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Brucharten

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Brucharten

Vielleicht hast Du schon einmal einen Bergbau gesehen. Zu einem Teil befindet sich ein Bergbau immer unter der Erde, wo sich das gesamte Gestein befindet und abgebaut wird. Ein anderer Teil liegt über der Erde, wo das abgebaute Gestein gelagert wird.

Brucharten Bruch Bergbau StudySmarter

So ähnlich kannst Du Dir auch einen Bruch vorstellen. Unter dem Bruchstrich steht eine Zahl, die für das Ganze steht, während sich über dem Bruchstrich sich ein Teil des Ganzen befindet. Was mit Brüchen angeben werden kann und welche verschiedenen Arten von Brüchen es gibt, erfährst Du in diesem Artikel.

Brüche – Erklärung

Im folgenden Abschnitt wird geklärt, was ein Bruch ist, was er angibt und worauf Du bei Brüchen achten musst.

Brüche - Definition

Das Rechnen mit Brüchen ist ein elementarer Bestandteil der Mathematik. Auch im Alltag kannst Du sie in vielen verschiedenen Situationen brauchen.

Ein Bruch ist die Trennung zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Bei diesen Zahlen wird von einem Zähler (Zahl über dem Bruchstrich) und einem Nenner (Zahl unter dem Bruchstrich) gesprochen.

Brüche Bruch StudySmarter

Der Nenner, also die Zahl unter dem Bruchstrich, gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes aufgeteilt ist. Der Zähler, also die obere Zahl, besagt, wie viele Anteile dieser Gesamtzahl vorhanden sind.

So kannst Du Dir den Bruch wie einen Kuchen vorstellen, der in 8 Stücke geteilt wurde. 3 Stücke wurden allerdings schon gegessen. Es sind also nur noch 5 von den ursprünglichen 8 Stücken des Kuchens übrig, also .

Stell Dir vor, Du bist bei Deiner Oma zu Besuch und sie hat einen Käsekuchen gebacken. Ihr sitzt zu viert am Tisch und teilt den Kuchen in vier Teile. Jeder bekommt nun (ein Viertel) des Kuchens. Der Bruch setzt sich aus der Gesamtzahl der Kuchenstücke (4 = Nenner) und den Anteilen der Gesamtzahl (1 = Zähler) zusammen.

Brucharten Kuchen StudySmarter

wird "ein Viertel" gesprochen.

Wenn Du zusätzlich noch zwei Freunde eingeladen hast, esst ihr den Kuchen zu sechst. Deine Oma schneidet den Kuchen also in 6 gleich große Stückchen. Jeder hat nun des Kuchens.

Typischen Brüche, die Du bestimmt auch schon im Alltag gehört hast, sind außerdem:

(ein Halb) , (ein Drittel) und (ein Viertel).

Wenn zwei Brüche denselben Zähler haben, dann gilt: je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch. Umgekehrt gilt: Je kleiner der Nenner, desto größer ist der Bruch.

Null im Nenner

Für alle Brüche gilt eine Regel:

Der Nenner N eines Bruchs darf niemals 0 sein. Das bedeutet, die Form Brucharten Zähler durch Null StudySmarter gibt es nicht, denn es gilt:

Brucharten Nenner nicht Null StudySmarter

Dies kann anhand des Kuchenbeispiels erklärt werden. Wenn der Nenner eines Bruchs 0 ist, bedeutet dies, dass 0 Stücke Kuchen auf 4 oder 6 Leute aufgeteilt werden können. Dies ist jedoch nicht möglich.

Eine andere Möglichkeit, sich diese Situation vorzustellen, ist, sich an die Schreibweise mit dem Geteiltzeichen zu erinnern. Dann würde der Bruch so aussehen:

Du kannst Dir folgende Gleichung notieren:

Stellst Du die Gleichung nach 3, also dem Zähler Z, um, kann die Behauptung nicht erfüllt. Es gibt keine Zahl x, die mit 0 multipliziert wieder 0 ergibt.

Der Nenner eines Bruchs darf also niemals 0 sein.

Anwendung von Brüchen

Wofür werden Brüche eigentlich benötigt? Auf diese Frage gibt es mehrere Antworten:

  • Durch Brüche kannst Du vor allem vermeiden, lange Dezimalzahlen aufzuschreiben. Dadurch sparst Du Platz und Zeit beim Rechnen.
  • Mit Brüchen kannst Du einen Anteil von einem Ganzen ausdrücken (z.B. ein halber Apfel).
  • Du kannst auch ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen beschreiben.
  • Außerdem dienen sie als Schreibweise für eine Division oder eine Prozentrechnung.

Der "normale Bruch" wird auch als gemeiner Bruch bezeichnet.

Brüche können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.

Brüche können in Dezimalzahlen umgewandelt werden oder auch als Division oder Prozentrechnung dargestellt werden.

Anstatt von kannst Du also auch , oder schreiben.

Brucharten zuordnen – Beispiele

In der Mathematik kannst Du zwischen unterschiedlichen Brüchen unterscheiden. Je nachdem, wie das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner ist und ob eventuell noch eine Zahl vor dem Bruch steht, hat der Bruch einen anderen Namen.

Echte Brüche

Die häufigste Art eines Bruchs ist der echte Bruch.

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist.

Für echte Brüche gilt also:

Brüche echter Bruch Voraussetzung StudySmarter

Zur Veranschaulichung folgt jetzt ein Beispiel:

Aufgabe 1

Sind folgende Brüche echte Brüche?

a) (ein Viertel)

b) (zwei Drittel)

c) (drei Halbe)

Lösung

a)

Du kannst für jeden konkreten Bruch, in diesem Fall , prüfen, ob der Nenner größer als der Zähler ist. Ist das der Fall, dann handelt es sich um einen echten Bruch. 1 ist der Zähler, 4 ist der Nenner. Es soll gelten:

Da 1 kleiner als 4 ist, stimmt die Behauptung und es handelt sich um einen echten Bruch.

b)

In diesem Fall ist 2 der Zähler und 3 der Nenner. Es soll gelten:

Auch hier handelt es sich um einen echten Bruch, da die Behauptung, dass 2 kleiner als 3 ist, stimmt.

c)

Im letzten Beispiel ist 3 der Zähler und 2 der Nenner. Du kannst prüfen, ob die Definition für einen echten Bruch zutrifft:

Da 3 aber nicht kleiner als 2 ist, trifft die Aussage nicht zu und ist kein echter Bruch.

Unechte Brüche

Das Gegenteil des echten Bruchs ist der unechte Bruch.

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner.

Für unechte Brüche gilt also:

Brüche unechte Brüche StudySmarter

Der unechte Bruch hat also eine größere Zahl über dem Bruchstrich als unter dem Bruchstrich stehen.

Aufgabe 2

Untersuche, ob folgende Brüche echt oder unecht sind.

a) (acht Halbe)b) (fünf Halbe)c) (vier Fünftel)

Lösung

a)

Hier kannst Du genauso wie bei den echten Brüchen. Im ersten Fall ist 8 der Zähler und 2 der Nenner. Es soll gelten:

Da 8 größer als 2 ist, trifft die Aussage zu und es handelt sich hierbei um einen unechten Bruch.

b)

In diesem Fall ist 5 der Zähler und 2 der Nenner. Jetzt kannst Du die Definition für einen unechten Bruch wieder prüfen.

Es handelt sich um einen unechten Bruch, da die Bedingung, dass 5 größer als 2 ist, erfüllt ist.

c)

Beim letzten Bruch ist 4 der Zähler und 5 der Nenner.

Da aber 4 nicht größer als 5 ist, handelt es sich nicht um einen unechten Bruch, sondern um einen echten Bruch.

Gemischte Brüche

Bei echten und unechten Brüchen ging es um das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner. Gemischte Brüche hingegen bestehen aus einem Bruch und einer zusätzlichen Zahl davor.

Ein gemischter Bruch besteht immer aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Dabei steht die ganze Zahl direkt vor dem Bruch. Ein gemischter Bruch hat die Form:

Brüche gemischter Bruch StudySmarter

Dabei steht jeder Buchstabe a, b und c für eine natürliche Zahl.

Ein gemischter Bruch darf nicht als Addition oder Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch verstanden werden. Die Zahl vor dem Bruch ist in diesem Fall ein Teil des Bruchs. Diese ganze Zahl kann auch wieder in den Bruch geschrieben werden.

Wenn der Zähler genauso groß wie der Nenner ist, also Brüche Zähler gleich Nenner StudySmarter gilt, dann ist der Bruch immer 1.

Bei dem Bruch gilt Folgendes:

, weil

Umwandeln von unechten Brüchen in gemischte Brüche

Wenn Du einen gemischten Bruch hast, kannst Du diesen auch als aufschreiben, indem Du die , welche 2 ergeben, aus dem Bruch "herausziehst". Dabei gehst Du wie folgt vor:

Schritt 1:

Teile den Zähler in zwei Summen auf: ein Vielfaches vom Nenner und der Rest. Bei wäre das größte Vielfache des Nenners 10. Dann bleiben noch drei übrig. Du schreibst also .

Schritt 2:

Als Nächstes kannst Du den Bruch auf zwei Brüche aufteilen. Einmal in den Teil mit dem Vielfachen des Nenners im Zähler und einmal mit dem Rest im Zähler. So erhältst Du:

Schritt 3:

Den ersten Teil kannst Du kürzen, weil gilt und das Ergebnis 2 ist. Die 2 kannst Du ohne das Plus mit dem zweiten Bruch verbinden. So erhältst Du einen gemischten Bruch.

Du kannst Dir das Kürzen auch vorstellen, als würde in aufgeteilt werden. Es gilt: . entspricht also , was 2 ergibt. ist also gleich 2.

Brucharten Mehl StudySmarter

Auch dies kann auf das Kuchenbeispiel übertragen werden. Stell Dir vor, dass im Rezept Deiner Oma stand, dass sie (fünf halbe) Tassen Mehl in das Rezept geben soll. Diese Tassen können auch zu (zweieinhalb) Tassen umgeformt werden. Du kannst also einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch wandeln. So kannst Du die benötigte Menge Mehl schneller ermitteln.

Aufgabe 3

Ordne die folgenden Brüche einer Bruchart zu.

a) (zwei zwei Drittel)

b) (vier Halbe)

c) (fünfeinhalb)

d) (drei Fünftel)

Lösung

a)

Hier kannst Du ähnlich wie oben vorgehen. Halte fest, ob zum Beispiel der Zähler größer als der Nenner ist und wie sich diese Eigenschaft dann gezielt einem Bruch zuweisen lässt. Im ersten Fall handelt es sich um einen gemischten Bruch, da er aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

b)

Bei dem zweiten Beispiel kannst Du einen gemischten Bruch ausschließen, da hier keine ganze Zahl mit dabei steht. 4 ist in diesem Fall der Zähler und 2 der Nenner. Da 4 größer als 2 ist, gilt in diesem Fall Zähler größer als Nenner.

Es handelt sich also um einen unechten Bruch, da hier immer der Zähler größer als der Nenner sein muss.

c)

Das nächste Beispiel ist wieder ein gemischter Bruch, weil er aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

d)

Der letzte Bruch ist kein gemischter Bruch, da er keine ganze Zahl beinhaltet. Hier ist 3 der Zähler und 5 der Nenner. Weil 5 größer als 3 ist, gilt hier, dass der Nenner größer als der Zähler ist.

Es handelt sich also um einen echten Bruch, da dieser dadurch definiert ist, dass der Nenner größer als der Zähler sein muss.

Scheinbrüche

Bei dieser Art von Bruch scheint es nur so, als würde ein Bruch vorliegen

Ein Scheinbruch ist ein unechter Bruch, bei dem der Zähler des Bruchs ein Vielfaches des Nenners ist und der Bruch als ganze Zahl geschrieben werden kann.

Es gilt:

Brucharten Scheinbruch StudySmarter

Ein Bruch mit gleichem Zähler und Nenner ergibt 1:

Aufgabe 4

Im Folgenden findest Du Scheinbrüche, die ein Vielfaches ihres Nenners sind.

a)

b) c)

Lösung

a)

Du kannst den Bruchstrich als geteilt-durch-Zeichen betrachten. Wenn Du das Ergebnis ausrechnest, wirst Du merken, dass es sich hierbei gar nicht um Brüche handelt:

Dass es sich hierbei nicht um einen Bruch handelt, kannst Du auch anhand der Definition eines Scheinbruchs erklären. Hier kannst Du den Zähler so zerlegen, dass er ein Vielfaches vom Nenner ist. Dieses Vielfache kann anschließend durch Kürzen in eine ganze Zahl umgewandelt werden.

Die allgemeine Regel lautet:

In diesem Fall gilt also:

Für beide Verfahren erhältst Du das gleiche Ergebnis. Mit welcher der beiden Methoden Du die restlichen Aufgaben löst, ist Dir überlassen. Hier wird die Variante mit dem geteilt-Zeichen verwendet.

b)

Du kannst den Bruch auch so umformen:

Nun musst Du die Gleichung nur noch berechnen.

c)

Auch hier kannst Du den Bruch erst umschreiben.

Jetzt musst Du die Division noch lösen.

Besondere Brüche

In diesem Abschnitt geht es um sogenannte Stammbrüche, Zweigbrüche und Kehrbrüche.

Stammbrüche

Bei dieser Bruchart hat der Bruch immer den gleichen Stamm. Das bedeutet, sie haben immer den gleichen Zähler 1, während sich der Nenner ändert.

Brüche, deren Zähler 1 ist, nennt man Stammbrüche. Damit sind Brüche der Art Brucharten Stammbruch StudySmarter gemeint.

Es gibt zwei Arten von Stammbrüchen:

positive Stammbrüche
negative Stammbrüche

Positive Stammbrüche sind echte Brüche, wenn der Nenner größer als 1 ist.

Zweigbrüche

Zweigbrüche sind Brüche, die Du Dir wie einen Zweig vorstellen kannst. Dabei handelt es sich um Brüche mit gleichem Nenner, die aber einen unterschiedlichen Zähler haben.

Ein Zweigbruch ist ein Bruch mit einem Zähler, der größer als 1 ist. Er wird immer von einem Stammbruch abgeleitet.

Zweigbrüche zu dem Stammbruch haben die Form .

Der Zweigbruch hat also immer einen Stamm, bei dem sich ein Zweig abspaltet.

Stell Dir vor, Du stehst vor einem Baum. Dieser hat einen festen Stamm, in diesem Fall ist es der Stammbruch . Dieser Baum besteht allerdings nicht nur aus einem Stamm, sondern er hat noch einzelne Zweige, die von Stamm ausgehen. Hier sind es die Brüche:

, , , und

Weitere Beispiele sind:

Beispiel 1 :, , , usw. (der Stammbruch ist )

Beispiel 2: , , , usw. (der Stammbruch ist )

Kehrbruch/ Kehrwert

Kehrbrüche können z. B. dabei helfen, zwei Brüche miteinander zu dividieren, also zu teilen.

Der Kehrwert ist das Vertauschen des Zählers und des Nenners eines Bruchs. Es ergibt sich also folgende Gleichung:

Brüche Definition Kehrwert StudySmarter

Der Kehrwert eines Bruchs wird auch Kehrbruch genannt.

Aufgabe 5

Bilde den Kehrbruch zu den folgenden Brüchen.

a)

b)

c)

d)

Lösung

Die Kehrbrüche lauten wie folgt:

a)

b)

c)

d)

Für den Kehrwert gelten außerdem noch folgende zusätzliche Regeln:

  • der Kehrwert eines negativen Bruchs ist ebenfalls immer negativ

  • der Kehrwert vom Kehrwert ist der ursprüngliche Bruch

Vergleichen und Erkennen von Brüchen

Wenn Du Brüche addieren, subtrahieren oder vergleichen möchtest, brauchst Du Brüche mit dem gleichen Nenner.

Gleichnamige Brüche

Bei dieser Art müssen Brüche gleichnamig sein.

Zwei Brüche Brucharten zwei Brüche StudySmarter mit dem gleichen Nenner N werden gleichnamig genannt.

Es muss also gelten:

Brucharten gleichnamige Brüche StudySmarter

Gleiche Nenner bzw. gleiche Zahlen im Nenner sind notwendig, um mit Brüchen rechnen zu können. Ein Beispiel dazu findest Du in der folgenden Aufgabe.

Aufgabe 6

Sind die Brüche und gleichnamig?

Lösung

Um diese Frage beantworten zu können, musst Du prüfen, ob die Behauptung von oben stimmt.

Es soll gelten:

Die Nenner von beiden Brüchen betragen 5. Die Behauptung ist also wahr, es handelt es sich um zwei gleichnamige Brüche.

Addition und Subtraktion von Brüchen

Wie bereits mehrmals erwähnt, können Brüche auch addiert oder subtrahiert werden. Dafür brauchst Du jedoch zwei gleichnamige Brüche. Bei der Addition von zwei Brüchen schreibst Du einen neuen Bruch mit dem gleichen Nenner auf und addierst die Zähler.

Für die Addition zweier Brüche gilt:

Brüche Addition von Brüchen Regel StudySmarter

In einem Beispiel sieht das so aus:

Die gleichnamigen Brüche sollen addiert werden. Du schreibst einen neuen Bruch, mit dem gleichen Nenner, also 3, auf und addierst dann im Zähler die Zähler der beiden gegebenen Brüche.

Dann musst Du diese Addition nur noch durchführen.

Bei der Subtraktion gilt genau das Gleiche:

Um zwei Brüche zu subtrahieren, gilt:

Brüche Brüche subtrahieren StudySmarter

Auch das kann an einem Beispiel veranschaulicht werden.

Die gleichnamigen Brüche sollen subtrahiert werden. Du schreibst einen neuen Bruch, mit dem gleichen Nenner, also 5, auf und subtrahierst dann im Zähler die Zähler der beiden gegebenen Brüche.

Dann musst Du nur noch die Subtraktion selbst durchführen.

Wie oben bereits erwähnt, brauchst Du gleichnamige Brüche, wenn Du zwei Brüche addieren oder subtrahieren möchtest. Oft sind zwei zu addierende oder subtrahierende Brüche aber nicht gleichnamig. Diese müssen dann erst gleichnamig gemacht werden.

Ungleichnamige Brüche

Wenn zwei Brüche nicht gleichnamig sind, werden sind sie als ungleichnamig bezeichnet

Zwei Brüche Brucharten zwei Brüche StudySmarter mit unterschiedlichen Nennern werden ungleichnamig genannt.

Es muss also gelten:

Brucharten ungleichnamige Brüche StudySmarter

Aufgabe 7

Sind die Brüche und gleichnamig?

Lösung

Um diese Frage beantworten zu können, musst Du prüfen, ob die Behauptung für gleichnamige Brüche stimmt.

Es soll gelten:

Da die Nenner nicht gleich sind, trifft die Behauptung auf ungleichnamige Brüche zu. Es handelt sich in diesem Fall also um ungleichnamige Brüche.

Brüche und besondere Brüche - Das Wichtigste

  • Brüche bestehen immer aus einem Zähler und einem Nenner:
  • Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.
  • Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner.
  • Ein gemischter Bruch () besteht immer aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch
  • Brüche werden in besondere Brüche unterteilt: Das hilft beim Aufschreiben, Ordnen und dem Umgang mit den Brüchen.
  • Die häufigsten besonderen Brüche sind der Stammbruch, der Scheinbruch, der Zweigbruch und der Kehrbruch.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brucharten

Es gibt verschiedene Arten von Brüche, wie zum Beispiel:

  • echte Brüche
  • unechte Brüche
  • gemischte Brüche
  • Scheinbrüche

Brüche, die einer dieser Brucharten zugeordnet werden können, aber trotzdem einen eigenen Namen haben sind:

  • Stammbrüche
  • Zweigbrüche
  • Kehrbruch/Kehrwert

Wenn Du zwei Brüche zusammen anschaust, dann wird auch in 

  • gleichnamige Brüche und
  • ungleichnamige Brüche

unterteilt.

Brüche, deren Zähler eine 1 ist, werden auch Stammbrüche genannt.

Ein Scheinbruch ist ein unechter Bruch, bei welchem der Zähler des Bruches ein Vielfaches des Nenners ist und somit der Bruch auch als ganze Zahl geschrieben werden kann.


Ein Scheinbruch ist zum Beispiel 4/2, da der Bruch auch als 2/1 oder einfach nur 2 geschrieben werden kann.

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. Für echte Brüche gilt also:


Z/N --> Z < N

Finales Brucharten Quiz

Frage

Wofür werden Brüche benötigt?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Brüche kannst Du vor allem vermeiden, lange Dezimalzahlen aufzuschreiben. Dadurch sparst Du Platz und Zeit beim Rechnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird ein "normaler Bruch" noch bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Der "normale Bruch" wird auch als gemeiner Bruch bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige den Satz:

Brüche können...

Antwort anzeigen

Antwort

...addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei Z = N?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Zähler genauso groß wie der Nenner ist, also Z = N gilt, dann ist der Bruch immer 1.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Stammbruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei dieser Bruchart hat der Bruch immer den gleichen Stamm. Das bedeutet, sie haben immer den gleichen Zähler 1, während sich der Nenner ändert.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Zweigbruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Zweigbrüche sind Brüche, die Du Dir wie einen Zweig vorstellen kannst. Dabei handelt es sich um Brüche mit gleichem Nenner, die aber einen unterschiedlichen Zähler haben.

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