Zahlen, Zahlen, Zahlen – Davon gibt es viele verschiedene. Doch hast Du schon einmal etwas von Ordinalzahlen oder Kardinalzahlen gehört? Stell Dir vor, Du machst bei einem Schülerwettkampf mit. Die Anzahl der Teilnehmenden Schüler ist 15. 15 ist in diesem Fall eine Kardinalzahl. Der 1. Starter beim Wettkampf bist Du. 1. ist hier eine Ordinalzahl. Was genau jetzt aber Ordinal- und Kardinalzahlen sind und was Sie ausmachen, lernst Du in dieser Erklärung kennen.
Ordinalzahlen und Kardinalzahlen – Grundlagen
Als Basis für die Themen Ordinalzahlen und Kardinalzahlen sind die Begriffe Mengen und natürliche Zahlen relevant. Daher findest Du in den folgenden Abschnitten eine kurze Wiederholung zu diesen Themen.
Mengen und Elemente
Der Begriff Menge wird in der Mengenlehre, einem Teilgebiet in der Mathematik, definiert.
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung eindeutig unterscheidbarer Objekte zu einer Gruppe. Diese Objekte werden Elemente E genannt.
Solche Elemente können alle möglichen Objekte, wie Zahlen, Häuser, Personen oder Ähnliches sein.
Mengen können unendlich oder endlich viele Elemente E besitzen. Mengen mit endlich vielen Elementen heißen endliche Mengen.
Mächtigkeit von Mengen
Die Mächtigkeit einer Menge stellt ihre Größe dar und wird auch Kardinalität einer Menge genannt.
Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt bei endlichen Mengen auch Mächtigkeit der Menge M und wird symbolisch folgendermaßen dargestellt:
Um die Mächtigkeit von Mengen zu bestimmen, können diese oft gezählt werden. Dafür spielen Kardinalzahlen und Ordinalzahlen eine Rolle. Wieso wirst Du im Laufe der Erklärung erfahren.
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen werden in der Mathematik z. B. zum Zählen verwendet. Alles, was zählbar ist, kann mit einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden.
Die Menge der natürlichen Zahlen lautet:
Je nach Definition wird die Null zu den natürlichen Zahlen gezählt oder nicht.
Zahlenmengen werden immer mit geschwungenen Klammern geschrieben.
Die natürlichen Zahlen sind in allen anderen Zahlenbereichen, also den ganzen, den rationalen, den reellen und den komplexen Zahlen enthalten.
Kardinalzahlen – Erklärung
Kardinalzahlen werden auch Grundzahlen genannt.
Kardinalzahlen sind Zahlen, welche die Anzahl von Elementen E einer Menge M beschreiben.
Kardinalzahlen antworten auf die Frage "Wie viel?" oder "Wie viele?", also wie viele Elemente E in einer Menge M wirklich enthalten sind.
Das Zahlzeichen einer Kardinalzahl ist eine natürliche Zahl. Sprachlich werden diese durch die Zahlwörter der natürlichen Zahlen ausgedrückt. Die Kardinalzahlen von 1 bis 10 findest Du in der folgenden Tabelle:
| Zahlzeichen | Zahlwort |
1 | eins |
2 | zwei |
3 | drei |
4 | vier |
5 | fünf |
6 | sechs |
7 | sieben |
8 | acht |
9 | neun |
10 | zehn |
Nach der 10 geht es weiter mit den nachfolgenden natürlichen Zahlen.
Kardinalaspekt und Kardinalzahlprinzip
Der Kardinalaspekt ist ein bestimmter Zahlaspekt.
Der Kardinalaspekt besagt, dass Zahlen die Mächtigkeit von Mengen beschreiben.
Beim Kardinalaspekt geht es also nicht um die Positionen von Elementen E in einer Menge M, sondern um die Anzahl von Elementen E in einer Menge M.
Ein Beispiel dafür ist das Vorhandensein von 5 Münzen in einer Spardose. Die natürliche Zahl 5, gesprochen „fünf“ beschreibt dabei die Anzahl der Münzen in der Dose, also wie viele Münzen in der Dose enthalten sind.
Abbildung 1: Münzen in einer Dose
Das Kardinalzahlprinzip ist ein bestimmtes Zählprinzip und geht mit dem Kardinalaspekt einher.
Das Kardinalzahlprinzip sagt aus, dass das zuletzt genannte Zahlenwort die Anzahl der Elemente der gezählten Menge M angibt.
Die Reihenfolge, wie Du die Menge M abzählst und die Position der Elemente E ist beliebig wählbar.
In Abbildung 2 hast Du eine Menge aus verschiedenfarbigen Quadraten gegeben. Die Mengenschreibweise der Menge M aus den Quadraten lautet:
Du zählst die Quadrate und das letzte Zahlenwort ist eine 4. Somit hast Du eine Menge aus 4 Quadraten gegeben.
Abbildung 2: Menge aus Quadraten
Wenn Du nun die Position der Quadrate vertauschst und in einer anderen Reihenfolge zählst, ist das letzte Zahlenwort trotzdem eine 4.
Abbildung 3: Menge aus Quadraten
Das Kardinalzählprinzip ist also eng verknüpft mit dem Kardinalaspekt.
Kardinalzahlen Beispiel
Zum besseren Verständnis findest Du im Folgenden ein weiteres Beispiel zu Kardinalzahlen.
Du hast einige Murmeln (Abbildung 4) gesammelt und möchtest jetzt wissen, wie viele Du hast.
Abbildung 4: Menge M an Murmeln
Dafür kannst Du die Murmeln zählen, indem Du bei eins startest und nacheinander durchzählst. Die lila Murmel bekommt das Zahlenwort eins zugeschrieben, die gelbe zwei, die türkise drei, die pinke vier und die blaue fünf (Abbildung 5).
Abbildung 5: Reihenfolge beim Abzählen der Murmeln
Das letzte Zahlenwort ist 5. Insgesamt hast Du also 5 Murmeln.
Wenn Du die Murmeln nun an anderen Positionen (Abbildung 6) hinlegst, kannst Du sehen, dass das Kardinalzahlprinzip gilt.
Abbildung 6: Menge M an Murmeln in einer anderen Position
Diesmal fängst Du bei der türkisfarbenen Murmel an zu zählen. Die türkisfarbene Murmel bekommt das Zahlenwort eins zugeschrieben, die pinke zwei, die lila drei, die gelbe vier und die blaue fünf. Das letzte Zahlenwort ist wieder 5, also hast Du wiederholt 5 Murmeln gezählt (Abbildung 7).
Abbildung 7: Reihenfolge beim Abzählen der Murmeln in anderer Position
Um sicherzugehen, zählst Du erneut, aber diesmal in einer anderen Reihenfolge. Diesmal fängst Du bei der blauen Murmel an zu zählen. Die blaue Murmel bekommt das Zahlenwort eins zugeschrieben, die gelbe zwei, die lila drei, die pinke vier und die türkise fünf. Das letzte Zahlenwort ist wieder 5 (Abbildung 8).
Abbildung 8: geänderte Reihenfolge beim Abzählen der Murmeln
Somit konntest Du sehen, dass das Kardinalzahlprinzip gilt.
Bei den Kardinalzahlen muss die Menge M keine Reihenfolge haben. Wenn Du nun aber eine Menge M hast, in der die Elemente E in einer bestimmten Reihenfolge gegeben sind und Du auch wissen möchtest, wo sich welches Element E in der Folge befindet, dann kommen die Ordinalzahlen zum Einsatz. Was Ordinalzahlen sind und wie sie angewendet werden, lernst Du im nachfolgenden Abschnitt kennen.
Ordinalzahlen – Erklärung
Ordinalzahlen werden auch Ordnungszahlen genannt und spielen, wie im Name enthalten, bei der Ordnung von Mengen eine Rolle.
Ordinalzahlen sind Zahlen, welche die Position von Elementen E in einer Menge M angeben. Sie legen also eine Reihenfolge in dieser Menge M fest.
Positionen in einer Folge werden als natürliche Zahlen aufgefasst. Das Zahlzeichen einer Ordnungszahl ist eine natürliche Zahl und ein Punkt. Sprachlich werden diese durch bestimmte Zahlwörter ausgedrückt. Die Ordinalzahlen von 1. bis 10. findest Du in der folgenden Tabelle:
Zahlzeichen | Zahlwort |
1. | erste |
2. | zweite |
3. | dritte |
4. | vierte |
5. | fünfte |
6. | sechste |
7. | siebte |
8. | achte |
9. | neunte |
10. | zehnte |
Nach diesem Prinzip kannst Du beliebig hohe Ordinalzahlen benennen.
Ab der Zahl 20 wird bei der Bildung des Zahlenwortes an die Zahl ein -ste statt -te angehängt: 20. heißt dann zwanzigste.
Ordinalzahlen kannst Du nutzen, um endliche Mengen durchzunummerieren und somit gleichzeitig die Position an denen die Elemente stehen anzugeben. Wenn Du alle Elemente einer Menge bzw. Folge durchnummeriert hast, kannst Du durch Aufrufen der definierten Ordinalzahl eines Elements, dieses immer wieder finden.
Ordinalaspekt
Beim Ordinalaspekt geht es um das Kennzeichnen einer Reihenfolge innerhalb einer Folge.
Der Ordinalaspekt besagt, dass es in einer Menge M mit einer festen Reihenfolge eine Eins-zu-Eins-Zuordnung von Element E und Zahlenzeichen, bzw. Zahlenwort gibt.
Die Zahlenzeichen kannst Du Dir wie feste Namensschilder vorstellen.
In Abbildung 9 hast Du beispielsweise eine Folge von vier Quadraten gegeben. Das Zahlzeichen 4. kennzeichnet etwa das 4. Quadrat, also den 4. Platz in der Reihe.
Abbildung 9: Reihe aus 4 Quadraten mit bestimmten Positionen
Ordinalzahlen Beispiel
Zum besseren Verständnis der Anwendung von Ordnungszahlen kannst Du Dir folgendes Beispiel ansehen.
Du hast in einer Straße eine Reihe von Häusern, die zum Verkauf stehen, gegeben und möchtest diese nun zählen und die einzelnen Häuser der Reihe nach durchnummerieren, um die Position dieser anzugeben.
Abbildung 10: Reihe von Häusern in einer Straße
Das kannst Du machen, indem Du jedem Haus der Reihe nach eine Ordinalzahl vergibst und diese in die Kaufanzeige schreibst. Das grüne Haus ganz links ist Dein erstes Haus, das blaue Dein zweites, das pinke Dein drittes und das gelbe Dein viertes Haus (Abbildung 11).
Abbildung 11: Reihe von Häusern mit Ordinalzahlen
Nun meldet sich ein Käufer bei Dir und möchte das dritte Haus kaufen. Dadurch, dass Du Ordinalzahlen vergeben hast, weißt Du sofort, um welches Haus es sich handelt und kannst den Kaufvertrag fertig machen.
Ordinal- und Kardinalzahlen – Übungen
Im Folgenden findest Du einige Übungen zur Vertiefung Deines Verständnisses für Ordinal- und Kardinalzahlen.
Aufgabe 1
Stell Dir vor, Du bist Autoverkäufer und bekommst von einem Lieferanten eine bestimmte Menge M an verschiedenen Autos, die Du verkaufen darfst. Du willst nun wissen, welche Anzahl an Autos Du bekommen hast.
Abbildung 12: Menge M an Autos
Lösung
Gesucht ist die Kardinalität der Menge M, also die Mächtigkeit der Menge M. Dafür spielen die Kardinalzahlen eine Rolle, da Du durch diese die Anzahl der Elemente E einer Menge angeben kannst. Um nun die Anzahl der Autos herauszufinden, zählst Du die Autos in einer beliebigen Reihenfolge der Reihe nach durch. Du kannst z. B. beim lilafarbenen Auto mit der eins anfangen zu zählen, danach zum rosafarbenen mit der zwei, zum grünen mit der drei und zum roten mit der vier. Das türkisfarbene Auto zählst Du als Letztes mit der fünf. Laut dem Kardinalzahlprinzip gibt das zuletzt genannte Zahlenwort die Anzahl der Elemente der gezählten Menge M an. Dein letztes Zahlenwort war die fünf, also hast Du fünf Autos bekommen.
Abbildung 13: Gezählte Menge M an Autos
Aufgabe 2
Du stellst die Autos jetzt in einer bestimmten Reihenfolge auf Deine verfügbaren Parkplätze. Ein Käufer kommt und sagt, er möchte das dritte Auto von links kaufen. Welches ist das?
Abbildung 14: Autos in einer Reihenfolge
Lösung
Um herauszufinden, welches Auto der Käufer meint, vergibst Du Ordinalzahlen, um die Position der Autos in der Folge anzugeben. Du fängst ganz links an, womit Dein erstes Auto das rosafarbene Auto wäre und zählst der Reihe nach weiter hoch, bis Du beim letzten Auto in der Reihe angekommen bist.
Abbildung 15: Autos mit zugeordneten Ordinalzahlen
Die Ordinalzahl 3. hat das lilafarbene Auto, das also das dritte Auto in der Reihe ist. Dadurch weißt Du jetzt, welches Auto der Käufer kaufen möchte.
Ordinalzahlen und Kardinalzahlen – Das Wichtigste
- Kardinalzahlen sind Zahlen, welche die Anzahl von Elementen E einer Menge M beschreiben.
- Der Kardinalaspekt besagt, dass Zahlen die Mächtigkeit von Mengen beschreiben.
- Das Kardinalzahlprinzip sagt aus, dass das zuletzt genannte Zahlenwort die Anzahl der Elemente der gezählten Menge M angibt. Die Reihenfolge, in der gezählt wird, ist dabei egal.
- Ordinalzahlen sind Zahlen, welche die Position von Elementen E in einer Menge M angeben. Sie legen also eine Reihenfolge in dieser Menge M fest.
- Der Ordinalaspekt besagt, dass es in einer Menge M mit einer festen Reihenfolge eine Eins-zu-Eins-Zuordnung von Element E und Zahlenzeichen, bzw. Zahlenwort gibt.
Nachweise
- Aigner; Ziegler (2018). Das BUCH der Beweise. Springer Verlag
- Deiser (2010). Einführung in die Mengenlehre. Springer Verlag
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