Vielleicht kennst Du bereits die Jugendlichen aus dem Artikel der Differenzmenge, aus dem Kapitel Mengenlehre. Der erste Tag in der achten Klasse ist vorüber und schon haben sich ihre Interessen gewandelt. Anna wirft schon seit längerer Zeit ein Auge auf Simon, deshalb ist sie zusammen mit ihm, Peter und Louis dabei, die besten Filme einer bekannten Streaming-Plattform zu durchstöbern. Sie gehören in die Menge A, während sich Fraktion B, bestehend aus Peter, Louis, Philipp und Jonas lieber am Basketballkorb austoben. Dir ist dabei wohl aufgefallen, dass Peter und Louis sich sowohl gerne Filme ansehen als auch auf dem Basketballfeld zu finden sind.
Wenn Dich nun also die Menge interessiert, in der sich die Leute befinden, die beides gerne machen, solltest Du den Begriff der Schnittmenge etwas näher betrachten. Als zentrales Element und Basis für die Mengenverknüpfungen aus dem Kapitel Mengenlehre wirst Du oft auf die Schnittmenge bzw. Durchschnittsmenge stoßen.
Schnittmenge – Grundlagenwissen
Der Begriff der Menge ist in der Mathematik und hierbei in der Mengenlehre sehr zentral. Viele Dinge, seien es die Buchstaben im Alphabet, lassen sich als Elemente einer Menge beschreiben. Diese Elemente werden in das Objekt einer konstruierten Menge eingefügt. Dazu zählen die bekannten Freunde, aber auch Zahlen mit Bedingungen, sie müssen sich eben ähneln. Dabei gibt es verschiedene Arten von Mengenverknüpfungen.
Die Schnittmenge im Beispiel aus der Einleitung sind die Jugendlichen Peter und Louis. Sie teilen sich insgesamt zwei Aktivitäten, deshalb gehören sie sowohl in die Menge der Leute, die Filme ansehen, als auch zu denen, die Basketball spielen. In diesem Artikel wirst Du Näheres zur Schnittmenge erfahren.
Abbildung 1: Schnittmenge zu zwei Freundeskreisen mit unterschiedlichen Hobbys
Wenn Menge A und B keine gemeinsamen Elemente miteinander besitzen, dann sind sie disjunkt, also sie schneiden sich nicht. So ist es in der nachfolgenden Grafik der Fall. Es gibt verschiedene Tiere aus dem Bereich der Säugetiere und wiederum andere aus der Klasse der Fische. Diese Tiere haben untereinander keine Gemeinsamkeiten, also keine Schnittmenge.
Abbildung 2: Disjunkte Mengen für Säugetiere und Fische
Eine Vereinigungsmenge beleuchtet jene Elemente, welche in A oder in B enthalten sind. Die Differenzmenge wie zum Beispiel zeigt diese auf, welche in A, aber nicht in B vorkommen. Eine Mengenverknüpfung, bei der sich Mengen Elemente teilen, nennt man Schnittmenge oder auch Durchschnittsmenge. Wenn eine Menge alle Elemente der zweiten Menge enthält gibt es eine Teilmenge. Zur Teilmenge wirst Du im späteren Verlauf im Bezug auf die Schnittmenge noch einiges erfahren.
Einen detaillierteren Überblick zu den letztgenannten Thematiken aus der Mathematik kannst Du in den Artikeln über die Vereinigungsmenge und Differenzmenge erhalten. Die Vereinigungsmenge wird in diesem Artikel auch ein wenig thematisiert.
Schnittmenge – Definition und Bedeutung
Die Schnittmenge ist eine der elementaren Mengenverknüpfungen, da sie vor allem für die Differenzmenge, aber auch für die Symmetrische Differenz verwendet wird. Dabei handelt es sich um den Teil, bei dem sich Elemente in der einen und der anderen Menge befinden.
Die Schnittmenge (sprich: "A geschnitten B"), auch Durchschnittsmenge oder Intersektion, beschreibt eine Menge für Elemente aus A und B, die in A UND in B enthalten sind.
Für die Schnittmenge gilt sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz.
Schreibweise der Schnittmenge
Mathematisch lässt sich die Durchschnittsmenge formal beschreiben, um nicht nur in Textform zu erläutern, welche Bedingungen die Elemente der Mengen erfüllen müssen.
Schreibweise für eine Schnittmenge mit Angabe der einzelnen Begriffe für die Elemente:
Das x ist eine Beschreibung für jedes Element der Ergebnismenge, für das gelten soll, dass es sowohl in A als auch in der Menge B enthalten sein soll. Das Symbol steht für ein "logisches Und", also beide Bedingungen müssen gelten, im Gegensatz zu einem "logischen Oder", das Dir später noch begegnen wird.
Rechenregeln der Schnittmenge
Die Durchschnittsmenge ermöglicht verschiedene Rechengesetze anzuwenden. Dabei sind Dir die ersten beiden von der Addition und Subtraktion bekannt. Dabei gelten:
Zusätzlich zu den genannten Gesetzen kannst Du auch andere anwenden. Dafür ist noch das Wissen über die Vereinigungsmenge interessant, wenn Du das Thema Distributivgesetz in dem Zusammenhang anwenden möchtest. So ist eine Umformung wie hier möglich:
Das gleiche gilt für:
In diesem Zusammenhang kann auch das Absorptionsgesetz interessant sein, ist allerdings eher ein Ausblick als tatsächlich schulrelevant:
Das kannst Du Dir damit erklären, wenn Du für diese Formel auch hier das Distributivgesetz anwendest:
Den Term kannst Du als A zusammenfassen und führst Du eine Schnittmenge mit der Vereinigungsmenge von A und B durch, bleibt lediglich die Menge A übrig.
Schnittmenge berechnen
Die Schnittmenge zu ermitteln ist sowohl grafisch als auch anhand von gegebenen Mengen in Textform möglich.
Bestimmung der Schnittmenge
Das allgemeine Vorgehen, um die Schnittmenge zu erhalten, ist nachfolgend gegeben:
- Markiere alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.
- Diese markierten Elemente werden danach in die Ergebnismenge gegeben.
Dieses Vorgehen wird Dir in einem kleinen Beispiel erläutert. Dafür sind Dir die folgenden Mengen gegeben:
,
Du kannst also jene Elemente aus Menge A und B markieren, die in beiden enthalten sind und danach in die Ergebnismenge schreiben. Hierbei ist das Ergebnis:
Schnittmenge – Beispiele
Nun sollen die sechs Freunde wieder einen kleinen Auftritt erhalten. Damit Du die Schnittmenge berechnen kannst, musst Du erst die essentiellen Informationen aus dem Beispiel entnehmen. Louis, Peter, Anna und Simon sind also dabei eine Streamingplattform nach ihren Lieblingsfilmen und -serien zu durchforsten. Dagegen wollen sich Peter, Louis, Philipp und Jonas sportlich betätigen. Als Angaben sind also gegeben:
Abbildung 3: Schnittmenge zu zwei Freundeskreisen mit unterschiedlichen Hobbys
Das soll zwar erst der nächste Schritt sein, doch die Personen, die in Menge A und B enthalten sind, wurden bereits markiert. Das Ergebnis ist also:
Beide wollen sich also nicht nur für eine der beiden Aktivitäten – Sport treiben oder Serien streamen – entscheiden.
Aufgabe 1
In der Grafik sind Dir die Mengen A und B als Beispiel gegeben. Gib die Schnittmenge der Mengen A und B an.
Abbildung 4: Schnittmenge für Menge A und B mit Zahlen
Lösung
Sieh Dir dazu den Bereich an, der sowohl in A als auch in B liegt.
Schnittmenge – leere Menge und Teilmengen
Für verschiedene Aufgaben und das ein oder andere Beispiel in der Mathematik gibt es oftmals auch gewisse Sonderfälle. Die werden Dir hier noch etwas klarer, denn Mengen müssen eben nicht nur in der Form angegeben sein, dass sich Menge A und B schneiden.
Schnittmenge – Sonderfall leere Menge
Die leere Menge für die Schnittmenge kann sowohl in der Angabe als auch im Ergebnis vorkommen.
- Ist sie in der Angabe gegeben, besitzt eine der beiden Mengen, also A oder B keine Elemente. Intuitiv würdest Du wahrscheinlich auch richtig vorgehen. Da Du eine Menge gegeben hast, die keine Elemente beinhaltet, können beide keine gemeinsamen besitzen, also ist "A geschnitten B" auch nur die leere Menge, kurz: .
- Hier könnte für die Menge A die Zahl 1 gegeben sein und für B die Zahl 2. Auch hier besitzen beide keine gemeinsamen Elemente. Grafisch gesehen hätten beide keinen Schnitt. Damit ist auch hier das Ergebnis die leere Menge.
Schnittmenge – Sonderfall (echte) Teilmenge
Wenn Du Dir also Grafiken ansiehst, hast Du bereits eine besondere Angabe von Mengen kennengelernt. Es gibt aber auch noch weitere. Eine Menge kann die andere enthalten, das ist auch hier der Fall. Während bei einer echten Teilmenge eine Menge alle Elemente der anderen enthält, aber sich noch zusätzlich eigene befinden, sind bei einem nicht echten Fall beide identisch.
In der Grafik ist Dir ein Fall einer echten Teilmenge gegeben.
Abbildung 5: Schnittmenge einer echten Teilmenge mit Beispiel aus der Biologie
Da nun zwar ein Wal, ein Elefant und eine Fledermaus zu den Säugetieren zählen, aber zu den Tieren auch ein Aal und ein Pinguin gehören, ist das ein klassisches Beispiel für eine echte Teilmenge. Auch hier wieder die Elemente markieren, welche in die Durchschnittsmenge gehören:
Würden nun die Menge Tiere auch nur die drei Säugetiervertreter beinhalten, hätten beide Mengen exakt dieselben Elemente. Für diesen Fall wären beide identisch, da sowohl A eine Teilmenge von B, als auch B eine Teilmenge von A ist. Es gilt also:
Wenn Du Dir eine Aufgabe zu verschiedenen Zahlen ansiehst, wird Dir dieses Konzept auch klarer.
Aufgabe 2
Gegeben sind die Menge und . Gib die Schnittmenge an.
Lösung
B ist eine echte Teilmenge von A, also alle Elemente aus B sind auch in A enthalten. Damit ist die Schnittmenge die Menge B.
Schnittmenge – Sonderfall (paarweise) disjunkt und mehr als zwei Mengen
Wenn sich zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente teilen und dementsprechend auch keine Schnittmenge besitzen, sind beide Mengen disjunkt. Die Schnittmenge beider Mengen ist dabei immer die leere Menge. Da Du bereits dieses Beispiel erklärt bekommen hast, soll es nochmal angefügt werden. Säugetiere und Fische sind zwei verschiedene Klassen im Stamm der Wirbeltiere. Ein Wal kann also nie ein Fisch sein und ein Aal auch nicht ein Säugetier.
Abbildung 6: Disjunkte Mengen für Säugetiere und Fische (2)
Sollen mehr als zwei Mengen miteinander geschnitten werden und alle Mengen untereinander sind zueinander disjunkt, tritt der Sonderfall ein, dass alle Mengen paarweise disjunkt sind. Besitzt zum Beispiel die Menge A die Zahl 1, B die Zahl 2 und C die 3. In diesem Fall ist A zu B, genauso wie B zu C und A zu C disjunkt. Für keine der Mengen gibt es eine Schnittmenge. Dann sind alle zueinander paarweise disjunkt.
Drei Mengen können zueinander aber durchaus Schnittmengen beinhalten. Dann ist interessant, nach welcher Schnittmenge gefragt ist. Es gibt dabei grundsätzlich zwei wesentliche Möglichkeiten (hierbei sollen nun die Mengen A, B und C angegeben sein):
- es ist nach der Schnittmenge , oder gefragt. Die Mengen können, wegen des Kommutativgesetzes auch vertauscht angegeben werden. Für jeden der drei Fälle geht man vor, wie bislang. Man sucht alle Elemente heraus, die in der einen und anderen Menge enthalten sind und fügt sie zur Schnittmenge zusammen.
- Die Durchschnittsmenge von erhältst Du, indem du für alle drei Mengen prüfst, ob Elemente in allen dreien vorkommen. Diese sind dann deine Schnittmenge.
Einen tieferen Einblick in die Thematik der leeren Menge und auch der Teilmenge kannst Du im Artikel Differenzmenge erhalten. Zu der im folgenden Kapitel ausgeführten Vereinigungsmenge gibt es auch einen eigenen Artikel.
Schnittmenge – Vereinigungsmenge zur Abgrenzung
Im Zusammenhang mit der Schnittmenge wird oftmals auch nach der Vereinigungsmenge gefragt. Das ist auch gar nicht verwunderlich, da die zwei elementaren Operationen der Logik hierbei Verwendung finden. Die Schnittmenge wurde Dir definiert als Ergebnismenge für den Fall, dass Elemente in A UND in B enthalten sind. Die Vereinigungsmenge ist dabei die Menge, die Elemente in A ODER in B besitzt.
Abbildung 7: Vereinigungsmenge als Unterschied zur Schnittmenge
Bei der Vereinigungsmenge werden also die beiden gegebenen Mengen zusammengeführt und sämtliche Elemente angegeben, die in mindestens einer Menge enthalten sind.
Für das Beispiel ist die Vereinigungsmenge also:
An dieser Stelle wäre es durchaus interessant, sich noch einmal das Beispiel der Freundesgruppen mit den verschiedenen Hobbys anzusehen. Dabei gibt es insgesamt die Personen Anna, Simon, Louis, Peter, Jonas und Philipp. In einer Vereinigungsmenge tauchen also alle Personen auf, deshalb gilt:
Schnittmenge – Übungen
Am Ende kannst Du dein nun theoretisch erlangtes Wissen praktisch anwenden.
Aufgabe 3
Du darfst einen Würfel zwei Mal werfen. Die beiden Würfelergebnisse werden addiert und die Zahl, die dabei herauskommt, ist das Ergebnis. Die Gesamtmenge bilden die möglichen Ergebnisse. Es gibt zwei Mengen mit unterschiedlichen Elementen:
- A: Die Augensumme ist durch 3 teilbar
- B: Alle Zahlen sind ein Vielfaches von 2 und nur bis zur maximalen Augensumme.
a) Was ist die Durchschnittsmenge ?
b) Was ist die Vereinigungsmenge ?
Lösung
Erst musst Du aus dem Text die beiden Mengen A und B herausfiltern. Für A sind es alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind, innerhalb der maximalen Augensumme, also 3, 6, 9, 12. Die 0 gehört nicht dazu. B sind die Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 12.
a) Alle Zahlen, die in A und B vorkommen ermitteln und daraus die Ergebnismenge formulieren.
b) Alle Zahlen verwenden, doppeltes am besten nur einmal nennen.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Grundmenge . Es gilt nun folgendes (x steht dabei für die Zahlen).
- Für alle Zahlen aus der Menge A:
- Für alle Zahlen aus der Menge B:
- Für alle Zahlen aus der Menge C:
a) Bestimme die Schnittmenge
b) Bestimme die Schnittmenge
Lösung
a) Für die Schnittmenge aus 3 Mengen muss gelten, dass es mindestens ein Element geben muss, das in allen drei Mengen enthalten ist. Dies ist aber nicht der Fall, da B maximal bis 4 reicht und C minimal bis 6. Folglich ist das Ergebnis die leere Menge {}.
b)
,
Schnittmenge - Das Wichtigste
- Die Schnittmenge(sprich: "A geschnitten B"), auch Durchschnittsmenge oder Intersektion, beschreibt eine Menge an Elementen aus A und B, die in A UND in B enthalten sind.
- Das allgemeine Vorgehen, um die Schnittmenge zu ermitteln ist: Elemente, die in A und in B vorkommen, markieren und danach in die Ergebnismenge für einfügen.
- Es gilt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
- Wenn zwei Mengen disjunkt sind, oder eine der beiden der leeren Menge entspricht, entspricht die Schnittmenge ebenfalls der leeren Menge.
- Bei einer echten Teilmenge ist die Ergebnismenge dasselbe wie die kleinere der beiden Mengen.
- Die Vereinigungsmenge lässt sich über das "logische ODER" definieren, wobei es alle Elemente sind, die in A oder in B enthalten sind.
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