Äquivalente Gleichungen

Wenn Du schon einmal Gegenstände in die Schalen einer analogen Waage gelegt hast, dann kannst Du Dir das Wort Äquivalent sehr gut vorstellen. Wenn das Gewicht in beiden Schalen der analogen Waage gleich groß ist, dann sind die beiden Schalen der Waage auf gleicher Höhe. Das Gewicht ist dann gleich oder anders gesagt äquivalent. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    So ähnlich wie das Gleichgewicht auf der analogen Waage kannst Du Dir äquivalente Gleichungen vorstellen. Doch was genau sind eigentlich äquivalente Gleichungen?

    Äquivalente Gleichungen – Grundlagenwissen

    Bevor Du lernst, wie äquivalente Gleichungen aussehen und wie Du mit äquivalenten Gleichungen rechnest, solltest Du Dir folgende kurze Wiederholung anschauen.

    Gleichungen – Definition und Beispiele

    Zunächst solltest Du wissen, was eine Gleichung ganz allgemein überhaupt ist.

    In der Mathematik besteht eine Gleichung aus zwei Termen, die mit einem Gleichheitszeichen verbunden sind. Der Term \(T_1\) links wird "linke Seite der Gleichung" und der Term \(T_2\) rechts wird "rechte Seite der Gleichung" genannt. Die allgemeine Form einer Gleichung sieht also so aus: \[T_1=T_2\]

    Wenn Du nicht mehr genau weißt, was Terme sind, dann schau gerne in dem Artikel Term Mathe von StudySmarter nach.

    Damit Du das besser verstehst, hier direkt ein Beispiel einer Gleichung:

    \[20=20\]

    Term \(T_1\) und \(T_2\) sind in dem Beispiel oben normale Zahlen. Du musst beachten, dass Gleichungen entweder wahr oder falsch sind. Hier ist die Gleichung logischerweise wahr, da \(20\) und \(20\) zwei gleiche Zahlen sind.

    Die linke und rechte Seite der Gleichung, also die Terme \(T_1\) und \(T_2\) können aber auch Variablen enthalten. Das sieht dann so aus:

    \[3x-5=6x+3\]

    Hier erkennst Du die linke Seite der Gleichung als Term \(T_1=3x-5\) und die rechte Seite der Gleichung als Term \(T_2=6x+3\).

    Diese Gleichung ist auch entweder wahr oder falsch, abhängig davon welche Werte (Zahlen) Du für die Variable \(x\) einsetzt. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, werden Lösungen der Gleichung genannt. Die Lösung der Gleichung im Beispiel 2 wird mithilfe von Äquivalenzumformungen folgendermaßen berechnet:

    \begin{align}3x-5&=6x+3 &&|-3\\3x-8&=6x &&|-3x\\-8&=3x&&|:3\\x&=-\frac{8}{3}\end{align}

    In diesem Beispiel erhalten wir als Lösung \(x=-\frac{8}{3}\). Das heißt die Lösungsmenge \(L\) ist \(L=\{-\frac{8}{3}\}\). Das bedeutet, dass die Gleichung einzig und allein für die Werte aus der Lösungsmenge, hier \(-\frac{8}{3}\) wahr ist und für alle anderen Werte falsch ist.

    Wenn Du nicht mehr genau weißt, wie Du Äquivalenzumformungen anwendest, schaue gerne in den Artikel Äquivalenzumformungen von StudySmarter rein.

    Äquivalente Gleichungen – Definition

    Das Adjektiv „äquivalent“ heißt so viel wie „gleichwertig“. In der Mathematik bedeutet Äquivalenz also, dass etwas den gleichen Wert besitzt. Was heißt äquivalent jetzt für das Thema Äquivalente Gleichungen?

    Äquivalente Gleichungen werden zwei oder mehrere Gleichungen genau dann genannt, wenn alle dieselbe Lösungsmenge \(L\) besitzen.

    Anders gesagt sind zwei Gleichungen A und B äquivalent, wenn sich die zwei Terme der Gleichung A, also \(T_1\) und \(T_2\) in die zwei Terme der Gleichung B, also \(T_3\) und \(T_4\) umformen lassen oder andersherum. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen. Zur Veranschaulichung einmal praktisch aufgeschrieben:

    Gleichung A: \[T_1=T_2\]

    Gleichung B: \[T_3=T_4\]

    \(T_1 \land T_2 \Rightarrow T_3 \land T_4\) und \(T_3 \land T_4 \Rightarrow T_1 \land T_2\)

    Das \(\land\) bedeutet soviel wie „und". Da die einzelnen Terme der Gleichung A in die Terme der Gleichung B umgeformt werden können und umgekehrt, sind diese äquivalent, also \[T_1 \land T_2\Leftrightarrow T_3 \land T_4\] Weil das Ganze jetzt sehr theoretisch ist, hier ein Beispiel:

    Gleichung A: \[4x+20=6x+12\] Gleichung B: \[2x+10=2x+4\]

    Hier kannst Du folgende Terme entdecken: \(T_1=4x+20\), \(T_2=6x+12\), \(T_3=2x+10\) und \(T_4=2x+4\)

    Du erkennst, dass \(T_1\) der Gleichung A ein Vielfaches von \(T_3\) der Gleichung B ist, genauso wie \(T_2\) der Gleichung A ein Vielfaches von \(T_4\) der Gleichung B ist. Das bedeutet, dass die einzelnen Terme sich ineinander umformen lassen. Und das heißt folgendes: \(\Longrightarrow\) Gleichung A und B sind äquivalent zueinander \(\Longleftrightarrow\) Gleichung A besitzt die gleiche Lösungsmenge \(L=\{...\}\) wie Gleichung B.

    Genau hier kommt wieder die Waage von oben ins Spiel: Du kannst Dir äquivalente Gleichungen so vorstellen, dass auf der einen Seite der Waage zwei große Äpfel liegen (Gleichung A), auf der anderen Seite 4 kleine (Gleichung B). Die Waage ist auf beiden Seiten gleich hoch, somit wiegen beide Seiten gleich viel.

    Du siehst also– es muss nicht auf beiden Seiten das Gleiche sein, damit die Seiten gleichwertig sind. Genau so ist es auch mit Gleichungen. Sie müssen nicht gleich aussehen, um äquivalent zu sein.

    Äquivalente Gleichungen – Lösen & Beispiele

    Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Gleichungen können Wurzelterme, Klammern, Brüche und vieles mehr enthalten. Im Folgenden siehst Du verschiedene Beispiele, wie Du durch Äquivalenzumformung Gleichungen umformst und so die Lösungsmenge \(L\) berechnen kannst. Und wenn Du die Lösungsmenge kennst, weißt Du auch, ob die Gleichungen äquivalent zueinander sind.

    Um die Lösungsmenge \(L\) zu berechnen, ist es immer eine gute Idee, die Variable x auf die eine Seite der Gleichung (meist links) und die übrigen Zahlen auf die andere Seite der Gleichung (meist rechts) zu sortieren. Schau Dir dazu die nachfolgenden Aufgaben an.

    Äquivalente Gleichungen mit Klammern

    Im Folgenden schaust Du Dir Gleichungen mit Klammern an. Dabei ist es wichtig, das Distributivgesetz zu kennen. Falls Du das nicht mehr im Kopf hast, schau Dir den Artikel zum Distributivgesetz an.

    \begin{align}&1.)\,\,x^2-9&=0\\&2.)\,\,3\cdot(x+3)\cdot(x-3)&=0 \end{align}

    Da diese Gleichungen schon etwas komplizierter sind, bleibt Dir hier nichts anderes übrig als jede der Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen nach \(x\) umzuformen.

    Zuerst formst Du Gleichung 1 um, indem Du Variablen auf die eine und Zahlen auf die andere Seite der Gleichung sortierst: \begin{align}x^2-9&=0\hspace{2cm}|+9\\x^2&=9\hspace{2cm}|\sqrt{}\\x&=+-3\end{align}

    Im nächsten Schritt wird Gleichung 2 umgeformt. Dazu benutzt Du die 3. binomische Formel und dividierst die gesamte Gleichung mit 3. Anschließend sortierst Du wieder Variablen auf die linke Seite und Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung und erhältst die Lösung für x:\begin{align}3\cdot(x+3)\cdot(x-3)&=0\\3\cdot (x^2-9)&=0 \hspace{2cm}|:3\\x^2-9&=0\hspace{2cm}|+9\\x^2&=9\hspace{2cm}|\sqrt{}\\x&=+-3\end{align}

    Du erkennst beide Gleichungen 1 und 2 haben dieselbe Lösungsmenge nämlich \(L=\{3;-3\}\). Also sind Gleichung 7 und 8 äquivalent.

    Die dritte binomische Formel lautet allgemein: \[(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\] Wie binomische Formeln im Detail funktionieren, wird in der Erklärung Binomische Formeln auf StudySmarter erklärt. Neugierig? Dann schau dort gerne rein.

    Äquivalente Gleichungen mit Brüchen

    In diesem Abschnitt siehst Du Dir Gleichungen mit Brüchen an. Wenn Du bisher mit Brüchen noch nicht viel gerechnet hast, dann schau Dir den Artikel von StudySmarter zu Bruchgleichungen an.

    \begin{align}&3.)\,\,x&&=-\frac{2}{11}\\&4.)\,\,\frac{3}{x+1}&&=-\frac{5}{2x-1} \end{align}Gleichung 3 ist schon nach \(x\) umgeformt. Jetzt solltest Du noch Gleichung 4 so umformen, dass \(x\) auf der linken Seite steht. Das sieht dann so aus: \begin{align}&\Leftrightarrow\frac{3}{x+1}&&=-\frac{5}{2x-1}\hspace{2cm}|\cdot{(x+1)} \hspace{0,25cm }|\cdot(2x-1)\\&\Leftrightarrow 3\cdot(2x-1)&&=-5\cdot(x+1)\\&\Leftrightarrow 6x-3&&=-5x-5\\&\Leftrightarrow11x&&=-2\\&\Leftrightarrow x&&=-\frac{2}{11} \end{align} Du siehst das für beide Gleichungen 3 und 4 \(x=-\frac{2}{11}\) gilt. Also sind die Gleichungen äquivalent.

    Äquivalente Gleichungen – Aufgaben

    Teste Dein Wissen doch gleich an ein paar Übungsaufgaben.

    Aufgabe 1:

    Überprüfe die beiden Gleichungen auf Äquivalenz!\begin{align}&a)\,\,x+6&&=8\\&b)\,\,x&&=2 \end{align}

    Lösung:

    Du formst Gleichung \(a\) nach \(x\) um: \begin{align}x+6&=8\hspace{2cm}|-6\\x&=8-6\\x&=2\end{align} Du erkennst, dass die Lösungsmenge \(L=\{2\}\) ist. Gleichung \(b\) ist bereits nach \(x\) aufgelöst und besitzt auch die Lösungsmenge \(L=\{2\}\). Das heißt Gleichung \(a\) und Gleichung \(b\) sind äquivalent, da sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.

    Aufgabe 2:

    Sind die beiden Gleichungen äquivalent?\begin{align}&a)\,\,x+6&=10\\&b)\,\,x&=3 \end{align} Lösung

    Wird Gleichung \(a\) umgeformt, dann erhältst Du:\begin{align}x+6&=10\hspace{2cm}|-6\\x&=10-6\\x&=4\end{align}Die Lösungsmenge von Gleichung \(a\) ist \(L=\{4\}\). Die Lösungsmenge von Gleichung \(b\) ist allerdings \(L=\{3\}\). Die Gleichungen \(a\) und \(b\) sind also nicht äquivalent zueinander, da ihre Lösungsmengen verschieden sind.

    Aufgabe 3:

    Sind die unten angegebenen Gleichungen äquivalent?\begin{align}&a)\,\,3x-5&=6x+3\\&b)\,\,300x&=-800 \end{align}

    Lösung

    Gleichung \(a\) wird durch Äquivalenzumformungen so umgestellt, dass das \(x\) auf der einen und Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Dann sieht das so aus: \begin{align}3x-5&=6x+3 \hspace{2cm}&&|-3\\3x-8&=6x &&|-3x\\-8&=3x\\3x&=-8\hspace{2cm}&&|:3\\x&=-\frac{8}{3}\end{align} Gleichung \(a\) ist also \(x=-\frac{8}{3}\).

    Formst Du Gleichung \(b\) um, erhältst Du dieselbe Lösungsmenge \(L=\{-\frac{8}{3}\}\): \begin{align}300x&=-800\hspace{2cm}|:300\\x&=-\frac{800}{300}\\x&=-\frac{8}{3}\end{align}

    Also sind die beiden Gleichungen äquivalent zueinander.

    Äquivalente Gleichungen – Das Wichtigste

    • Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge \(L\) besitzen
    • Die einzelnen Terme von äquivalenten Gleichungen kannst Du ineinander umformen
    • Beim Umwandeln der Gleichungen solltest Du folgende Rechengesetze berücksichtigen:
    • Die Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie Du untersuchen kannst, ob zwei Gleichungen äquivalent sind:
      • Jede Gleichung so sortieren, dass Variablen auf der linken und Zahlen auf der rechten Seite der Gleichung stehen
      • Löse beide Gleichungen jeweils nach \(x\) auf und vergleiche die Lösungsmenge \(L\)
      • Sind die beiden Lösungsmengen identisch, dann sind die Gleichungen äquivalent, andernsfalls nicht

    Nachweise

    1. Steinweg (2013). Algebra in der Grundschule: Muster und Strukturen ̶ Gleichungen ̶ funktionale Beziehungen. Springer-Verlag.
    2. Arrenberg et. al. (2011). Vorkurs in Mathematik. Walter de Gruyter.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Äquivalente Gleichungen

    Was ist eine äquivalente Gleichung? 

    Äquivalente Gleichungen werden zwei oder mehrere Gleichungen genau dann genannt, wenn alle dieselbe Lösungsmenge L besitzen. 


    Was ist äquivalent einfach erklärt? 

    Das Adjektiv „äquivalent“ heißt so viel wie „gleichwertig“. In der Mathematik bedeutet Äquivalenz also, dass etwas den gleichen Wert besitzt.

    Wie erkennt man ob ein Term äquivalent ist? 

    Äquivalente Terme sind Terme, die den gleichen Wert besitzen. Terme, die äquivalent sind, können ineinander umgeformt werden. Das heißt also: Wenn Du einen Term durch Umformung in einen anderen Term überführen kannst, sind diese beiden Terme äquivalent. 

    Wann ist eine Ungleichung äquivalent? 

    Zwei Ungleichungen sind äquivalent zueinander, wenn sie beide dieselbe Lösungsmenge L besitzen, zum Beispiel wenn für beide Ungleichungen gilt x > 3.

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    Sind die beiden Gleichungen zueinander äquivalent? \begin{align}&1.)\,\,\,3x+1&&=20 \\&2.)\,\,\,3x+1&&=22\end{align}

    Sind die zwei Gleichungen äquivalent?\begin{align}&1.)\,\,\,3x&&=20 \\&2.)\,\,\,6x&&=40\end{align}

    Welche der folgenden Gleichung ist äquivalent zu der Gleichung \[2\cdot(x-3)=30\]

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