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Rationale Zahlen

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Rationale Zahlen

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen kennst du vielleicht schon aus unserem Artikel zu den Zahlenarten. In den folgenden Abschnitten geben wir dir noch mehr Infos zu den Rationalen Zahlen.

Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was rationale Zahlen sind, wofür du sie brauchst und wie du Rationale Zahlen identifizieren kannst.

Rationale Zahlen erweitern den Themenbereich Grundrechenarten und begegnen dir in Mathe.

Viel Spaß beim Lernen!

Was sind rationale Zahlen?

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können. Deshalb nennt man die Zahlenart auch „Bruchzahlen“. Ein Bruch, also eine rationale Zahl ist das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen.

Zur Erinnerung:

Ganze Zahlen: Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Neben der Darstellung als Bruch, kann jede rationale Zahl auch als Dezimalzahl dargestellt werden.

Beispielsweise kann das Verhältnis 1:4 mit der Bruchzahl ¼ oder der Dezimalzahl 0,25 dargestellt werden.

Definition der rationalen Zahlen

Rationale Zahlen lassen sich wie folgt definieren:

Rationale Zahlen: Q=a,b∈Z,b≠0=…,-21,-12,-11,0,11,12,21,…

Dabei wird die Zahl oben, also a, Zähler genannt und die Zahl unten, also b, Nenner. Da ein Bruch eine Division darstellt und man nicht durch 0 teilen darf, darf b nicht den Wert 0 annehmen.

Nochmal zur Orientierung die Einordnung in die Zahlenarten: N⊂N0⊂Z⊂Q⊂R⊂C

Wir betrachten hier die Zahlen, die im pinken Bereich sind.

Das heißt jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Andersrum gilt das aber nicht, da eine irrationale Zahl, die zu den reellen Zahlen gehört, z.B. keine rationale Zahl ist.

Die ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Ganze Zahlen können auch auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Auf dem Zahlenstrahl werden Zahlen der Größe nach geordnet, umso kleiner die Zahl umso weiter nach links muss man gehen und für größere Zahlen weiter nach rechts. Der Abstand zwischen benachbarten Zahlen ist immer gleich groß.

Eigentlich deckt man mit den rationalen Zahlen fast den ganzen Zahlenstrahl ab, lediglich die irrationalen Zahlen fehlen noch.

Mit den rationalen Zahlen kommen im Vergleich zu den ganzen Zahlen aber Zahlen dazu, die zwischen zwei Strichen liegen. Zwischen zwei Strichen, also zwei ganzen Zahlen, liegen unendlich viele rationale Zahlen.

Untermengen der rationalen Zahlen

Manchmal ist es in der Mathematik sinnvoll nur Untermengen bzw. Teilmengen einer Zahlenart zu betrachten – so auch bei den rationalen Zahlen:

Untermengen ohne Null

  • Rationale Zahlen ohne Null: Q*=a,b∈Z,a,b≠0
  • Positive rationale Zahlen: Q+=a,b∈N,a,b≠0
  • Negative rationale Zahlen: Q-=a,b∈N,a,b≠0

Untermengen mit Null

  • Nichtnegative rationale Zahlen: Q0+=a,b∈N,b≠0
  • Nichtpositive rationale Zahlen: Q0-=a,b∈N,b≠0

Rechnen mit rationalen Zahlen

Zum Rechnen mit rationalen Zahlen, solltest du am besten unseren Artikel zur Bruchrechnung anschauen sowie den Artikel zum Brüche kürzen. Grundsätzlich gibt es aber die gleichen Rechenoperationen, die du schon kennst.

Übungsaufgaben zu den rationalen Zahlen

Um dein Verständnis zu den rationalen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch ein paar Übungen für dich

Aufgabe: Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der ganzen Zahlen?

  1. 5
  2. 0,999
  3. 0
  4. ½

Lösung:

  1. 5 ist eine rationale Zahl
  2. 0,999 ist eine rationale Zahl
  3. 0 ist eine rationale Zahl
  4. ½ ist eine rationale Zahl

Aufgabe: Vervollständige die folgende Tabelle, indem du die Darstellung als Bruch bzw. als Dezimalzahl ergänzt.

Bruch

½

10/3

3/7

-3/1

Dezimalzahl

0,000

2,0

8,2

Lösung:

Bruch*

½

10/3

0/1

3/10

4/2

82/10

-3/1

Dezimalzahl

0,5

3,3

0,000

0,3

2,0

8,2

-3,0

*Hinweis:

für die Darstellung als Bruch gibt es unendlich viele Möglichkeiten! Mit einem Taschenrechner kannst du aber ganz einfach überprüfen, ob du zur selben Dezimalzahl kommst.

Aufgabe: Wie lautet das Ergebnis für die folgenden Rechenaufgaben?

(Kürze Brüche soweit möglich!)

  1. 1810+1020
  2. 20015-10030
  3. 1261412
  4. 807:95

Lösung:

  1. 1810+1020=2310
  2. 20015-10030=10
  3. 1261412=73
  4. 807:95=40063

Das Wichtigste zu den Rationalen Zahlen auf einen Blick!

Rationale Zahlen beschreiben das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen. Sie können als Bruch dargestellt werden, wobei die obere Zahl Zähler und die untere Zahl Nenner genannt wird.

Rationale Zahlen: Q=a,b∈Z,b≠0=…,-21,-12,-11,0,11,12,21,…

Die Zahlenarten im Überblick

Hier hast du nochmal alle Zahlenarten im Überblick. Wenn du die ganzen Zahlen jetzt schon verstanden hast, kannst du ja bei der nächsten Zahlenart weitermachen!

Unser Tipp für Euch

Wenn du mit rationalen Zahlen rechnest, hilft es oft die Brüche zu kürzen. Dann hat man gleich viel mehr Überblick. Eigentlich sind rationale Zahlen aber nur eine Division, also nichts neues!

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