Distributivgesetz

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Als eines der grundlegenden mathematischen Gesetze stellt das Distributivgesetz einen wichtigen Eckpfeiler dar. Es wird in vielen Bereichen der Mathematik, aber auch in anderen Bereichen wie der Informatik und der Physik verwendet. In diesem Artikel werden wir das Distributivgesetz genauer betrachten und uns mit einigen Anwendungsbeispielen befassen.

Was ist das Distributivgesetz?

Das Distributivgesetz wird bei Rechnungen der Form \(a\cdot(b+c)\) angewendet. Das Distributivgesetz besagt, dass die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe von Zahlen gleichwertig ist mit der Summe der Multiplikation jeder Zahl in der Summe mit der ersten Zahl. In mathematischer Notation sieht die Definition für das Distributivgesetz wie folgt aus:

\[a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\]

oder

\[(a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c\]

Dabei sind a, b und c Variablen, die für beliebige Zahlen stehen können.

Distributivgesetz – Erklärung

Dass das Distributivgesetz funktioniert, kannst Du mit einer Rechnung einfach prüfen:

\[5\cdot(2+7)=5\cdot 2+5\cdot 7= 10+35=45\]

also dasselbe Ergebnis, wie hier:

\[5\cdot(2+7)=5\cdot(9)=45\]

Stell Dir das Distributivgesetz (auch Verteilungsgesetz genannt) nochmal so vor:

Du hast 8 Obstkörbe mit jeweils 2 Bananen und einem Apfel. Den Korb kannst Du Dir vorstellen, als wäre er die mathematische Klammer. Wenn Du berechnen möchtest, wie viele Bananen und Äpfel Du hast, entsteht der folgende Term:

\[8\cdot(2 \text{ Bananen} + 1 \text{ Apfel} ) = 8\cdot 2 \text{ Bananen} + 8\cdot 1 \text{ Apfel} = 16 \text{ Bananen} + 8 \text{ Äpfel}\]

Distributivgesetz – Merksatz

Damit du das Distributivgesetz immer richtig anwendest, gibt es eine kleine Merkhilfe: Zum Ausmultiplizieren hilft es sehr, wenn man Rechenbögen zeichnet:

Mithilfe dieser Bögen stellst du sicher, dass der Faktor außerhalb der Klammer auf jede Zahl innerhalb der Klammer verteilt wird.

Diese Merkhilfe gilt unabhängig davon, ob ein - oder ein + innerhalb der Klammer steht!

Distributivgesetz – Ausklammern

Das Ausklammern ist die umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes, also wenn Du aus einer Summe ein Produkt machen möchtest.

Beim Ausklammern gehst Du wie folgt vor:

Zuerst werden die gemeinsamen Faktoren aller Summanden identifiziert.
Diese werden dann ausgeklammert, also aus allen Summanden herausgezogen und vor oder hinter eine Klammer geschrieben. Der "Rest" der Summanden wird in die Klammer gesteckt.

\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Betrachte den Term \(4x^2y+2y^2x\).

Zuerst identifizierst Du alle Faktoren, die in beiden Summanden vorkommen:

\[2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot y+ 2\cdot y\cdot y \cdot x\]

In beiden Summanden kommen die Faktoren \(2\), \(y\) und \(x\) vor.

Jetzt bildest Du eine Klammer. Die eben bestimmten Faktoren schreibst Du als gemeinsamen Faktor vor die Klammer und die Faktoren, der Summanden, die nicht gleich waren, schreibst Du in die Klammer also:

\begin{align} 4x^2y+2y^2x &=2\cdot {\color{r}2\cdot x}\cdot x{\color{r}\cdot y}+ {\color{r} 2\cdot y}\cdot y {\color{r}\cdot x}\\ & ={\color{r} 2xy}(2x+y) \end{align}

Distributivgesetz der Division

Das Distributivgesetz lässt sich auch für die Division formulieren. Der einzige Unterschied zur Formulierung als Multiplikation ist, dass die Terme nicht kommutativ sind. Die Terme lassen sich also nicht vertauschen.

Das Distributivgesetz für die Division lautet

\[(a+b):c= a:c+b:c\]

wobei a, b und c Variablen für beliebige Zahlen darstellen.

Distributivgesetz – Aufgaben

Mit den folgenden Beispielaufgaben kannst Du Dein Wissen über das Distributivgesetz prüfen.

Distributivgesetz anwenden – Aufgabe 1

Vereinfache den Ausdruck \(3\cdot(4+5)\) mit dem Distributivgesetz und berechne.

Lösung:\[3\cdot(4+5)=3\cdot 4+3\cdot 5=12+15=27\]

Distributivgesetz anwenden von rechts – Aufgabe 2

Vereinfache den Ausdruck \((7+2)\cdot 3\) mit dem Distributivgesetz und berechne.

Lösung:

\[(7+2)\cdot 3=7\cdot 3+2\cdot 3 = 21+6= 27\]

Distributivgesetz mit zwei Klammern – Aufgabe 3

Vereinfache den Ausdruck \((a+b)\cdot(c+d)\) mit dem Distributivgesetz.

Lösung:

\begin{align} (a+b)(c+d)&=(a+b)\cdot c + (a+b)\cdot d\\&=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d\end{align}

Distributivgesetz – Das Wichtigste

Das Distributivgesetz ist neben dem Kommutativgesetz und dem Assoziativgesetz eines der drei wichtigsten Rechengesetze der Mathematik.
Das Distributivgesetz ermöglicht es Dir, auszumultiplizieren und auszuklammern.
Das Distributivgesetz der Multiplikation lautet: Für alle Zahlen a, b und c gilt:\[a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c\] oder \[(a+b)\cdot c = a\cdot c+ b \cdot c\]
Das Distributivgesetz der Division lautet: Für alle Zahlen a, b und c gilt:\[(a+b):c= a:c+b:c\]
Das Distributivgesetz gilt auch, wenn mehrere Zahlen innerhalb der Klammer stehen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Distributivgesetz

Die Distributivgesetze der Multiplikation lauten: (a+b)*c=a*c+b*c und (a-b)*c=a*c-b*c

Die Distributivgesetze der Division lauten: (a+b):c=a:c+b:c und (a-b):c=a:c-b:c

Das Distributivgesetz ist eine Äquivalenzumformung, also eine Umformung, bei der das Ergebnis einer Rechnung nicht verändert wird, auch wenn man die Rechnung umstellt. Durch das Distributivgesetz wird also nur der Rechenweg, nicht aber das Ergebnis verändert. Deshalb darf es in bestimmten Rechnungen angewendet werden.

Bei der Multiplikation darfst du das Distributivgesetz immer anwenden, also egal, ob der einzelne Faktor vor oder hinter der Klammer steht. Bei der Division darfst du das Distributivgesetz aber nur anwenden, wenn die Klammer durch eine Zahl geteilt wird. Wird eine Zahl durch eine Klammer geteilt, darfst du das Distributivgesetz NICHT anwenden.

Finales Distributivgesetz Quiz

Distributivgesetz Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Wie lautet das Distributivgesetz der Multiplikation?

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Antwort

Für alle Zahlen a, b und c gilt:

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Frage

Was bedeuten die Begriffe linksdistributiv und rechtsdistributiv?

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Antwort

Eine Rechenoperation ist linksdistributiv, wenn das Distributivgesetz gilt, wenn ein Faktor von links mit einer Klammer verbunden ist:

Eine Rechenoperation heißt rechtsdistributiv, wenn das Distributivgesetz auch dann gilt, wenn ein Faktor von rechts mit einer Klammer verbunden ist:

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Frage

Mit welcher Eselsbrücke kannst du dir merken, was beim Distributivgesetz passiert?

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Antwort

Bei distributiv kann man an den Diskus denken, das Wurfgerät aus der Leichtathletik.

Du kannst dir also vorstellen, dass der Faktor außerhalb der Klammer mit dem Diskus auf jedes Element innerhalb der Klammer geworfen wird.

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Frage

Wie lautet das Distributivgesetz der Division?

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Antwort

Für alle Zahlen a, b und c gilt:

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Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

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Antwort

Die Multiplikation ist links- und rechtsdistributiv.

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Frage

Vereinfache den folgenden Term, indem du das Distributivgesetz anwendest:

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Frage

Wie gehst du vor, wenn in einem Term eine Minusklammer in Verbindung mit dem Distributivgesetz auftritt?

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Antwort

Hierfür gibt es zwei Wege:

Du kümmerst dich zuerst um die Minusklammer, also drehst alle Vorzeichen in der Klammer um, schreibst ein + vor die Klammer, und multiplizierst dann aus.
Du multiplizierst erst aus, lässt aber dafür die Klammer stehen. Dann drehst du alle Vorzeichen in der Klammer um, und kannst die Klammer weglassen.

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Frage

Wende das Distributivgesetz an:

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Antwort

Zuerst wird die Minusklammer beseitigt, dann ausmultipliziert:

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Frage

Wende das Distributivgesetz umgekehrt an, und klammere aus:

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Antwort

Der Faktor, der ausgeklammert werden kann, ist die 3.

Vorsicht: beim letzten Summanden bleibt eine 1 stehen!

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Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

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Antwort

Immer, wenn man das Distributivgesetz anwenden kann, sollte man das auch machen.

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Frage

Vereinfache den folgenden Term, indem du ausmultiplizierst:

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Antwort

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Frage

Macht es bei der folgenden Aufgabe Sinn, im ersten Rechenschritt auszumultiplizieren, indem du das Distributivgesetz der Multiplikation anwendest?

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Antwort

Nein, hier macht es keinen Sinn. Du sparst dir Rechenarbeit, wenn du zuerst den Term in der Klammer zusammenfasst.

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Distributivgesetz anwenden – Aufgabe 1

Distributivgesetz anwenden von rechts – Aufgabe 2

Distributivgesetz mit zwei Klammern – Aufgabe 3

Distributivgesetz – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Distributivgesetz

Wie lautet das Distributivgesetz?

Warum gilt das Distributivgesetz?

Wann darf man das Distributivgesetz nicht anwenden?

Warum funktioniert das Distributivgesetz?

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