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Intervallschachtelung

Intervallschachtelung

Wie manchmal in der Schule geht es auch bei der Intervallschachtelung hin und her. Außerhalb der Mathematik gibt es das langsame Heranarbeiten an eine Lösung, wie beim Suchen des Ziels bei Schiffe versenken. Wie das aber in der Mathematik läuft, um verschiedene Aufgaben berechnen zu können und wie die Anwendung auf die Wurzel funktioniert, lernst Du hier.

Intervallschachtelung Definition

Wenn Du in Deiner Kindheit zum ersten Mal seit langer Zeit Schuhe einer Dir unbekannten Firma kaufst, kann es passieren, dass die Größen ganz anders ausfallen, als Du es gewohnt bist. Also probierst Du erst mal "Deine" Größe an und stellst fest, dass sie viel zu groß sind. Also zweieinhalb Größen kleiner probiert. Dann sind sie zu klein. Also wieder größer gegangen, denn die richtige Größe muss ja dazwischen liegen. Und so arbeitest Du Dich Versuch für Versuch von beiden Seiten an Deine richtige Größe heran.

Genauso kann man in der Mathematik Lösungen bestimmen, wenn man Lösungen kennt, die sicher größer oder kleiner sind, als die Gesuchte.

Die Intervallschachtelung ist ein sukzessives Lösungsverfahren, bei dem Schritt für Schritt der Bereich, in dem sich die Lösung befindet, verkleinert wird.

Und wie das in der Praxis in der Mathematik abläuft, siehst Du hier.

Intervallschachtelung einfach erklärt

Die Grundidee hinter einer Intervallschachtelung ist, dass die Lösung für eine Operation von einer Zahl immer zwischen einer größeren und einer kleineren Zahl liegt.

Also, wenn Du die Quadratwurzel aus drei \(\left( \sqrt{3}\,\right)\) suchst, gilt:

  1. \( \sqrt{1} < \sqrt{3} \)
  2. \( \sqrt{3} < \sqrt{4} \)
  3. Die Lösung von \( \sqrt{3} \) liegt also zwischen \( \sqrt{1} \) und \( \sqrt{4} \)
  4. kurz: \( \sqrt{3} \in \left[\sqrt{1};\sqrt{4}\right] \)

Dabei ist \( \left[\sqrt{1};\sqrt{4}\right] \) das Intervall, in dem sich die Lösung befindet

Intervallschachtelung berechnen

Wenn Du also die Intervallschachtelung auf ein konkretes Problem anwenden möchtest, musst Du jeweils die Grenzen aus zwei bekannten Lösungen ausloten.

Die \( \sqrt{1} \) und \( \sqrt{4} \) von oben sind nicht zufällig gewählt, sondern basieren auf der Idee, dass die Lösung für diese Wurzeln bekannte Quadratzahlen sind.

$$ \sqrt{1} = 1 $$

$$ \sqrt{4} = 2 $$

Also ist die Lösung irgendwo im Intervall zwischen 1 und 2:

$$ \sqrt{3} \in [1;2] $$

Also basiert hier alles auf der Idee, dass gilt

$$ 1 < \sqrt{3} < 2 $$

und dass man das Quadrieren (also das Multiplizieren mit sich selbst) einfacher durchführen kann, als das Bestimmen der Wurzel.

Intervallschachtelung Anwendung auf Wurzel

Und in der Praxis kannst Du die Intervallschachtelung gut anwenden, um eine Wurzel – im Speziellen die Quadratwurzel – zu bestimmen, ohne die "Wurzel lösen"-Funktion des Rechners zu benutzen. Und mit dem Wissen von oben kannst Du jetzt auch die gesuchte Wurzel bestimmen

Aufgabe 1

Bestimme \( \sqrt{3} \) mittels Intervallschachtelung auf drei Stellen nach dem Komma genau.

Lösung

Für diesen Schritt vernachlässigst Du die Wurzeln erstmal und überlegst Dir: "Was im Quadrat ergibt 1 beziehungsweise 4?" Das wurde weiter oben schon berechnet. Nämlich 1 und 2.

Es gilt also:

$$ 1 < 3 < 4 $$

$$ 1^2 < 3 < 2^2 $$

Nun kannst Du die Wurzel wieder hinzufügen, damit das Ergebnis auch richtig ist:

$$ 1 < \sqrt{3} < 2 $$

Also ist das größte Intervall, aus dem Du startest:

$$ \sqrt{3} \in [1;2] $$

Jetzt kannst Du herausfinden, ob \( \sqrt{3} \) näher an der 1 oder an der 2 ist, indem Du den Wert in der Mitte des Intervalls nimmst und das Quadrat mit den anderen Quadraten vergleichst.

Und ab hier kannst Du das Prinzip oben anwenden.

$$ \text{1,5} * \text{1,5} = \text{2,25} $$

Und damit kannst Du die nächste Schlussfolgerung treffen, da ja gilt

$$ \text{2,25} < 3 < 4 $$

$$ \text{1,5}^2 < 3 < 2^2 $$

$$ \text{1,5} < \sqrt{3} < 2 $$

$$ \sqrt{3} \in [\text{1,5} ; 2] $$

Und so kannst Du Dich Stück für Stück durch eine "Schachtelung" der kleiner werdenden Intervalle an die Lösung vorarbeiten und jeweils die Grenze ersetzen. Denn wenn das Quadrat größer ist, bist Du über das Ziel hinaus geschossen und \( \sqrt{3} \) muss kleiner sein.

letztes Intervallneue GrenzeQuadrat der neuen Grenze
\[ \sqrt{3} \in [1;2]\]\[\text{1,5} \]\[ \text{2,25} < 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}5;2]\]\[\text{1,75} \]\[ \text{3,0625} > 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}5;1{,}75]\]\[\text{1,70} \]\[ \text{2,89} < 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}7;1{,}75]\]\[\text{1,74} \]\[ \text{3,0276} > 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}7;1{,}74]\]\[\text{1,73} \]\[ \text{2,9929} < 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}73;1{,}75]\]\[1{,}735 \]\[ 3{,}010225 > 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}73;1{,}735]\]\[1{,}732 \]\[ 2{,}999824 < 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}732;1{,}735]\]\[1{,}7321 \]\[ 3{,}00017041 > 3 \]
\[ \sqrt{3} \in [1{,}732;1{,}7321]\]
Damit ist klar, dass sich die gesuchte Quadratwurzel zwischen \( 1{,}732\) und \( 1{,}73251\) befindet und damit auf drei Stellen genau bestimmt ist.

Und so kannst Du jede Quadratwurzel oder Wurzel mit ein paar Versuchen beliebig genau bestimmen, ohne den "Wurzel" Knopf auf dem Taschenrechner zu verwenden.

Wenn die gewünschte Genauigkeit erreicht ist (beispielsweise 3 Stellen nach dem Komma), kannst Du aufhören.

Intervallschachtelung Beweis

Warum die Intervallschachtelung aber funktioniert und wo Lösungen zu erwarten sind, erfährst Du in der Erklärung zum Zwischenwertsatz.

Intervallschachtelung - Beispiele und Aufgaben mit Lösung

Hier kannst Du selbst versuchen, eine Wurzel mithilfe der Intervallschachtelung zu finden.

Aufgabe 2

Bestimme \( \sqrt{5} \) mittels Intervallschachtelung auf zwei Stellen nach dem Komma genau.

Lösung

Als Erstes suchst Du eine Quadratzahl, die größer und eine, die kleiner ist als 5.

$$ 2^2 = 4 $$

$$ 3^3 = 9 $$

Da die 5 deutlich näher an der 4, als an der 9 ist, kannst Du davon ausgehen, dass auch die Wurzel näher an der 2 ist, als an der 3. Du kannst somit gleich näher an der Lösung starten.

Daraus ergibt sich mit der Tabelle und dem Vorgehen von oben:

letztes Intervallneue GrenzeQuadrat der neuen Grenze
\[ \sqrt{5} \in [2;3]\]\[ 2{,}1 \]\[ 4{,}41 < 5 \]
\[ \sqrt{5} \in [2{,}1;3]\]\[2{,}2 \]\[ 4{,}84 < 5 \]
\[ \sqrt{5} \in [2{,}2;3]\]\[2{,}3 \]\[ 5{,}29 > 5 \]
\[ \sqrt{5} \in [2{,}2;2{,}3]\]\[2{,}25 \]\[ 5{,}0625 > 5 \]
\[ \sqrt{5} \in [2{,}2;2{,}25]\]\[2{,}236 \]\[ 4{,}999696< 5 \]
\[ \sqrt{5} \in [2{,}236;2{,}25]\]\[2{,}2365 \]\[ 5{,}00193225> 5 \]
\[ \sqrt{5} \in [2{,}236;2{,}2365]\]
Damit gilt also \( 2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}2365 \) und die Wurzel ist auf drei Stellen genau bestimmt.

Aufgabe 3

Bestimme \( \sqrt{8} \) mittels Intervallschachtelung auf eine Stelle nach dem Komma genau.

Lösung

Auch hier kannst Du zwischen den beiden Quadratzahlen 2 und 3, aber dieses Mal nah an der 3 anfangen, da die 8 sehr viel näher an der 9 ist.

$$ 2^2 = 4 $$

$$ 3^3 = 9 $$

letztes Intervallneue GrenzeQuadrat der neuen Grenze

\[ \sqrt{8} \in [2;3]\]

\[ 2{,}9 \]\[ 8{,}41 > 8 \]

\[ \sqrt{8} \in [2;2{,}9]\]

\[ 2{,}8 \]\[ 7{,}84 < 8 \]

\[ \sqrt{8} \in [2{,}8;2{,}9]\]

\[ 2{,}85 \]\[ 8{,}1225 > 8 \]

\[ \sqrt{8} \in [2{,}8;2{,}85]\]

Also ist die erste Stelle nach dem Komma gerundet eine 9.

Näherungswerte für Quadratwurzeln - Intervallschachtelung - Das Wichtigste

  • Finde heraus, welche Quadratzahlen (und deren Wurzel) der gesuchten Wurzel am nächsten ist. Du brauchst also
    • eine größere
    • und eine kleinere Zahl als die gesuchte.
  • Das sind die Grenzen Deines Intervalls.
  • Bestimme das Quadrat einer der beiden Grenzen.
    • Wenn sie größer ist, als das Quadrat der gesuchten Wurzel, ersetze die obere Grenze damit.
    • Wenn sie kleiner ist, als das Quadrat der gesuchten Wurzel, ersetze die untere Grenze damit.
  • Wiederhole, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Intervallschachtelung

  1. Finde heraus, welche Quadratzahl (und deren Wurzel) ist der gesuchten Wurzel am nächsten ist.
    • nach oben
    • nach unten
  2. Bestimme das Quadrat einer Zahl in diesem Intervall.
    • Wenn sie größer ist, als das Quadrat der gesuchten Wurzel, ersetze die obere Grenze damit
    • Wenn sie kleiner ist, als das Quadrat der gesuchten Wurzel, ersetze die untere Grenze damit
  3. Wiederhole, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde

Du kannst eine Wurzel mit der Intervallschachtelung näherungsweise berechnen. Bei diesem Verfahren näherst Du Dich Schritt für Schritt dem Ergebnis an, bis zu einer bestimmten Genauigkeit.

  1. Bestimme das Quadrat einer Grenze.
  2. Ersetze die größere oder die kleinere Grenze durch diese Lösung, je nachdem, ob sie größer oder kleiner ist als die Zahl unter der Wurzel.
  3. Beginne erneut bei 1. bis Du die gewünschte Genauigkeit erreicht hast.

Beginne eine Intervallschachtelung zwischen den Zahlen 2 und 3, da das Intervall zwischen den Quadratzahlen 4 und 9 die 5 einschließt.

Finales Intervallschachtelung Quiz

Frage

Welche Tatsache nutzt Du aus, wenn Du Dich der Lösung einer Wurzel annähern willst? 


Antwort anzeigen

Antwort

Quadrate sind leichter zu berechnen als direkt die Wurzel und man kann das Ergebnis bekannter Quadratzahlen als Grenzen nutzen.

Frage anzeigen

Frage

Wie läuft eine Intervallschachtelung ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Du wählst zwei bekannte Lösungen, die das Ergebnis eingrenzen und näherst sich mit einfacheren Rechenmethoden Stück für Stück dem Ergebnis an.

Frage anzeigen

Frage

Wann hörst Du bei einer Intervallschachtelung auf, das Ergebnis weiter einzugrenzen?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche Zahlen nutzt Du im Allgemeinen als Startgrenzen für die Ermittlung einer Wurzel?

Antwort anzeigen

Antwort

Du nutzt die Wurzeln bekannter Quadratzahlen, weil Du mit ihnen leichter rechnen kannst.

Frage anzeigen

Frage

Welche Startwerte für die Intervallgrenzen würden sich zur Annäherung an \(\sqrt{30}\) anbieten?

Antwort anzeigen

Antwort

5 und 6, da 30 zwischen 25 und 36 liegt.

Frage anzeigen

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