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Sinusfunktion

Die Sinusfunktion kannst du sowohl für normale mathematische Schulaufgaben gebrauchen als auch bei Anwendungsaufgaben in der Physik, wie zum Beispiel bei der Schwingung.

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Sinusfunktion

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Die Sinusfunktion kannst du sowohl für normale mathematische Schulaufgaben gebrauchen als auch bei Anwendungsaufgaben in der Physik, wie zum Beispiel bei der Schwingung.

Allgemeines zur Sinusfunktion Formel

Bei der Sinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich nach der Periode p dasselbe wiederholt. Das passiert immer und immer wieder.

So sieht eine Sinusfunktion aus:

Sinusfunktion Schaubild StudySmarterAbbildung 1: Schaubild der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

Die Funktion f(x) mit

f(x)=sin(x)

wird Sinusfunktion genannt.

Falls du dich fragen solltest, was der Unterschied zur Kosinusfunktion ist: Die Sinusfunktion ist lediglich eine um π2 in x-Richtung verschobene Kosinusfunktion.

Sinusfunktion Eigenschaften – Periode

Bei der Sinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre y-Werte in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben p angegeben.

Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was die Periode ist? Dann solltest du dir den Artikel Periodizität anschauen!

Die Periode von f(x)=sin(x). Diese beträgtp=2π.

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte der Sinusfunktion in Abständen von 2π wiederholen.

Das heißt zum Beispiel auch, dass, wenn sich an der Stelle x=π2 ein Hochpunkt befindet, dass sich auch an der Stelle x=π2+p=π2+2π=5π2 ein Hochpunkt befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen:

Sinusfunktion Periode StudySmarterAbbildung 2: Periode der Sinusfunktion

Du siehst also, dass sich das Schaubild der Sinusfunktion immer wiederholt. Da die Sinusfunktion eine Periode von p=2π besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Sinusfunktion zwischen 0 und 2π genau so aussieht, wie zwischen 2π und 4π oder zwischen 4π und 6π. Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Sinusfunktion sieht dann zwischen 100π und 102π auch wieder genauso aus.

Mathematisch wirkt sich die Periode p wie folgt auf die Sinusfunktion aus:

sin(x)=sin(x+p)=sin(x+2π)

Der Wertebereich der Sinusfunktion

Schauen wir uns als Nächstes den Wertebereich der Sinusfunktion an.

Zur Erinnerung:

  • Ein Wertebereich Wf betrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktion f(x).
  • Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
  • Damit lautet der Wertebereich Wf wie folgt: Wf=[ymin,ymax].

Falls du noch einmal im Detail nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.

Schau dir zuerst die Abbildung der Sinusfunktion an, und überlege, wie der Wertebereich der Sinusfunktion sein könnte.

Sinusfunktion Wertebereich StudySmarterAbbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion

Da der Sinus zwischen 0 und 2π keine kleineren y-Werte als -1 und keine größeren y-Werte als 1 annimmt, kann die Sinusfunktion aufgrund der Periode p nie kleinere bzw. größere y-Werte als diese annehmen. Damit entspricht der Wertebereich Wf=[-1,1].

Da die y-Werte -1 und 1 eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend so gewählt, dass sie die Grenzen einschließen.

Das bedeutet auch, dass die Sinusfunktion eine Amplitude von a=1 hat.

Die Amplitude beschreibt die maximale Auslenkung. Das heißt, um die Amplitude zu bestimmen, musst du den Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt berechnen und diesen durch zwei teilen.

Sinusfunktion Eigenschaften Symmetrie

Da du weißt, dass die Sinusfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen:

Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Zur Erinnerung: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f(x)=-f(-x). Mehr dazu kannst du im Artikel "Punktsymmetrie" nachlesen.

Bei der Sinusfunktion gilt also folgendes:

f(x)=sin(x)=-sin(-x)

Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist.

Sinusfunktion Symmetrie StudySmarterAbbildung 4: Symmetrie der Sinusfunktion

Du siehst daran, dass sin(π)=-sin(-π)=0 und sin(π2)=-sin(-π2)=1 ist.

Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:

sin(x)-sin(-x)
x=0,5sin(0,5)0,48-sin(-0,5)-(-0,48)=0,48
x=1sin(1)0,84-sin(-1)-(-0,84)=0,84
x=6sin(6)-0,28-sin(-6)-0,28
x=2πsin(2π)=0-sin(-2π)=0
x=5π2sin(5π2)=1-sin(-5π2)=-(-1)=1

Sinusfunktion Eigenschaften – Grenzwert

Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der x-Wert immer größer oder immer kleiner wird.

Funktionen können beispielsweise auch in y-Richtung ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer x-Wert eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die x-Achse annähern.

Du kannst das Verhalten im Unendlichen der Sinusfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.

Wir haben vorhin schon gesehen, dass die Sinusfunktion zwischen 0 und 2π genau so aussieht wie zwischen100π und 102π. Damit sieht sie auch zwischen 1000000000π und 1000000002π genau so aus.

Das bedeutet, dass die Sinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, die Funktion divergiert unbestimmt.

Wenn eine Funktion immer zwischen zwei Werten verläuft, sagt man auch, dass sie oszilliert.

Die Nullstellen der Sinusfunktion

Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f mit der x-Achse.

Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel "Nullstellen berechnen" an.

Bestimme hier die Nullstellen:

Sinusfunktion Nullstellen StudySmarterAbbildung 5: Nullstellen der Sinusfunktion

Hier kannst du sehen, dass an den Stellen x0=0, x1=π und x2=2π eine Nullstelle existiert.

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen.

Innerhalb einer Periode p gibt es genau zwei Nullstellen. Das heißt, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode p2 wiederholen. Bei der Sinusfunktion ist die Periode p=2π, also hat sie eine halbe Periode von p2=π.

Da nach jeweils einer halben Periode p2=π eine Nullstelle existiert, kannst du die Formel für allgemeine Nullstellen bei der reinen Sinusfunktion wie folgt aufstellen.

Für eine ganze Zahl k gibt es an der Stelle xk eine Nullstelle:

xk=π·k

Wie du dir die Formel vorstellen musst, kannst du der folgenden Tabelle entnehmen. Dies sind die Nullstellen von x-1 bis x6:

k=-1k=0k=1k=2k=3k=4k=5k=6
x-1=-πx0=0x1=πx2=2πx3=3πx4=4πx5=5πx6=6π

Der y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Achse.

In dieser Abbildung erkennst du, welchen y-Achsenabschnitt die Sinusfunktion hat:

Sinusfunktion y-Achsenabschnitt StudySmarterAbbildung 6: y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion

Da die Sinusfunktion eine Nullstelle bei x=0 besitzt, ist hier zu sehen, dass die Sinusfunktion die y-Achse im Punkt P=(0|0) schneidet. Das kannst du auch im Schaubild ablesen.

Die Sinusfunktion besitzt also den y-Achsenabschnitt y=0.

Sinusfunktion Ableitung

Bei der Sinusfunktion kannst du dir die Ableitung relativ leicht merken. Denn wenn du die Sinusfunktion ableitest, erhältst du die Kosinusfunktion. Schau dir dazu die Abbildung 7 an.

Sinusfunktion Ableitung StudySmarterAbbildung 7: Ableitung der Sinusfunktion

Du erhältst dann folgende Definition:

Die Ableitung f'(x) der Sinusfunktion f(x)=sin(x) lautet:

f'(x)=cos(x)

Wenn du mehr zur Ableitung wissen möchtest, kannst du den Artikel "Ableitung trigonometrische Funktionen" lesen.

Extremstellen der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion hat sehr viele Extremstellen.

Zur Erinnerung:

  • Ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist ein Punkt einer Funktion mit dem größten bzw. kleinsten y-Wert.
  • Eine Extremstelle ist der x-Wert eines Hoch- oder Tiefpunktes.
Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die Extremstellen und -punkte berechnen kannst, schau in unserem Artikel "Extremstellen" nach.

Sinusfunktion Extremstellen StudySmarterAbbildung 8: Extremstellen der Sinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen xHP0=π2 und xHP1=5π2 ein Hochpunkt existiert.

An den Stellen xTP0=3π2 und xTP1=7π2 existiert ein Tiefpunkt.

Die y-Koordinate der Extrempunkte betragen yTP=-1 und yHP=1.

Auch für die Extremstellen kannst du eine allgemeine Formel aufstellen, da sich diese auch periodisch wiederholen.

Innerhalb einer Periode p gibt es genau zwei Extremstellen – jeweils einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Das heißt, dass sich die Hoch- und Tiefpunkte nach einer Periode p=2π wiederholen. Also kannst du die Formel für die allgemeinen Extremstellen wie folgt aufstellen.

Für eine ganze Zahl k gibt es an der Stelle xHPk einen Hochpunkt:

xHPk=π2+2π·k.

Für eine ganze Zahl k gibt es an der Stelle xTPk einen Tiefpunkt:

xTPk=3π2+2π·k.

Also lauten die Extrempunkte der Sinusfunktion wie folgt:

HPk=(π2+2π·k/1) und TPk=(3π2+2π·k/-1).

Wendepunkte der Sinusfunktion

Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.

Um mehr über Wendepunkte zu erfahren, kannst du dir unseren Artikel Krümmung und Wendepunkte anschauen.

Bestimme hier die Wendepunkte:

Sinusfunktion Wendepunkte StudySmarterAbbildung 9: Wendepunkte der Sinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen x0=0, x1=π und x2=2π ein Wendepunkt existiert.

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt y=0.

Die Wendestellen entsprechen den Nullstellen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.

Sinusfunktion Parameter

Parameter sind Zahlen, die zum Beispiel an Funktionsgleichungen multipliziert oder addiert werden und so die Funktion ein wenig verändern.

Oft hast du nicht nur die reine Sinusfunktion f(x)=sin(x) gegeben, sondern eine leicht veränderte Funktionsgleichung, wie zum Beispiel g(x)=2sin(3x).

Diese Funktionsgleichung kann allgemein wie folgt mit Parametern verändert werden:

f(x)=a·sin(b·(x-c))+d.

Dabei sind die Parameter a, b, c und d reelle Zahlen. Die Parameter a und b dürfen zudem nicht null sein.

Einen kurzen Überblick über die Auswirkungen der Parameter findest du in nachfolgender Tabelle:

ParameterAuswirkung
aStreckung in y-Richtung mit dem Faktor aWenn a<0: Der Graph wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
bStreckung in x-Richtung mit dem Faktor 1bWenn b<0: Der Graph wird zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.
cVerschiebung in x-Richtung um c-Einheiten
dVerschiebung in y-Richtung um d-Einheiten

Wenn du gerne noch mehr zu den Parametern der Sinusfunktion wissen möchtest, schau dir unseren Artikel "Trigonometrische Funktionen Parameter" an.

Eigenschaften der Sinusfunktion Das Wichtigste

  • Die Periode p der Sinusfunktion beträgt p=2π.
  • Die Sinusfunktion hat einen WertebereichWf von Wf=[-1,1].
  • Aus dem Wertebereich ergibt sich eine Amplitude a=1.
  • Die Sinusfunktion weist eine Punktsymmetrie zum Ursprung auf.
  • Der y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion isty=0.
  • Die ersten Nullstellen bzw. Wendestellen rechts von der y-Achse der Sinusfunktion sind x0=0, x1=π, x2=2π.
  • Es gibt eine allgemeine Formel für alle Nullstellen bzw. Wendestellen der Sinusfunktion: xk=π·k.
  • Die Ableitung f'(x) der Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist: f'(x)=cos(x).
  • Die ersten beiden Hochpunkte HP rechts der x-Achse sind: HP0(π2/1), HP1(5π2/1).
  • Die ersten beiden Tiefpunkte TP rechts der x-Achse sind: TP0(3π2/-1), TP1(7π2/-1).
  • Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f mit der x-Achse.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinusfunktion

Die Sinusfunktion hat eine Periode von 2π.

Der Parameter b ist die Streckung in x-Richtung. Wenn b negativ ist, spiegelt sich der Graph an der y-Achse.

b=2*π /p

c lässt sich nicht berechnen. Es ist die Verschiebung in x-Richtung. Diese kann am Schaubild abgelesen werden.

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