Brüche erweitern

In dieser Erklärung erfährst Du, wie Du Brüche erweiterst. Außerdem lernst Du, wann welche Methode zum Erweitern am besten geeignet ist. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Brüche erweitern – Definition

    Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl (die sogenannte Erweiterungszahl) multipliziert werden. Dadurch verändert sich nicht der Wert des Bruchs, sondern nur dessen Darstellung.

    \[\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}\]

    Durch Erweitern des Bruchs \(\frac{1}{2}\) mit \(4\) erhältst Du den Bruch \(\frac{4}{8}\). Beide Brüche beschreiben die Hälfte eines Ganzen, doch ihre Darstellung ist unterschiedlich.

    Brüche erweitern Beispiele StudySmarterAbb. 1 - Beispiel zum Erweitern von Brüchen

    Brüche erweitern – Beispiele

    Brüche erweitern musst Du in der Regel in diesen Fällen:

    • Addieren/Subtrahieren von Brüchen: Zwei Brüche müssen auf denselben Hauptnenner gebracht werden
    • Vergleichen von Brüchen: Um herauszufinden, welcher zweier Brüche größer ist, musst Du die beiden Brüche auf denselben Nenner bringen
    BeispielLösung
    Erweitere den Bruch \(\frac{2}{5}\) mit der Erweiterungszahl 3.\[\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{6}{15}\]
    Bringe \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{1}{16}\) auf denselben Nenner.\(4\cdot 4\) ist 16 also erweiterst Du mit \(4\).\[\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}=\frac{12}{16}\]
    Welcher Bruch ist größer: \(\frac{5}{6}\) oder \(\frac{11}{12}\)?\begin{align}\frac{5}{6}&=\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{10}{12}\end{align}\[\frac{10}{12}<\frac{11}{12}\]\(\frac{5}{6}\) ist kleiner als \(\frac{11}{12}\).

    Brüche erweitern – Brüche auf Hauptnenner bringen

    \(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Brüche müssen häufig auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Es gibt drei grundlegende Arten und Weisen, um möglichst unkompliziert den gemeinsamen Nenner zu finden.

    MethodeBeispielVorteileNachteile
    Primfaktorzerlegung\begin{align} \frac{3}{8}; \frac{4}{36}\end{align}Primfaktorzerlegung der Nenner:\begin{align}8&=2^3\\36&=2^2\cdot 3^2\end{align}Der kleinste gemeinsame Nenner entspricht dem Produkt der höchsten Potenzen der jeweiligen Zerlegungen. Höchste Potenz von 2: \(2^3\) Höchste Potenz von 3: \(3^2\) Kleinster gemeinsamer Nenner: \(2^3\cdot 3^2=72\)
    • Funktioniert nach einer strikten Methode und lässt sich immer anwenden
    • kein aufwendiges Kopfrechnen nötig
    • Langsam und viel Schreibarbeit
    • Kann schwer zu merken sein
    Gemeinsames Vielfaches\begin{align} \frac{3}{5}; \frac{4}{6}\end{align} Hier erkennst Du ein gemeinsames Vielfaches der Nenner. Dafür betrachtest Du die jeweiligen Vielfache der Nenner und findest das kleinste gemeinsame Vielfache:\begin{align}kgV(5)&=\{5;10;15;20;25;{\color{r}30};35;\dots\}\\kgV(6)&=\{6;12;18;24;{\color{r}30};36;\dots\}\end{align}30 ist somit der Hauptnenner und Du erweiterst beide Brüche auf 30:\begin{align} \frac{3}{5}&=\frac{3\cdot 6}{5\cdot 6}=\frac{18}{30}\\\frac{4}{6}&=\frac{4\cdot 5}{6\cdot 5}=\frac{20}{30}\end{align}
    • Schnell, wenn das kgV schnell zu finden ist
    • Kann sehr lange dauern, wenn das kgV nicht leicht zu finden ist
    Erweitern mit dem jeweils anderen Nenner\begin{align} \frac{3}{5}; \frac{4}{6}\end{align} Ein gemeinsamer Nenner (aber nicht unbedingt der kleinste gemeinsame Nenner) lässt sich durch gegenseitiges Erweitern der Brüche finden.Der 1. Bruch wird mit dem Nenner des 2. Bruchs erweitert und anderseherum.\begin{align} \frac{3}{\color{r}5}; \frac{4}{\color{gr}6}\end{align} \begin{align} \frac{3\cdot \color{gr}6}{5\cdot \color{gr}6}&=\frac{18}{30}\\ \frac{4\cdot \color{r}5}{6\cdot \color{gr}5}&=\frac{20}{30}\end{align}
    • Funktioniert immer
    • Grundsätzlich schnelle Methode
    • Zahlen können schnell groß und schwerer zu berechnen werden
    • Im Gegensatz zu den anderen Methoden findest Du nicht unbedingt das kgV, sondern nur ein Vielfaches

    Brüche erweitern – Übungen

    Jetzt kannst Du Dein neu erworbenes Wissen noch mit einigen Übungsaufgaben testen.

    Aufgaben

    Erweitere die folgenden Brüche.

    1. Erweitere die Brüche und auf ihren gemeinsamen Hauptnenner.

    Lösung

    1. und

    Brüche erweitern – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Brüche lassen sich erweitern, indem Zähler und Nenner jeweils mit derselben Zahl multipliziert werden.
    • Die Erweiterungszahl ist diejenige Zahl, mit der Zähler und Nenner multipliziert werden.
    • Zwei Brüche lassen sich auch auf einen gemeinsamen Hauptnenner erweitern. Dafür muss zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Brüche bestimmt werden.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche erweitern

    Wie bringe ich Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?

    Zuerst musst du einen gemeinsamen Nenner finden. Anschließend erweiterst du beide Brüche so, dass der Nenner der beiden Brüche gleich ist. Dafür musst du zuerst, mithilfe des Nenners, die Erweiterungszahl der Brüche berechnen. 

    Wie erweitert man einen Bruch?

    Ein Bruch wird erweitert, indem sowohl Zähler als auch Nenner mit der gleichen Zahl, der Erweiterungszahl, multipliziert werden.

    Warum ändert sich der Wert eines Bruches beim erweitern nicht?

    Stell dir vor, du teilst dir eine Pizza mit einer anderen Person. Jeder von euch erhält eine Hälfte der Pizza. Da ihr die halbe Pizza aber nicht im ganzen essen könnt, teilt ihr eure jeweilige Hälfte wiederum in vier Stücke. Jetzt bekommt jeder 4 Stücke der Pizza. Also 4/8 der gesamten Pizza. Diese 4/8 sind aber nicht mehr oder weniger als die halbe Pizza.

    Kann man jeden Bruch erweitern?

    Jeder Bruch lässt sich mit einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist erweitern.

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