Der höchste Exponent einer quadratischen Gleichung ist x2. Hier lernst Du eine besondere Form der quadratischen Gleichung kennen; sie heißt biquadratische Gleichung. Diese biquadratischen Gleichungen haben ein Alleinstellungsmerkmal, welches sie von allen anderen Gleichungen abgrenzt: Ihr höchster Exponent ist .
Biquadratische Gleichungen – Erklärung & Definition
Diese Variable muss in einer biquadratischen Gleichung vorkommen, um sie so nennen zu können. Oftmals haben biquadratische Gleichungen noch eine zweite Variable zweiten Grades.
Wie oben erwähnt, ist eine biquadratische Gleichung eine Gleichung vierten Grades, die keine ungeraden Exponenten enthält. Die allgemeine Formel für eine biquadratische Gleichung ist oder .
Diese allgemeine biquadratische Gleichung nennt man auch Normalform. Sie wird vor allem für die Verwendung der pq-Formel beim Lösen einer biquadratischen Gleichung wichtig.
Rechnen mit einer biquadratischen Gleichung
Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung vierten Grades, welche in keine der herkömmlichen Formeln, wie der pq-Formel oder der Mitternachtsformel passt. Deshalb ist immer eine Substitution nötig, bevor Du mit dem Rechnen anfangen kannst.
Bevor Dir im nächsten Abschnitt zwei Möglichkeiten gezeigt werden, wie Du die Nullstellen einer biquadratischen Gleichung berechnen kannst, kommt noch eine kurze Wiederholung zur Substitution und Resubstitution.
Substitution und Resubstitution – Wiederholung
Die Substitution wendest Du an, um eine Gleichung oder Funktion, dessen höchster Exponent höheren Grades als ist, in eine quadratische Gleichung oder Funktion zu bringen. Die Resubstitution ist das Gegenteil der Substitution. Wenn Du beispielsweise eine Gleichung mit substituierst, musst Du als letzten Schritt in Deiner Rechnung Deine berechneten Nullstellen wieder mit resubstituieren, da Du immer Deine Nullstellen in deiner Ursprungsvariable angeben sollst.
Die Substitution setzt Du oftmals in Lösungen zu Aufgaben ein, bei denen Du die Nullstellen von Gleichungen und Funktionen höheren Grades berechnen sollst.
Durch die Resubstitution kommen immer mehrere Lösungen heraus, solange Du für z kein negatives Ergebnis bekommst. Am Ende Deiner Rechnung solltest Du immer so viele Lösungen haben, wie die höchste Gradzahl deiner Gleichung ist. Beispielsweise sollte eine Gleichung sechsten Grades (höchster Exponent ) 6 Lösungen haben.
Aus einer biquadratischen Gleichung wird durch eine Substitution immer eine quadratische Gleichung, sodass Du alle möglichen Lösungsansätze zum Lösen einer quadratischen Gleichung anwenden kannst. Wie oben erwähnt, werden Dir nachfolgend zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen von biquadratischen Gleichungen gezeigt.
1. Möglichkeit: Nullstellen berechnen mit der pq-Formel
Die pq-Formel kann nur auf quadratische Gleichungen in der Normalform angewendet werden. Wenn Dir in einer Aufgabe die Normalform in dieser Form begegnet, nennt man sie gemischt-quadratisch mit Absolutglied. Die Variablen p und q kannst Du dann aus der Gleichung ablesen. Der Leitkoeffizient der Normalform muss immer 1 sein. Wenn er das nicht ist, kannst Du diese biquadratische Gleichung nicht mit der pq-Formel lösen.
Ein Absolutglied ist der Teil einer Gleichung, der keine Variable hat; also nur eine Zahl ist. Der Leitkoeffizient steht immer vor der Variable mit dem höchsten Exponenten. Dieser zeigt an, wie sich der Graph der Gleichung bewegt.
Die Normalform kann auch folgendermaßen aussehen:
| In diesem speziellen Fall nennt man die Gleichung eine reinquadratische Gleichung ohne Absolutglied q. Hier sind p und q jeweils 0. |
| Diese Normalform nennt man reinquadratisch mit Absolutglied. Hier ist p wieder 0 und q ist -5. |
| Hier heißt die Gleichung gemischt-quadratisch ohne Absolutglied. P ist hier 5 und q ist 0. |
Auf jede dieser Abwandlungen der Normalform kannst Du die pq-Formel anwenden. Wenn eine der beiden Variablen nicht gegeben ist, setzt Du für sie 0 an ihrer jeweiligen Position in der Formel ein.
Die allgemeine pq-Formel lautet:
Aufgabe
Berechne die Nullstellen folgender biquadratischer Gleichung mit der pq-Formel
Lösung
1. Schritt: Gleichung in Normalform bringen
Die angegebene biquadratische Gleichung ist hier nicht in ihrer Normalform gegeben. Suche deswegen nach einem geeigneten Teiler, mit dem Du den Leitkoeffizienten auf 1 kürzen kannst.
2. Schritt: Substitution mit
Eine Gleichung, die Variablen mit größeren Exponenten als 2 hat, kannst Du nicht in die pq-Formel einsetzen. Substituiere deswegen immer als zweiten Schritt. Die Substitution eignet sich hier besonders gut, da biquadratische Gleichungen nur gerade Exponenten haben dürfen.
3. Schritt: p und q herausfinden
P und q herauszufinden, kann manchmal etwas schwierig sein, vor allem, wenn die Gleichung nicht sortiert ist. In diesem Beispiel sind p und q farblich hervorgehoben, so dass es Dir für das erste Mal leichter fällt. Wichtig ist, dass Du immer die vorhergehenden Vorzeichen mit beachtest.
4. Schritt: pq-Formel anwenden
Wenn Du p und q herausgelesen hast, kannst Du sie in die allgemeine Form der pq-Gleichung einsetzen und anfangen diese zu lösen.
5. Schritt: Resubstituieren mit
Nach einer Substitution musst Du immer resubstituieren. So kommst Du auf Deine gesuchten 4 Nullstellen.
Somit hast Du die 4 Nullstellen der Gleichung mit Hilfe der pq-Formel berechnet.
Abbildung 1: Graph der ersten berechneten Gleichung
2. Möglichkeit: Nullstellen berechnen mit der Mitternachtsformel
Eine biquadratische Gleichung kannst Du, statt mit der pq-Formel, auch mit der Mitternachtsformel lösen. Mit der Mitternachtsformel gehst Du dieselben Schritte durch. Nützlich ist diese vor allem, wenn Du die gegebene Gleichung nicht durch Kürzen zur Normalform der pq-Formel bringen kannst und die Gleichung der allgemeinen Form entspricht.
Die allgemeine Mitternachtsformel lautet:
Aufgabe
Berechne die Nullstellen der biquadratischen Gleichung
Lösung
Den Leitkoeffizienten der gegeben biquadratischen Gleichung kannst Du durch Kürzen nicht auf 1 bringen, ohne Brüche in deiner gesamten Gleichung zu haben. Wende deswegen die Mitternachtsformel an.
1. Schritt: Substitution mit
Genauso wie in die pq-Formel, kannst Du auch in die Mitternachtsformel nur quadratische Gleichungen einsetzen. Deswegen musst Du hier wieder als erstes subsitutieren.
2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden
Die verschiedenen Konstanten, die Du in die Mitternachtsformel einsetzen musst, sind wieder farblich markiert.
3. Schritt: Resubstitution mit
Genau wie bei der pq-Formel, musst Du auch bei der Mitternachtsformel nach jeder Substitution wieder resubstituieren.
Die Nullstellen und können nicht berechnet werden, da Du negative Wurzeln nicht lösen kannst.
Somit hast Du für die biquadratische Gleichung zwei Nullstellen an den Stellen und mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnet.
Abbildung 2: Graph der zweiten berechneten Gleichung
Lösen von biquadratischen Gleichungen – Übungen
Hier werden Dir ein paar biquadratische Gleichungen angegeben, von welchen Du immer die Nullstellen berechnen sollst. Überprüfe zuerst immer, ob Du die pq-Formel anwenden kannst oder die Mitternachtsformel nehmen musst. Orientiere Dich anschließend an den Anleitungen weiter oben im Artikel.
Aufgabe
Berechne die Nullstellen folgender biquadratischer Gleichung
Lösung
1. Schritt: auf Normalform bringen
2. Schritt: Substitution mit
3. Schritt: p und q herauslesen
4. Schritt: pq-Formel anwenden
5. Schritt: Resubstitution mit
Die biquadratische Gleichung hat 2 Nullstellen .
Aufgabe
Finde die Nullstellen der biquadratischen Gleichung
Lösung
1. Schritt: auf Normalform bringen
Die Gleichung ist in der Normalform gegeben.
2. Schritt: Substitution mit
3. Schritt: p und q herauslesen
4. Schritt: pq-Formel anwenden
5. Schritt: Resubstitution mit
Die biquadratische Gleichung hat 4 Nullstellen.
Aufgabe
Berechne die Nullstellen der biqudratischen Gleichung
Lösung
1. Schritt: zur Normalform bringen
Die Gleichung kann nicht zur Normalform für die pq-Formel gebracht werden. Verwende stattdessen hier die Mitternachtsformel.
2. Schritt: Substitution mit
3. Schritt: Mitternachtsformel anwenden
4. Schritt: Resubstitution mit
Die biquadratische Gleichung hat die 4 Nullstellen .
Lösen von biquadratischen Gleichungen – Das Wichtigste
- Der höchste Exponent einer biquadratischen Gleichung ist immer .
- Eine biquadratische Formel hat keine ungeraden Exponenten.
- Man kann die Nullstellen von biquadratischen Gleichungen entweder mit der pq-Formel oder mit der Mitternachtsformel berechnen.
- Für die pq-Formel muss die gegebene biquadratische Gleichung immer in der Normalform sein.
- Andere mögliche Abwandlungen der Normalform sind z. B. ; oder .
- Bevor Du die Lösung der biquadratischen Gleichung angehst, musst Du vorher immer erst substituieren.
- Nachdem Du erfolgreich die Nullstellen der substituierten Gleichung berechnet hast, musst Du resubstituieren und erhältst damit die 2 oder maximal 4 Nullstellen der biquadratischen Gleichung.
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