Logarithmusgleichungen lösen

Q: Wie kann man einen Logarithmus in eine Potenz umwandeln?

Per Definition ist der Logarithmus y = log[b](x)das Gleiche wieb^y = x

Q: Wie löst man den log auf?

Hast du den Logarithmus log[b](x) = y gegebengilt auchb^y = x

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Der Logarithmus löst nicht nur viele Empfindungen in Schülern aus, sondern wird auch in Wissenschaft und Technik dazu verwendet, empfundene Lautstärke oder Helligkeit auf einer logarithmischen Richterskala zu beschreiben.Damit Deine Empfindungen zum Logarithmus und Logarithmusgleichungen nicht negativ, sondern positiv werden, gibt es diese Erklärung.

Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen

Als Erstes schaust Du Dir an, was ein Logarithmus überhaupt ist. Denn daraus ergeben sich schon einige Dinge, die Du später zum Lösen von Logarithmusgleichungen nutzen kannst.

Ein Logarithmus hat folgenden Bestandteile.

$y = \log_{b} (x) y = L o g a r i t h m u s, b = B a s i s, x = N u m e r i u s$

Du fragst Dich also: "Mit welcher Zahl y muss die Basis b potenziert werden, um die Lösung x zu erhalten?"

$b^{y} = x$

Logarithmen sind reell und positiv. Die Basis ist immer positiv.

Meist hast Du eine Rechnung dieser Form vor Dir, die es mit dem Logarithmus zu lösen gilt.

Beispiel

3^{y} = 9

Mit welcher Zahl y muss also die 3 potenziert werden, um 9 zu erhalten?

Lösung

Um das herauszufinden, gibt es den Logarithmus.

$y = \log_{3} (9)$

Logarithmus und Potenzen sind also die jeweiligen Umkehraufgaben voneinander.

Das kannst Du in der Gleichung ausnutzen, indem Du die umgekehrte Rechenoperation anwendest.

Sieh Dir Deine erste Logarithmusfunktion an.

$\log_{3} (x) = 1$

Mache Dir noch einmal klar, welche Bedeutung die Zahlen 1 und 3, sowie die Variable x in der Potenzschreibweise haben.

Stelle die Gleichung dann danach um.

$\log_{3} (x) = 1 P o t e n z$

Diese Gleichung entspricht eben genau:

$x = 3^{1}$

Und daraus ist schnell $x = 3$ herauszulesen.

Und genau dieses Prinzip kannst Du auch anwenden, wenn etwas mehr als die Variable im Logarithmus steckt.

Um diese Aufgaben dann zu lösen, sind verschiedene Gesetze nötig.

Logarithmusgleichung – Rechenregeln

Alle Regeln sind wichtig und werden Dir beim Rechnen mit Logarithmen immer wieder unterkommen.

Für die reelle Basis a und die beiden reellen Variablen x und y gilt:

Formelseite 1	Formelseite 2	Logarithmus-Gesetz
Summe von Logarithmen mit gleicher Basis a	Produkt im Logarithmus	$\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = l o g_{a} (x \cdot y)$
Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis a	Bruch um Logarithmus	$\log_{a} (x) - \log_{a} (y) = l o g_{a} (\frac{x}{y})$
Potenz im Logarithmus	Produkt vor Logarithmus	$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x^{y}) & = & y \cdot \log_{a} (x) \end{array}$

Achte dabei besonders auf die Basis a, die bei den ersten beiden Regeln unbedingt identisch sein muss.

Summe oder Differenz von Logarithmen

Probiere direkt die erste Regel aus. Du hast hier eine Summe von Logarithmen und kannst sie mit dem 1.Gesetz zusammenfassen.

Aufgabe 1

Um zum Beispiel die folgende Gleichung zu vereinfachen, kannst Du die beiden Logarithmen mit den Regeln von oben zusammen fassen.

$\log_{2} (x + 56) + \log_{2} (x) = 9$

Lösung

Mache zuerst eine Nebenrechnung: Du prüfst, ob die Basis $a$ übereinstimmt, um dann die erste Regel anzuwenden.

$\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = l o g_{a} (x \cdot y)$

$\log_{2} (x + 56) + \log_{2} (x) = \log_{2} ((x + 56) \cdot (x))$

Danach kannst Du die Gleichung vereinfachen und formst sie weiter um.

$\begin{array}{rcl} l o g_{2} (x + 56) + l o g_{2} (x) & = & 9 \\ l o g_{2} ((x + 56) \cdot x) & = & 9 \\ \log_{2} (x^{2} + 56 x) & = & 9 P o t e n z \\ x^{2} + 56 x & = & 2^{9} - 2^{9} \\ x^{2} + 56 x - 512 & = & 0 \end{array}$

Nach Anwendung der pq-Formel oder Mitternachtsformel ergeben sich diese Lösungen:

$x_{1} = 8 x_{2} = - 64$

Wobei die negative Lösung nach Definition des Logarithmus nicht möglich ist, denn dieser muss immer positiv sein.

Auch bei Differenzen von Logarithmen gleicher Basis funktioniert diese Vorgehensweise. Hierbei entsteht beim Zusammenfassen ein Bruch (siehe Regeln).

Ist der Numerus innerhalb des Logarithmus potenziert, gibt es laut der dritten Regel oben noch ganz andere Möglichkeiten.

Potenz im Logarithmus

Das funktioniert auch, bei Exponenten, in denen sich viele Terme befinden. Mit einem Schritt hast Du diese dann als simples Produkt vor der Gleichung stehen.

Aufgabe 2

In diesem Beispiel solltest Du Dich erst um die Vereinfachung der linken Seite kümmern. Dabei hilft Dir die dritte Rechenregel.

$\log_{2} (2^{2 x + 4}) = 8$

Lösung

Auch hier startest Du mit einer Nebenrechnung, um die linke Seite zu vereinfachen. Dafür musst Du nur herausfinden, was für a, x und y steht.

$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x^{y}) & = & y \cdot \log_{a} (x) \\ \log_{2} (2^{2 x + 4}) & = & (2 x + 4) \cdot \log_{2} (2) \end{array}$

Nachdem Du die Potenz vor den Logarithmus gezogen hast, kannst Du die Gleichung vereinfachen und umformen.

Der Ausdruck $\log_{2} (2)$ ergibt die Zahl 1 ( $l o g_{2} (2) = 1$ ), was die Rechnung weiter vereinfacht.

$\begin{array}{rcl} l o g_{2} (2^{2 x + 4}) & = & 8 \\ (2 x + 4) \cdot l o g_{2} (2) & = & 8 \\ (2 x + 4) \cdot 1 & = & 8 \\ 2 x + 4 & = & 8 \end{array}$

Und aus der letzten Formel kannst Du dann die Lösung wie bei einer linearen Gleichung bestimmen.

$x = 2$

Damit hast Du die Werkzeuge in der Hand, die Du brauchst, um Logarithmusgleichungen zu lösen. Es kann allerdings sein, dass eines davon nicht für eine Gleichung reicht.

Komplexe Logarithmusgleichungen lösen

Schwer ist natürlich für jeden etwas anderes. Wenn jetzt allerdings der natürliche Logarithmen auftauchen, wird es zunächst einmal zumindest knifflig.

Auf den ersten Blick scheint diese Gleichung nicht ganz einfach:

\ln (x + 4) = \ln (x + 16) - \ln (x + 64)

Doch auch diese Gleichung ist Stück für Stück unkompliziert lösbar. Wie genau Du auf das Ergebnis kommst, findest Du unten in den Aufgaben.

Natürliche Logarithmusgleichungen

Ein spezieller Logarithmus ist der sogenannte "natürliche Logarithmus". Um diesen zu verstehen, brauchst Du die sogenannte Eulerzahl e.

Die Eulersche Zahl e ist eine Konstante mit der Größe

$e \approx 2, 7828$

Wenn Du den Logarithmus zur Basis e bestimmen möchtest, ergibt sich daraus der natürliche Logarithmus.

Der Logarithmus zur Basis $e$ heißt natürlicher Logarithmus $l n$ .

$\log_{e} (x) = l n (x)$

Studysmarter natürlicher Logarithmus Logarithmusgleichungen lösen Abbildung 2: natürlicher Logarithmus

Daraus ergibt sich die praktische Rechenregel:

$l n (e^{x}) = x$

Mithilfe der Tatsache $l n (e) = 1$ kannst Du dann viele Rechnungen mit $l n$ deutlich abkürzen.

ln auflösen mit e

Du kannst die Regeln von oben zusammenfassend verwenden und den Logarithmus auf der einen Seite der Gleichung gegen eine Potenzierung auf der anderen Seite tauschen.

Das kannst Du dann nutzen, wenn Du etwa die gesuchte Variable im natürlichen Logarithmus stehen hast. Es gilt nämlich: $e^{\ln} = 1$ .

\begin{array}{rcl} l n (x) & = & 2 | e^{. . .} \\ e^{l n (x)} & = & e^{2} \\ x & = & e^{2} \\ x & \approx & 7, 389 \end{array}

Dadurch dass das e nicht weiter als eine reelle Zahl ist, kannst Du es auch so behandeln und wenn nur noch Ziffern und e (oder auch Pi $π$ ) auf der einen Seite stehen, kannst Du das am Stück in den Taschenrechner eingeben.

Logarithmusgleichungen lösen Aufgaben

Zum Schluss kannst Du in zwei Aufgaben selbst Logarithmusgleichungen lösen.

Aufgabe 3

Bestimme den Wert der Variable x.

$\log_{5} ({(x + 16)}^{2}) = 8$

Lösung

Zuerst kannst Du in einer Nebenrechnung die linke Seite umformen:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x^{y}) & = & y \cdot \log_{a} (x) \\ \log_{5} ({(x + 16)}^{2}) & = & 2 \cdot \log_{5} (x + 16) \end{array}$

Mit beiden Seiten eingesetzt, sieht die Ausgangsgleichung dann so aus:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot l o g_{5} (x + 16) & = & 8 : 2 \\ l o g_{5} (x + 16) & = & 4 L o g a r i t h m u s u m w a n d e \ln \\ x + 16 & = & 5^{4} - 16 \\ x_{1} & = & 609 \end{array}$

Die theoretische zweite Lösung $x_{2} = - 609$ ist auszuschließen, da der Logarithmus der Ausgangsgleichung sonst negativ wäre.

In der nächsten Aufgabe siehst Du alles einmal angewandt.

Aufgabe 4

Bestimme den Wert von x.

$\ln (x + 4) = \ln (x + 16) - \ln (x + 64)$

Lösung

Als Erstes sortierst Du die Logarithmen so auf jeweils eine Seite, dass sie positive Summanden sind.

$\log_{e} (x + 4) + \log_{e} (x + 64) = \log_{e} (x + 16)$

Danach vergleichst Du die linke Seite mit dem Gesetz von oben und fasst die Logarithmen in einer Nebenrechnung zusammen.

$\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = l o g_{a} (x \cdot y) \log_{e} (x + 4) + \log_{e} (x + 64) = l o g_{e} ((x + 4) \cdot (x + 64))$

Dann kannst Du den ln auf beiden Seiten mit e auflösen.

$\ln [(x + 4) \cdot (x + 64)] = \ln (x + 16) e^{. . .} e^{\ln [(x + 4) \cdot (x + 64)]} = e^{\ln (x + 16)} (x + 4) \cdot (x + 64) = x + 16$

Anschließend multiplizierst Du die linke Seite aus und fasst die Terme zu einer quadratischen Gleichung zusammen.

$\begin{array}{rcl} (x + 4) \cdot (x + 64) & = & x + 16 \\ x^{2} + 4 x + 64 x + 256 & = & x + 16 | - x - 16 \\ x^{2} + 67 x + 240 & = & 0 \end{array}$

Hierfür kannst Du jetzt die pq- Formel (oder auch die Mitternachtsformel) anwenden. Die Ergebnisse lauten dann:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1} & = & - \frac{67}{2} + \sqrt{{(\frac{67}{2})}^{2} - 240} = \frac{\sqrt{3529}}{2} - \frac{67}{2} \\ x_{2} & = & - \frac{67}{2} - \sqrt{{(\frac{67}{2})}^{2} - 240} = - \frac{67}{2} - \frac{\sqrt{3529}}{2} \end{array}$

Schon hast Du also auch eine schwerere Gleichung gelöst.

Logarithmusgleichungen lösen - Das Wichtigste

Ein Logarithmus ist folgendermaßen definiert
- $y = \log_{b} (x)$
- $b^{y} = x$
Folgende Gesetze helfen Dir:
- $\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = l o g_{a} (x \cdot y)$
- $\log_{a} (x) - \log_{a} (y) = l o g_{a} (\frac{x}{y})$
- $\begin{array}{rcl} \log_{a} (x^{y}) & = & y \cdot \log_{a} (x) \end{array}$
Für Gleichungen mit dem natürlichen Logarithmus und der Eulerzahl e helfen dir dessen Definitionen:
- $l o g_{e} (x) = l n (x)$
- $l n (e^{x}) = x$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmusgleichungen lösen

Per Definition ist der Logarithmus

y = log[b](x)

das Gleiche wie

b^y = x

Hast du den Logarithmus

log[b](x) = y gegeben

gilt auch

b^y = x

Der natürliche Logaritmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e

Also

ln(x) = log[e](x)

e = 2,782... ist die Euler-Zahl

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