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In dieser Erklärung erfährst Du, wie Du Brüche erweiterst. Außerdem lernst Du, wann welche Methode zum Erweitern am besten geeignet ist. Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl (die sogenannte Erweiterungszahl) multipliziert werden. Dadurch verändert sich nicht der Wert des Bruchs, sondern nur dessen Darstellung. \[\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}\]Durch Erweitern des Bruchs \(\frac{1}{2}\) mit \(4\) erhältst…
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Jetzt kostenlos anmeldenIn dieser Erklärung erfährst Du, wie Du Brüche erweiterst. Außerdem lernst Du, wann welche Methode zum Erweitern am besten geeignet ist.
Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl (die sogenannte Erweiterungszahl) multipliziert werden. Dadurch verändert sich nicht der Wert des Bruchs, sondern nur dessen Darstellung.
\[\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}\]
Durch Erweitern des Bruchs \(\frac{1}{2}\) mit \(4\) erhältst Du den Bruch \(\frac{4}{8}\). Beide Brüche beschreiben die Hälfte eines Ganzen, doch ihre Darstellung ist unterschiedlich.
Abb. 1 - Beispiel zum Erweitern von Brüchen
Brüche erweitern musst Du in der Regel in diesen Fällen:
Beispiel | Lösung |
Erweitere den Bruch \(\frac{2}{5}\) mit der Erweiterungszahl 3. | \[\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{6}{15}\] |
Bringe \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{1}{16}\) auf denselben Nenner. | \(4\cdot 4\) ist 16 also erweiterst Du mit \(4\).\[\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}=\frac{12}{16}\] |
Welcher Bruch ist größer: \(\frac{5}{6}\) oder \(\frac{11}{12}\)? | \begin{align}\frac{5}{6}&=\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{10}{12}\end{align}\[\frac{10}{12}<\frac{11}{12}\]\(\frac{5}{6}\) ist kleiner als \(\frac{11}{12}\). |
\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Brüche müssen häufig auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Es gibt drei grundlegende Arten und Weisen, um möglichst unkompliziert den gemeinsamen Nenner zu finden.
Methode | Beispiel | Vorteile | Nachteile |
Primfaktorzerlegung | \begin{align} \frac{3}{8}; \frac{4}{36}\end{align}Primfaktorzerlegung der Nenner:\begin{align}8&=2^3\\36&=2^2\cdot 3^2\end{align}Der kleinste gemeinsame Nenner entspricht dem Produkt der höchsten Potenzen der jeweiligen Zerlegungen. Höchste Potenz von 2: \(2^3\) Höchste Potenz von 3: \(3^2\) Kleinster gemeinsamer Nenner: \(2^3\cdot 3^2=72\) |
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Gemeinsames Vielfaches | \begin{align} \frac{3}{5}; \frac{4}{6}\end{align} Hier erkennst Du ein gemeinsames Vielfaches der Nenner. Dafür betrachtest Du die jeweiligen Vielfache der Nenner und findest das kleinste gemeinsame Vielfache:\begin{align}kgV(5)&=\{5;10;15;20;25;{\color{r}30};35;\dots\}\\kgV(6)&=\{6;12;18;24;{\color{r}30};36;\dots\}\end{align}30 ist somit der Hauptnenner und Du erweiterst beide Brüche auf 30:\begin{align} \frac{3}{5}&=\frac{3\cdot 6}{5\cdot 6}=\frac{18}{30}\\\frac{4}{6}&=\frac{4\cdot 5}{6\cdot 5}=\frac{20}{30}\end{align} |
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Erweitern mit dem jeweils anderen Nenner | \begin{align} \frac{3}{5}; \frac{4}{6}\end{align} Ein gemeinsamer Nenner (aber nicht unbedingt der kleinste gemeinsame Nenner) lässt sich durch gegenseitiges Erweitern der Brüche finden.Der 1. Bruch wird mit dem Nenner des 2. Bruchs erweitert und anderseherum.\begin{align} \frac{3}{\color{r}5}; \frac{4}{\color{gr}6}\end{align} \begin{align} \frac{3\cdot \color{gr}6}{5\cdot \color{gr}6}&=\frac{18}{30}\\ \frac{4\cdot \color{r}5}{6\cdot \color{gr}5}&=\frac{20}{30}\end{align} |
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Aufgaben
Erweitere die folgenden Brüche.
Lösung
Zuerst musst du einen gemeinsamen Nenner finden. Anschließend erweiterst du beide Brüche so, dass der Nenner der beiden Brüche gleich ist. Dafür musst du zuerst, mithilfe des Nenners, die Erweiterungszahl der Brüche berechnen.
Ein Bruch wird erweitert, indem sowohl Zähler als auch Nenner mit der gleichen Zahl, der Erweiterungszahl, multipliziert werden.
Stell dir vor, du teilst dir eine Pizza mit einer anderen Person. Jeder von euch erhält eine Hälfte der Pizza. Da ihr die halbe Pizza aber nicht im ganzen essen könnt, teilt ihr eure jeweilige Hälfte wiederum in vier Stücke. Jetzt bekommt jeder 4 Stücke der Pizza. Also 4/8 der gesamten Pizza. Diese 4/8 sind aber nicht mehr oder weniger als die halbe Pizza.
Jeder Bruch lässt sich mit einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist erweitern.
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