Exponentialgleichungen lösen

Q: Was ist eine Exponentialgleichung?

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung bei der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten zu finden ist.

Algebra

Analysis

Geometrie

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Ab wann hast Du $2 000 €$ auf Deinem Sparkonto, wenn Du jedes Jahr $2 %$ Zinsen auf Deine $1 000 €$ Startkapital bekommst? Wie viele Generationen braucht es eine Bevölkerung von $10 000$ Menschen auf $100 000$ anwachsen zu lassen, wenn jedes Pärchen 3 Kinder bekommt?

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Das sind Fragen, die sich mit Exponentialgleichungen beantworten lassen. Wie Du diese löst, kannst Du hier lernen!

Exponentialgleichungen Grundlagenwissen

In der Mathematik begegnen Dir verschiedene Arten von Gleichungen. Darunter auch die sogenannten Exponentialgleichungen. Was kennzeichnet diese Art von Gleichung?

Exponentialgleichung – Definition

Ein Exponent an sich gibt an, wie oft Du die Basis mit sich selbst multiplizierst. Eine Exponentialgleichung enthält genau so einen Exponenten dann an entscheidender Stelle.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten zu finden ist. Die folgende Grundform mit der Basis a ( $a > 0$ und $a \neq 1$ ) kann eine Exponentialgleichung annehmen:

$a^{x} = b$

Dabei ist a die Basis, welche mit dem Exponenten x potenziert wird und die dann den Potenzwert b (oder auch Numerus) ergeben. Die Buchstaben a und b stehen für Konstanten.

Es ist möglich, dass eine Exponentialgleichung ausschließlich die Komponenten der Definition oben enthält.

Eine Exponentialgleichung kann etwa wie folgt aussehen:

$2^{x} = 1$

Sie kann aber auch Komponenten aus anderen Teilen der Analysis nutzen, wie zum Beispiel:

$3^{x^{2} - 23} = 9^{\frac{x}{2} - 1, 5}$

Anstatt auf die 2, die 3, die 9 oder auf andere ganze oder gebrochen-rationale Zahlen kannst Du auch auf reelle Zahlen als Basis stoßen.

Eine Exponentialgleichung mit der Eulerschen Zahl e als Basis, wie zum Beispiel $b = e^{x}$ , enthält die sogenannte e-Funktion.

Jetzt, wo Du gesehen hast, wie Exponentialgleichungen aussehen, kannst Du in den nächsten Kapiteln verschiedene Methoden zur Lösung solcher Gleichungen lernen.

Exponentialgleichungen lösen – Form a^x=b

Wenn die Variable im Exponenten nur einmal in der Gleichung vorkommt, so hast Du mehrere Möglichkeiten, die Gleichung zu lösen und damit die Variable zu bestimmen.

Exponentialgleichungen ohne Logarithmus lösen – a^x=b

Wenn die Gleichung in der Form

$a^{x} = b$

vor Dir liegt, kannst Du überlegen, für welche x die Gleichung stimmt. Hier helfen Dir Quadratzahlen (und die Kubikzahlen).

Aufgabe 1

Löse die folgende Gleichung.

$5^{x} = 125$

Lösung

In der Exponentialgleichung findest Du die Zahl 5 als Basis, die Variable als Exponent. Wie oft müsste die Zahl 5 mit sich selbst multipliziert werden, um als Ergebnis $125$ zu erhalten?

$5^{x} = 125$

Als Zwischenschritt kannst Du Dir zunächst überlegen, welches Ergebnis $5^{2}$ liefert. Also die Multiplikation von:

$5 \cdot 5 = 25$

Wird die Zahl $25$ noch einmal mit der Zahl 5 multipliziert, so ergibt sich:

$5 \cdot 25 = 125$

Damit gilt:

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot 5 \cdot 5 & = & 125 \\ 5^{3} & = & 125 \end{array}$

Für die Lösung der Gleichung erhältst Du damit:

$x = 3$

$L = \{3\}$

Du kannst Dir also die Frage stellen, wie oft die Basis a mit sich selbst multipliziert werden muss, um auf den Potenzwert b zu kommen.

Was machst Du aber in einem Fall, bei dem das „Probieren“ versagt? Dafür gibt es den Logarithmus!

Exponentialgleichungen mit Logarithmus lösen – a^x=b

Du hast also eine Gleichung der Form

$a^{x} = b$

gegeben, kannst diese aber nicht im Kopf lösen. Um die Variable x aus dem Exponenten zu bekommen, wird der Logarithmus angewandt. Das Potenzieren wird mit dem Logarithmieren umgekehrt.

Der Logarithmus von b zu einer Basis a entspricht dem Exponenten x:

$a^{x} = b \Leftrightarrow x = \log_{a} (b)$

für $b > 0, a > 0 und a \neq 1$ .

Mehr zum Thema Logarithmus kannst Du im Artikel Logarithmus Funktion und Exponential- und Logarithmusgleichungen nachlesen.

Zeit für ein Beispiel.

Aufgabe 2

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung.

$4^{x} = 32$

Lösung

Nach Umstellung der Gleichung durch den Logarithmus folgt:

$x = \log_{4} (32)$

Diesen Ausdruck kannst Du direkt so in Deinen Taschenrechner eingeben und erhältst für die Lösung der Gleichung:

$x = 3, 5 L = \{3, 5\}$

Alternativ kannst Du so eine Gleichung auch durch beidseitiges Logarithmieren lösen.

Exponentialgleichungen der Form a^x=b – Lösung durch Logarithmieren

Anstatt die Gleichung durch die obige Umformung direkt über den Logarithmus zu lösen, kannst Du stattdessen auch beide Seiten logarithmieren und danach nach der gesuchten Variable auflösen. Dabei spielt es keine Rolle, welche Basis genutzt wird.

Zur Erinnerung:

Natürlicher Logarithmus mit der Basis e: $\log_{e} (b) = \ln (b)$ .
Dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus) mit der Basis 10: $\log_{10} (b) = \lg (b)$
Binärlogarithmus (Zweierlogarithmus) mit der Basis 2: $\log_{2} (b) = lb (b)$

Die allgemeine Exponentialgleichung wird mit dem Zehnerlogarithmus auf beiden Seiten logarithmiert.

$\begin{array}{rcl} a^{x} & = & b \lg () \\ \lg (a^{x}) & = & \lg (b) \end{array}$

Anschließend kannst Du die Logarithmusgesetze gezielt einsetzen, um die Gleichung zu vereinfachen und nach x aufzulösen.

Ein Exponent c im Argument des Logarithmus kann als Produkt vor den Logarithmus geschrieben werden: $\log_{a} (b^{c}) = c \cdot \log_{a} (b)$

$\begin{array}{rcl} x \cdot \lg (a) & = & \lg (b) : \lg (a) \\ x & = & \frac{\lg (b)}{\lg (a)} \end{array}$

Für eine Gleichung der Form $a^{x} = b$ ergibt sich für die Variable x durch beidseitiges Logarithmieren mit beliebiger Basis beispielsweise:

$x = \frac{\lg (b)}{\lg (a)} = \frac{\ln (b)}{\ln (a)}$

Im folgenden Beispiel kannst Du das direkt ausprobieren:

Aufgabe 3

Löse die Gleichung nach der Variablen x auf.

$4^{x} = 32$

Lösung

Wendest Du die obige Formel zum Logarithmieren an, so ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (32)}{\lg (4)} \end{array}$

Für die Lösung der Gleichung erhältst Du:

$x = 2, 5 L = \{2, 5\}$

Und damit hast Du drei Möglichkeiten Exponentialgleichungen der Form $a^{x} = b$ zu lösen. Es gibt aber noch erweiterte Exponentialgleichungen.

Exponentialgleichungen lösen: Form c·a^x=b

Exponentialgleichungen können durch einen Faktor c erweitert werden. Wie wird so eine Gleichung gelöst? Durch Division der Konstanten c erhältst Du wieder eine Gleichung in der Grundform.

$c \cdot a^{x} = b$

Allgemein formuliert lautet die Rechnung bzw. Umformung dann:

$\begin{array}{rcl} c \cdot a^{x} & = & b : c \\ a^{x} & = & \frac{b}{c} \lg () \\ \lg (a^{x}) & = & \lg (\frac{b}{c}) \\ x \cdot \lg (a) & = & \lg (\frac{b}{c})) : \lg (a) \\ x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{\lg (a)} \end{array}$

Für eine Gleichung der Form $c \cdot a^{x} = b$ ergibt sich für die Variable x durch Umformen und beidseitiges Logarithmieren mit beliebiger Basis beispielsweise:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{\lg (a)} = \frac{\ln (\frac{b}{c})}{\ln (a)} \end{array}$

Die Formel kannst Du direkt in der nächsten Aufgabe anwenden.

Aufgabe 4

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

$\begin{array}{rcl} 3 \cdot 5^{x} & = & 75 \end{array}$

Lösung

\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{75}{3})}{\lg (5)} \\ x & = & 2 \\ L & = & \{2\} \end{array}

Jetzt hast Du gesehen, was bei einem Vorfaktor vor dem exponentiellen Term gemacht werden kann. Wenn aber direkt im Exponenten noch Variablen vorkommen, sind noch mehr Schritte notwendig. Wie diese aussehen, folgt jetzt.

Exponentialgleichungen lösen: Form c·a^dx+f=b

Und nachdem Du jetzt gesehen hast, wie Du mit einem Vorfaktor c vor dem exponentiellen Term umgehst, lernst Du jetzt, was Du machst, wenn im Exponent mehr als nur ein x auftaucht. Nämlich eine ganze lineare Funktion anstatt nur einer Variablen x.

$f (x) = a \cdot x + b = d \cdot x + f$

Wenn Du Dir also die gesamte Gleichung anschaust und wie nach x umstellst, passiert Folgendes:

$\begin{array}{rcl} c \cdot a^{d \cdot x + f} & = & b \\ c \cdot a^{d \cdot x + f} & = & b : c \\ a^{d \cdot x + f} & = & \frac{b}{c} \lg () \\ \lg (a^{d \cdot x + f}) & = & \lg (\frac{b}{c}) \\ (d \cdot x + f) \cdot \lg (a) & = & \lg (\frac{b}{c}) : \lg (a) \\ d \cdot x + f & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{\lg (a)} - f \\ d \cdot x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{\lg (a)} - f : d \\ x & = & \frac{\frac{\lg (\frac{b}{c})}{\lg (a)} - f}{d} = \frac{\lg (\frac{b}{c})}{d \cdot \lg (a)} - \frac{f}{d} \end{array}$

Für eine Gleichung der Form $\begin{array}{rcl} c \cdot a^{d \cdot x + f} & = & b \end{array}$ ergibt sich für die Variable x durch Umformen und beidseitiges Logarithmieren mit beliebiger Basis beispielsweise:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{d \cdot \lg (a)} - \frac{f}{d} = \frac{\ln (\frac{b}{c})}{d \cdot \ln (a)} - \frac{f}{d} \end{array}$

Und hier kannst Du auch direkt ausprobieren, wie Du das von Hand an einem Beispiel alles anwendest.

Aufgabe 5

Löse die folgende Gleichung.

$\begin{array}{rcl} 7 \cdot 2^{3 \cdot x - 6} & = & 448 \end{array}$

Lösung

$\begin{array}{rcl} 7 \cdot 2^{3 \cdot x - 6} & = & 448 : 7 \\ 2^{3 \cdot x - 6} & = & \frac{448}{7} = 64 \lg () \\ \lg (2^{3 \cdot x - 6}) & = & \lg (64) \\ (3 \cdot x - 6) \cdot \lg (2) & = & \lg (64) : \lg (2) \\ 3 \cdot x - 6 & = & \frac{\lg (64)}{\lg (2)} = 6 - (- 6) \\ 3 \cdot x & = & 6 + 6 = 12 : 3 \\ x & = & \frac{12}{3} \\ x & = & 4 \\ L & = & \{4\} \end{array}$

Bisher wurden Exponentialgleichungen betrachtet, bei denen die Basis a eine beliebige ganze Zahl annimmt. Wie bereits erwähnt, kann die Basis auch die Eulersche Zahl sein.

Exponentialgleichungen lösen mit e in der Basis

Wenn Du eine Exponentialgleichung mit e in der Basis hast, erinnerst Du Dich am besten an das Einleitungskapitel und die Definition von der Euler-Zahl und den dazugehörigen natürlichen Logarithmus:

$\log_{e} (x) = \ln (x)$

Damit kannst Du Gleichungen, bei denen dieses e in der Basis auftaucht, zumindest um einen Rechenschritt verkürzen.

Aufgabe 6

Ermittle die Lösung für x.

$e^{x} = 10$

Lösung

Um die Gleichung zu lösen, wird statt dem Zehnerlogarithmus hier der natürliche Logarithmus zum Logarithmieren genutzt.

Zur Erinnerung: $\ln (e) = \log_{e} (e) = 1$

$\begin{array}{rcl} \ln (e^{x}) & = & \ln (10) \\ x \cdot \ln (e) & = & \ln (10) \\ x \cdot 1 & = & \ln (10) \\ x & = & \ln (10) \\ x & \approx & 2, 3 \\ L & = & \{2, 3\} \end{array}$

Eine weitere Methode zur Lösung von Exponentialgleichungen bietet die graphische Lösung. Dazu findest Du alles im folgenden Kapitel.

Exponentialgleichungen graphisch lösen

Du kannst auch Gleichungen, in denen der gesuchte Wert im Exponenten auftaucht, graphisch lösen. Ein klassisches Beispiel dafür wäre, wenn auf einer Seite ein Polynom steht und auf der anderen ein Exponentialterm.

Indem Du dann „beide“ y gleichsetzt, erhältst Du mit

$f (x) = g (x)$

quasi die Ausgangsgleichung und stellst damit der Mathematik die Frage „Wo schneiden sich die beiden Funktionen?“.

Diese Gleichung könntest Du auch rechnerisch lösen, das erfordert aber mehr Schritte als in den Kapiteln davor.

Du kannst sie aber auch graphisch lösen.

Dafür zeichnest Du die beiden Funktionen in das Koordinatensystem und liest die Schnittstellen ab.

Wenn Du also die Gleichung

$2 = 4^{x}$

gegeben hast, kannst Du Dir die linke Seite als lineare Funktion $f (x) = 2$ vorstellen und die rechte Seite als Exponentialfunktion $g (x) = 4^{x}$ und durch Konstruktion der beiden deren Schnittpunkt bestimmen:

Exponentialgleichungen lösen Schnittpunkt Funktionsgraphen StudySmarter Abbildung 1: Schnittstelle der Funktionsgraphen

Und hier kannst Du dann die oben bestimmte und daher bekannte Schnittstelle bei

$x = 0, 5$

ablesen.

Relevanter wird die Option auf die graphische Lösung bei Gleichungen mit mehr Komponenten auf mindestens einer der beiden Seiten.

Wenn Du etwa bei der Gleichung

$- x^{2} + 2 = 4^{x}$

die Lösungen grob graphisch abschätzen möchtest, betrachtest Du die beiden Seiten der Gleichung als Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ .

Im Beispiel sähen die beiden dann so aus:

$f (x) = - x^{2} + 2 g (x) = 4^{x}$

Exponentialgleichungen lösen Schnittpunkte StudySmarter Abbildung 2: Schnittstellen der Funktionsgraphen

Beim Ablesen erhältst Du die Lösungen grob bei

$x_{1} \approx - 1, 35 x_{2} \approx 0, 45$

Die exakten (bzw. etwas genaueren) Schnittstellen liegen übrigens bei

$x_{1} \approx - 1, 35945 x_{2} \approx 0, 430018$

Exponentialgleichungen lösen – Aufgaben

Zum Abschluss noch zwei Aufgaben bei denen Du Dein Wissen von oben anwenden kannst.

Aufgabe 7

Hier siehst Du eine etwas andere Aufgabe mit mehreren exponentiellen Termen:

$2^{x} + 4^{x} + 120 = 120 + 2 \cdot 4^{x}$

Wie groß ist x?

Lösung

Als Erstes sortierst Du alle Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens

$2^{x} - 4^{x} = 0$

Jetzt fällt auf, dass gelten muss:

$2^{x} = 4^{x}$

Damit lautet die Frage „Wie oft kannst Du sowohl 4 als auch 2 mit sich selbst multiplizieren, um am Ende auf das gleiche Ergebnis zu kommen?“

Dafür gibt es laut Exponentialregeln nur eine Antwort

$x = 0$

führt auf beiden Seiten zum Ergebnis 1.

Als Zweites kannst Du hier bei einer Aufgabe noch überprüfen, ob Du die letzte Form mit dem meisten Konstanten über Nutzung der letzten Formel lösen kannst:

Aufgabe 8

Wie groß ist x?

$8 \cdot 2^{(3 \cdot x + 4)} = 1 024$

Lösung

Als Erstes wirst Du einen Blick auf die Ausgangsformel von oben und schaust genau welche Variable, wie groß ist. Aus

$\begin{array}{rcl} c \cdot a^{d \cdot x + f} & = & b \end{array}$

Ergibt sich dann hier:

$\begin{array}{rcl} 8 \cdot 2^{3 \cdot x + 4} & = & 1 024 \\ a & = & 2 \\ b & = & 1 024 \\ c & = & 8 \\ d & = & 3 \\ f & = & 4 \end{array}$

Was Du entweder wie oben umformen kannst oder aber direkt in die Lösungsformel von oben einsetzt:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{d \cdot \lg (a)} - \frac{f}{d} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{1 024}{8})}{3 \cdot \lg (2)} - \frac{4}{3} \end{array}$

Eingesetzt in den Rechner ergibt sich dann die Lösung

$x = 1 L = \{1\}$

Und jetzt kannst Du Dir die Fragen vom Anfang beantworten:

Aufgabe 9

Ab wann habe ich $2 000 €$ auf meinem Sparkonto, wenn ich jedes Jahr $2 %$ Zinsen auf meine $1 000 €$ Startkapital bekomme?

Das heißt, Du hast $1 000$ als Vorfaktor vor der Basis stehen und eine Basis von $1, 02$ ( $102 %$ vom Vorjahr jedes Jahr) mit den angestrebten $2 000$ auf der anderen Seite.

$1 000 \cdot 1, 02^{x} = 2 000$

Bestimme (die Anzahl der Jahre) x.

Lösung

Du hast einen Vorfaktor, durch den Du teilen musst und den Rest kannst Du per Logarithmus erledigen.

$\begin{array}{rcl} 1 000 \cdot 1, 02^{x} & = & 2 000 : 1 000 \\ 1, 02^{x} & = & 2 \lg () \\ \lg (1, 02^{x}) & = & \lg (2) \\ x \cdot \lg (1, 02) & = & \lg (2) : \lg (1, 02) \\ x & = & \frac{\lg (2)}{\lg (1, 02)} \\ x & \approx & 35 \\ L & = & \{35\} \end{array}$

Also dauert es grob 35 Jahre.

Als Nächstes kannst Du etwas über Bevölkerungsentwicklungen ausrechnen.

Aufgabe 10

Wie viele Generationen braucht es eine Bevölkerung von $10 000$ Menschen auf $100 000$ , wenn jedes Pärchen 3 Kinder bekommt?

Bei 3 Kindern pro Pärchen, hast Du also 1,5 Kinder pro Elternteil als Basis und $10 000$ als Vorfaktor und $100 000$ auf der anderen Seite.

$10 000 \cdot 1, 5^{x} = 100 000$

Bestimme (die Anzahl der Generationen) x.

Lösung

Wie bei der vorhergehenden Aufgabe kannst Du nach einer Division direkt den Logarithmus anwenden.

$\begin{array}{rcl} 10 000 \cdot 1, 5^{x} & = & 100 000 : 1 000 \\ 1, 5^{x} & = & 10 \lg () \\ \lg (1, 5^{x}) & = & \lg (10) \\ x \cdot \lg (1, 5) & = & 1 : \lg (1, 5) \\ x & = & \frac{1}{\lg (1, 5)} \\ x & \approx & 5, 68 \\ L & = & \{5, 68\} \end{array}$

Also findet die Verzehnfachung zwischen der fünften und der sechsten Generation statt.

Als letzte Aufgabe erinnerst Du Dich am besten daran, wie Du Exponentialgleichungen ohne Logarithmus lösen kannst.

Aufgabe 11

Wie viele Schritte brauchst Du, wenn Du Informationen von Mund zu Mund an $1 000 000$ Leute weitergeben willst, wenn jeder, der davon hört, es zehn Freunden weiter erzählt?

Die gesuchte Formel, die es zu lösen gilt, heißt dann:

$10^{x} = 1 000 000$

Lösung

Hier kannst Du sogar ohne Rechner und ohne Umformen überlegen: „Wie oft musst Du die 10 mit sich selbst multiplizieren, um auf 1 000 000 zu kommen?“Und die Antwort ist sogar über das Zählen der Nullen zu erreichen.

$x = 6 L = \{6\}$

Exponentialgleichungen lösen – Das Wichtigste

gesuchter Wert im Exponenten
- Wie oft muss ich die Basis mit sich selbst multiplizieren, um auf das Ergebnis zu kommen?
Rechenregeln des Logarithmus lassen Exponenten „herausziehen“
- aus $a^{x} = b$ wird $x = \log_{a} (b)$
- aus $c \cdot a^{x} = b$ wird $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{\lg (a)} \end{array}$
- aus $\begin{array}{rcl} c \cdot a^{d \cdot x + f} & = & b \end{array}$ wird $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{\lg (\frac{b}{c})}{d \cdot \lg (a)} - \frac{f}{d} \end{array}$
Für die Basis e gilt $\ln (e) = 1$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialgleichungen lösen

Über Rechenregeln mit dem Logartihmus kannst du (nachdem du den Logarithmus auf beide Seiten angewendet hast) den Exponenten als Produkt nach vorn ziehen und danach umstellen. Es gibt auch die Möglichkeit die Gleichung graphisch oder von Hand zu lösen.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung bei der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten zu finden ist.

Wenn zum Beispiel beide Seiten der Gleichung widersprüchlich sind. Oder allgemein: Wenn es kein x gibt, was die Gleichung erfüllt.

Wenn die Basis sich unterscheiden, die Exponenten sich aber sehr ähnlich sind, kannst du die Gleichung über Potenzgesetze und später Logarithmusgesetze lösen. Vorher solltest du die Summanden nach Exponenten sortieren und diese vergleichen.

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Was heißt log₄(64)=3 ?

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Dass man die 4 drei mal mit sich selbst multiplizieren muss um auf 64 zu kommen.

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