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Als eines der grundlegenden mathematischen Gesetze stellt das Distributivgesetz einen wichtigen Eckpfeiler dar. Es wird in vielen Bereichen der Mathematik, aber auch in anderen Bereichen wie der Informatik und der Physik verwendet. In diesem Artikel werden wir das Distributivgesetz genauer betrachten und uns mit einigen Anwendungsbeispielen befassen.Das Distributivgesetz wird bei Rechnungen der Form \(a\cdot(b+c)\) angewendet. Das Distributivgesetz besagt, dass die…
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Jetzt kostenlos anmeldenAls eines der grundlegenden mathematischen Gesetze stellt das Distributivgesetz einen wichtigen Eckpfeiler dar. Es wird in vielen Bereichen der Mathematik, aber auch in anderen Bereichen wie der Informatik und der Physik verwendet. In diesem Artikel werden wir das Distributivgesetz genauer betrachten und uns mit einigen Anwendungsbeispielen befassen.
Das Distributivgesetz wird bei Rechnungen der Form \(a\cdot(b+c)\) angewendet. Das Distributivgesetz besagt, dass die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe von Zahlen gleichwertig ist mit der Summe der Multiplikation jeder Zahl in der Summe mit der ersten Zahl. In mathematischer Notation sieht die Definition für das Distributivgesetz wie folgt aus:
\[a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\]
oder
\[(a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c\]
Dabei sind a, b und c Variablen, die für beliebige Zahlen stehen können.Dass das Distributivgesetz funktioniert, kannst Du mit einer Rechnung einfach prüfen:
\[5\cdot(2+7)=5\cdot 2+5\cdot 7= 10+35=45\]
also dasselbe Ergebnis, wie hier:
\[5\cdot(2+7)=5\cdot(9)=45\]
Stell Dir das Distributivgesetz (auch Verteilungsgesetz genannt) nochmal so vor:
Du hast 8 Obstkörbe mit jeweils 2 Bananen und einem Apfel. Den Korb kannst Du Dir vorstellen, als wäre er die mathematische Klammer. Wenn Du berechnen möchtest, wie viele Bananen und Äpfel Du hast, entsteht der folgende Term:
\[8\cdot(2 \text{ Bananen} + 1 \text{ Apfel} ) = 8\cdot 2 \text{ Bananen} + 8\cdot 1 \text{ Apfel} = 16 \text{ Bananen} + 8 \text{ Äpfel}\]
Damit du das Distributivgesetz immer richtig anwendest, gibt es eine kleine Merkhilfe: Zum Ausmultiplizieren hilft es sehr, wenn man Rechenbögen zeichnet:
Mithilfe dieser Bögen stellst du sicher, dass der Faktor außerhalb der Klammer auf jede Zahl innerhalb der Klammer verteilt wird.
Diese Merkhilfe gilt unabhängig davon, ob ein - oder ein + innerhalb der Klammer steht!
Das Ausklammern ist die umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes, also wenn Du aus einer Summe ein Produkt machen möchtest.
Beim Ausklammern gehst Du wie folgt vor:
\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Betrachte den Term \(4x^2y+2y^2x\).
Zuerst identifizierst Du alle Faktoren, die in beiden Summanden vorkommen:
\[2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot y+ 2\cdot y\cdot y \cdot x\]
In beiden Summanden kommen die Faktoren \(2\), \(y\) und \(x\) vor.
Jetzt bildest Du eine Klammer. Die eben bestimmten Faktoren schreibst Du als gemeinsamen Faktor vor die Klammer und die Faktoren, der Summanden, die nicht gleich waren, schreibst Du in die Klammer also:
\begin{align} 4x^2y+2y^2x &=2\cdot {\color{r}2\cdot x}\cdot x{\color{r}\cdot y}+ {\color{r} 2\cdot y}\cdot y {\color{r}\cdot x}\\ & ={\color{r} 2xy}(2x+y) \end{align}
Das Distributivgesetz lässt sich auch für die Division formulieren. Der einzige Unterschied zur Formulierung als Multiplikation ist, dass die Terme nicht kommutativ sind. Die Terme lassen sich also nicht vertauschen.
Mit den folgenden Beispielaufgaben kannst Du Dein Wissen über das Distributivgesetz prüfen.
Vereinfache den Ausdruck \(3\cdot(4+5)\) mit dem Distributivgesetz und berechne.
Vereinfache den Ausdruck \((7+2)\cdot 3\) mit dem Distributivgesetz und berechne.
Lösung:
\[(7+2)\cdot 3=7\cdot 3+2\cdot 3 = 21+6= 27\]
Vereinfache den Ausdruck \((a+b)\cdot(c+d)\) mit dem Distributivgesetz.
Lösung:
\begin{align} (a+b)(c+d)&=(a+b)\cdot c + (a+b)\cdot d\\&=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d\end{align}
Die Distributivgesetze der Multiplikation lauten: (a+b)*c=a*c+b*c und (a-b)*c=a*c-b*c
Die Distributivgesetze der Division lauten: (a+b):c=a:c+b:c und (a-b):c=a:c-b:c
Das Distributivgesetz ist eine Äquivalenzumformung, also eine Umformung, bei der das Ergebnis einer Rechnung nicht verändert wird, auch wenn man die Rechnung umstellt. Durch das Distributivgesetz wird also nur der Rechenweg, nicht aber das Ergebnis verändert. Deshalb darf es in bestimmten Rechnungen angewendet werden.
Bei der Multiplikation darfst du das Distributivgesetz immer anwenden, also egal, ob der einzelne Faktor vor oder hinter der Klammer steht. Bei der Division darfst du das Distributivgesetz aber nur anwenden, wenn die Klammer durch eine Zahl geteilt wird. Wird eine Zahl durch eine Klammer geteilt, darfst du das Distributivgesetz NICHT anwenden.
Das Distributivgesetz ist eine Äquivalenzumformung, also eine Umformung, bei der das Ergebnis einer Rechnung nicht verändert wird, auch wenn man die Rechnung umstellt. Durch das Distributivgesetz wird also nur der Rechenweg, nicht aber das Ergebnis verändert. Deshalb darf es in bestimmten Rechnungen angewendet werden.
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