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Distributivgesetz

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Mathe


lea.breuer@studysmarter.de

@Design: etwa in der Mitte des Artikels gibt es zwei Formeln, die designt werden müssten.

9:7 05.01.2022

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lena.graf@studysmarter.de

- ich fände es noch schön, wenn du das Ausklammern auch noch kurz (mit einem Beispiel vielleicht) anschneiden würdest, da du es ja auch erwähnst. Das Ausklammern habe ich unter die Minusklammern geschrieben.


- Merksatz steht wieder in den Keywords, fällt mir jetzt aber auch nichts Gutes ein ( In der Disko tanzt das C mal mit jedem aus der Gruppe??). Habe die Merkidee im Absatz Merksatz ganz unten, damit du nicht ewig suchen musst

10:22 12.01.2022

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In diesem Artikel betrachten wir das Distributivgesetz, eines der drei wichtigsten Rechengesetze. Neben dem Distributivgesetz gibt es noch das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Diese drei Rechengesetze helfen dir, lange Terme zu strukturieren und zu berechnen.



Wiederholung: Was ist ein Rechengesetz?


Bevor wir uns das Distributivgesetz genau anschauen, wollen wir noch einmal kurz wiederholen, was ein Rechengesetz ist und wofür wir es brauchen.  


Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.


Ein Rechengesetz gibt dir also vor, wie du in bestimmten Situationen Rechnungen auszuführen hast. Es sagt dir zum Beispiel, welchen Teil der Rechnung du zuerst berechnen musst.


Genauso wie bei Gesetzen im Alltag passiert etwas Unschönes, wenn man dagegen verstößt: das Ergebnis der Rechnung wird falsch, und in der Mathe-Prüfung bekommst du wahrscheinlich einen Punkt Abzug. 


Neben den Rechengesetzen gibt es noch ein paar Rechenregeln, wie die Klammerregeln oder die Vorrangregeln.


Alle wichtigen Rechengesetze und Rechenregeln findest du im Kapitel "Rechengesetze" erklärt!



Was ist das Distributivgesetz?


Das Distributivgesetz wird auch Verteilungsgesetz genannt. Es ermöglicht dir, Klammern auszumultiplizieren oder umgekehrt Faktoren auszuklammern. Dadurch kannst du Terme berechnen oder anschaulich zusammenfassen.


Diese Rechnung kann durch die Anwendung des Distributivgesetzes anders aufgeschrieben werden:




Der Begriff "Distributivgesetz" kommt vom lateinischen Wort "distribuere", was "verteilen" bedeutet.


Beim Distributivgesetz wird immer eine Strichrechnung - also Plus oder Minus - mit einer Punktrechnung - Mal oder Geteilt - verbunden. 


Anders als das Assoziativgesetz und Kommutativgesetz, die beide für die Addition und die Multiplikation gelten, gilt das Distributivgesetz für die Multiplikation und die Division. Es gibt aber einen kleinen Unterschied, ob du multiplizierst oder dividierst. Deshalb schauen wir uns das Distributivgesetz in den beiden folgenden Abschnitten für das Multiplizieren und Dividieren getrennt an.



Das Distributivgesetz der Multiplikation


Das Distributivgesetz der Multiplikation ermöglicht es dir, Klammern auszumultiplizieren. Andersherum kannst du Summen in Produkte umwandeln, indem du einzelne Faktoren ausklammerst. Diese beiden Fähigkeiten brauchst du vor allem, wenn du Terme berechnen oder vereinfachen sollst.


Formal definiert sieht das Distributivgesetz der Multiplikation so aus:


Das Distributivgesetz der Multiplikation:


Für alle Zahlen a, b und c gilt:


Distributivgesetz Distributivgesetz der Multiplikation Formel StudySmarter


Der Faktor c wird beim Distributivgesetz auf a und b verteilt. Jede Zahl, die also in der Klammer steht, wird einmal mit c multipliziert. 


Mach dir keine Sorgen, wenn diese Formeln jetzt schwer aussehen. Wenn du dir die Beispielaufgaben angeschaut hast, und den Merksatz am Ende dieses Kapitels verstanden hast, dann wird das Distributivgesetz kein Problem mehr für dich sein!


Beispielaufgaben


Das Distributivgesetz der Multiplikation wird dir wahrscheinlich etwas häufiger begegnen als das Distributivgesetz der Division. Dabei können für a, b und c Zahlen, aber auch Variablen eingesetzt sein.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, damit du das richtig gut verstehst.


Aufgabe


Berechne die folgenden Terme, indem du das Distributivgesetz der Multiplikation anwendest.



Lösung


zu 1. 

 


zu 2.


 


zu 3.

 


zu 4. 



Linksdistributiv und Rechtsdistributiv


Bei den bisherigen Beispielen stand der Faktor oder die Zahl, die mit einer Klammer verbunden wurde, immer rechts von der Klammer. Das sah dann so aus:




Bei der Multiplikation gilt das Distributivgesetz aber auch, wenn der Faktor links von der Klammer steht, also wenn ein Term in der folgenden Form gegeben ist:




Das gilt, weil die Multiplikation kommutativ ist, also auch das Kommutativgesetz gilt. 


Erinnerung: die Multiplikation ist kommutativ, es gilt also: . Faktoren dürfen also vertauscht werden.

Wenn du dein Wissen zum Kommutativgesetz noch einmal auffrischen möchtest, dann kannst du dir unsere Artikel zum Kommutativgesetz durchlesen.


Man spricht dann davon, dass die Multiplikation linksdistributiv und rechtsdistributiv ist.

Somit kann man das Distributivgesetz der Multiplikation noch einmal ganz korrekt aufschreiben.


Das Distributivgesetz der Multiplikation:


Für alle Zahlen a, b und c gilt:


Distributivgesetz Distributivgesetz der Multiplikation StudySmarter


Merksatz zum Distributivgesetz


Damit du das Distributivgesetz immer richtig anwendest, gibt es eine kleine Merkhilfe: zum Ausmultiplizieren hilft es sehr, wenn man sich Rechenbögen zeichnet. 

lea.breuer@studysmarter.de

@design: diese beiden Formeln sollen designt werden. Danke!

9:7 05.01.2022

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Mithilfe dieser Bögen stellst du sicher, dass der Faktor außerhalb der Klammer auf jede Zahl innerhalb der Klammer verteilt wird.


Diese Merkhilfe gilt unabhängig davon, ob ein - oder ein + innerhalb der Klammer steht!


Und damit du das Distributivgesetz nicht mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz verwechselst, gibt es hier noch einen weitere Merkhilfe.


Bei Distributiv kann man leicht an den Diskus denken, das Wurfgerät aus der Leichtathletik. 

Bei Distributivgesetz wird also das Element außerhalb der Klammer zweimal geworfen, und landet einmal auf dem ersten Element in der Klammer, und das andere Mal auf dem anderen Element in der Klammer.


lea.breuer@studysmarter.de

@Tarik: Meinst du, man kann hier irgendwas cooles designen lassen? Irgendwie das Bildchen oben mit zwei Disken drin? Oder ist das zu viel Aufwand für so nen kleinen Artikel?

15:16 20.01.2022

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Das Distributivgesetz der Division


Das Distributivgesetz gilt nicht nur für die Multiplikation, sondern auch für die Division, jedoch nur eingeschränkt: die Division ist nämlich nur rechtsdistributiv


Das Distributivgesetz der Division lautet also:


Das Distributivgesetz der Division:


Für alle Zahlen a, b und für alle Zahlen c außer 0 gilt:


Distributivgesetz Distributivgesetz der Division StudySmarter


Die Zahl c darf nicht 0 sein. Wieso? Bestimmt hast du schon gehört, dass man nicht durch 0 teilen darf. Wenn die Zahl c aber 0 wäre, dann würde durch 0 geteilt werden.


Schauen wir uns noch ein kurzes Gegenbeispiel an, um zu sehen, dass die Division wirklich nicht linksdistributiv ist.


Betrachte den Term 


Wird der Term nach den bekannten Rechenregeln berechnet, wird erst die Klammer ausgerechnet und dann geteilt:




Wenn wir das Distributivgesetz anwenden, kommt jedoch ein anderes Ergebnis heraus:



Das richtige Ergebnis dieses Terms ist also 2, wenn wir das Distributivgesetz anwenden, kommt aber  heraus, eine ganz andere Zahl, die zudem negativ ist.


Die Division ist also nicht linksdistributiv!


Die Division ist aber rechtsdistributiv. Dazu schauen wir uns auch ein Beispiel an.




  • Das Distributivgesetz der Multiplikation ist links- und rechtsdistributiv. Du kannst es also immer anwenden, wenn du eine Klammer in Verbindung mit einer Zahl siehst, die an die Klammer multipliziert wird.
  • Das Distributivgesetz der Division ist nur rechtsdistributiv. Du kannst es also nur anwenden, wenn eine Klammer durch eine Zahl geteilt wird, aber nicht, wenn eine Zahl durch eine Klammer geteilt wird.



Besondere Anwendungen des Distributivgesetzes


Es gibt ein paar Situationen, in denen die Anwendung des Distributivgesetzes ein bisschen anders aussieht oder gar keinen Sinn macht. Zwei davon schauen wir uns in diesem Abschnitt einmal an.


Mehr als zwei Zahlen in der Klammer


Das Distributivgesetz gilt auch, wenn mehr als zwei Zahlen in der Klammer stehen. Es gilt sogar auch, wenn dann in der Klammer verschiedene Strichrechnungen vorkommen. Wichtig ist dann nur, dass die jeweilige Strichrechnung bei der entsprechenden Zahl in der Klammer bleibt.


Klingt kompliziert, aber mithilfe der folgenden Beispiele wird dir das sicherlich klar.


Aufgabe


Berechne die folgenden Terme oder vereinfache sie, so weit es geht.



Lösung


zu 1.


zu 2.



Es ist also egal, wie viele Zahlen in der Klammer stehen. Du kannst das Distributivgesetz trotzdem anwenden.


Minusklammern und das Distributivgesetz


lea.breuer@studysmarter.de

@Lena: Hast du einen konkreten Vorschlag, was ich in diesem Absatz kürzen kann? Ich denke, dass an dieser Stelle gerne Vorzeichenfehler passieren, deshalb tu ich mich schwer, da was zu löschen. Ich finde alles zu wichtig   


Dann lassen wir das so, ich hab den Artikel nur im Internet gefunden (ist ja schon veröffentlicht) und da finde ich wirkt er nochmal einiges länger als hier zum Lesen.

16:1 18.01.2022

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Sicherlich ist dir schon einmal eine der besonders gemeinen Minusklammern über den Weg gelaufen.


Zur Erinnerung: Eine Minusklammer ist eine Klammer, vor der ein negatives Vorzeichen steht. 


Minusklammern werden aufgelöst, indem alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgedreht werden. 

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dazu an. Wenn du noch mehr über Minusklammern wissen möchtest, dann solltest du dir den Artikel zum Klammern auflösen auf StudySmarter anschauen.




Wenn eine Minusklammer in einem Term vorkommt, und mithilfe des Distributivgesetzes vereinfacht werden kann, passiert es sehr leicht, dass das Minus verloren geht:


 


Was ist an diesem Beispiel falsch?

Das hintere Plus stimmt nicht, denn aufgrund der Minusklammer müsste es ein Minus sein.


Um solche Fehler zu vermeiden, solltest du dich immer zuerst um das negative Vorzeichen vor der Klammer kümmern, bevor du das Distributivgesetz anwendest.


Verbessern wir das Beispiel von eben:




Hier wurden zuerst die Vorzeichen in der Klammer umgedreht und dann das Distributivgesetz angewendet. Jetzt stimmt die Umformung.


Wichtig ist in dem Zusammenhang aber auch, dass du die Minusklammer nicht ganz auflöst, also die Klammer nicht weglässt, wie es im nächsten Beispiel gemacht wird. Ansonsten wird der Term ebenfalls falsch.




Der Umgang mit Minusklammern erfordert ein bisschen Übung. Deshalb findest du am Ende des Artikels noch ein paar Übungsaufgaben, in denen auch Minusklammern vorkommen. Außerdem kannst du dir den Artikel zum Klammern auflösen nochmal anschauen, in dem es auch um Minusklammern geht. Und sicherlich wird dir deine Mathelehrerin oder dein Mathelehrer auch ein paar Hausaufgaben aufgeben, in denen Minusklammern vorkommen.


Ausklammern


Das Ausklammern ist die umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes, also wenn du aus einer Summe ein Produkt machen möchtest. 

Der Vollständigkeit halber wird das Ausklammern hier kurz angesprochen. Möchtest du aber mehr zum Ausklammern wissen und ein paar schwerere Beispiele sehen, dann solltest du dir den Artikel "Ausklammern und Ausmultiplizieren" anschauen. 


Beim Ausklammern geht man wie folgt vor:


  1. Zuerst werden die gemeinsamen Faktoren aller Summanden identifiziert. 
  2. Diese werden dann ausgeklammert, also aus allen Summanden herausgezogen und vor oder hinter eine Klammer geschrieben. Der "Rest" der Summanden wird in die Klammer gesteckt.


Aufgabe


Klammere aus dem folgenden Term alles aus, was möglich ist.



Lösung


Zunächst müssen die gemeinsamen Faktoren von erstem und zweitem Summanden identifiziert werden. 

In beiden Summanden kommt ein x vor, sowie eine 2: 


 


Diese beiden Faktoren können also ausgeklammert werden. Der Rest der Summanden wird in eine Klammer gepackt.





Macht es überhaupt Sinn, das Distributivgesetz anzuwenden?


Wenn du einen Term mit Variablen gegeben hast und diesen vereinfachen sollst, dann macht es wahrscheinlich in den meisten Fällen Sinn, auszumultiplizieren oder auszuklammern.


Wenn du aber mit Zahlen rechnest, macht es nicht unbedingt Sinn, einfach stur das Distributivgesetz anzuwenden, wenn du die Möglichkeit siehst. Manchmal machst du dir die Rechnung auch unnötig kompliziert! 


Schauen wir uns ein paar Beispiele an, in denen die Anwendung des Distributivgesetzes keinen Sinn macht.


Aufgabe 1


Betrachte den Term

Es ist möglich, hier das Distributivgesetz anzuwenden und den Term umzuwandeln:


 


Es ist aber ebenso möglich, nach den Klammerregeln zuerst die Klammer zu berechnen. Das ist in diesem Fall auch sinnvoll, denn das Ergebnis der Klammer ist eine besonders schöne Zahl:




Der zweite Term ist nun deutlich leichter zu berechnen.


Aufgabe 2


Betrachte den Term


Mit dem Distributivgesetz kann dieser Term umgewandelt werden in


 


Viel einfacher ist es aber, erst die Klammer zu berechnen und dann zu multiplizieren:




Überprüfe also immer zuerst, ob es nicht einfacher ist, den Term direkt zu berechnen, oder ob es wirklich Sinn macht, das Distributivgesetz anzuwenden.



Übungsaufgaben zum Distributivgesetz


Damit du richtig fit im Umgang mit dem Distributivgesetz wirst, kannst du dessen Anwendung hier nochmal üben. 


Aufgabe


Vereinfache die folgenden Terme. Kann man das Distributivgesetz anwenden? Entscheide außerdem, ob es Sinn macht, das Distributivgesetz anzuwenden oder nicht.


 


Lösungen


zu 1.


Es ist hier möglich, das Distributivgesetz anzuwenden, denn die Division ist rechtsdistributiv. Außerdem macht es Sinn, das Distributivgesetz anzuwenden, denn das Teilen durch 2 ist recht einfach. Wir rechnen also:


 


zu 2.


Hier darfst du das Distributivgesetz nicht anwenden. Die Division ist nicht linksdistributiv, wie du oben im Gegenbeispiel gesehen hast. Deshalb muss dieser Term nach den bekannten Regeln berechnet werden, also zuerst die Klammer und dann Punkt vor Strich:


 


zu 3. 


Hier kannst du das Distributivgesetz anwenden, jedoch macht es mehr Sinn, zuerst den Inhalt der Klammer zu berechnen. Außerdem musst du auf das Minus vor der Klammer achten.


 


zu 4.


Hier gibt es keine Möglichkeit, das Distributivgesetz anzuwenden. Du kannst aber nochmal üben, eine Minusklammer aufzulösen.


 


Dieser Term kann nicht weiter vereinfacht werden.



Distributivgesetz - Das Wichtigste

  • Das Distributivgesetz ist neben dem Kommutativgesetz und dem Assoziativgesetz eines der drei wichtigsten Rechengesetze der Mathematik.
  • Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
  • Das Distributivgesetz ermöglicht es dir, auszumultiplizieren und auszuklammern.
  • Das Distributivgesetz der Multiplikation lautet: Für alle Zahlen a, b und c gilt:
    • Rechtsdistributivität:
    • Linksdistributivität:
  • Das Distributivgesetz der Division lautet: Für alle Zahlen a, b und c gilt:
    • Rechtsdistributivität:  
  • Das Distributivgesetz gilt auch, wenn mehrere Zahlen innerhalb der Klammer stehen.
  • Manchmal macht es keinen Sinn, das Distributivgesetz anzuwenden, da es die Rechnung erschwert. 


Häufig gestellte Fragen zum Thema Distributivgesetz

Die Distributivgesetze der Multiplikation lauten: (a+b)*c=a*c+b*c und (a-b)*c=a*c-b*c

Die Distributivgesetze der Division lauten: (a+b):c=a:c+b:c und (a-b):c=a:c-b:c

Das Distributivgesetz ist eine Äquivalenzumformung, also eine Umformung, bei der das Ergebnis einer Rechnung nicht verändert wird, auch wenn man die Rechnung umstellt. Durch das Distributivgesetz wird also nur der Rechenweg, nicht aber das Ergebnis verändert. Deshalb darf es in bestimmten Rechnungen angewendet werden.

Bei der Multiplikation darfst du das Distributivgesetz immer anwenden, also egal, ob der einzelne Faktor vor oder hinter der Klammer steht. Bei der Division darfst du das Distributivgesetz aber nur anwenden, wenn die Klammer durch eine Zahl geteilt wird. Wird eine Zahl durch eine Klammer geteilt, darfst du das Distributivgesetz NICHT anwenden.

Das Distributivgesetz ist eine Äquivalenzumformung, also eine Umformung, bei der das Ergebnis einer Rechnung nicht verändert wird, auch wenn man die Rechnung umstellt. Durch das Distributivgesetz wird also nur der Rechenweg, nicht aber das Ergebnis verändert. Deshalb darf es in bestimmten Rechnungen angewendet werden.

Finales Distributivgesetz Quiz

Frage

Wie lautet das Distributivgesetz der Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Für alle Zahlen a, b und c gilt: 



Frage anzeigen

Frage

Was bedeuten die Begriffe linksdistributiv und rechtsdistributiv

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Antwort

Eine Rechenoperation ist linksdistributiv, wenn das Distributivgesetz gilt, wenn ein Faktor von links mit einer Klammer verbunden ist: 


 


(dabei steht der Kringel für eine unbestimmte Rechenoperation)


Eine Rechenoperation heißt rechtsdistributiv, wenn das Distributivgesetz auch dann gilt, wenn ein Faktor von rechts mit einer Klammer verbunden ist:



Frage anzeigen

Frage

Mit welcher Eselsbrücke kannst du dir merken, was beim Distributivgesetz passiert?

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Antwort

Bei distributiv kann man an den Diskus denken, das Wurfgerät aus der Leichtathletik. 


Du kannst dir also vorstellen, dass der Faktor außerhalb der Klammer mit dem Diskus auf jedes Element innerhalb der Klammer geworfen wird. 

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Distributivgesetz der Division?

Antwort anzeigen

Antwort

Für alle Zahlen a, b und c gilt:



Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Multiplikation ist links- und rechtsdistributiv.

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache den folgenden Term, indem du das Distributivgesetz anwendest:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn in einem Term eine Minusklammer in Verbindung mit dem Distributivgesetz auftritt?

Antwort anzeigen

Antwort

Hierfür gibt es zwei Wege: 


  1. Du kümmerst dich zuerst um die Minusklammer, also drehst alle Vorzeichen in der Klammer um, schreibst ein + vor die Klammer, und multiplizierst dann aus.
  2. Du multiplizierst erst aus, lässt aber dafür die Klammer stehen. Dann drehst du alle Vorzeichen in der Klammer um, und kannst die Klammer weglassen.
Frage anzeigen

Frage

Wende das Distributivgesetz an: 



Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst wird die Minusklammer beseitigt, dann ausmultipliziert:



Frage anzeigen

Frage

Wende das Distributivgesetz umgekehrt an, und klammere aus:



Antwort anzeigen

Antwort

Der Faktor, der ausgeklammert werden kann, ist die 3. 

Vorsicht: beim letzten Summanden bleibt eine 1 stehen!



Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Immer, wenn man das Distributivgesetz anwenden kann, sollte man das auch machen.

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache den folgenden Term, indem du ausmultiplizierst:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Macht es bei der folgenden Aufgabe Sinn, im ersten Rechenschritt auszumultiplizieren, indem du das Distributivgesetz der Multiplikation anwendest?



Antwort anzeigen

Antwort

Nein, hier macht es keinen Sinn. Du sparst dir Rechenarbeit, wenn du zuerst den Term in der Klammer zusammenfasst.

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