Bruchrechnen

Algebra

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Es ist das Jahr 1228. Du siehst, wie sich langsam eine Menschenmasse bildet. Aus ihr sticht eine tiefe, männliche Stimme heraus: “Höret! Höret! Dieser Mann hier hat zwei Drittel der Schafe sowie drei Viertel der Gewürze des Gentlemans gestohlen”. Die Menschenmasse ist entzürnt. Du nutzt die Chance und versuchst, einen besseren Blick auf die Situation zu erlangen.

“Der Dieb wird daher auf die Summe von fünf Siebtel mal seinem Alter verurteilt. Irgendwelche Einwände?” Mit erhobener Brust zwängst Du Dich durch die Menschenmasse, bis Du dem Redner direkt vor seinen Augen stehst: “Die Summe, werter Herr, ist siebzehn Zwölftel.”

Wer hat denn nun recht? Und was ist überhaupt mit “zwei Drittel” oder “drei Viertel” gemeint? Die Antworten dazu führen Dich zu Brüche und insbesondere darauf, wie Du mit ihnen umgehst; auch bekannt unter den Namen Bruchrechnung oder Bruchrechnnen.

Vielleicht fragst Du Dich auch, weshalb wir hier das Jahr 1228 gewählt haben. Die Antwort darauf findest Du gegen Ende des Artikels.

Brüche – Einfach erklärt

Du kannst den Umgang mit einer bestimmten Sache erlernen, ohne zu verstehen, was denn diese eine Sache wirklich ist und weshalb sie überhaupt von Interesse ist. Dafür lernst Du irgendwelche Regeln auswendig und wendest sie an. Spätestens wenn Du dieselbe Sache in einer neuen Situation triffst, wirst Du auf Probleme treffen: Die auswendig gelernten Regeln scheinen nicht mehr zu funktionieren.

Um das zu vermeiden, geben wir Dir in diesem Abschnitt ein Überblick darüber, was ein Bruch ist und warum Brüche eine zentrale Rolle spielen.

Von Stammbrüchen zu allgemeinen Brüchen

Wir beginnen mit einem bestimmten Typ an Brüchen, die es Dir erlauben, alle anderen Brüche zu konstruieren. Das hat einen entscheidenden Vorteil: Wenn Du einmal verstanden hast, wie Du mit diesem bestimmten Typ an Brüchen rechnest, wirst Du auch verstehen, wie Du mit allen Brüchen umzugehen hast: Die Bruchrechnung erscheint auf einmal klar und deutlich.

Ein Beispiel für diesen Typ an Brüchen ist der Ausdruck " $\frac{1}{3}$ ". Mathematisch stellt dieser Ausdruck eine Zahl dar, mit der Eigenschaft, dass die Addition von drei Kopien von ihr die Zahl 1 ergibt, also

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 .$

Ähnlich ist der Ausdruck " $\frac{1}{4}$ " diejenige Zahl, die durch Addition von vier Kopien die Zahl 1 ergibt

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 .$

Erkennst Du bereits das Muster? Die Zahl unter dem "Strich" teilt Dir mit, wie viele Kopien Du brauchst, um die Zahl 1 zu erhalten.

Stammbruch

Sei n eine natürliche Zahl größer Null. Der Ausdruck " $\frac{1}{n}$ " ist dann diejenige Zahl mit der Eigenschaft, dass die Addition von n Kopien die Zahl 1 ergibt

$\underset{n - m a l}{\underset{⏟}{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}} = 1 .$

Zahlen dieser Form sollen Stammbrüche heißen. Als Kurzschreibweise notieren wir die Eigenschaft als "Multiplikation"

$\underset{n - m a l}{\underset{⏟}{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}} = n \cdot \frac{1}{n} = 1 .$

An dieser Stelle ist noch nicht klar, wie Stammbrüche mit einer Zahl multipliziert werden. Das obige ist zunächst nur als Kurzschreibweise zu verstehen. Gleich wirst Du alle bekannten Rechenregeln mit Brüchen kennenlernen.

Die Bezeichnung "Stammbruch" rührt daher, dass Du mit ihnen alle anderen Brüche basteln kannst. Wie das funktioniert, siehst Du im folgenden Beispiel.

Bruch aus Stammbruch konstruieren

Den Ausdruck " $\frac{4}{3}$ " kannst Du lesen als " $4 \cdot \frac{1}{3}$ " oder in Worten: Viermal der Stammbruch ein Drittel. Du weißt aber, was die Zahlen $4$ und $\frac{1}{3}$ sind.

Wenn also $\frac{1}{3}$ die Zahl ist, die bei Addition von 3 Kopien zur Zahl 1 führt, so gibt es für das Vierfache dieser Zahl eine natürliche Bedeutung:

Sie ist diejenige Zahl, die durch Addition von 3 Kopien auf die Zahl 4 führt

oder formal

$\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4 .$

Du bist dabei nicht nur auf positiven Zahlen wie die 4 beschränkt, sondern kannst auch negative Zahlen verwenden.

Brüche, Zähler und Nenner - Multiplikation einer Zahl mit Stammbruch

(a) Seien n eine natürliche Zahl größer Null und m eine ganze Zahl. Der Ausdruck " $\frac{m}{n}$ " ist dann diejenige Zahl, die durch Addition von n Kopien auf die Zahl m führt, also

$\underset{n - m a l}{\underset{⏟}{\frac{m}{n} + \frac{m}{n} + \dots + \frac{m}{n}}} = n \cdot \frac{m}{n} = m .$

Ein solcher Ausdruck heißt Bruch. Die Zahl über dem Strich heißt Zähler, die unter dem Strich Nenner: $\frac{m}{n}$

(b) Die Multiplikation einer ganzen Zahl m mit dem Stammbruch $\frac{1}{n}$ definieren wir dadurch, dass $m \cdot \frac{1}{n}$ gerade der Bruch $\frac{m}{n}$ sein soll.

Da ein Stammbruch eindeutig durch die Zahl unter dem Strich charakterisiert wird, ist sie in gewisser Weise wie der Name des Stammbruches. Es ist also nachvollziehbar, wieso die Zahl unter dem Strich als Nenner bezeichnet wird.

Brüche im Alltag und in den Wissenschaften

Die wohl wichtigste Anwendung von Brüchen im Alltag ist die Kommunikation. Betrachte zum Beispiel die folgende Abbildung:

Bruchrechnung Brüche im Alltag Kuchendiagramm StudySmarter Abbildung 1: Exemplarische Aufteilung der Beliebtheit von drei Spielen (A, B und C) unter Kindern und Jugendlichen bis zum 20. Lebensjahr

Wenn wir Dich nun fragen, wie viele der befragten Kinder und Jugendliche das Spiel C spielen, so hast Du zwei Antwortmöglichkeiten:

Du könntest die exakte Anzahl nennen; dafür benötigst Du jedoch weitere Information.

Oder Du sagst einfach, dass es ungefähr die Hälfte ist.

Wie ist aber der Ausdruck "die Hälfte" zu verstehen, ohne ein Grundwissen über Brüche zu besitzen? Bei den Spielen A und B wäre das ein Viertel. Das ist, ohne Kenntnisse über Brüche, noch schwieriger zu begreifen.

Weltweit wird in vielen Bereichen stillschweigend angenommen, dass ein Mensch mit Brüchen umgehen kann. Sei es bei der Verwendung von Messbechern, bei der Angabe von Zeitintervallen und Uhrzeiten (wie "eine drei Viertel Stunde" oder "es ist halb Zehn in Deutschland") oder die Anzeige der Akkuladung in Prozent.

Die Prozentrechnung selbst ist im Kern eine "versteckte" Bruchrechnung. Zum Beispiel ist 70% nur eine andere Schreibweise für $\frac{70}{100}$ .

Innerhalb der Mathematik und den Wissenschaften allgemein ist ein Verständnis der Bruchrechnung unabdingbar. Beispiele dafür sind unter anderem:

Einheiten in der Physik: Die Geschwindigkeit wird zum Beispiel in Meter pro Sekunde angegeben, oder formal $\frac{m}{s}$ . Ohne Brüche zu verstehen, kannst Du auch nicht verstehen, was denn "Meter pro Sekunde" überhaupt bedeuten soll. Der korrekte Umgang mit Einheiten ist ein essenzieller Bestandteil der Physik.

Ableitungen in der Mathematik: Eine der wichtigsten Operationen in der Mathematik (und auch in der Physik) ist die Ableitung. Mathematisch ist die Ableitung über einen ganz bestimmten Bruch definiert, der sich Differenzenquotient nennt.

Wichtige Größen in der Statistik: Der Mittelwert oder die Standardabweichung gehören zu wichtigen Kenngrößen der Statistik. Sie sind als bestimmte Brüche definiert.

Interessierst Du Dich dafür, dann lohnt es sich, nicht "Regeln" auswendig zu lernen, sondern das Prinzip dahinter zu verstehen.

Bruchrechnen lernen – ein Fahrplan

Das Warum und Weshalb zum Bruchrechnen findest Du in den folgenden Abschnitten. Die Details und ausführliche Beispiele findest Du dann in unseren entsprechenden Artikeln zu dem jeweiligen Thema (zum Beispiel gibt es einen separaten Artikel zur Addition von Brüchen).

Mit der Ausnahme des Kürzens von Brüchen wird im Wesentlichen folgendes passieren: Du konzentrierst dich auf Stammbrüche und nimmst unter die Lupe, wie Du sie addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst. Hast Du diese Prozesse verstanden, wirst Du mit allen Brüchen umgehen können.

Für das Kürzen können wir uns nicht auf Stammbrüche konzentrieren, denn bei Stammbrüchen gibt es nichts zu kürzen. Wieso das der Fall ist, wirst Du weiter unten sehen.

Nimm Dir die Zeit und genieße die Fahrt gemeinsam mit uns. Jeder Abschnitt repräsentiert eine Haltestelle, an der Du neues Wissen über Brüche und dem Bruchrechnen erlangen kannst.

Umgang mit Brüchen – die Regeln des Bruchrechnens

Bevor die Fahrt aber losgeht, hier zwei kleine Fragen: Wie lässt sich der Bruch $\frac{7}{9}$ in Worten beschreiben? Antwort: Er ist diejenige Zahl, die durch Addition von 9 Kopien zur Zahl 7 führt; in Kurzschreibweise

$9 \cdot \frac{7}{9} = 7 .$

Angenommen Du siehst nun folgende Gleichung

$12 \cdot x = 11 .$

Wie lässt sich diese Gleichung in Worten fassen und was ist x? Antwort: Die Gleichung teilt Dir mit, dass die Addition von 12 Kopien der Zahl x zur Zahl 11 führt. Das ist nach Definition gerade der Bruch $\frac{11}{12}$ .

Wenn Du die Antworten zu diesen beiden Fragen verstanden hast, bist Du bereit für die nächsten Abschnitte. Ist das nicht der Fall, so musst Du Dir keine Sorgen machen: Nehme Dir ein paar weitere Minuten und lese noch einmal den ersten Abschnitt sorgfältig durch.

Die erste Haltestelle beim Bruchrechnen wird das Kürzen und Erweitern sein.

Bruchrechnen Haltestelle 1: Kürzen und Erweitern

Bei der oben eingeführten Kurzschreibweise von

$n \cdot \frac{1}{n} = 1$

könntest Du Dich gefragt haben, ob das nicht einfach eine Folge des "Kürzens" von Brüchen ist. Zum Zeitpunkt der Definition ist das nur eine Kurzschreibweise; mehr nicht.

Aber, das mit dem "Kürzen" ist dennoch richtig: Wenn sich innerhalb desselben Bruches oberhalb und unterhalb des Bruchstriches dieselben Zahlen befinden, die mit dem Rest des Bruches durch eine Multiplikation oder Division verbunden sind, so kannst Du diese Zahlen ignorieren.

Kürzen eines konkreten Bruches

Betrachte den Bruch

$\frac{12}{15} .$

In dieser Form kannst Du nicht viel machen, denn oben steht eine 12 und unten eine 15. Du kannst den Bruch aber auch schreiben als

$\frac{12}{15} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5} .$

Nun steht oben und unten die Zahl 3, die durch eine Multiplikation mit dem Rest des Bruches verbunden ist. Du darfst daher diese Zahl ignorieren. Das heißt, es gilt

$\frac{12}{15} = \frac{4}{5} .$

Es ist absolut entscheidend, dass die 3 durch eine Multiplikation mit dem Rest des Bruches verbunden ist. Alternativ hätte es auch eine Division sein können. Bei einer Addition und Subtraktion fasst die Regel des Kürzens nicht. Angenommen Du dürftest das auch bei einer Addition machen, dann wäre die folgende Rechnung korrekt: $\frac{1 + 0}{1 + 1} = \frac{1 + 0}{1 + 1} = \frac{0}{1} = 0$ . Aber das ist eindeutig ein anderes Ergebnis als: $\frac{1 + 0}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ . Du kannst ähnliche Gegenbeispiele für die Subtraktion finden.

Wieso darfst Du aber die Zahl 3 einfach ignorieren? Gehen wir dazu zurück zu unserer Definition. Der Bruch $\frac{4}{5}$ ist diejenige Zahl, die durch Addition von 5 Kopien zur Zahl 4 führt, also

$5 \cdot \frac{4}{5} = 4 .$

Du kannst jetzt beide Seiten mit der Zahl 3 multiplizieren und erhältst

$(5 \cdot \frac{4}{5}) \cdot 3 = 15 \cdot \frac{4}{5} = 4 \cdot 3 = 12 .$

Das heißt, der Bruch $\frac{4}{5}$ ist auch diejenige Zahl, die durch Addition von 15 Kopien zur Zahl 12 führt. Aber diese Zahl kannst Du nach Definition als den Bruch $\frac{12}{15}$ schreiben. Du bekommst also das Resultat

$\frac{12}{15} = \frac{4}{5} .$

Die Zahlen oben und unten können sich dabei auch im Vorzeichen unterscheiden. Dann darfst Du aber auf keinen Fall vergessen, das Minuszeichen durch deine Rechnung zu ziehen.

Wenn dieselben Zahlen oben und unten einfach ignoriert werden können, dann kannst Du solche Zahlen auch einfach hinzufügen, ohne den Bruch an sich zu ändern. Dieser Prozess nennt sich den Bruch erweitern.

Erweitern eines konkreten Bruchs

Du hast den Bruch

$\frac{3}{7}$

gegeben. Suche Dir irgendeine ganze Zahl aus, die ungleich Null ist, und bezeichne sie mit m. Dann gilt

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot m}{7 \cdot m} .$

Wenn Du Dir zum Beispiel die Zahl 5 aussuchst, so erhältst Du die Gleichheit

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35} .$

Die Erweiterung von Brüchen wird insbesondere bei der Addition (und damit auch bei der Subtraktion) von Brüchen eine zentrale Rolle spielen. Genau das wird die zweite Haltestelle.

Bruchrechnen Haltestelle 2: Addition und Subtraktion

Zwei Äpfel plus drei Äpfel ergeben fünf Äpfel. Drei Hunde auf der Wiese plus vier weitere Hunde ergeben sieben Hunde auf der Wiese. Zwei Äpfel und zwei Hunde kannst Du auf diese mathematische Art nicht mehr zusammenfassen.

Auf ähnliche Weise funktioniert es mit Stammbrüchen. Um Stammbrüche miteinander addieren zu können, musst Du sicherstellen, dass sie denselben Nenner besitzen.

Konkrete Stammbrüche addieren

Du hast die zwei Stammbrüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{5}$ gegeben. In dieser Form kannst Du sie nicht miteinander addieren, denn sie beschreiben unterschiedliche Stammbrüche: Der eine ist der Stammbruch zur Zahl 2, der andere der Stammbruch zur Zahl 5.

Hier kommt das Erweitern von Brüchen ins Spiel. Du kannst die beiden Stammbrüche auch folgendermaßen schreiben:

$\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} = 5 \cdot \frac{1}{10}$

und

$\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 2 \cdot \frac{1}{10} .$

Jetzt hast Du jeweils den Stammbruch $\frac{1}{10}$ und kannst daher die Brüche miteinander addieren:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = 5 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10} = 7 \cdot \frac{1}{10} = \frac{7}{10} .$

Nimm Dir die Zeit, um diese Rechnung wirklich zu verstehen. In der Mitte der Gleichung hast Du in Worten folgendes stehen: "Fünfmal ein Zehntel Plus zweimal ein Zehntel". Wenn Du zu fünf Stück einer Sache zwei weitere Stücke derselben Sache hinzufügst, hast Du am Ende sieben Stück dieser einen Sache.

Da Du alle anderen Brüche mit Hilfe der Stammbrüche ausdrücken kannst, weißt Du nun auch, wie Du Brüche im Allgemeinen addierst.

Addition zweier konkreter Brüche

Wir können uns jetzt der Frage widmen, wer denn nun recht hat: Du oder der Redner am Anfang des Artikels? Die beiden Brüche waren

$\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4} .$

Im ersten Schritt konzentrierst Du Dich nur auf die Stammbrüche, also

$\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4} .$

Damit Du diese beiden Stammbrüche addieren kannst, erweiterst Du sie folgendermaßen:

$\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} = 4 \cdot \frac{1}{12}$ und $\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = 3 \cdot \frac{1}{12} .$

Jetzt darfst Du nur nicht die ursprünglichen Zähler 2 und 3 vergessen. Am Ende erhältst Du

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{4} = 2 \cdot (4 \cdot \frac{1}{12}) + 3 \cdot (3 \cdot \frac{1}{12}) = 8 \cdot \frac{1}{12} + 9 \cdot \frac{1}{12} = 17 \cdot \frac{1}{12} = \frac{17}{12} .$

Damit hattest Du recht und der Redner sollte sich das Bruchrechnen noch einmal anschauen.

Zur Addition von Brüchen findest Du viele weitere Details und Beispiele in unserem Artikel "Addition von Brüchen".

Die Subtraktion von Brüchen funktioniert genauso. Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen. Du kannst die beiden vorherigen Beispiele nehmen, das Pluszeichen zu einem Minuszeichen machen, und schon hast Du Beispiele für die Subtraktion zweier Brüche.

In den beiden Beispielen wurden die Brüche mit dem jeweiligen Nenner erweitert. Das muss aber nicht immer der Fall sein. Das bringt Dich zur dritten Haltestelle.

Bruchrechnen Haltestelle 3: Brüche gleichnamig machen

Wenn Du Brüche so erweiterst, dass sie dann denselben Nenner besitzen, so hast Du sie gleichnamig gemacht.

Um Brüche gleichnamig zu machen, hast Du im Wesentlichen zwei Optionen:

Du multiplizierst mit den jeweiligen Nennern. Das hat zwar den Vorteil, dass Du direkt loslegen kannst. Jedoch kannst Du dadurch schnell große Zahlen bekommen, und das ist zu vermeiden, wenn Du keinen Taschenrechner verwenden darfst.

Du schaust Dir die einzelnen Nenner genauer an und versuchst, ihren kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu finden.

Zu beiden Methoden findest Du in unserem Artikel "Brüche gleichnamig machen" viele Beispiele und weitere Erklärungen.

Bruchrechnen Haltestelle 4: Multiplikation und Division

Die Multiplikation von Stammbrüchen ist etwas entspannter. Wenn Du zwei Stammbrüche miteinander multiplizieren möchtest, gehst Du folgendermaßen vor:

Du nimmst die beiden Nenner und multiplizierst diese miteinander.

Das Ergebnis dieser Multiplikation wird der Nenner des neuen Stammbruches.

Konkrete Stammbrüche multiplizieren

Betrachte die beiden Stammbrüche

$\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{8}$ .

Das Produkt der beiden Nenner 3 und 8 ergibt 24,

$3 \cdot 8 = 24 .$

Dieses Produkt wird zum Nenner des neuen Stammbruches. Insgesamt hast Du also

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{3 \cdot 8} = \frac{1}{24} .$

Ähnlich wie bei der Addition kannst Du beliebige Brüche multiplizieren, indem Du die Zähler "mitziehst". Wie das genau aussieht, findest Du in unserem Artikel zur Multiplikation von Brüchen.

Die Rechenregel selbst erscheint einfach, aber irgendwie aus dem Hut gezogen. Du kannst jedoch verstehen, wieso die Regel so ist, wie sie ist. Auch das erfährst Du in unserem entsprechenden Artikel dazu.

Die Division von Brüchen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen, indem Du folgende Beobachtung machst: Du teilst einen Bruch durch einen anderen Bruch, indem Du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.

Division zweier konkreter Brüche

Betrachte die beiden Brüche

$\frac{4}{3}$ und $\frac{5}{8} .$

Du möchtest den ersten Bruch durch den zweiten Bruch dividieren. Es ist also der Ausdruck

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{8}}$

von Interesse. Gemäß der obigen Regel brauchst Du den Kehrwert des zweiten Bruches. Den Kehrwert eines Bruches erhältst Du, indem Du Zähler und Nenner vertauscht. Notiert wird der Kehrwert mit einer "-1", die direkt oberhalb des Bruches steht. Konkret sieht das so aus:

${(\frac{5}{8})}^{- 1} = \frac{8}{5} .$

Nun nimmst Du den ersten Bruch und multiplizierst ihn mit diesem Kehrwert

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{8}} = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{5}{8})}^{- 1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{5} = \frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 5} = \frac{32}{15} .$

Wieso diese Regel gilt, erfährst Du in unserem Artikel zur Division von Brüchen. Dort findest Du aber auch viele weitere Beispiele, denn Du kannst unter anderem Brüche auch durch ganze Zahlen dividieren, oder umgekehrt ganze Zahlen durch Brüche.

Bruchrechnen Haltestelle 5: Rechnen mit Doppelbrüchen

Das obige Beispiel der Division von zwei Brüchen hat sogar einen speziellen Namen: Doppelbruch. Die Methode der Multiplikation mit dem Kehrwert ist dabei die entscheidende Vorgehensweise.

Es gibt zu den Doppelbrüchen noch weitere Spezialfälle. Das und mehr erfährst Du im Artikel "Rechnen mit Doppelbrüchen".

Bruchrechnen Haltestelle 6: Variablen und Klammern

Die letzte Haltestelle der Fahrt durch die Welt des Bruchrechnens ist der Umgang mit Brüchen, in denen Klammern und Variablen vorkommen.

Wenn Du Brüche hast, in denen nicht nur Zahlen vorkommen, sondern auch Variablen (wie x oder y), so hast Du es mit Bruchterme zu tun. Zu Bruchterme gibt es einen ausführlichen Artikel, in dem Dir eine mysteriöse Tür begegnen wird, die sich nur öffnen lässt, wenn Du mit Brüchen umgehen kannst.

Im Wesentlichen gehst Du mit Bruchterme genauso um, wie mit Brüchen. Der entscheidende Unterschied ist die Problematik mit der Division durch Null. Bei Brüchen löst Du das Problem, indem Du einfach die Zahl Null nicht verwendest. Bei Bruchterme musst Du aber eine sogenannte Definitionsmenge angeben.

Bruchrechnen mit Klammern & Variablen - ein vertrautes Problem in neuer Erscheinungsform

Im Umgang mit ganzen Zahlen wirst Du auf Regeln wie die folgenden getroffen sein:

Klammer ausmultiplizieren: Ein Beispiel dafür ist $3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27 .$ Oder für die Division: $(4 + 8) : 2 = 4 : 2 + 8 : 2 = 2 + 4 = 6 .$

Wirklich von Interesse ist das nur, wenn Du zusätzlich noch Variablen hast. Bei konkreten Zahlen kannst Du einfach die Zahl in der Klammer ausrechnen und dann multiplizieren bzw. dividieren: $3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot (9) = 3 \cdot 9 = 27$ bzw. $(4 + 8) : 2 = (12) : 2 = 12 : 2 = 6$ . Möchtest Du aber den Umgang mit Variablen verstehen, so musst Du zunächst mit konkreten Zahlen umgehen können.

Bei Minuszeichen vor der Klammer werden Vorzeichen gedreht: Ein Beispiel dafür ist $3 - (4 + 5) = 3 - 4 - 5 = - 6$ ; oder auch $3 - (4 - 5) = 3 - 4 + 5 = 4$ .

Punkt vor Strich: zum Beispiel $3 \cdot 4 + 5 = 12 + 5 = 17$ . Du führst zuerst die Multiplikation aus und dann addierst Du.

Nun nimmst Du die Zahlen in den Beispielen, ersetzt sie durch Deine Lieblingsbrüche und schon hast Du Beispiele für das Bruchrechnen mit Klammern.

Bruchrechnen mit Klammern: Ausmultiplizieren

Betrachte den Ausdruck

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) .$

Wie mit ganzen Zahlen nimmst Du den Bruch vor der Klammer und multiplizierst ihn mit jedem Bruch, der sich innerhalb der Klammer befindet. Die einzelnen Produkte addierst Du dann anschließend,

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} .$

Jetzt musst Du wissen, wie Du Brüche multiplizierst

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} .$

Und schließlich addierst Du die Ergebnisse

$\frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 12} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{9}{60} .$

Insgesamt hast Du also

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9}{60} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 20} = \frac{3}{20} .$

Bruchrechnen mit Klammern: Vorzeichen wird gedreht

Diesmal hast Du den Ausdruck

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) .$

Die Klammer löst Du auf, indem Du das Vorzeichen aller Brüche innerhalb der Klammer umdrehst. Das heißt

$\frac{1}{3} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} .$

Das sind nun drei einzelne Brüche, die Du subtrahieren kannst.

Bruchrechnen mit Klammern: Ein etwas längerer Ausdruck

Als letztes Beispiel betrachte den Ausdruck

$\frac{5}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) - (\frac{3}{4} - \frac{5}{16}) .$

Du hast hier zwei Teile

$\frac{5}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{5})$

und

$(\frac{3}{4} - \frac{5}{16})$

die über ein Minuszeichen miteinander verbunden sind. Der erste Teil ergibt

$\frac{5}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{7}{16}$

und der zweite Teil hingegen

$(\frac{3}{4} - \frac{5}{16}) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} - \frac{5}{16} = \frac{12}{16} - \frac{5}{16} = \frac{7}{16} .$

Jetzt nimmst Du den ersten Teil und subtrahierst von ihm den zweiten Teil. Als Ergebnis erhältst Du

$\frac{5}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) - (\frac{3}{4} - \frac{5}{16}) = \frac{7}{16} - \frac{7}{16} = 0 .$

An der letzten Haltestelle angelangt, sollten wir Dir erklären, wieso wir im Einstieg ausgerechnet das Jahr 1228 gewählt haben. Es war genau zu diesem Jahr, in dem Leonardo da Pisa (besser bekannt unter dem Namen Fibonacci) die Schreibweise eines Bruches als zwei Zahlen, die durch einen horizontalen Strich getrennt sind, eingeführt hat.

Die Fahrt endet in der Nähe einer wundervollen Bibliothek. Dort hineinspaziert, findest Du einen leeren Tisch, an dem Du Dich bequem machst. Nun ist es an der Zeit, dass Du selbstständig ein paar Aufgaben löst.

Bruchrechnen – Aufgaben

Wenn Du merkst, dass die Aufgaben nicht so flüssig laufen, dann kehre zu den entsprechenden Abschnitten in diesem Artikel zurück. Du kannst auch unsere ausführlichen Artikel zu den einzelnen Themen ansehen.

Aufgabe 1 - Einüben von wichtigen Regeln der Bruchrechnung

Vereinfache die folgenden Brüche so weit wie möglich:

$\frac{12}{32}$
$\frac{5}{9} + \frac{13}{9}$
$\frac{1}{3} + \frac{7}{6}$
$\frac{\frac{5}{12}}{\frac{20}{6}}$

Lösung

(a) Du kannst den Bruch schreiben als

$\frac{12}{32} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 8} .$

Nun hast Du im Zähler und im Nenner einen Faktor von 4. Du kannst diesen daher kürzen

$\frac{12}{32} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 8} = \frac{3}{8} .$

(b) Die beiden Brüche besitzen bereits denselben Nenner. Du kannst sie also direkt addieren

$\frac{5}{9} + \frac{13}{9} = \frac{5 + 13}{9} = \frac{18}{9} .$

Da $18 = 9 \cdot 2$ gilt, hast Du im Zähler und im Nenner einen Faktor von 9. Wenn Du diesen kürzt, erhältst Du

$\frac{5}{9} + \frac{13}{9} = \frac{18}{9} = 2 .$

$\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} .$

Jetzt haben beide Brüche einen Nenner von 6 und Du kannst sie addieren

$\frac{1}{3} + \frac{7}{6} = \frac{2}{6} + \frac{7}{6} = \frac{9}{6} .$

$9 = 3 \cdot 3$

und

$6 = 3 \cdot 2$

gilt, hast Du einen gemeinsamen Faktor von 3. Das Ergebnis nach dem Kürzen lautet

$\frac{1}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

(d) Der Kehrwert des Nenners ist

${(\frac{20}{6})}^{- 1} = \frac{6}{20} .$

Diesen Kehrwert multiplizierst Du nun mit dem ersten Bruch, der sich über dem größeren Bruchstrich befindet

$\frac{5}{12} \cdot \frac{6}{20} = \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{2}{4 \cdot 4} .$

Da $4 = 2 \cdot 2$ ist, kannst Du noch einen weiteren Faktor von 2 kürzen

$\frac{2}{4 \cdot 4} = \frac{2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} .$

Insgesamt hast Du also

$\frac{\frac{5}{12}}{\frac{20}{6}} = \frac{1}{8} .$

Aufgabe 2 - Bruchrechnen mit Klammern

Vereinfache den folgenden Ausdruck so weit wie möglich

$\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{7}) .$

Lösung

Der Ausdruck besteht aus drei Teilen

$\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{7})$

Die ersten beiden Teile sind durch ein Pluszeichen verbunden; der zweite und dritte Teil über ein Minuszeichen. Der zweite Teil lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Für den ersten Teil erhältst Du

$\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35}$

und für den dritten Teil

$\frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{7}) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{14} = \frac{9}{112} .$

Jetzt hast Du drei einzelne Brüche, die folgendermaßen miteinander verbunden sind

$\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{7}) = \frac{6}{35} + \frac{3}{10} - \frac{9}{112} .$

Rechnest Du diese Kombination aus, indem Du die drei Brüche auf denselben Nenner bringst, so bekommst Du als Ergebnis

$\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{7}) = \frac{219}{560} .$

Bruchrechnen – Das Wichtigste

Beim Bruchrechnen gehst es um den richtigen Umgang mit Brüchen. Zum richtigen Umgang gehören unter anderem:
- Brüche kürzen: Hier achtest Du darauf, ob sich im Zähler und Nenner ein gemeinsamer Faktor befindet. Ist das der Fall, so kannst Du diesen streichen.
- Brüche erweitern: Du kannst den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, ohne den Bruch dabei zu verändern.
- Brüche gleichnamig machen: Häufig ist das Ziel des Erweiterns, dass alle beteiligten Brüche am Ende denselben Nenner besitzen. Du hast sie also gleichnamig gemacht.
- Brüche addieren und subtrahieren: Hier bringst Du die beteiligten Brüche zunächst auf denselben Nenner. Dann brauchst Du nur noch die Zähler zu addieren bzw. zu subtrahieren und lässt dabei den Nenner unberührt.
- Brüche multiplizieren und dividieren: Bei der Multiplikation berechnest Du separat das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner. Bei der Division multiplizierst Du mit dem Kehrwert.
- Rechnen mit Doppelbrüchen: Du kannst die Division von zwei Brüchen auch als einen ganzen Bruch auffassen, dessen Zähler und Nenner Brüche sind. Ein solcher Bruch heißt Doppelbruch.

Neben diesen Grundrechenarten können auch noch Klammern und Variablen auftreten. Im Fall von Variablen hast Du es mit sogenannten Bruchtermen zu tun.

Beim Bruchrechnen mit Klammern wendest Du die exakt selben Regeln an, die Du beim Rechnen mit ganzen Zahlen gewohnt bist. Dazu gehören unter anderem:
- Ausmultiplizieren von Klammern;
- Bei einem Minuszeichen vor der Klammer werden die Vorzeichen gedreht;
- Punkt vor Strich.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bruchrechnen

Um zwei Brüche zu subtrahieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler subtrahiert, der Nenner bleibt einfach gleich.

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt einfach gleich.

Bei der Multiplikation werden die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert.

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

Um zwei Brüche zu addieren oder subtrahieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt einfach gleich.

Um Brüche zu multiplizieren, werden die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert.

Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrbruch multipliziert.

Um zwei Brüche zu addieren, müssen im ersten Schritt die Brüche gleichnamig gemacht werden. Im zweiten Schritt werden dann die Zähler addiert, der Nenner bleibt einfach gleich.

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Erläutere, wie man einen Bruch kürzt.

Um einen Bruch zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert.

Bewerte die folgende Aussage:

Brüche werden beim Kürzen kleiner.

Das ist falsch. Der Wert eines Bruches verändert sich nicht, wenn gekürzt wird.

Beschreibe, was du tun musst, wenn du einen Bruch mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen möchtest.

Zunächst werden Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt
Anschließend kannst du diejenigen Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommen. Dabei darfst du nur so viele Faktoren kürzen, sodass du dieselbe Anzahl im Zähler und im Nenner wegstreichst.
Abschließend werden die Produkte wieder berechnet, sodass du einen normalen Bruch hast.

Nenne die Methoden, die du kennengelernt hast, um Brüche zu kürzen.

Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzen
Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen
Brüche mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen
Brüche mit Variablen durch Ausklammern kürzen
Brüche über Kreuz kürzen

Welchen Vorteil hat es, wenn du Brüche mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzt anstatt mit irgendeinem gemeinsamen Teiler?

Die Brüche sind dann direkt vollständig gekürzt. Wenn du mit irgendeinem gemeinsamen Teiler kürzt, sind die Brüche nicht vollständig gekürzt.

Beschreibe, was vollständig gekürzt bedeutet.

Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, der größer als 1 ist. Der Bruch kann dann also nicht weiter gekürzt werden.

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