Die Sinusfunktion kannst du sowohl für normale mathematische Schulaufgaben gebrauchen als auch bei Anwendungsaufgaben in der Physik, wie zum Beispiel bei der Schwingung.
Allgemeines zur Sinusfunktion – Formel
Bei der Sinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich nach der Periode p dasselbe wiederholt. Das passiert immer und immer wieder.
So sieht eine Sinusfunktion aus:
Abbildung 1: Schaubild der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:
Die Funktion mit
wird Sinusfunktion genannt.
Falls du dich fragen solltest, was der Unterschied zur Kosinusfunktion ist: Die Sinusfunktion ist lediglich eine um in x-Richtung verschobene Kosinusfunktion.
Sinusfunktion Eigenschaften – Periode
Bei der Sinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben angegeben.
Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was die Periode ist? Dann solltest du dir den Artikel Periodizität anschauen!
Die Periode von . Diese beträgt.
Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte der Sinusfunktion in Abständen von wiederholen.
Das heißt zum Beispiel auch, dass, wenn sich an der Stelle ein Hochpunkt befindet, dass sich auch an der Stelle ein Hochpunkt befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen:
Abbildung 2: Periode der Sinusfunktion
Du siehst also, dass sich das Schaubild der Sinusfunktion immer wiederholt. Da die Sinusfunktion eine Periode von besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Sinusfunktion zwischen 0 und genau so aussieht, wie zwischen oder zwischen . Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Sinusfunktion sieht dann zwischen und auch wieder genauso aus.
Mathematisch wirkt sich die Periode p wie folgt auf die Sinusfunktion aus:
Der Wertebereich der Sinusfunktion
Schauen wir uns als Nächstes den Wertebereich der Sinusfunktion an.
Zur Erinnerung:
- Ein Wertebereich betrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktion .
- Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
- Damit lautet der Wertebereich wie folgt: .
Falls du noch einmal im Detail nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.Schau dir zuerst die Abbildung der Sinusfunktion an, und überlege, wie der Wertebereich der Sinusfunktion sein könnte.
Abbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion
Da der Sinus zwischen 0 und keine kleineren y-Werte als -1 und keine größeren y-Werte als 1 annimmt, kann die Sinusfunktion aufgrund der Periode p nie kleinere bzw. größere y-Werte als diese annehmen. Damit entspricht der Wertebereich .
Da die y-Werte -1 und 1 eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend so gewählt, dass sie die Grenzen einschließen.
Das bedeutet auch, dass die Sinusfunktion eine Amplitude von hat.
Die Amplitude beschreibt die maximale Auslenkung. Das heißt, um die Amplitude zu bestimmen, musst du den Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt berechnen und diesen durch zwei teilen.
Sinusfunktion Eigenschaften – Symmetrie
Da du weißt, dass die Sinusfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen:
Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Zur Erinnerung: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: . Mehr dazu kannst du im Artikel "Punktsymmetrie" nachlesen.
Bei der Sinusfunktion gilt also folgendes:
Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist.
Abbildung 4: Symmetrie der Sinusfunktion
Du siehst daran, dass und ist.
Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:
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Sinusfunktion Eigenschaften – Grenzwert
Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der x-Wert immer größer oder immer kleiner wird.
Funktionen können beispielsweise auch in y-Richtung ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer x-Wert eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die x-Achse annähern.
Du kannst das Verhalten im Unendlichen der Sinusfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.
Wir haben vorhin schon gesehen, dass die Sinusfunktion zwischen und genau so aussieht wie zwischen und . Damit sieht sie auch zwischen und genau so aus.
Das bedeutet, dass die Sinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, die Funktion divergiert unbestimmt.
Wenn eine Funktion immer zwischen zwei Werten verläuft, sagt man auch, dass sie oszilliert.
Die Nullstellen der Sinusfunktion
Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f mit der x-Achse.
Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel "Nullstellen berechnen" an.
Bestimme hier die Nullstellen:
Abbildung 5: Nullstellen der Sinusfunktion
Hier kannst du sehen, dass an den Stellen , und eine Nullstelle existiert.
Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen.
Innerhalb einer Periode p gibt es genau zwei Nullstellen. Das heißt, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer halben Periode wiederholen. Bei der Sinusfunktion ist die Periode , also hat sie eine halbe Periode von .
Da nach jeweils einer halben Periode eine Nullstelle existiert, kannst du die Formel für allgemeine Nullstellen bei der reinen Sinusfunktion wie folgt aufstellen.
Für eine ganze Zahl gibt es an der Stelle eine Nullstelle:
Wie du dir die Formel vorstellen musst, kannst du der folgenden Tabelle entnehmen. Dies sind die Nullstellen von bis :
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Der y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Achse.
In dieser Abbildung erkennst du, welchen y-Achsenabschnitt die Sinusfunktion hat:
Abbildung 6: y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion
Da die Sinusfunktion eine Nullstelle bei besitzt, ist hier zu sehen, dass die Sinusfunktion die y-Achse im Punkt schneidet. Das kannst du auch im Schaubild ablesen.
Die Sinusfunktion besitzt also den y-Achsenabschnitt .
Sinusfunktion – Ableitung
Bei der Sinusfunktion kannst du dir die Ableitung relativ leicht merken. Denn wenn du die Sinusfunktion ableitest, erhältst du die Kosinusfunktion. Schau dir dazu die Abbildung 7 an.
Abbildung 7: Ableitung der Sinusfunktion
Du erhältst dann folgende Definition:
Die Ableitung der Sinusfunktion lautet:
Wenn du mehr zur Ableitung wissen möchtest, kannst du den Artikel "Ableitung trigonometrische Funktionen" lesen.
Extremstellen der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion hat sehr viele Extremstellen.
Zur Erinnerung:
- Ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist ein Punkt einer Funktion mit dem größten bzw. kleinsten y-Wert.
- Eine Extremstelle ist der x-Wert eines Hoch- oder Tiefpunktes.
Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die Extremstellen und -punkte berechnen kannst, schau in unserem Artikel "Extremstellen" nach.
Abbildung 8: Extremstellen der Sinusfunktion
Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen und ein Hochpunkt existiert.
An den Stellen und existiert ein Tiefpunkt.
Die y-Koordinate der Extrempunkte betragen und .
Auch für die Extremstellen kannst du eine allgemeine Formel aufstellen, da sich diese auch periodisch wiederholen.
Innerhalb einer Periode gibt es genau zwei Extremstellen – jeweils einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Das heißt, dass sich die Hoch- und Tiefpunkte nach einer Periode wiederholen. Also kannst du die Formel für die allgemeinen Extremstellen wie folgt aufstellen.
Für eine ganze Zahl gibt es an der Stelle einen Hochpunkt:
.
Für eine ganze Zahl gibt es an der Stelle einen Tiefpunkt:
.
Also lauten die Extrempunkte der Sinusfunktion wie folgt:
.
Wendepunkte der Sinusfunktion
Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.
Um mehr über Wendepunkte zu erfahren, kannst du dir unseren Artikel Krümmung und Wendepunkte anschauen.
Bestimme hier die Wendepunkte:
Abbildung 9: Wendepunkte der Sinusfunktion
Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen , und ein Wendepunkt existiert.
Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt .
Die Wendestellen entsprechen den Nullstellen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.
Sinusfunktion – Parameter
Parameter sind Zahlen, die zum Beispiel an Funktionsgleichungen multipliziert oder addiert werden und so die Funktion ein wenig verändern.
Oft hast du nicht nur die reine Sinusfunktion gegeben, sondern eine leicht veränderte Funktionsgleichung, wie zum Beispiel .
Diese Funktionsgleichung kann allgemein wie folgt mit Parametern verändert werden:
.
Dabei sind die Parameter , , und reelle Zahlen. Die Parameter und dürfen zudem nicht null sein.
Einen kurzen Überblick über die Auswirkungen der Parameter findest du in nachfolgender Tabelle:
| Parameter | Auswirkung |
| a | Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt. |
| b | Streckung in mit dem Faktor Wenn : Der Graph wird zusätzlich an der gespiegelt. |
| c | Verschiebung in um |
| d | Verschiebung in um |
Wenn du gerne noch mehr zu den Parametern der Sinusfunktion wissen möchtest, schau dir unseren Artikel "Trigonometrische Funktionen Parameter" an.
Eigenschaften der Sinusfunktion – Das Wichtigste
- Die Periode p der Sinusfunktion beträgt .
- Die Sinusfunktion hat einen Wertebereich von .
- Aus dem Wertebereich ergibt sich eine Amplitude .
- Die Sinusfunktion weist eine Punktsymmetrie zum Ursprung auf.
- Der y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion ist.
- Die ersten Nullstellen bzw. Wendestellen rechts von der y-Achse der Sinusfunktion sind .
- Es gibt eine allgemeine Formel für alle Nullstellen bzw. Wendestellen der Sinusfunktion: .
- Die Ableitung der Sinusfunktion ist: .
- Die ersten beiden Hochpunkte HP rechts der x-Achse sind: .
- Die ersten beiden Tiefpunkte TP rechts der x-Achse sind: .
- Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f mit der x-Achse.
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