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Manche Rechnungen mit Brüchen kann man auf den ersten Blick nicht lösen, denn die Nenner der Brüche stimmen nicht überein.
Auch wenn man Viertel und Sechstel nicht einfach so addieren kann, kann man sie jedoch umformen, sodass die Rechnung doch lösbar ist. Das entscheidende Schlagwort für eine solche Umformung ist das Erweitern.
Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert werden.
Ein Bruch lässt sich also erweitern, indem sowohl Zähler als auch Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl multipliziert werden. Diese Zahl wird auch Erweiterungszahl genannt und muss größer als 1 sein.
Wichtig: Das Erweitern von Brüchen verändert lediglich die Darstellung der Zahl. Der Wert des Bruches wird dadurch nicht verändert, bleibt also gleich.
In diesem Beispiel wird der Bruch 
mit der Zahl 2 erweitert.
Das Erweitern von Brüchen lässt sich auch graphisch darstellen. Stell dir vor, du teilst dir eine Pizza mit einer anderen Person. Jeder von euch erhält eine Hälfte der Pizza. Da ihr die halbe Pizza aber nicht im ganzen essen könnt, teilt ihr eure jeweilige Hälfte wiederum in vier Stücke. Jetzt bekommt jeder 4 Stücke der Pizza. Also 
der gesamten Pizza. Diese 
sind aber nicht mehr oder weniger als die 
Pizza, sondern bleibt genau gleich viel.
Abbildung 1: Beispiel zum Erweitern von Brüchen
Ein Bruch lässt sich beliebig lange erweitern, denn die Zahl, mit der erweitert wird, kann beliebig groß gewählt werden.
Das Erweitern von Brüchen ist die Umkehroperation des Kürzen von Brüchen. Beim Kürzen von Brüchen werden Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche natürliche Zahl dividiert. Der Wert des Bruches bleibt dabei unverändert. Im Gegensatz zum Brüche erweitern, lässt sich beim Kürzen der Bruch nicht beliebig weit kürzen.
Beim Erweitern eines Bruches mit einer Zahl musst du nur Zähler und Nenner des angegebenen Bruches mit der gewünschten Zahl erweitern. Das bedeutet, dass du jeweils den Zähler und den Nenner mit der gegebenen Zahl multiplizierst.
Im folgenden Beispiel ist unsere Erweiterungszahl 5. Das bedeutet, dass wir den Zähler und den Nenner unseres Bruches 
jeweils mit 5 multiplizieren müssen.
Manchmal wird beim Erweitern die Erweiterungszahl auch oberhalb des Gleichheitszeichen geschrieben. Das sieht dann aus wie in dem folgenden Beispiel.
Meistens werden Brüche erweitert, damit Rechnungen wie zu Beginn der Aufgabe gelöst werden können. Die Aufgabenstellungen können aber auch ein wenig anders aussehen.
In diesem Aufgabentyp haben wir einen Bruch und den erweiterten Bruch gegeben. Die Aufgabe ist es nun herauszufinden, mit welcher Zahl der ursprüngliche Bruch multipliziert wurde. Das bedeutet, dass die Erweiterungszahl bestimmt werden muss.
Um die Erweiterungszahl zu bestimmen, wird entweder der Zähler oder der Nenner des erweiterten Bruches durch den Zähler oder Nenner des ursprünglichen Bruches dividiert. In beiden Fällen sollte dieselbe Zahl herauskommen. Diese Zahl ist die gesuchte Erweiterungszahl.
Die Aufgabe ist es herauszufinden, mit welcher Zahl der Zähler 7 und der Nenner 8 multipliziert wurden, damit der erweiterten Bruch entstanden ist.
Es können also jetzt entweder die Zähler, oder die Nenner betrachtet werden:
Die gesuchte Erweiterungszahl ist also die 3.
In diesem Fall fehlt entweder der Zähler oder der Nenner des erweiterten Bruches, und zusätzlich fehlt noch die Erweiterungszahl.
Um diese fehlenden Werte bestimmen zu können, musst du zunächst die Erweiterungszahl bestimmen. In dem du den gegebenen, erweiterten Zähler bzw. Nenner mit dem nicht-erweiterten Zähler bzw. Nenner dividierst.
Wenn du dann die Erweiterungszahl bestimmt hast, kannst du den gesuchten Zähler oder Nenner des erweiterten Bruches bestimmen. Dafür multiplizierst du den Nenner bzw. Zähler des nicht-erweiterten Bruches mit der Erweiterungszahl.
Wenn du noch mehr zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen lernen möchtest, kannst du das in diesem Artikel nachlesen.
Um zwei Brüche auf einen Hauptnenner bringen zu können, musst du dir zunächst alle Vielfache der Nenner aufschreiben.
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Für dieses Beispiel nehmen wir die beiden Brüche 
und 
.
Als nächstes schaust du welche Zahlen bei beiden Nennern ein Vielfaches ist. In diesem Beispiel ist das die 15.
Notiere dir, wenn du mehrere gefunden hast, die kleinste Zahl. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Um die beiden Brüche jetzt auf den Hauptnenner zu erweitern, musst du für beide Brüche herausfinden, mit welcher Erweiterungszahl sich die Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweitern lassen.
1. 
2. 
Jetzt kannst du dein neu erworbenes Wissen noch mit einigen Übungsaufgaben testen.
Aufgaben
Erweitere die folgenden Brüche.
und 
auf ihren gemeinsamen Hauptnenner.
Lösung
und 
Du solltest jetzt in der Lage sein, auch Bruchrechnungen lösen zu können, bei denen die Lösung nicht direkt ersichtlich ist. Schau dir gerne noch weitere Artikel zu den Themen Brüche und Dezimalzahlen auf StudySmarter an, um dein neu erworbenes Wissen noch zu vertiefen.
Zuerst musst du einen gemeinsamen Nenner finden. Anschließend erweiterst du beide Brüche so, dass der Nenner der beiden Brüche gleich ist. Dafür musst du zuerst, mithilfe des Nenners, die Erweiterungszahl der Brüche berechnen.
Ein Bruch wird erweitert, indem sowohl Zähler als auch Nenner mit der gleichen Zahl, der Erweiterungszahl, multipliziert werden.
Stell dir vor, du teilst dir eine Pizza mit einer anderen Person. Jeder von euch erhält eine Hälfte der Pizza. Da ihr die halbe Pizza aber nicht im ganzen essen könnt, teilt ihr eure jeweilige Hälfte wiederum in vier Stücke. Jetzt bekommt jeder 4 Stücke der Pizza. Also 4/8 der gesamten Pizza. Diese 4/8 sind aber nicht mehr oder weniger als die halbe Pizza.
Jeder Bruch lässt sich mit einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist erweitern.
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