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Rationale Zahlen

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind eine der grundlegenden Zahlenmengen. In dieser Erklärung erfährst Du mehr über die rationalen Zahlen, was sie sind und wie man mit ihnen rechnet. Du wirst die rationalen Zahlen am Zahlenstrahl sehen und auch einige weitere Beispiele präsentiert bekommen, um dein Wissen zu vertiefen.

Was sind rationale Zahlen?

Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind eine der grundlegenden Zahlenmengen. Zu den rationalen Zahlen zählen alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Damit schließen die rationalen Zahlen auch die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) ein.

Rationale Zahlen Rationale Zahlen Zeichen StudySmarterAbb - 1: Rationale Zahlen Zeichen

Rationale Zahlen – Zeichen

Das Zeichen für die Menge der rationalen Zahlen ist \(\mathbb{Q}\).

Die Menge der rationalen Zahlen umfasst ebenfalls die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\).

ZeichenBeschreibung
\( \mathbb{N} \)Natürliche Zahlen
\( \mathbb{Z} \)Ganze Zahlen
\( \mathbb{Q} \)Rationale Zahlen

Rationale Zahlen – Zahlenstrahl

Um die rationalen Zahlen auf einem Zahlenstrahl, oder einer Zahlengeraden richtig darzustellen, kannst Du Dich an den ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl orientieren und die rationalen Zahlen zwischen den jeweiligen ganzen Zahlen einzeichnen.

In dieser Abbildung siehst Du einige rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

Rationale Zahlen Zahlenstrahl StudySmarter

Zu erkennen sind die rationalen Zahlen \( \mathbb{Q}= \left\{ -3,75;-1;\frac{1}{2};\sqrt{4};4,25 \right\}\).

Zwischen zwei Strichen, also zwei ganzen Zahlen, liegen jedoch unendlich viele rationale Zahlen.

Rationale Zahlen – Beispiele

Die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet unendlich viele Zahlen, da es unendlich viele Zahlen \(x\) und \(y\) gibt, aus denen ein Bruch gebildet werden kann.

  • \(137\) ist eine natürliche Zahl und damit auch eine rationale Zahl
  • \(- 8\) ist eine ganze Zahl und damit auch eine rationale Zahl
  • \(\frac{5}{8}\) ist ein Bruch und damit eine rationale Zahl
  • \(0{,}5\) ist eine endliche Dezimalzahl, lässt sich auch als Bruch \(\frac{1}{2}\) schreiben und ist damit eine rationale Zahl
  • \(0{,}\overline{6}\) ist eine periodische Dezimalzahl und lässt sich so als Bruch schreiben \(\frac{2}{3}\), ist also eine rationale Zahl

Rationale Zahlen – Rechnen

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen können die Grundrechenoperationen \(+,\,-,\,\cdot\,,:\) angewendet werden. Du kannst jede Rechenart mit jeder rationalen Zahl anwenden und bekommst immer eine rationale Zahl heraus. Deshalb wird die Menge der rationalen Zahlen bezüglich der Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch 0) auch als abgeschlossen bezeichnet.

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen kommt es auch darauf an, wie Deine Zahlen gegeben sind. Wenn zwei Zahlen x und y addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden sollen, so ist es hilfreich, wenn beide Zahlen entweder als Bruch oder beide als Dezimalzahl vorliegen.

Wie Du einen Bruch in Dezimalzahl oder eine Dezimalzahl in Bruch umwandeln kannst, kannst Du in den Erklärungen dazu nachlesen.

Rationale Zahlen – Regeln

Um mit den rationalen Zahlen und den Grundrechenoperationen zu rechnen, kannst Du die gängigen Regeln und Rechengesetze anwenden:

Neben diesen Rechenregeln gibt es auch noch die Punkt-vor-Strichrechnung, das Potenzgesetz, das Wurzelgesetz und Regeln zum Klammern auflösen.

Wenn Du nicht mehr sicher bist, wie diese Rechenregeln funktionieren, dann schau gern in den zugehörigen Artikeln nach.

Rationale Zahlen addieren & subtrahieren

Rationale Zahlen können addiert und subtrahiert werden. Hier hast Du Beispiele für diese Berechnung.

Aufgabe 1

Du hast \(8\) Kekse und musst davon \(3\) an Deinen Freund abgeben? Wie viele Kekse hast Du dann noch?

Lösung

Wenn Du \(8\) Kekse hast und davon \(3\) abgeben musst, dann musst Du die \(3\) von der \(8\) subtrahieren.

\[8-3=5\]

Du hast am Ende noch \(5\) Kekse über.

Aufgabe 2

Angenommen Dein Freund möchte nur \(1{,}5\) Kekse essen und gibt Dir \(1{,}5\) Kekse wieder. Wie viele Kekse hast Du dann?

Lösung

Wenn Du jetzt noch \(5\) Kekse hast und Dein Freund Dir \(1{,}5\) Kekse wieder gibt, dann musst Du auf die \(5\) Kekse \(1{,}5\) rauf addieren.

\[5+1{,}5=6{,}5\]

Jetzt hast Du insgesamt \(6\) Kekse.

Rationale Zahlen multiplizieren

Zwei rationale Zahlen kannst Du auch miteinander multiplizieren, wenn Du alle Rechenregeln beachtest

Aufgabe 3

Du spielst ein Gewinnspiel und bezahlst dafür \(3\text{€}\). Du gewinnst und bekommst Du das anderthalb Fache wieder zurück. Wie viel Geld hast Du nun?

Lösung

Um zu berechnen, wie viel Geld Du bekommst, musst Du \(3\text{€}\) mit der Zahl \(1{,}5\) multiplizieren.

\[3\text{€} \cdot 1{,}5=4{,}5\text{€}\]

Du hast nach dem Gewinnspiel insgesamt \(4{,}5\text{€}\)

Rationale Zahlen dividieren

Beim Dividieren von rationalen Zahlen müssen auch immer alle Rechengesetze beachtet werden.

Aufgabe 4

Stell Dir vor, Du zahlst \(72{,}34\text{€}\) für \(35 \, l\) Diesel. Wie viel kostet dann \(1\,l\) Diesel?

Lösung

Um herauszufinden, wie viel \(1\, l\) Diesel kostet, musst Du die \(72{,}34\text{€}\) durch die \(35\,l\) dividieren.

\[72{,}34\text{€}:35\, l=2{,}07\text{€}\]

Für einen Liter Diesel, musst Du 2{,}07\text{€}\) bezahlen.

Rationale Zahlen – Weitere Aufgaben mit Lösung

In diesem Abschnitt findest Du ein paar Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen zu rationalen Zahlen vertiefen kannst.

Aufgabe 5

Welche der folgenden Zahlen sind rationale Zahlen?

  1. \(4{,}5\)
  2. \(\pi\)
  3. \(\frac{3}{2}\)
  4. \(\sqrt{3}\)
  5. \(1\)

Lösung

\(4{,}5\,\,,\frac{3}{2}\) und \(1\) gehören zu den rationalen Zahlen.

Aufgabe 6

Stell Dir vor, Du zahlst \(78{,}56\text{€}\) für \(40 \, l\) Benzin. Wie viel kostet dann \(1\,l\) Benzin?

Lösung

Um herauszufinden, wie viel \(1\, l\) Benzin kostet, musst Du die \(78{,}56\text{€}\) durch die \(40\,l\) dividieren.

\[78{,}56\text{€}:40\, l=1{,}96\text{€}\]

Für einen Liter Benzin, musst Du 1{,}96\text{€}\) bezahlen.

Rationale Zahlen – Das Wichtigste

  • Rationale Zahlen sind eine Zahlenmenge, die alle Zahlen einschließt, die sich als Bruch schreiben lassen. Dazu gehören positive, negative, Dezimalzahlen und Brüche.
  • Das Zeichen der rationalen Zahlen ist: \(\mathbb{Q}\)
  • Die Menge der rationalen Zahlen kann auch geschrieben werden als die Menge aller Brüche: \[\mathbb{Q}=\left\{\frac{x}{y};\,x \in \mathbb{Z};\,y\in\mathbb{Z}\backslash \{0\} \right\}\]
  • Beim Rechnen mit rationalen Zahlen können die Grundrechenoperationen \(+,\,-,\,\cdot\,,:\) angewendet werden.
  • Beim Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die gängigen Rechenregeln.

Nachweise

  1. Körner (2011). Grundwissen Rationale Zahlen: 7.-10. Klasse. Bergedorfer Kopiervorlagen.
  2. Harnischfeger; Juen (2013). Ganze Zahlen - Rationale Zahlen. Klippert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben lassen, oder als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.

Ja, eine rationale Zahl kann auch negativ sein.

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben. Irrationale Zahlen lassen sich im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben.

Das Zeichen für die rationalen Zahlen ist ein Q mit einem Doppelstrich.

Finales Rationale Zahlen Quiz

Frage

Nenne das Zeichen der rationalen Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mathbb{Q}\)

Frage anzeigen

Frage

Was sind die rationalen Zahlen? Beschreibe diese.

Antwort anzeigen

Antwort

Rationale Zahlen ist eine Zahlenmenge, die alle endlichen Zahlen meint. Dazu gehören positive, negative, Dezimalzahlen und Brüche. Periodische Zahlen gehören nicht dazu.

Frage anzeigen

Frage

Nenne eine alternative Bezeichnung der rationalen Zahlen in der Schulmathematik.

Antwort anzeigen

Antwort

Bruchzahlen

Frage anzeigen

Frage

Welche Zahlenmenge ist das Gegenteil von den rationalen Zahlen? Nenne diese.

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Entscheide welche der folgenden Zahlen nicht Teil der Menge der rationalen Zahlen sind.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\pi\)

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob die rationalen Zahlen auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden können.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, sie können zwischen die ganzen Zahlen gezeichnet werden. Allerdings sind zwischen zwei Strichen, also zwei ganzen Zahlen, unendlich viele rationale Zahlen.   

Frage anzeigen

Frage

Berechne \(\frac{5}{6}+\frac{4}{30}\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\frac{5}{6}+\frac{4}{30}&=\frac{25}{30}+\frac{4}{30}\\&=\frac{29}{30}\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Du bist im Supermarkt und kaufst zwei Dinge. Eins für \(7{,}80\text{€}\) und eins für \(9{,}50\text{€}\). Wie viel Geld gibst Du aus?

Antwort anzeigen

Antwort

\[17{,}3\text{€}\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Menge der rationalen Zahlen allgemein.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen kann beschrieben werden als:


\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{x}{y};\,x \in \mathbb{Z};\,y\in\mathbb{Z}\backslash \{0\} \right\}\]

Frage anzeigen

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