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StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
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Bruchrechnen

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Bruchrechnen

Es ist das Jahr 1228. Du siehst, wie sich langsam eine Menschenmasse bildet. Aus ihr sticht eine tiefe, männliche Stimme heraus: “Höret! Höret! Dieser Mann hier hat zwei Drittel der Schafe sowie drei Viertel der Gewürze des Gentlemans gestohlen”. Die Menschenmasse ist entzürnt. Du nutzt die Chance und versuchst, einen besseren Blick auf die Situation zu erlangen.

“Der Dieb wird daher auf die Summe von fünf Siebtel mal seinem Alter verurteilt. Irgendwelche Einwände?” Mit erhobener Brust zwängst Du Dich durch die Menschenmasse, bis Du dem Redner direkt vor seinen Augen stehst: “Die Summe, werter Herr, ist siebzehn Zwölftel.”

Wer hat denn nun recht? Und was ist überhaupt mit “zwei Drittel” oder “drei Viertel” gemeint? Die Antworten dazu führen Dich zu Brüche und insbesondere darauf, wie Du mit ihnen umgehst; auch bekannt unter den Namen Bruchrechnung oder Bruchrechnnen.

Vielleicht fragst Du Dich auch, weshalb wir hier das Jahr 1228 gewählt haben. Die Antwort darauf findest Du gegen Ende des Artikels.

Brüche – Einfach erklärt

Du kannst den Umgang mit einer bestimmten Sache erlernen, ohne zu verstehen, was denn diese eine Sache wirklich ist und weshalb sie überhaupt von Interesse ist. Dafür lernst Du irgendwelche Regeln auswendig und wendest sie an. Spätestens wenn Du dieselbe Sache in einer neuen Situation triffst, wirst Du auf Probleme treffen: Die auswendig gelernten Regeln scheinen nicht mehr zu funktionieren.

Um das zu vermeiden, geben wir Dir in diesem Abschnitt ein Überblick darüber, was ein Bruch ist und warum Brüche eine zentrale Rolle spielen.

Von Stammbrüchen zu allgemeinen Brüchen

Wir beginnen mit einem bestimmten Typ an Brüchen, die es Dir erlauben, alle anderen Brüche zu konstruieren. Das hat einen entscheidenden Vorteil: Wenn Du einmal verstanden hast, wie Du mit diesem bestimmten Typ an Brüchen rechnest, wirst Du auch verstehen, wie Du mit allen Brüchen umzugehen hast: Die Bruchrechnung erscheint auf einmal klar und deutlich.

Ein Beispiel für diesen Typ an Brüchen ist der Ausdruck "". Mathematisch stellt dieser Ausdruck eine Zahl dar, mit der Eigenschaft, dass die Addition von drei Kopien von ihr die Zahl 1 ergibt, also

Ähnlich ist der Ausdruck "" diejenige Zahl, die durch Addition von vier Kopien die Zahl 1 ergibt

Erkennst Du bereits das Muster? Die Zahl unter dem "Strich" teilt Dir mit, wie viele Kopien Du brauchst, um die Zahl 1 zu erhalten.

Stammbruch

Sei n eine natürliche Zahl größer Null. Der Ausdruck "" ist dann diejenige Zahl mit der Eigenschaft, dass die Addition von n Kopien die Zahl 1 ergibt

Bruchrechnung Definition eines allgemeinen Stammbruchs StudySmarter

Zahlen dieser Form sollen Stammbrüche heißen. Als Kurzschreibweise notieren wir die Eigenschaft als "Multiplikation"

Bruchrechnung Einführung einer Kurzschreibweise für Stammbrüche StudySmarter

An dieser Stelle ist noch nicht klar, wie Stammbrüche mit einer Zahl multipliziert werden. Das obige ist zunächst nur als Kurzschreibweise zu verstehen. Gleich wirst Du alle bekannten Rechenregeln mit Brüchen kennenlernen.

Die Bezeichnung "Stammbruch" rührt daher, dass Du mit ihnen alle anderen Brüche basteln kannst. Wie das funktioniert, siehst Du im folgenden Beispiel.

Bruch aus Stammbruch konstruieren

Den Ausdruck "" kannst Du lesen als "" oder in Worten: Viermal der Stammbruch ein Drittel. Du weißt aber, was die Zahlen undsind.

Wenn alsodie Zahl ist, die bei Addition von 3 Kopien zur Zahl 1 führt, so gibt es für das Vierfache dieser Zahl eine natürliche Bedeutung:

Sie ist diejenige Zahl, die durch Addition von 3 Kopien auf die Zahl 4 führt

oder formal

Du bist dabei nicht nur auf positiven Zahlen wie die 4 beschränkt, sondern kannst auch negative Zahlen verwenden.

Brüche, Zähler und Nenner - Multiplikation einer Zahl mit Stammbruch

(a) Seien n eine natürliche Zahl größer Null und m eine ganze Zahl. Der Ausdruck "" ist dann diejenige Zahl, die durch Addition von n Kopien auf die Zahl m führt, also

Bruchrechnung Definition eines allgemeinen Bruchs StudySmarter

Ein solcher Ausdruck heißt Bruch. Die Zahl über dem Strich heißt Zähler, die unter dem Strich Nenner:

(b) Die Multiplikation einer ganzen Zahl m mit dem Stammbruch definieren wir dadurch, dass gerade der Bruch sein soll.

Da ein Stammbruch eindeutig durch die Zahl unter dem Strich charakterisiert wird, ist sie in gewisser Weise wie der Name des Stammbruches. Es ist also nachvollziehbar, wieso die Zahl unter dem Strich als Nenner bezeichnet wird.

Brüche im Alltag und in den Wissenschaften

Die wohl wichtigste Anwendung von Brüchen im Alltag ist die Kommunikation. Betrachte zum Beispiel die folgende Abbildung:

Bruchrechnung Brüche im Alltag Kuchendiagramm StudySmarterAbbildung 1: Exemplarisch Aufteilung der Beliebtheit von drei Spielen (A, B und C) unter Kindern und Jugendlichen bis zum 20. Lebensjahr.

Wenn wir Dich nun fragen, wie viele der befragten Kinder und Jugendliche das Spiel C spielen, so hast Du zwei Antwortmöglichkeiten:

  • Du könntest die exakte Anzahl nennen; dafür benötigst Du jedoch weitere Information.

  • Oder Du sagst einfach, dass es ungefähr die Hälfte ist.

Wie ist aber der Ausdruck "die Hälfte" zu verstehen, ohne ein Grundwissen über Brüche zu besitzen? Bei den Spielen A und B wäre das ein Viertel. Das ist, ohne Kenntnisse über Brüche, noch schwieriger zu begreifen.

Weltweit wird in vielen Bereichen stillschweigend angenommen, dass ein Mensch mit Brüchen umgehen kann. Sei es bei der Verwendung von Messbechern, bei der Angabe von Zeitintervallen und Uhrzeiten (wie "eine drei Viertel Stunde" oder "es ist halb Zehn in Deutschland") oder die Anzeige der Akkuladung in Prozent.

Die Prozentrechnung selbst ist im Kern eine "versteckte" Bruchrechnung. Zum Beispiel ist 70% nur eine andere Schreibweise für .

Innerhalb der Mathematik und den Wissenschaften allgemein ist ein Verständnis der Bruchrechnung unabdingbar. Beispiele dafür sind unter anderem:

  • Einheiten in der Physik: Die Geschwindigkeit wird zum Beispiel in Meter pro Sekunde angegeben, oder formal. Ohne Brüche zu verstehen, kannst Du auch nicht verstehen, was denn "Meter pro Sekunde" überhaupt bedeuten soll. Der korrekte Umgang mit Einheiten ist ein essenzieller Bestandteil der Physik.

  • Ableitungen in der Mathematik: Eine der wichtigsten Operationen in der Mathematik (und auch in der Physik) ist die Ableitung. Mathematisch ist die Ableitung über einen ganz bestimmten Bruch definiert, der sich Differenzenquotient nennt.

Interessierst Du Dich dafür, dann lohnt es sich, nicht "Regeln" auswendig zu lernen, sondern das Prinzip dahinter zu verstehen.

Bruchrechnen lernen – ein Fahrplan

Das Warum und Weshalb zum Bruchrechnen findest Du in den folgenden Abschnitten. Die Details und ausführliche Beispiele findest Du dann in unseren entsprechenden Artikeln zu dem jeweiligen Thema (zum Beispiel gibt es einen separaten Artikel zur Addition von Brüchen).

Mit der Ausnahme des Kürzens von Brüchen wird im Wesentlichen folgendes passieren: Du konzentrierst dich auf Stammbrüche und nimmst unter die Lupe, wie Du sie addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst. Hast Du diese Prozesse verstanden, wirst Du mit allen Brüchen umgehen können.

Für das Kürzen können wir uns nicht auf Stammbrüche konzentrieren, denn bei Stammbrüchen gibt es nichts zu kürzen. Wieso das der Fall ist, wirst Du weiter unten sehen.

Nimm Dir die Zeit und genieße die Fahrt gemeinsam mit uns. Jeder Abschnitt repräsentiert eine Haltestelle, an der Du neues Wissen über Brüche und dem Bruchrechnen erlangen kannst.

Umgang mit Brüchen – die Regeln des Bruchrechnens

Bevor die Fahrt aber losgeht, hier zwei kleine Fragen: Wie lässt sich der Bruch in Worten beschreiben? Antwort: Er ist diejenige Zahl, die durch Addition von 9 Kopien zur Zahl 7 führt; in Kurzschreibweise

Angenommen Du siehst nun folgende Gleichung

Wie lässt sich diese Gleichung in Worten fassen und was ist x? Antwort: Die Gleichung teilt Dir mit, dass die Addition von 12 Kopien der Zahl x zur Zahl 11 führt. Das ist nach Definition gerade der Bruch .

Wenn Du die Antworten zu diesen beiden Fragen verstanden hast, bist Du bereit für die nächsten Abschnitte. Ist das nicht der Fall, so musst Du Dir keine Sorgen machen: Nehme Dir ein paar weitere Minuten und lese noch einmal den ersten Abschnitt sorgfältig durch.

Die erste Haltestelle beim Bruchrechnen wird das Kürzen und Erweitern sein.

Bruchrechnen Haltestelle 1: Kürzen und Erweitern

Bei der oben eingeführten Kurzschreibweise von

könntest Du Dich gefragt haben, ob das nicht einfach eine Folge des "Kürzens" von Brüchen ist. Zum Zeitpunkt der Definition ist das nur eine Kurzschreibweise; mehr nicht.

Aber, das mit dem "Kürzen" ist dennoch richtig: Wenn sich innerhalb desselben Bruches oberhalb und unterhalb des Bruchstriches dieselben Zahlen befinden, die mit dem Rest des Bruches durch eine Multiplikation oder Division verbunden sind, so kannst Du diese Zahlen ignorieren.

Kürzen eines konkreten Bruches

Betrachte den Bruch

In dieser Form kannst Du nicht viel machen, denn oben steht eine 12 und unten eine 15. Du kannst den Bruch aber auch schreiben als

Nun steht oben und unten die Zahl 3, die durch eine Multiplikation mit dem Rest des Bruches verbunden ist. Du darfst daher diese Zahl ignorieren. Das heißt, es gilt

Es ist absolut entscheidend, dass die 3 durch eine Multiplikation mit dem Rest des Bruches verbunden ist. Alternativ hätte es auch eine Division sein können. Bei einer Addition und Subtraktion fasst die Regel des Kürzens nicht. Angenommen Du dürftest das auch bei einer Addition machen, dann wäre die folgende Rechnung korrekt: . Aber das ist eindeutig ein anderes Ergebnis als: . Du kannst ähnliche Gegenbeispiele für die Subtraktion finden.

Wieso darfst Du aber die Zahl 3 einfach ignorieren? Gehen wir dazu zurück zu unserer Definition. Der Bruch ist diejenige Zahl, die durch Addition von 5 Kopien zur Zahl 4 führt, also

Du kannst jetzt beide Seiten mit der Zahl 3 multiplizieren und erhältst

Das heißt, der Bruch ist auch diejenige Zahl, die durch Addition von 15 Kopien zur Zahl 12 führt. Aber diese Zahl kannst Du nach Definition als den Bruch schreiben. Du bekommst also das Resultat

Die Zahlen oben und unten können sich dabei auch im Vorzeichen unterscheiden. Dann darfst Du aber auf keinen Fall vergessen, das Minuszeichen durch deine Rechnung zu ziehen.

Wenn dieselben Zahlen oben und unten einfach ignoriert werden können, dann kannst Du solche Zahlen auch einfach hinzufügen, ohne den Bruch an sich zu ändern. Dieser Prozess nennt sich den Bruch erweitern.

Erweitern eines konkreten Bruchs

Du hast den Bruch

gegeben. Suche Dir irgendeine ganze Zahl aus, die ungleich Null ist, und bezeichne sie mit m. Dann gilt

Wenn Du Dir zum Beispiel die Zahl 5 aussuchst, so erhältst Du die Gleichheit

Die Erweiterung von Brüchen wird insbesondere bei der Addition (und damit auch bei der Subtraktion) von Brüchen eine zentrale Rolle spielen. Genau das wird die zweite Haltestelle.

Bruchrechnen Haltestelle 2: Addition und Subtraktion

Zwei Äpfel plus drei Äpfel ergeben fünf Äpfel. Drei Hunde auf der Wiese plus vier weitere Hunde ergeben sieben Hunde auf der Wiese. Zwei Äpfel und zwei Hunde kannst Du auf diese mathematische Art nicht mehr zusammenfassen.

Auf ähnliche Weise funktioniert es mit Stammbrüchen. Um Stammbrüche miteinander addieren zu können, musst Du sicherstellen, dass sie denselben Nenner besitzen.

Konkrete Stammbrüche addieren

Du hast die zwei Stammbrüche und gegeben. In dieser Form kannst Du sie nicht miteinander addieren, denn sie beschreiben unterschiedliche Stammbrüche: Der eine ist der Stammbruch zur Zahl 2, der andere der Stammbruch zur Zahl 5.

Hier kommt das Erweitern von Brüchen ins Spiel. Du kannst die beiden Stammbrüche auch folgendermaßen schreiben:

und

Jetzt hast Du jeweils den Stammbruch und kannst daher die Brüche miteinander addieren:

Nimm Dir die Zeit, um diese Rechnung wirklich zu verstehen. In der Mitte der Gleichung hast Du in Worten folgendes stehen: "Fünfmal ein Zehntel Plus zweimal ein Zehntel". Wenn Du zu fünf Stück einer Sache zwei weitere Stücke derselben Sache hinzufügst, hast Du am Ende sieben Stück dieser einen Sache.

Da Du alle anderen Brüche mit Hilfe der Stammbrüche ausdrücken kannst, weißt Du nun auch, wie Du Brüche im Allgemeinen addierst.

Addition zweier konkreter Brüche

Wir können uns jetzt der Frage widmen, wer denn nun recht hat: Du oder der Redner am Anfang des Artikels? Die beiden Brüche waren

und

Im ersten Schritt konzentrierst Du Dich nur auf die Stammbrüche, also

und

Damit Du diese beiden Stammbrüche addieren kannst, erweiterst Du sie folgendermaßen:

und

Jetzt darfst Du nur nicht die ursprünglichen Zähler 2 und 3 vergessen. Am Ende erhältst Du

Damit hattest Du recht und der Redner sollte sich das Bruchrechnen noch einmal anschauen.

Zur Addition von Brüchen findest Du viele weitere Details und Beispiele in unserem Artikel "Addition von Brüchen".

Die Subtraktion von Brüchen funktioniert genauso. Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen. Du kannst die beiden vorherigen Beispiele nehmen, das Pluszeichen zu einem Minuszeichen machen, und schon hast Du Beispiele für die Subtraktion zweier Brüche.

In den beiden Beispielen wurden die Brüche mit dem jeweiligen Nenner erweitert. Das muss aber nicht immer der Fall sein. Das bringt Dich zur dritten Haltestelle.

Bruchrechnen Haltestelle 3: Brüche gleichnamig machen

Wenn Du Brüche so erweiterst, dass sie dann denselben Nenner besitzen, so hast Du sie gleichnamig gemacht.

Um Brüche gleichnamig zu machen, hast Du im Wesentlichen zwei Optionen:

  • Du multiplizierst mit den jeweiligen Nennern. Das hat zwar den Vorteil, dass Du direkt loslegen kannst. Jedoch kannst Du dadurch schnell große Zahlen bekommen, und das ist zu vermeiden, wenn Du keinen Taschenrechner verwenden darfst.

  • Du schaust Dir die einzelnen Nenner genauer an und versuchst, ihren kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu finden.

Zu beiden Methoden findest Du in unserem Artikel "Brüche gleichnamig machen" viele Beispiele und weitere Erklärungen.

Bruchrechnen Haltestelle 4: Multiplikation und Division

Die Multiplikation von Stammbrüchen ist etwas entspannter. Wenn Du zwei Stammbrüche miteinander multiplizieren möchtest, gehst Du folgendermaßen vor:

  • Du nimmst die beiden Nenner und multiplizierst diese miteinander.

  • Das Ergebnis dieser Multiplikation wird der Nenner des neuen Stammbruches.

Konkrete Stammbrüche multiplizieren

Betrachte die beiden Stammbrüche

und .

Das Produkt der beiden Nenner 3 und 8 ergibt 24,

Dieses Produkt wird zum Nenner des neuen Stammbruches. Insgesamt hast Du also

Ähnlich wie bei der Addition kannst Du beliebige Brüche multiplizieren, indem Du die Zähler "mitziehst". Wie das genau aussieht, findest Du in unserem Artikel zur Multiplikation von Brüchen.

Die Rechenregel selbst erscheint einfach, aber irgendwie aus dem Hut gezogen. Du kannst jedoch verstehen, wieso die Regel so ist, wie sie ist. Auch das erfährst Du in unserem entsprechenden Artikel dazu.

Die Division von Brüchen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen, indem Du folgende Beobachtung machst: Du teilst einen Bruch durch einen anderen Bruch, indem Du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.

Division zweier konkreter Brüche

Betrachte die beiden Brüche

und

Du möchtest den ersten Bruch durch den zweiten Bruch dividieren. Es ist also der Ausdruck

von Interesse. Gemäß der obigen Regel brauchst Du den Kehrwert des zweiten Bruches. Den Kehrwert eines Bruches erhältst Du, indem Du Zähler und Nenner vertauscht. Notiert wird der Kehrwert mit einer "-1", die direkt oberhalb des Bruches steht. Konkret sieht das so aus:

Nun nimmst Du den ersten Bruch und multiplizierst ihn mit diesem Kehrwert

Wieso diese Regel gilt, erfährst Du in unserem Artikel zur Division von Brüchen. Dort findest Du aber auch viele weitere Beispiele, denn Du kannst unter anderem Brüche auch durch ganze Zahlen dividieren, oder umgekehrt ganze Zahlen durch Brüche.

Bruchrechnen Haltestelle 5: Rechnen mit Doppelbrüchen

Das obige Beispiel der Division von zwei Brüchen hat sogar einen speziellen Namen: Doppelbruch. Die Methode der Multiplikation mit dem Kehrwert ist dabei die entscheidende Vorgehensweise.

Es gibt zu den Doppelbrüchen noch weitere Spezialfälle. Das und mehr erfährst Du im Artikel "Rechnen mit Doppelbrüchen".

Bruchrechnen Haltestelle 6: Variablen und Klammern

Die letzte Haltestelle der Fahrt durch die Welt des Bruchrechnens ist der Umgang mit Brüchen, in denen Klammern und Variablen vorkommen.

Wenn Du Brüche hast, in denen nicht nur Zahlen vorkommen, sondern auch Variablen (wie x oder y), so hast Du es mit Bruchterme zu tun. Zu Bruchterme gibt es einen ausführlichen Artikel, in dem Dir eine mysteriöse Tür begegnen wird, die sich nur öffnen lässt, wenn Du mit Brüchen umgehen kannst.

Im Wesentlichen gehst Du mit Bruchterme genauso um, wie mit Brüchen. Der entscheidende Unterschied ist die Problematik mit der Division durch Null. Bei Brüchen löst Du das Problem, indem Du einfach die Zahl Null nicht verwendest. Bei Bruchterme musst Du aber eine sogenannte Definitionsmenge angeben.

Bruchrechnen mit Klammern & Variablen - ein vertrautes Problem in neuer Erscheinungsform

Im Umgang mit ganzen Zahlen wirst Du auf Regeln wie die folgenden getroffen sein:

  • Klammer ausmultiplizieren: Ein Beispiel dafür ist Oder für die Division:

Wirklich von Interesse ist das nur, wenn Du zusätzlich noch Variablen hast. Bei konkreten Zahlen kannst Du einfach die Zahl in der Klammer ausrechnen und dann multiplizieren bzw. dividieren: bzw. . Möchtest Du aber den Umgang mit Variablen verstehen, so musst Du zunächst mit konkreten Zahlen umgehen können.

  • Bei Minuszeichen vor der Klammer werden Vorzeichen gedreht: Ein Beispiel dafür ist ; oder auch .

  • Punkt vor Strich: zum Beispiel . Du führst zuerst die Multiplikation aus und dann addierst Du.

Nun nimmst Du die Zahlen in den Beispielen, ersetzt sie durch Deine Lieblingsbrüche und schon hast Du Beispiele für das Bruchrechnen mit Klammern.

Bruchrechnen mit Klammern: Ausmultiplizieren

Betrachte den Ausdruck

Wie mit ganzen Zahlen nimmst Du den Bruch vor der Klammer und multiplizierst ihn mit jedem Bruch, der sich innerhalb der Klammer befindet. Die einzelnen Produkte addierst Du dann anschließend,

Jetzt musst Du wissen, wie Du Brüche multiplizierst

Und schließlich addierst Du die Ergebnisse

Insgesamt hast Du also

Bruchrechnen mit Klammern: Vorzeichen wird gedreht

Diesmal hast Du den Ausdruck

Die Klammer löst Du auf, indem Du das Vorzeichen aller Brüche innerhalb der Klammer umdrehst. Das heißt

Das sind nun drei einzelne Brüche, die Du subtrahieren kannst.

Bruchrechnen mit Klammern: Ein etwas längerer Ausdruck

Als letztes Beispiel betrachte den Ausdruck

Du hast hier zwei Teile

und

die über ein Minuszeichen miteinander verbunden sind. Der erste Teil ergibt

und der zweite Teil hingegen

Jetzt nimmst Du den ersten Teil und subtrahierst von ihm den zweiten Teil. Als Ergebnis erhältst Du

An der letzten Haltestelle angelangt, sollten wir Dir erklären, wieso wir im Einstieg ausgerechnet das Jahr 1228 gewählt haben. Es war genau zu diesem Jahr, in dem Leonardo da Pisa (besser bekannt unter dem Namen Fibonacci) die Schreibweise eines Bruches als zwei Zahlen, die durch einen horizontalen Strich getrennt sind, eingeführt hat.

Die Fahrt endet in der Nähe einer wundervollen Bibliothek. Dort hineinspaziert, findest Du einen leeren Tisch, an dem Du Dich bequem machst. Nun ist es an der Zeit, dass Du selbstständig ein paar Aufgaben löst.

Bruchrechnen – Aufgaben

Wenn Du merkst, dass die Aufgaben nicht so flüssig laufen, dann kehre zu den entsprechenden Abschnitten in diesem Artikel zurück. Du kannst auch unsere ausführlichen Artikel zu den einzelnen Themen ansehen.

Aufgabe 1 - Einüben von wichtigen Regeln der Bruchrechnung

Vereinfache die folgenden Brüche so weit wie möglich:

Lösung

(a) Du kannst den Bruch schreiben als

Nun hast Du im Zähler und im Nenner einen Faktor von 4. Du kannst diesen daher kürzen

(b) Die beiden Brüche besitzen bereits denselben Nenner. Du kannst sie also direkt addieren

Da gilt, hast Du im Zähler und im Nenner einen Faktor von 9. Wenn Du diesen kürzt, erhältst Du

(c) Hier haben die Brüche unterschiedliche Nenner. Du kannst den ersten Bruch aber mit 2 erweitern

Jetzt haben beide Brüche einen Nenner von 6 und Du kannst sie addieren

Da

und

gilt, hast Du einen gemeinsamen Faktor von 3. Das Ergebnis nach dem Kürzen lautet

(d) Der Kehrwert des Nenners ist

Diesen Kehrwert multiplizierst Du nun mit dem ersten Bruch, der sich über dem größeren Bruchstrich befindet

Da ist, kannst Du noch einen weiteren Faktor von 2 kürzen

Insgesamt hast Du also

Aufgabe 2 - Bruchrechnen mit Klammern

Vereinfache den folgenden Ausdruck so weit wie möglich

Lösung

Der Ausdruck besteht aus drei Teilen

Die ersten beiden Teile sind durch ein Pluszeichen verbunden; der zweite und dritte Teil über ein Minuszeichen. Der zweite Teil lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Für den ersten Teil erhältst Du

und für den dritten Teil

Jetzt hast Du drei einzelne Brüche, die folgendermaßen miteinander verbunden sind

Rechnest Du diese Kombination aus, indem Du die drei Brüche auf denselben Nenner bringst, so bekommst Du als Ergebnis

Bruchrechnen – Das Wichtigste

  • Beim Bruchrechnen gehst es um den richtigen Umgang mit Brüchen. Zum richtigen Umgang gehören unter anderem:
    • Brüche kürzen: Hier achtest Du darauf, ob sich im Zähler und Nenner ein gemeinsamer Faktor befindet. Ist das der Fall, so kannst Du diesen streichen.
    • Brüche erweitern: Du kannst den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, ohne den Bruch dabei zu verändern.
    • Brüche gleichnamig machen: Häufig ist das Ziel des Erweiterns, dass alle beteiligten Brüche am Ende denselben Nenner besitzen. Du hast sie also gleichnamig gemacht.
    • Brüche addieren und subtrahieren: Hier bringst Du die beteiligten Brüche zunächst auf denselben Nenner. Dann brauchst Du nur noch die Zähler zu addieren bzw. zu subtrahieren und lässt dabei den Nenner unberührt.
    • Brüche multiplizieren und dividieren: Bei der Multiplikation berechnest Du separat das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner. Bei der Division multiplizierst Du mit dem Kehrwert.
    • Rechnen mit Doppelbrüchen: Du kannst die Division von zwei Brüchen auch als einen ganzen Bruch auffassen, dessen Zähler und Nenner Brüche sind. Ein solcher Bruch heißt Doppelbruch.
  • Neben diesen Grundrechenarten können auch noch Klammern und Variablen auftreten. Im Fall von Variablen hast Du es mit sogenannten Bruchtermen zu tun.
  • Beim Bruchrechnen mit Klammern wendest Du die exakt selben Regeln an, die Du beim Rechnen mit ganzen Zahlen gewohnt bist. Dazu gehören unter anderem:
    • Ausmultiplizieren von Klammern;
    • Bei einem Minuszeichen vor der Klammer werden die Vorzeichen gedreht;
    • Punkt vor Strich.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bruchrechnen

Um zwei Brüche zu subtrahieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler subtrahiert, der Nenner bleibt einfach gleich.

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt einfach gleich. 

Bei der Multiplikation werden die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert. 

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

Um zwei Brüche zu addieren oder subtrahieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt einfach gleich.

Um Brüche zu multiplizieren, werden die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert. 

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

Um zwei Brüche zu addieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert, der Nenner bleibt einfach gleich.

Finales Bruchrechnen Quiz

Frage

Erläutere, wie man einen Bruch kürzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Um einen Bruch zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Brüche werden beim Kürzen kleiner.

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch. Der Wert eines Bruches verändert sich nicht, wenn gekürzt wird.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was du tun musst, wenn du einen Bruch mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen möchtest.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Zunächst werden Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt
  • Anschließend kannst du diejenigen Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommen. Dabei darfst du nur so viele Faktoren kürzen, sodass du dieselbe Anzahl im Zähler und im Nenner wegstreichst.
  • Abschließend werden die Produkte wieder berechnet, sodass du einen normalen Bruch hast.
Frage anzeigen

Frage

Nenne die Methoden, die du kennengelernt hast, um Brüche zu kürzen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzen
  • Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen
  • Brüche mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen
  • Brüche mit Variablen durch Ausklammern kürzen
  • Brüche über Kreuz kürzen
Frage anzeigen

Frage

Welchen Vorteil hat es, wenn du Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzt anstatt mit irgendeinem gemeinsamen Teiler?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Brüche sind dann direkt vollständig gekürzt. Wenn du mit irgendeinem gemeinsamen Teiler kürzt, sind die Brüche nicht vollständig gekürzt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was vollständig gekürzt bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, der größer als 1 ist. Der Bruch kann dann also nicht weiter gekürzt werden.

Frage anzeigen

Frage

"Brüche kürzen macht keinen Sinn". 

Nimm Stellung zu dieser Aussage.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Rechnen mit gekürzten Brüchen kann einfacher sein als mit ungekürzten Brüchen. Beispielsweise beim multiplizieren oder dividieren von Brüchen.


Möchtest du zwei Brüche addieren oder subtrahieren, brauchst du jedoch den gleichen Nenner. Hierzu musst du sogar manchmal Brüche erweitern, und kürzen kann die Rechnung erschweren.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Fälle, in denen du direkt siehst, dass ein Bruch vollständig gekürzt ist.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Wenn im Zähler oder Nenner des Bruches eine 1 steht.
  • Wenn die die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.
Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum Brüche nicht gekürzt werden können, bei denen die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei aufeinanderfolgende Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler, der größer als 1 ist. Daher haben Brüche, deren Zähler und Nenner zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, keinen gemeinsamen Teiler und können nicht gekürzt werden.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, was ein unvollständiger Doppelbruch ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder nur im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Arten an unvollständigen Doppelbrüchen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt

  • im Zähler unvollständige Doppelbrüche

und 

  • im Nenner unvollständige Doppelbrüche
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was ein im Nenner unvollständiger Doppelbruch ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch - falls möglich - gekürzt
Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den Kehrwert eines Bruchs bildet

Antwort anzeigen

Antwort

Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche im Zähler unvollständige Doppelbrüche mit im Nenner unvollständigen Doppelbrüchen.


Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl


Bei einem im Zähler unvollständigen Doppelbruch steht nur im Nenner des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Zähler des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Doppelbrüche" kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen
  • Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch. 
  • Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden: 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen; 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs; 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen
Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es einen Bruch zu erweitern?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

Frage anzeigen

Frage

Du hast zwei Brüche gegeben und sollst die Erweiterungszahl bestimmen. Wie gehst du vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Erweiterungszahl zu bestimmen, wird entweder der Zähler oder der Nenner des erweiterten Bruches durch den Zähler oder Nenner des ursprünglichen Bruches dividiert. In beiden Fällen sollte dieselbe Zahl herauskommen. Diese Zahl ist die gesuchte Erweiterungszahl.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem Hauptnenner, und wie erweiterst du zwei Brüche auf ihren Hauptnenner?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei verschiedenen Brüchen.


Um zwei Brüche auf einen Hauptnenner bringen zu können, musst du dir zunächst alle Vielfache der Nenner aufschreiben. Anschließend schaust du welche Zahlen bei beiden Nennern ein Vielfaches sind und notiere dir, wenn du mehrere gefunden hast, die kleinste dieser Zahlen. Um die beiden Brüche jetzt auf den Hauptnenner zu erweitern, musst du für beide Brüche herausfinden, mit welcher Erweiterungszahl sich die Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweitern lassen.

Frage anzeigen

Frage

Lässt sich jeder Bruch erweitern?

Antwort anzeigen

Antwort

Jeder Bruch lässt sich mit einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist erweitern. 

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen?

Antwort anzeigen

Antwort

Gleichnamige Brüche sind Brüche, die denselben Nenner haben. Ungleichnamige Brüche sind demnach Brüche mit unterschiedlichen Nennern. 

Frage anzeigen

Frage

Wofür werden gleichnamige Brüche benötigt?

Antwort anzeigen

Antwort

Gleichnamige Brüche werden zum vergleichen, addieren und subtrahieren von Brüchen benötigt.

Frage anzeigen

Frage

Wann kannst du zwei Brüche miteinander vergleichen?

Antwort anzeigen

Antwort

Brüche lassen sich nur dann miteinander vergleichen, wenn sie gleichnamig sind.

Frage anzeigen

Frage

Wie findest du einen gemeinsamen Nenner von zwei Brüchen?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen gemeinsamen Nenner von zwei Brüchen findest du, indem du die Brüche passend erweiterst beziehungsweise kürzt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Voraussetzungen müssen Brüche erfüllen, damit du sie addieren beziehungsweise subtrahieren kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Brüche müssen für eine Addition beziehungsweise Subtraktion immer gleichnamig sein.

Frage anzeigen

Frage

Du möchtest dir eine Pizza mit einem Freund teilen und schneidest die Pizza in vier gleich große Stücke. Dein Freund möchte die Pizza aber lieber in 8 Stücke schneiden, damit jeder von euch mehr Stücke bekommt.


In welchem Szenario bekommt ihr mehr Pizza?

Antwort anzeigen

Antwort

Es ist egal, ob du die Pizza in vier oder acht Stücke teilst, da die Menge an Pizza bei beiden Varianten gleich ist.

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Frage

Welche wichtige Regel gibt es beim Kürzen von Brüchen, die vor allem dann wichtig wird, wenn es sich um einen Bruchterm handelt?

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Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!

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Erläutere, wann du in einem Produkt aus zwei Brüchen über Kreuz kürzen kannst.

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In einem Produkt aus zwei Brüchen kann über Kreuz gekürzt werden, wenn der Zähler des ersten Bruches und der Nenner des zweiten Bruches, oder der Zähler des zweiten Bruches und der Nenner des ersten Bruches einen gemeinsamen Teiler haben. 

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Was sind Brüche?

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Ein Bruch ist das Trennen zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Man spricht bei diesen Zahlen von einem Zähler (Zahl über dem Bruchstrich) und einem Nenner (Zahl unter dem Bruchstrich)

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Wie können Brüche noch dargestellt werden?

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Als Dezimalzahlen.

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Wofür brauchst du Brüche?

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  • Durch Brüche kannst du es vor allem vermeiden, lange Dezimalzahlen aufschreiben zu müssen. Dadurch sparst du Platz und Zeit beim Rechnen.
  • Mit Brüchen kannst du ein Anteil von einem Ganzen ausdrücken (z.B. ein halber Apfel).
  • Du kannst auch ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen ausdrücken.
  • Außerdem dienen sie dir, wie oben bereits besprochen, auch als Schreibweise für eine Division oder eine Prozentrechnung.


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Was musst du bei der Addition zweier Brüche besonders beachten?

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Wenn du zwei oder mehr ungleichnamige Brüche, also Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren sollst, so musst du die Nenner immer so erweitern oder kürzen, dass alle den gleichen Nenner haben.

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Welche zwei Möglichkeiten hast du, um gemischte Brüche zu addieren?

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  1. die ganzen Zahlen und die Brüche jeweils einzeln addieren
  2. die gemischten Brüche als einen Bruch umschreiben
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Beschreibe in eigenen Worten, wie Du bei der Subtraktion von Brüchen vorgehst.

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Bei der Subtraktion von Brüche bringst Du zunächst die beteiligten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Anschließend subtrahierst Du die Zähler und lässt den gemeinsamen Nenner unberührt.

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Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: Bei der Subtraktion von Brüchen gehst Du genauso vor wie bei der Addition von Brüchen.

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Die Aussage ist richtig. So wie bei der Addition von Brüchen, bringst Du auch bei der Subtraktion die beteiligten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Dann führst Du mit den Zählern die eigentliche Subtraktion aus.

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Auch wenn sich die Subtraktion und Addition von Brüchen kaum unterscheiden, gibt es einen wichtigen Unterschied. Welcher ist das?

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Anders als die Addition, ist die Subtraktion von Brüchen nicht kommutativ. Das heißt, die Reihenfolge, in der Du die Brüche subtrahierst, spielt eine Rolle.

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Wie subtrahierst Du im Allgemeinen eine ganze Zahl von einem Bruch?

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Zunächst schreibst Du die ganze Zahl als Bruch. Wenn Du das machst, hast Du dann zwei Brüche. Diese beiden Brüche kannst Du dann wie gewohnt subtrahieren.

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Welche Sonderregel ist zu beachten, wenn auch negative Brüche auftauchen?

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Allgemein solltest Du die Merkhilfe "Minus Mal Minus ist Plus" verinnerlichen. Das ist insbesondere dann nützlich, wenn mehrere Minuszeichen aufeinandertreffen.

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Wie gehst Du bei der Subtraktion von gemischten Brüchen vor?

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Bei der Subtraktion von gemischten Brüchen musst Du einen Zwischenschritt machen, bei dem Du die gemischten Brüche in "normale" Brüche umwandelst. Anschließend kannst Du wie gewohnt subtrahieren.

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Wie werden Brüche mit Variablen auch genannt und was kannst Du mit ihnen machen?

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Brüche mit Variablen werden auch als Bruchterme bezeichnet. Du kannst mit ihnen rechnen wie Du mit "gewöhnlichen" Brüchen rechnest.

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Worauf musst Du bei Brüchen mit Variablen achten?

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Problematisch können die Fälle sein, bei denen im Nenner Variablen stehen. Dadurch könnte es sein, dass Du für die Variablen Werte einsetzt, die den Nenner Null werden lassen. Die Division durch Null ist aber nicht wohl definiert.

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Welche gängigen Tricks gibt es, die es Dir ermöglichen, Brüche mit Variablen zu vereinfachen?

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Zu den gängigsten Tricks zählen unter anderem das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren und die Anwendung der binomischen Formeln.

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Beschreibe in eigenen Worten, wie zwei Brüche im Allgemeinen multipliziert werden.

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Du bildest separat das Produkt der Zähler und Nenner der beiden Brüche. Die Ergebnisse werden dann zum Zähler und Nenner des neuen Bruchs.

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Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: Die Multiplikation von Brüchen ist kommutativ, das heißt, die Reihenfolge spielt keine Rolle.

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Die Aussage ist richtig. Das folgt daraus, dass die Multiplikation von ganzen Zahlen kommutativ ist.

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Wieso kann es nützlich sein, vor der Multiplikation die Brüche zu kürzen?

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Durch das Kürzen von gemeinsamen Faktoren kannst Du vermeiden, dass Du mit großen Zahlen rechnen musst.

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Wie kannst Du bei der Multiplikation von zwei Brüchen kürzen?

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Du kannst bei einer Multiplikation auf zwei Weisen kürzen: Du kannst gemeinsame Faktoren innerhalb desselben Bruches kürzen. Oder auch gemeinsame Faktoren, die über die beiden Brüche verteilt sind.

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Wie kannst Du mehrere Brüche miteinander multiplizieren?

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Du multiplizierst mehrere Brüche, so wie Du mehrere ganze Zahlen multiplizieren würdest. Das heißt, Du berechnest schrittweise das Produkt von zwei Brüchen. Am Ende wirst Du alle Zähler und Nenner miteinander multipliziert haben. Diese beiden Produkte bilden dann Zähler und Nenner des neuen Bruchs.

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Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage: Auch bei mehreren Brüchen kannst Du kürzen.

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Die Aussage ist richtig. Die Anzahl an Brüchen spielt keine Rolle. Solange sich im Zähler und Nenner dieselben Zahlen befinden, die miteinander durch Multiplikation (oder Division) verbunden sind, kannst Du diese Zahlen kürzen.

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Wie gehst Du bei der Multiplikation von gemischten Brüchen vor?

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Du wandelst die gemischte Brüche zunächst in "normale" Brüche um. Anschließend multiplizierst Du wie gewohnt.

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Wie gehst Du mit Minuszeichen bei der Multiplikation von Brüchen um?

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Im ersten Schritt blendest Du die Minuszeichen aus und berechnest das Produkt so, als gäbe es keine Minuszeichen. Dann zählst Du wie viele Minuszeichen vorhanden waren: Ist die Anzahl gerade, so hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen; bei einer ungeraden Anzahl hingegen ist das Ergebnis negativ.

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