Das Distributivgesetz ist eines der drei wichtigsten Rechengesetze. Neben dem Distributivgesetz gibt es noch das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Diese drei Rechengesetze helfen dir, lange Terme zu strukturieren und zu berechnen.
Rechengesetz Grundlagenwissen
Ein Rechengesetz gibt dir vor, wie du in bestimmten Situationen Rechnungen auszuführen hast. Es sagt dir zum Beispiel, welchen Teil der Rechnung du zuerst berechnen musst.
Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
Neben den Rechengesetzen gibt es noch Rechenregeln, wie die Klammerregeln oder die Vorrangregeln.
Distributivgesetz - Beispiel
Das Distributivgesetz wird auch Verteilungsgesetz genannt. Es ermöglicht dir, Klammern auszumultiplizieren oder umgekehrt Faktoren auszuklammern. Dadurch kannst du Terme berechnen oder anschaulich zusammenfassen.
Diese Rechnung kann durch die Anwendung des Distributivgesetzes anders aufgeschrieben werden:
Der Begriff "Distributivgesetz" kommt vom lateinischen Wort "distribuere", was "verteilen" bedeutet.
Beim Distributivgesetz wird immer eine Strichrechnung – also Plus oder Minus – mit einer Punktrechnung – Mal oder Geteilt – verbunden.
Anders als das Assoziativgesetz und Kommutativgesetz, die beide für die Addition und die Multiplikation gelten, gilt das Distributivgesetz für die Multiplikation und die Division. Beide Rechenarten haben jeweils unterschiedliche Herangehensweisen.
Distributivgesetz der Multiplikation – Definition
Das Distributivgesetz der Multiplikation ermöglicht es dir, Klammern auszumultiplizieren. Andersherum kannst du Summen in Produkte umwandeln, indem du einzelne Faktoren ausklammerst. Dies hilft dir, Terme zu berechnen oder zu vereinfachen.
Formal definiert sieht das Distributivgesetz der Multiplikation so aus:
Das Distributivgesetz der Multiplikation:
Für alle Zahlen a, b und c gilt:
Der Faktor c wird beim Distributivgesetz auf a und b verteilt. Jede Zahl, die also in der Klammer steht, wird einmal mit c multipliziert.
Distributivgesetz der Multiplikation – Aufgaben
Das Distributivgesetz der Multiplikation wird dir wahrscheinlich etwas häufiger begegnen als das Distributivgesetz der Division. Dabei können für a, b und c Zahlen, aber auch Variablen eingesetzt sein.
Aufgabe 1
Berechne die folgenden Terme, indem du das Distributivgesetz der Multiplikation anwendest:
Lösung 1
zu 1.:
zu 2.:
zu 3.:
zu 4.:
Linksdistributiv und Rechtsdistributiv – Erklärung
Bei den bisherigen Beispielen stand der Faktor oder die Zahl, die mit einer Klammer verbunden wurde, immer rechts von der Klammer. Das sah dann so aus:
Bei der Multiplikation gilt das Distributivgesetz aber auch, wenn der Faktor links von der Klammer steht, also wenn ein Term in der folgenden Form gegeben ist:
Das gilt, weil die Multiplikation kommutativ ist; hier gilt das Kommutativgesetz.
Erinnerung: Die Multiplikation ist kommutativ, es gilt: 
. Faktoren dürfen also vertauscht werden.
Wenn du dein Wissen zum Kommutativgesetz noch einmal auffrischen möchtest, dann kannst du dir unseren Artikel dazu durchlesen.
Man spricht dann davon, dass die Multiplikation linksdistributiv und rechtsdistributiv ist.
Das Distributivgesetz der Multiplikation:
Für alle Zahlen a, b und c gilt:
Distributivgesetz - Merksatz
Damit du das Distributivgesetz immer richtig anwendest, gibt es eine kleine Merkhilfe: Zum Ausmultiplizieren hilft es sehr, wenn man Rechenbögen zeichnet:
Mithilfe dieser Bögen stellst du sicher, dass der Faktor außerhalb der Klammer auf jede Zahl innerhalb der Klammer verteilt wird.
Diese Merkhilfe gilt unabhängig davon, ob ein - oder ein + innerhalb der Klammer steht!
Und damit du das Distributivgesetz nicht mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz verwechselst, gibt es hier noch eine weitere Merkhilfe:
Bei Distributiv kann man leicht an den Diskus denken, das Wurfgerät aus der Leichtathletik.
Beim Distributivgesetz wird also das Element außerhalb der Klammer zweimal geworfen, und landet einmal auf dem ersten Element in der Klammer, und das andere Mal auf dem anderen Element in der Klammer.
Distributivgesetz der Division – Definition
Das Distributivgesetz gilt nicht nur für die Multiplikation, sondern auch für die Division, jedoch nur eingeschränkt: Die Division ist nämlich nur rechtsdistributiv!
Das Distributivgesetz der Division lautet also:
Das Distributivgesetz der Division:
Für alle Zahlen a, b und für alle Zahlen c außer 0 gilt:
Die Zahl c darf nicht 0 sein. Wieso? Es darf nicht durch 0 geteilt werden. Wenn die Zahl c aber 0 wäre, dann würde durch 0 geteilt werden.
Hier findest du ein Gegenbeispiel, um zu sehen, dass die Division nicht linksdistributiv ist.
Betrachte den Term:
Wird der Term nach den bekannten Rechenregeln berechnet, wird erst die Klammer ausgerechnet und dann geteilt:
Wenn wir das Distributivgesetz anwenden, kommt jedoch ein anderes Ergebnis heraus:
Das richtige Ergebnis dieses Terms ist also 2. Wenn du aber das Distributivgesetz anwendest, kommt 
heraus. Eine ganz andere Zahl, die zudem negativ ist.
Die Division ist also nicht linksdistributiv!
Die Division ist aber rechtsdistributiv:
Distributivgesetz – Sonderfälle
Es gibt ein paar Situationen, in denen die Anwendung des Distributivgesetzes ein wenig anders aussieht, oder gar keinen Sinn ergibt. Folgende Fälle veranschaulichen dir dies:
Distributivgesetz – Mehr als zwei Zahlen in der Klammer
Das Distributivgesetz gilt ebenfalls, wenn mehr als zwei Zahlen in der Klammer stehen. Es gilt auch, wenn in der Klammer verschiedene Strichrechnungen vorkommen. Wichtig ist dann nur, dass die jeweilige Strichrechnung bei der entsprechenden Zahl in der Klammer bleibt.
Aufgabe 2
Berechne die folgenden Terme oder vereinfache sie:
Lösung 2
zu 1.:
zu 2.:
Es ist also egal, wie viele Zahlen in der Klammer stehen. Du kannst das Distributivgesetz trotzdem anwenden.
Distributivgesetz – Minusklammern
Eine Minusklammer ist eine Klammer, vor der ein negatives Vorzeichen steht. Minusklammern werden aufgelöst, indem alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgedreht werden.
Wenn du noch mehr über Minusklammern wissen möchtest, dann solltest du dir den Artikel zum Klammern auflösen anschauen.
Wenn eine Minusklammer in einem Term vorkommt, und mithilfe des Distributivgesetzes vereinfacht werden kann, kann es vorkommen, dass das Minus verloren geht:
Was ist an diesem Beispiel falsch? Das hintere Plus stimmt nicht, denn aufgrund der Minusklammer müsste es ein Minus sein.
Um solche Fehler zu vermeiden, solltest du dich immer zuerst um das negative Vorzeichen vor der Klammer kümmern, bevor du das Distributivgesetz anwendest.
So kann das Beispiel von vorhin verbessert werden:
Hier wurden zuerst die Vorzeichen in der Klammer umgedreht und dann das Distributivgesetz angewendet. Jetzt stimmt die Umformung.
Wichtig ist, dass du die Minusklammer nicht ganz auflöst, also die Klammer nicht weglässt, wie es im nächsten Beispiel gemacht wird. Ansonsten wird der Term ebenfalls falsch.
Der Umgang mit Minusklammern erfordert ein bisschen Übung. Deshalb findest du am Ende des Artikels noch ein paar Übungsaufgaben, in denen auch Minusklammern vorkommen.
Außerdem kannst du dir den Artikel zum Klammern auflösen nochmal anschauen, in dem es unter anderem auch um Minusklammern geht.
Distributivgesetz – Ausklammern
Das Ausklammern ist die umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes, also wenn du aus einer Summe ein Produkt machen möchtest.
Beim Ausklammern gehst du wie folgt vor:
- Zuerst werden die gemeinsamen Faktoren aller Summanden identifiziert.
- Diese werden dann ausgeklammert, also aus allen Summanden herausgezogen und vor oder hinter eine Klammer geschrieben. Der "Rest" der Summanden wird in die Klammer gesteckt.
Aufgabe 3
Klammere aus dem folgenden Term alles aus, was möglich ist:
Lösung 3
Zunächst müssen die gemeinsamen Faktoren vom ersten und zweiten Summanden identifiziert werden.
In beiden Summanden kommt ein x vor, sowie eine 2:
Diese beiden Faktoren können also ausgeklammert werden. Der Rest der Summanden wird in eine Klammer gepackt:
Distributivgesetz – Nutzung
Wenn du einen Term mit Variablen gegeben hast und diesen vereinfachen sollst, dann kannst du ihn ausmultiplizieren oder auszuklammern.
Wenn du aber mit Zahlen rechnest, ist es nicht immer ratsam, das Distributivgesetz anzuwenden.
In den folgenden Beispielen siehst du, dass die Anwendung des Distributivgesetzes in manchen Fällen keine gute Lösung darstellt:
Aufgabe 4
Betrachte den Term 
.
Es ist möglich, hier das Distributivgesetz anzuwenden und den Term umzuwandeln:
Es ist aber ebenso möglich, nach den Klammerregeln zuerst die Klammer zu berechnen. Das ist in diesem Fall auch sinnvoll:
Der zweite Term ist nun deutlich leichter zu berechnen.
Aufgabe 5
Betrachte den Term 
.
Mit dem Distributivgesetz kann dieser Term umgewandelt werden:
Viel einfacher ist es aber, erst die Klammer zu berechnen und dann zu multiplizieren:
Überprüfe also immer zuerst, ob es nicht einfacher ist, den Term direkt zu berechnen, oder ob es sinnvoller ist, das Distributivgesetz anzuwenden.
Distributivgesetz – Aufgaben
Mit den folgenden Beispielaufgaben kannst du dein Wissen über das Distributivgesetz prüfen:
Aufgabe 6
Vereinfache die folgenden Terme. Kann man das Distributivgesetz anwenden? Entscheide außerdem, ob sinnvoll ist, das Distributivgesetz anzuwenden oder nicht:
Lösung 6
Zu 1.:
Es ist hier möglich, das Distributivgesetz anzuwenden, denn die Division ist rechtsdistributiv. Außerdem ist es sinnvoll, das Distributivgesetz anzuwenden, denn das Teilen durch 2 ist recht einfach.Du rechnest also:
Zu 2.:
Hier darfst du das Distributivgesetz nicht anwenden. Die Division ist nicht linksdistributiv, wie du oben im Gegenbeispiel gesehen hast. Deshalb muss dieser Term nach den bekannten Regeln berechnet werden, also zuerst die Klammer und dann Punkt vor Strich:
Zu 3.:
Hier kannst du das Distributivgesetz anwenden, jedoch ist es sinnvoller, zuerst den Inhalt der Klammer zu berechnen. Außerdem musst du auf das Minus vor der Klammer achten:
Zu 4.:
Hier gibt es keine Möglichkeit, das Distributivgesetz anzuwenden. Du kannst aber nochmal üben, eine Minusklammer aufzulösen:
Dieser Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
Distributivgesetz – Das Wichtigste
- Das Distributivgesetz ist neben dem Kommutativgesetz und dem Assoziativgesetz eines der drei wichtigsten Rechengesetze der Mathematik.
- Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
- Das Distributivgesetz ermöglicht es dir, auszumultiplizieren und auszuklammern.
- Das Distributivgesetz der Multiplikation lautet: Für alle Zahlen a, b und c gilt:
- Rechtsdistributivität:
. - Linksdistributivität:
.
- Das Distributivgesetz der Division lautet: Für alle Zahlen a, b und c gilt:
- Rechtsdistributivität:
.
- Das Distributivgesetz gilt auch, wenn mehrere Zahlen innerhalb der Klammer stehen.
- Manchmal ergibt es keinen Sinn, das Distributivgesetz anzuwenden, da es die Rechnung erschwert.
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