Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind eine der grundlegenden Zahlenmengen. In dieser Erklärung erfährst Du mehr über die rationalen Zahlen, was sie sind und wie man mit ihnen rechnet. Du wirst die rationalen Zahlen am Zahlenstrahl sehen und auch einige weitere Beispiele präsentiert bekommen, um dein Wissen zu vertiefen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Was sind rationale Zahlen?

    Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind eine der grundlegenden Zahlenmengen. Zu den rationalen Zahlen zählen alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Damit schließen die rationalen Zahlen auch die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) ein.

    Rationale Zahlen Rationale Zahlen Zeichen StudySmarterAbb - 1: Rationale Zahlen Zeichen

    Rationale Zahlen – Zeichen

    Das Zeichen für die Menge der rationalen Zahlen ist \(\mathbb{Q}\).

    Die Menge der rationalen Zahlen umfasst ebenfalls die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\).

    ZeichenBeschreibung
    \( \mathbb{N} \)Natürliche Zahlen
    \( \mathbb{Z} \)Ganze Zahlen
    \( \mathbb{Q} \)Rationale Zahlen

    Rationale Zahlen – Zahlenstrahl

    Um die rationalen Zahlen auf einem Zahlenstrahl, oder einer Zahlengeraden richtig darzustellen, kannst Du Dich an den ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl orientieren und die rationalen Zahlen zwischen den jeweiligen ganzen Zahlen einzeichnen.

    In dieser Abbildung siehst Du einige rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

    Rationale Zahlen Zahlenstrahl StudySmarter

    Zu erkennen sind die rationalen Zahlen \( \mathbb{Q}= \left\{ -3,75;-1;\frac{1}{2};\sqrt{4};4,25 \right\}\).

    Zwischen zwei Strichen, also zwei ganzen Zahlen, liegen jedoch unendlich viele rationale Zahlen.

    Rationale Zahlen – Beispiele

    Die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet unendlich viele Zahlen, da es unendlich viele Zahlen \(x\) und \(y\) gibt, aus denen ein Bruch gebildet werden kann.

    • \(137\) ist eine natürliche Zahl und damit auch eine rationale Zahl
    • \(- 8\) ist eine ganze Zahl und damit auch eine rationale Zahl
    • \(\frac{5}{8}\) ist ein Bruch und damit eine rationale Zahl
    • \(0{,}5\) ist eine endliche Dezimalzahl, lässt sich auch als Bruch \(\frac{1}{2}\) schreiben und ist damit eine rationale Zahl
    • \(0{,}\overline{6}\) ist eine periodische Dezimalzahl und lässt sich so als Bruch schreiben \(\frac{2}{3}\), ist also eine rationale Zahl

    Rationale Zahlen – Rechnen

    Beim Rechnen mit rationalen Zahlen können die Grundrechenoperationen \(+,\,-,\,\cdot\,,:\) angewendet werden. Du kannst jede Rechenart mit jeder rationalen Zahl anwenden und bekommst immer eine rationale Zahl heraus. Deshalb wird die Menge der rationalen Zahlen bezüglich der Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch 0) auch als abgeschlossen bezeichnet.

    Beim Rechnen mit rationalen Zahlen kommt es auch darauf an, wie Deine Zahlen gegeben sind. Wenn zwei Zahlen x und y addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden sollen, so ist es hilfreich, wenn beide Zahlen entweder als Bruch oder beide als Dezimalzahl vorliegen.

    Wie Du einen Bruch in Dezimalzahl oder eine Dezimalzahl in Bruch umwandeln kannst, kannst Du in den Erklärungen dazu nachlesen.

    Rationale Zahlen – Regeln

    Um mit den rationalen Zahlen und den Grundrechenoperationen zu rechnen, kannst Du die gängigen Regeln und Rechengesetze anwenden:

    Neben diesen Rechenregeln gibt es auch noch die Punkt-vor-Strichrechnung, das Potenzgesetz, das Wurzelgesetz und Regeln zum Klammern auflösen.

    Wenn Du nicht mehr sicher bist, wie diese Rechenregeln funktionieren, dann schau gern in den zugehörigen Artikeln nach.

    Rationale Zahlen addieren & subtrahieren

    Rationale Zahlen können addiert und subtrahiert werden. Hier hast Du Beispiele für diese Berechnung.

    Aufgabe 1

    Du hast \(8\) Kekse und musst davon \(3\) an Deinen Freund abgeben? Wie viele Kekse hast Du dann noch?

    Lösung

    Wenn Du \(8\) Kekse hast und davon \(3\) abgeben musst, dann musst Du die \(3\) von der \(8\) subtrahieren.

    \[8-3=5\]

    Du hast am Ende noch \(5\) Kekse über.

    Aufgabe 2

    Angenommen Dein Freund möchte nur \(1{,}5\) Kekse essen und gibt Dir \(1{,}5\) Kekse wieder. Wie viele Kekse hast Du dann?

    Lösung

    Wenn Du jetzt noch \(5\) Kekse hast und Dein Freund Dir \(1{,}5\) Kekse wieder gibt, dann musst Du auf die \(5\) Kekse \(1{,}5\) rauf addieren.

    \[5+1{,}5=6{,}5\]

    Jetzt hast Du insgesamt \(6\) Kekse.

    Rationale Zahlen multiplizieren

    Zwei rationale Zahlen kannst Du auch miteinander multiplizieren, wenn Du alle Rechenregeln beachtest

    Aufgabe 3

    Du spielst ein Gewinnspiel und bezahlst dafür \(3\text{€}\). Du gewinnst und bekommst Du das anderthalb Fache wieder zurück. Wie viel Geld hast Du nun?

    Lösung

    Um zu berechnen, wie viel Geld Du bekommst, musst Du \(3\text{€}\) mit der Zahl \(1{,}5\) multiplizieren.

    \[3\text{€} \cdot 1{,}5=4{,}5\text{€}\]

    Du hast nach dem Gewinnspiel insgesamt \(4{,}5\text{€}\)

    Rationale Zahlen dividieren

    Beim Dividieren von rationalen Zahlen müssen auch immer alle Rechengesetze beachtet werden.

    Aufgabe 4

    Stell Dir vor, Du zahlst \(72{,}34\text{€}\) für \(35 \, l\) Diesel. Wie viel kostet dann \(1\,l\) Diesel?

    Lösung

    Um herauszufinden, wie viel \(1\, l\) Diesel kostet, musst Du die \(72{,}34\text{€}\) durch die \(35\,l\) dividieren.

    \[72{,}34\text{€}:35\, l=2{,}07\text{€}\]

    Für einen Liter Diesel, musst Du 2{,}07\text{€}\) bezahlen.

    Rationale Zahlen – Weitere Aufgaben mit Lösung

    In diesem Abschnitt findest Du ein paar Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen zu rationalen Zahlen vertiefen kannst.

    Aufgabe 5

    Welche der folgenden Zahlen sind rationale Zahlen?

    1. \(4{,}5\)
    2. \(\pi\)
    3. \(\frac{3}{2}\)
    4. \(\sqrt{3}\)
    5. \(1\)

    Lösung

    \(4{,}5\,\,,\frac{3}{2}\) und \(1\) gehören zu den rationalen Zahlen.

    Aufgabe 6

    Stell Dir vor, Du zahlst \(78{,}56\text{€}\) für \(40 \, l\) Benzin. Wie viel kostet dann \(1\,l\) Benzin?

    Lösung

    Um herauszufinden, wie viel \(1\, l\) Benzin kostet, musst Du die \(78{,}56\text{€}\) durch die \(40\,l\) dividieren.

    \[78{,}56\text{€}:40\, l=1{,}96\text{€}\]

    Für einen Liter Benzin, musst Du 1{,}96\text{€}\) bezahlen.

    Rationale Zahlen – Das Wichtigste

    • Rationale Zahlen sind eine Zahlenmenge, die alle Zahlen einschließt, die sich als Bruch schreiben lassen. Dazu gehören positive, negative, Dezimalzahlen und Brüche.
    • Das Zeichen der rationalen Zahlen ist: \(\mathbb{Q}\)
    • Die Menge der rationalen Zahlen kann auch geschrieben werden als die Menge aller Brüche: \[\mathbb{Q}=\left\{\frac{x}{y};\,x \in \mathbb{Z};\,y\in\mathbb{Z}\backslash \{0\} \right\}\]
    • Beim Rechnen mit rationalen Zahlen können die Grundrechenoperationen \(+,\,-,\,\cdot\,,:\) angewendet werden.
    • Beim Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die gängigen Rechenregeln.

    Nachweise

    1. Körner (2011). Grundwissen Rationale Zahlen: 7.-10. Klasse. Bergedorfer Kopiervorlagen.
    2. Harnischfeger; Juen (2013). Ganze Zahlen - Rationale Zahlen. Klippert.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Rationale Zahlen

    Was sind rationale Zahlen einfach erklärt? 

    Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben lassen, oder als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.

    Kann eine rationale Zahl negativ sein? 

    Ja, eine rationale Zahl kann auch negativ sein.

    Was ist der Unterschied zwischen irrationalen und rationalen Zahlen? 

    Rationale Zahlen lassen sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben. Irrationale Zahlen lassen sich im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben.

    Was ist das Zeichen für rationale Zahlen? 

    Das Zeichen für die rationalen Zahlen ist ein Q mit einem Doppelstrich.

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