Kennst Du diese analogen Waagen, bei denen auf beiden Seiten Gewichte in einer Schale liegen? Wenn das Gewicht auf beiden Seiten gleich ist, sind die beiden Schalen der Waage auf gleicher Höhe.
Abbildung 1: Alltagsbeispiel Gleichwertigkeit/Äquivalenz
So ähnlich kannst Du es Dir auch äquivalenten Terme vorstellen. Doch Moment – was sind denn äquivalente Terme?
Äquivalente Terme – Grundlagenwissen
Bevor Du lernen kannst, was äquivalente Terme sind, wie Du sie umformst und wie Du überprüfen kannst, ob Terme gleichwertig sind, solltest Du Dir folgende kurze Wiederholung ansehen.
Terme – Definition und Beispiele
In der Mathematik bestehen Terme aus Zahlen und Variablen, welche über Rechenzeichen wie +, - , \(\cdot\), :, etc. verknüpft sein können. Terme besitzen einen Wert, der entweder direkt berechnet werden kann, oder von der Wahl der benutzten Variablen abhängt.
Terme lassen sich über Raltionszeichen ( >; < ; =; ... ) miteinander in Bezug setzen. Man spricht dann von einer Gleichung.
Äquivalente Terme – Definition
Äquivalenz bedeutet „gleichwertig“. Zwei Terme werden äquivalent genannt, wenn sie bei ihrer Berechnung den gleichen Wert aufweisen.
Beispielsweise sind die Terme "2x" und "x + x" äquivalent, da sie für jeden Wert von x den gleichen Wert aufweisen. Wenn x beispielsweise den Wert 3 hat, dann hat "2x" den Wert 6 und "x + x" den Wert 6. Daher sind beide Terme äquivalent.
Äquivalente Terme – Beispiele
Damit Du Dir vorstellen kannst, wie äquivalente Terme aussehen können, findest Du hier ein paar Beispiele.
Pro Zeile findest Du jeweils zwei Terme, die zueinander äquivalent sind.
| |
\(13-6+21\) | \(22+6\) |
\(5x-(3+7x)\) | \(-2x-3\) |
\((a+3)^2\) | \(a^2+2\cdot 3\cdot a +3^2\) |
\(\frac{x}{3}+y\) | \(\frac{x+3y}{3}\) |
\(3^2+2x-x\) | \(9+x\) |
In der letzten Zeile ist die 3 nicht nur der äquivalente Term, sondern auch direkt der Wert des Terms.
Wie Du durch Umformen herausfinden kannst, dass die Terme jeweils äquivalent sind, erfährst Du weiter unten im Kapitel Äquivalente Terme umformen.
Andere äquivalente Objekte in der Mathematik
Nicht nur Terme können zueinander äquivalent beziehungsweise gleichwertig sein. Es gibt auch andere Objekte in der Mathematik, die äquivalent zueinander sein können.
Auch andere mathematische Konstrukte können zueinander äquivalent sein.
Es können auch geometrische Operationen zueinander äquivalent sein. Darunter fallen beispielsweise auch Drehungen.
Äquivalente geometrische Operationen
Zwei Drehungen sind äquivalent, wenn Du bei beiden Drehungen in die gleiche Richtung schaust.
Eine volle Drehung wird immer durch \(360^\circ\) ausgedrückt. Somit sind alle Drehungen äquivalent, die jeweils ein Vielfaches von \(360^\circ\) addiert haben.
Folgende Drehungen sind z. B. äquivalent zueinander:
Drehung um \(45^\circ\Leftrightarrow\) Drehung um \(405^\circ = 360^\circ +45^\circ\)
Äquivalente Terme umformen
Doch wie kannst Du nun die Terme umformen, um herauszufinden, dass sie äquivalent beziehungsweise gleichwertig sind? Dafür kannst Du verschiedene Termumformungen nutzen, die bekannten Rechengesetzen genügen. Meist sind die Terme nach dem Umformen dann kürzer und übersichtlicher.
Äquivalente Terme berechnen und bestimmen
Oft hast Du Terme gegeben, die Du bereits berechnen oder zumindest vereinfachen kannst. Dabei helfen Dir folgende Rechengesetze:
Im Folgenden bekommst Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie Du überprüfen kannst, ob Terme äquivalent sind.
Alles zu den jeweiligen Rechengesetzen findest Du in den entsprechend benannten Erklärungen zu den einzelnen Gesetzen.
1. Ersten Term vereinfachen
Zunächst siehst Du Dir den ersten Term an und vereinfachst ihn. Dazu beachtest Du, wie bereits erwähnt, alle nötigen Gesetze, wie auch die Punkt- vor Strichrechnung oder das Distributivgesetz.
Kommen in Deinem Term Zahlen vor, kannst Du diese recht schnell zusammenfassen. Das gilt auch für Brüche oder Dezimalzahlen.
Beispiel 1
Den Term \[8+3\cdot(\frac{10}{3}-9)\]
kannst Du nach und nach zusammenfassen, indem Du zuerst das Distributivgesetz bei der Klammer anwendest und dann die Zahlen miteinander verrechnest.
Natürlich könntest Du auch erst die Klammer zusammenrechnen und dann mit 3 multiplizieren, aber weil in der Klammer ein Bruch und eine ganze Zahl steht, ist das Distributivgesetz sinnvoller.
\(8+3\cdot(\frac{10}{3}-9) = 8+\not 3\cdot\frac{10}{\not 3}- 3\cdot9 = 8+10-27=-9\)
Nun ist der Term möglichst vereinfacht. Hier konnte sogar der konkrete Wert herausgefunden werden, da in diesem Term keine Variablen vorkommen. Das bedeutet unser Ausgangsterm ist äquivalent zu jedem anderen Term, dessen Wert -9 ist.
Jeder Term, der hinter dem „=“ steht, ist schon äquivalent zum Ursprungsterm. Das liegt daran, dass Termumformungen niemals den Wert des Terms verändern.
Kommen in Deinem Term (mehrere) gleiche Variablen vor, kannst Du diese zusammenfassen.
Beispiel 2
Der folgende Term enthält sowohl Zahlen als auch Variablen.
\(3x+5+7y+8\cdot2x^2+5x-3\)
Du kannst den Term vereinfachen. indem Du die Koeffizienten (Das sind die Zahlen, die vor Deinen Variablen stehen) von gleichnamigen Variablen zusammenfasst. Du kannst also nur x mit x, \(x^2\) mit \(x^2\) und y mit y zusammenfassen.
Vereinfacht sieht der Term also so aus:
\(8x + 2 + 7y + 16x^2\)
2. Zweiten Term vereinfachen
Da Du ja zwei oder mehr Terme auf ihre Äquivalenz überprüfen willst, solltest Du dementsprechend auch alle Deine gegebenen Terme vereinfachen. Meist hast Du zwei Terme gegeben. Wenn Du allerdings mehrere hast, vereinfachst Du dann auch den dritten oder vierten Term.
Beispiel 3
Um zu überprüfen, ob der Term aus Beispiel 2 äquivalent zu folgendem Term ist, muss dieser zunächst vereinfacht werden.
\(\text{Neuer Term:} \quad 2\cdot 4x +3x^2+y\cdot(3+4)+2+13x^2\)
Zusammengefasst erhälst Du folgenden Term:
\(8x + 16x^2 +7y + 2\)
3. Terme sortieren
Da Du nun alle Terme vereinfacht hast, musst Du sie als Nächstes sortieren. Am besten beginnst Du dabei mit der Variable mit dem größten Exponenten. Außerdem befinden sich die Zahlen oft am Ende sortierter Terme.
In Beispiel 2 könnte eine Sortierung wie folgt aussehen:
\(16x^2+8x+7y+2\)
Ebenso wird der Term aus Beispiel 3 sortiert:
\(16x^2+8x+7y+2\)
4. Prüfen, ob Terme äquivalent sind
Als letzten Schritt vergleichst Du jetzt alle vereinfachten und sortierten Terme. Wenn sie gleich sind, sind sie äquivalent. Das bedeutet auch, dass Du, wenn Du für die Variablen gleiche beliebige Zahlen einsetzt, bei beiden Termen den gleichen Termwert erhältst.
Die Terme aus Beispiel 2 und 3 sehen nach dem Sortieren genau gleich aus und haben den gleichen Wert, wenn für x und y konkrete Zahlen eingesetzt werden (z. B. x=1 und y=0). Daher sind die Terme gleichwertig beziehungsweise äquivalent. In der Mathematik kann es dann so ausgedrückt werden:
\(3x+5+7y+8\cdot2x^2 +5x-3\Leftrightarrow 2\cdot4x+3x^2+y\cdot(3+4)+2+13x^2\)
Terme können auch über bestimmten Mengen äquivalent sein. Das bedeutet, dass Du alle Zahlen aus der Menge für die Variablen einsetzen kannst und die Terme dabei gleichwertig sind. Setzt Du aber Zahlen ein, die nicht in der Menge liegen, sind die Terme nicht mehr äquivalent.
Äquivalente Terme zuordnen
Geht es in einer Aufgabe um darum, äquivalente Terme zuzuordnen, bleibt Dir meist nichts anderes übrig, als alle Schritte des Kapitels Äquivalente Terme berechnen und bestimmen durchzugehen.
Manchmal kannst Du aber auch schon zu Beginn Terme ausschließen, die nicht zueinanderpassen. Doch wie geht das?
Siehst Du Dir die äquivalenten Terme aus den Beispielen in der Tabelle oben an, fällt eine Besonderheit auf: In den äquivalenten Termen kommen immer die gleichen Variablen vor, oder sie besitzen beide keine Variablen.
Sollst Du beispielsweise entscheiden, welcher der unten stehenden Terme äquivalent zum Term \(5x+16-7x\) ist, kannst Du Dir genau ansehen, ob und welche Variablen im Term vorkommen. Hier besteht der Term nur aus Zahlen und der Variable x.
Aufgabe
Entscheide nun, welche der Terme nicht äquivalent dazu sein können:
a) \(13-2y+3\)
b) \(24-3x+x-8\)
c) \(5-7+16\)
Lösung
Der Term a) kann nicht äquivalent zum Beispielterm sein, da anstatt der Variable x die Variable y auftaucht. Ebenso kann der Term c) nicht äquivalent zum Beispielterm sein, da in ihm nur Zahlen und keine Variablen auftauchen. Übrig bleibt der Term b), der äquivalent zum Beispielterm sein kann. Dies muss allerdings noch, wie weiter oben erklärt, überprüft werden.
Auf diese Weise musst Du diese Schritte nicht für alle drei Terme durchgehen, sondern kannst bereits zwei Terme vorab aussortieren.
Äquivalente Terme – Aufgaben und Übungen
Hier findest Du unterschiedliche Aufgaben und Übungen mit entsprechenden Lösungen zum Bestimmen, Berechnen und Zuordnen äquivalenter Terme. Du kannst also direkt üben, ob Du das eben Gelernte anwenden kannst und anhand der Lösungen kontrollieren.
Aufgabe 1
Löse vorhandene Klammern auf und vereinfache die Terme so weit wie möglich.
- \((a-7)^2+3\)
- \(0{,}5a+3\cdot0{,5}b-1{,}5a+0{,}5b\)
- \(\frac{3}{8}x-7x^2-\frac{5}{16}x-x\cdot x\)
Lösungen
Die Terme kannst Du wie folgt vereinfachen:
a. Nutze hier als Erstes die zweite binomische Formel. Dann kannst Du weiter zusammenfassen.
\((a-7)^2+3=a^2-2\cdot 7a+7^2+3=a^2-14a+52\)
b. Hier kannst Du zunächst die Multiplikation lösen und dann jeweils die Variablen mithilfe ihrer Koeffizienten addieren oder subtrahieren.\[0{,}5a+3\cdot0{,5}b-1{,}5a+0{,}5b=-a+2b\]
c. Da dieser Term Brüche als Koeffizienten für das x besitzt, solltest Du diese auf denselben Nenner bringen, um sie zusammenzufassen. Außerdem kannst Du \(x\cdot x\)zu \(x^2\) zusammenfassen.
\(\frac{3}{8}x-7x^2-\frac{5}{16}x-x\cdot x= -8x^2+\frac{1}{16}x\)
Aufgabe 2: Äquivalente Terme bestimmen
Bestimme, ob die beiden Terme jeweils äquivalent zueinander sind.
| a. | b. | c. |
- \(14+7\cdot 3^2\)
- \(7\cdot (21-10)\)
| - \(0{,}6x^2-16+\frac{3}{5}x^2-3{,}6\)
- \(2x\cdot x+31-\frac{4}{5}x^2-11{,}4\)
| - \(28xy + 7z\)
- \(7(4x+4y+z)\)
|
Lösung
| a. | b. | c. |
Die Terme sind äquivalent, denn es gilt:- \(14+7\cdot 3^2 = 77\)
- \(7\cdot (21-10)=77\)
Der Wert beider Terme ist hier gleich. | Die Terme sind nicht äquivalent, denn es gilt:- \(0{,}6x^2-16+\frac{3}{5}x^2-3{,}6 = 12x^2-19{,}6\)
- \(2x\cdot x+31-\frac{4}{5}x^2-11{,}4 = 12x^2+19{,}6\)
Das Vorzeichen der Zahl macht hier den Unterschied und sorgt dafür, dass die Terme nicht mehr gleichwertig sind. | Die Terme sind nicht äquivalent, denn es gilt:- \(28xy+7z\) (Dieser Term kann nicht weiter vereinfacht werden)
- \(7(4x+4y+z)=28x+28y+7y
Beide Terme können nun nicht weiter vereinfacht werden. Sie sind somit nicht äquivalent. |
Aufgabe 3: Äquivalente Terme zuordnen
Ordne alle folgenden äquivalenten Terme einander zu. Es sind immer maximal zwei Terme zueinander äquivalent. Dabei bleiben drei Terme übrig, die jeweils keinen gleichwertigen Term besitzen.
- \((x+5)(xy+7x-3)\)
- \(-9{,}6a^2-3ab\)
- \(3x\cdot 2y\cdot 3z\)
- \(-x^2y-7x+5xy+32y+15\)
- \(b(9{,}6a-3a)\)
- \(-3a\cdot(3{,}2a+b)\)
- \(18xyz\)
- \(x(xy+7x+5y+32)-15\)
- \(18(x+y+z)\)
Lösung
Folgende Terme sind äquivalent zueinander:
| a. \((x+5)(xy+7x-3)\) | ⇔ | h. \(x(xy+7x+5y+32)-15\) |
| b. \(-9{,}6a^2-3ab\) | ⇔ | f. \(-3a\cdot(3{,}2a+b)\) |
| c. \(3x\cdot 2x\cdot 3z\) | ⇔ | g. \(18xyz\) |
Die Terme d., e. und i. bleiben übrig.
Äquivalente Terme – Das Wichtigste
- Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie den gleichen Wert besitzen
- Äquivalente Terme kannst Du ineinander umformen
- Beim Umformen solltest Du folgende Rechengesetze beachten:
- Die Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie Du überprüfen kannst, ob zwei Terme äquivalent sind:
- Ersten Term möglichst weit vereinfachen
- Zweiten Term möglichst weit vereinfachen
- Terme so sortieren, dass sie die gleiche Reihenfolge an Zahlen und Variablen haben
- Prüfen, ob die Terme äquivalent sind: Kannst Du für die Variablen konkrete Zahlen einsetzen und kommt bei beiden Termen der gleiche Wert heraus, sind sie äquivalent.
- In äquivalenten Termen kommen immer die gleichen Variablen oder eben keine Variablen vor. So kannst Du beim Zuordnen äquivalenter Terme schnell aussortieren, welche Terme nicht äquivalent sein können.
Nachweise
- Steinweg (2013). Algebra in der Grundschule: Muster und Strukturen ̶ Gleichungen ̶ funktionale Beziehungen. Springer-Verlag.
- Arrenberg et. al. (2011). Vorkurs in Mathematik. Walter de Gruyter.
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