruches mit der ganzen Zahl multiplizierst.

Für die ersten beiden ganzen Zahlen erhältst Du

und

Hier kannst Du nicht kürzen, denn Zähler und Nenner enthalten keine gemeinsamen Faktoren.

Bei (c) hingegen bekommst Du:

Aufgabe 3 - Bruch mit Vorzeichen

Betrachte die beiden Brüche

und

(a) Welches Vorzeichen wird die Division des ersten Bruches durch den zweiten Bruch haben? Spielt die Reihenfolge eine Rolle für das Vorzeichen des Ergebnisses?

(b) Berechne die Division

und vereinfache so weit wie möglich.

Lösung

(a) Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt von der Anzahl an Minuszeichen ab. Da Du hier zwei Minuszeichen hast und damit die Anzahl gerade ist, hat das Ergebnis am Ende ein positives Vorzeichen.

Da das Vorzeichen nur von der Anzahl der Minuszeichen abhängt, spielt die Reihenfolge keine Rolle.

(b) Zunächst ignorierst Du die Minuszeichen und berechnest die Division wie gewohnt:

Nun zählst Du die Anzahl an Minuszeichen. Du hast hier zwei Stück, also hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen. Insgesamt bekommst Du also

Brüche dividieren - Das Wichtigste

  • Möchtest Du einen Bruch durch einen anderen Bruch teilen, so multiplizierst Du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches.
  • Den Kehrwert eines Bruches erhältst Du, indem Du Zähler und Nenner vertauscht.
  • Einen Bruch teilst Du durch eine ganze Zahl, indem Du den Nenner des Bruchs mit der ganzen Zahl multiplizierst. Der Zähler bleibt dabei unberührt.
  • Bei der Division von negativen Brüchenblendest Du zunächst die Minuszeichen aus und führst die Division wie gewohnt durch. Anschließend zählst Du die Minuszeichen:
    • Ist die Anzahl gerade, so hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen;
    • Ist die Anzahl ungerade, so hat das Ergebnis ein negatives Vorzeichen.
  • Das Kürzen ist auch bei der Division von Brüchen hilfreich, um große Zahlen zu vermeiden. Versuche dabei, große Zahlen in Produkte kleinerer Zahlen zu zerlegen, um mögliche gemeinsam Faktoren hervorzulocken.
  • Um gemischte Brüche zu dividieren, wandelst Du sie zunächst in "normale" Brüche um. Danach kannst Du wie gewohnt die Division von Brüchen durchführen.

Finales Brüche dividieren Quiz

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, wie Du zwei Brüche dividierst.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Division von zwei Brüchen "schiebst" Du zunächst den Bruch im Zähler zur Seite. Den Bruch im Nenner "klappst" Du dann nach oben, indem Du seinen Kehrwert bildest. Anschließend multiplizierst Du die beiden Brüche.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Kehrwert eines Bruchs gebildet?

Antwort anzeigen

Antwort

Du bildest den Kehrwert eines Bruchs, indem Du Zähler und Nenner vertauscht.

Frage anzeigen

Frage

Welche besondere Rolle erfüllt der Kehrwert eines Bruchs?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kehrwert eines Bruches bildet sein inverses Element. Wenn Du also einen Bruch mit seinem Kehrwert multiplizierst, so erhältst Du als Ergebnis die Zahl 1.

Frage anzeigen

Frage

Betrachte die folgende Merkhilfe: "Brüche werden dividiert, indem Du mit dem Kehrwert multiplizierst". 


Was genau wird multipliziert und von welchem Kehrwert wird gesprochen?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Kehrwert handelt es sich um den Kehrwert des Bruches im Nenner. Dieser Kehrwert wird dann mit dem Bruch im Zähler multipliziert.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: Bei der Division von Brüchen spielt die Reihenfolge keine Rolle; die Division ist also kommutativ.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Division von Brüchen (und die Division von Zahlen im Allgemeinen) ist nicht kommutativ.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird ein Bruch mit einer ganzen Zahl dividiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Bruch teilst Du durch eine ganze Zahl, indem Du den Nenner des Bruches mit der ganzen Zahl multiplizierst. Der Zähler bleibt dabei unberührt.

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst Du bei der Division von negativen Brüchen vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Im ersten Schritt blendest Du die Minuszeichen aus. Du berechnest dann die Division als gäbe es die Minuszeichen nicht. Anschließend zählst Du die Minuszeichen, die es ursprünglich gab: Ist diese Anzahl gerade, so hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen; bei einer ungeraden Anzahl ist das Ergebnis negativ.

Frage anzeigen

Frage

Welchen Nutzen kann das Kürzen von Brüchen im Allgemeinen haben und wie gehst Du dabei bei der Division von Brüchen vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch das Kürzen kannst Du aus großen Zahlen kleine Zahlen machen. Das vereinfacht die weitere Rechnung. Bei der Division von zwei Brüchen gehst Du dabei folgendermaßen vor: Zunächst schreibst Du das Produkt aus Zähler und Kehrwert des Nenners hin. Dann untersuchst Du, ob Du gemeinsame Faktoren hast.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du gemischte Brüche dividieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Um gemischte Brüche zu dividieren, wandelst Du sie zunächst in "normale" Brüche um. Anschließend kannst Du die Division wie gewohnt ausführen.

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