In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Dezimalzahlen multipliziert werden sollen. Aber woran erkennst Du, wo das Komma hinkommt? Was musst Du beachten, wenn Du Dezimalzahlen mit anderen Zahlenarten multiplizierst?
Eine Antwort auf die Fragen erhältst Du in diesem Artikel.
Wiederholung von Dezimalzahlen
Bevor es mit dem Rechnen von Dezimalzahlen losgeht, wird erst wiederholt, was genau eine Dezimalzahl ist, wie sie aufgebaut ist und welche Arten von Dezimalzahlen es gibt.
Eine Dezimalzahl ist eine Kommazahl, die aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen oder sogenannten Dezimalen besteht. Sie werden auch Dezimalbruch bezeichnet, da sie eigentlich Brüche sind, nur in anderer Schreibweise. In der Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl notiert. Das heißt, jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln.
Folgender Dezimalbruch ist gegeben:
\[\frac{321} {25} = 12,84\]
Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei der Vorkommastelle bzw. den Vorkommastellen um die Zahlen, die vor dem Komma sind. Bei diesem ausgeführten Beispiel wäre das die 12.
Auch bei den Nachkommastellen läuft das ähnlich ab. Hier geht es um alles, was nach dem Komma kommt. Bei dieser Zahl sind das die 8 und die 4.
\[{\color{#1478c8}12}, {\color{#00dcb4}84} \atop { {\color{#1478c8} \text {Vorkommastelle}} \hspace{0,25 cm} \text {Komma} \hspace{0,25 cm} {\color {#00dcb4}\text {Nachkommastelle}}}\]
Genau wie natürlich Zahlen können Dezimalzahlen in eine Stellenwerttafel übertragen werden. Dabei wird die Tabelle lediglich nach rechts um die Nachkommastellen erweitert.
| Zehner | Einer | Komma | Zehntel | Hundertstel |
| \(1\) | \(2\) | \(,\) | \(8\) | \(4\) |
Genau wie natürlich Zahlen können Dezimalzahlen in eine Stellenwerttafel übertragen werden. Dabei wird die Tabelle lediglich nach rechts um die Nachkommastellen erweitert.
Dezimalzahlen sind jedoch nicht alle gleich. Es wird zwischen verschiedenen Arten von Dezimalzahlen unterschieden.
Es gibt zum Beispiel abbrechende, periodische und irrationale Dezimalzahlen. Einen Überblick dazu findest Du in der Abbildung.
Abbildung 1: Arten von Dezimalzahlen
Mehr zum Thema Dezimalzahlen findest Du im separaten Kapitel zu den Dezimalzahlen.
Jetzt bist Du bereit, zu lernen, wie Dezimalzahlen multipliziert werden können.
Dezimalzahlen multiplizieren Regeln – schriftlich & im Kopf
Um Dezimalzahlen zu multiplizieren ist es notwendig, dass Du die Multiplikation im Kopf und die schriftliche Multiplikation mit natürlichen Zahlen schon beherrschst.
Du denkst vielleicht, dass Du das Multiplizieren von Dezimalzahlen im Alltag gar nicht benötigst, Du wirst aber ziemlich schnell merken, dass es Dir öfter begegnest, als Du denkst.
Dezimalzahlen multiplizieren – im Kopf
Bevor Du Dich mit der schriftlichen Multiplikation beschäftigst, lernst Du, wie Du das Ganze im Kopf lösen kannst. Das ist jedoch nur in bestimmten Fällen möglich.
Dafür gibt es zwei Methoden, mit denen Du das gut meistern kannst:
- Multiplikation mit Zehnerpotenzen
- Multiplikation durch Unterteilen in Stellenwerte
Dezimalzahlen multiplizieren – mit Zehnerpotenzen
Das Produkt einer Zehnerpotenz und einer Dezimalzahl lässt sich im Kopf berechnen. In diesem Fall muss das Komma der Dezimalzahl, um die Anzahl der Nullen, nach rechts verschoben werden.
Erinnerung! Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten.
| Rechnung | Zehnerpotenz mit Exponent | Verschiebung des Kommas |
| \(0,1 \cdot 10 = 01,0 = 1\) | \(10^1 = 10\) | Um eine Nachkommastelle |
| \(0,1 \cdot 100 = 10,0 =10\) | \(10^2 = 100\) | Um zwei Nachkommastellen |
| \(0,1 \cdot 1\, 000 = 100,0 = 100\) | \(10^3 = 1\, 000\) | Um drei Nachkommastellen |
Du kannst das Komma weglassen, wenn die Ziffern dahinter alle Null sind.
Aufgabe 1
Berechne die Lösung zu folgender Aufgabe.
\[5,76 \cdot 10^3\]
Lösung
Um diese Aufgabe zu lösen, musst Du das Komma der Dezimalzahl um 3 Stellen nach rechts bewegen, da die Dezimalzahl hier mit einer Zehnerpotenz mit dem Wert 3 multipliziert wird.
Die Lösung lautet also:
\[5{\color{#1478c8}\textbf,}76 \cdot 10^{\color{#1478c8}\textbf3}= 5 {\color{#1478c8}\underrightarrow{7} \underrightarrow {6} \underrightarrow{0}},0\]
Das Komma kannst Du dann weglassen, denn nach dem Komma kommen nur noch Nullen.
Zusammengefasst kannst Du Dir merken:
Eine Dezimalzahl mit \(m\) Nachkommastellen, multipliziert mit einer Zehnerpotenz \(10^n\), hat ein Produkt mit \(m - n\) Nachkommastellen.
Dezimalzahlen multiplizieren – Unterteilung in Stellenwerte
Um eine beliebige natürliche Zahl mit einer Dezimalzahl im Kopf zu multiplizieren, kannst Du die Dezimalzahl in ihre Stellenwerte zerlegen. Diese multiplizierst Du dann einzeln mit der natürlichen Zahl und addierst die Ergebnisse dann wieder.
Um die zerlegten Dezimalzahlen mit der natürlichen Zahl zu multiplizieren, kannst Du das Komma vorerst ignorieren und die Zahlen so multiplizieren. Dann fügst Du das Komma wieder in das Ergebnis ein, sodass dieses genauso viele Nachkommastellen hat, wie die multiplizierte Dezimalzahl.
Das Wegnehmen des Kommas und im Ergebnis wieder Hinzufügen ist das grundsätzliche Prinzip der Multiplikation von Dezimalzahlen. Später in diesem Artikel findest Du dazu noch eine genauere Erklärung.
| \({\color{#1478c8}3}, {\color{#00dcb4}2} \cdot {\color{#fa3273}4}\) |
| Einer | Zehntel |
| \({\color{#1478c8}3} \cdot {\color{#fa3273}4}=12\) | \({\color{#00dcb4}0,2} \cdot {\color{#fa3273}4}=0,8\) |
| \(12 + 0,8 = 12,8\) |
In den folgenden Aufgaben siehst Du noch ein paar Beispiele:
Aufgabe 2
Berechne das Produkt von \(8,74\) und \(5\).
Lösung
Als Erstes kannst Du die Rechnung aufschreiben.
\[8,74 \cdot 5\]
Dann teilst Du die Dezimalzahl in ihre Stellenwerte, also Einer, Zehntel und Hundertstel auf.
| \({\color{#1478c8}8},{\color{#00dcb4}7}{\color{#fa3273}4}\cdot {\color{#8363e2}5}\) |
Einer | Zehntel | Hundertstel |
\({\color{#1478c8}8}\) | \({\color{#00dcb4}0,7}\) | \({\color{#fa3273}0,04}\) |
Als Nächstes kannst Du dann die einzelnen Stellenwerte mit der natürlichen Zahl multiplizieren.
\({\color{#1478c8}8},{\color{#00dcb4}7}{\color{#fa3273}4}\cdot {\color{#8363e2}5}\) |
| Einer | Zehntel | Hundertstel |
\({\color{#1478c8}8} \cdot {\color{#8363e2}5}=40\) | \({\color{#00dcb4}0,7} \cdot {\color{#8363e2}5}=3,5\) | \({\color{#fa3273}0,04} \cdot {\color{#8363e2}5}=0,20\) |
Zum Schluss addierst Du dann die einzelnen Werte zusammen.
| \({\color{#1478c8}8},{\color{#00dcb4}7}{\color{#fa3273}4}\cdot {\color{#8363e2}5}\) |
| Einer | Zehntel | Hundertstel |
| \({\color{#1478c8}8} \cdot {\color{#8363e2}5}=40\) | \({\color{#00dcb4}0,7} \cdot {\color{#8363e2}5}=3,5\) | \({\color{#fa3273}0,04} \cdot {\color{#8363e2}5}=0,20\) |
| \(40 + 3,5 + 0,2 = 43,7\) |
Dezimalzahlen schriftlich multiplizieren
Bei der schriftlichen Multiplikation wird zwischen der Multiplikation zweier Dezimalzahlen oder der von einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl unterschieden.
Die schriftliche Multiplikation funktioniert allerdings in beiden Fällen gleich. Du ignorierst die Kommata zunächst, multiplizierst dann wie bei natürlichen Zahlen und fügst die Anzahl an Nachkommastellen wieder hinzu.
Dezimalzahlen schriftlich multiplizieren – mit einer natürlichen Zahl
Wenn Du mit Dezimalzahlen multiplizieren willst, dann musst Du dafür die schriftliche Multiplikation mit natürlichen Zahlen beherrschen.
An einem Beispiel sieht das dann so aus:
Aufgabe 3
Berechne das Produkt von \(672\) und \(35,17\).
Lösung
Schritt 1: Anzahl der Nachkommastellen zählen und merken
\[\underbrace{672}_{keine\, Nkst.} \text {und}\,\,\,\, 35,\underbrace{\color{#1478c8}\textbf{17}}_{2\,Nkst.}\]
Ein kleiner Hinweis: Nachkommastellen sind die Ziffern rechts vom Komma. Steht rechts vom Komma eine Ziffer, so hat Deine Zahl 1 Nachkommastelle. Stehen rechts vom Komma 2 Ziffern, so hat Deine Zahl 2 Nachkommastellen.
Nachkommastellen werden abgekürzt mit dem Ausdruck „Nkst.".
Die Dezimalzahl hat 2 Nachkommastellen. Diese merkst Du Dir.
Schritt 2: Rechnung ohne Komma aufschreiben
Abbildung 2: schriftliche Multiplikation
Schreibe die Faktoren so auf, dass Du eine schriftliche Multiplikation durchführen kannst.
Schritt 3: Verfahren der schriftlichen Multiplikation
Abbildung 3: schriftliche Multiplikation
Wenn Du noch ein bisschen Hilfe beim schriftlichen Multiplizieren benötigst, dann kannst Du das noch einmal im Artikel „Multiplikation“ nachlesen.
Schritt 4: Wiederhinzufügen des Kommas
\[672 \cdot 35,17 = 23\,634,\underbrace{{\color{#1478c8}\textbf{24}}}_{2\,Nkst.}\]
Am Anfang hattest Du Dir gemerkt, dass die Dezimalzahl 2 Nachkommastellen hatte. Diese musst Du jetzt dem Gesamtergebnis wieder hinzufügen.
Das Ergebnis lautet also:
\[672 \cdot 35,17 = 23\,634,24\]
Zwei Dezimalzahlen multiplizieren
Wenn Du zwei Dezimalzahlen miteinander multiplizieren sollst, ändert sich nichts im Vorgehen zu dem von der Multiplikation mit einer natürlichen Zahl. Denn hier zählst Du nur die Anzahl der Nachkommastellen von beiden Faktoren zusammen und fügst diese Gesamtanzahl dann wieder als Nachkommastellen beim Produkt hinzu.
Da Du das Verfahren ja bereits kennst, kannst Du in dieser Aufgabe mal selbst testen, wie gut Du das schriftliche Multiplizieren mit Dezimalzahlen schon verstanden hast.
Aufgabe 4
Löse folgende Aufgabe.
\[0,3 \cdot 1,72\]
Lösung
Schritt 1: Nachkommastellen zählen
Als Erstes zählst Du also die gesamte Anzahl an Nachkommastellen. In diesem Fall sind das 3. Das merkst Du Dir.
\[0,{\color{#1478c8}3} \cdot 1,{\color{#1478c8}72}\]
Schritt 2: Kommata weglassen
Dann kannst Du die Rechnung ohne die Kommata aufschreiben. Die Null vor der 3 kannst Du dann weglassen, da diese für die Rechnung nicht von Bedeutung ist. Denke dabei daran, die Rechnung so aufzuschreiben, dass Du eine schriftliche Multiplikation durchführen kannst.
Abbildung 4: schriftliche Multiplikation
Schritt 3: schriftliche Multiplikation
Jetzt kannst Du die Aufgabe schriftlich multiplizieren.
Abbildung 5: schriftliche Multiplikation
Schritt 4: Komma wieder einfügen
Zum Schluss fügst Du dann wieder ein Komma ein, welches dafür sorgt, dass das Produkt 3 Nachkommastellen hat. Das ist die Anzahl, die Du Dir am Anfang gemerkt hast.
| Vorkommastelle | Komma | 1. Nachkommastelle | 2. Nachkommastelle | 3. Nachkommastelle |
\(0\) | \(,\) | \(5\) | \(1\) | \(6\) |
\[0,3 \cdot 1,72 = 0,\underbrace{\color{#1478c8}\textbf{516}}_{3\,Nkst.}\]
Die gesamte Rechnung lautet also:
\[0,3 \cdot 1,72 = 0,516\]
Zusammengefasst kannst Du Dir also folgende Regel merken:
Hat der erste Faktor m Nachkommastellen und der zweite Faktor n Nachkommastellen, so hat das Produkt m+n Nachkommastellen.
| Faktor 1 | Faktor 2 | Produkt |
| \(m\) Nachkommastellen | \(n\) Nachkommastellen | \(m + n\) Nachkommastellen |
Drei oder mehr Dezimalzahlen multiplizieren
Du kannst jedoch nicht nur zwei Dezimalzahlen miteinander multiplizieren, sondern auch mehrere Dezimalzahlen. Dabei gehst Du genauso wie bei der Multiplikation von zwei Dezimalzahlen vor. Anstatt die Nachkommastellen von den zwei Dezimalzahlen zu addieren, musst Du hier die Anzahl aller Nachkommastellen addieren. Das Ergebnis hat dann die entsprechende Anzahl an Nachkommastellen.
Bei der Multiplikation von mehreren Dezimalzahlen kannst Du das Assoziativgesetz oder das Kommutativgesetz anwenden, um Dir die Rechnung zu erleichtern.
Zur Erinnerung:
Kommutativgesetz der Multiplikation: \(a\cdot b =b \cdot a\)
Assoziativgesetz der Multiplikation: \((a\cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c\)
Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren
Dezimalzahlen können nicht nur multipliziert, sondern auch dividiert werden. Auch die Division kannst Du wieder im Kopf durchführen, wie im Beispiel oben. Dezimalzahlen können jedoch auch schriftlich dividiert werden. Dabei musst Du jedoch die Kommata der beiden Zahlen so lange nach rechts verschieben, bis der Divisor keine Nachkommastellen mehr hat. Anschließend kannst Du dann eine reguläre schriftliche Division durchführen.
Schritte für die schriftliche Division:
- Kommata so lange verschieben, bis der Divisor keine Nachkommastelle mehr hat
- Division durchführen
Mehr über die Division von Dezimalzahlen erfährst Du im Artikel „Division von Dezimalzahlen“.
Brüche mit Dezimalzahlen multiplizieren
Grundsätzlich hast Du beim Multiplizieren von einer Dezimalzahl mit einem Bruch zwei Möglichkeiten:
Entweder Du wandelst den Bruch in eine Dezimalzahl um. Bei diesem Vorgehen multiplizierst Du dann mit Dezimalzahlen und erhältst eine als Ergebnis.
Oder Du wandelst die Dezimalzahl in einen Bruch um. Folglich erhältst Du einen Bruch als Ergebnis.
Welche Vorgehensweise Du wählst, sollte sich daran richten, wie das Ergebnis in der Aufgabe angegeben werden soll.
Rechenweg | 1.Faktor: Dezimalzahl | 2.Faktor: Bruch | Ergebnis |
Multiplizieren mit Dezimalzahlen | Dezimalzahl | Bruch wird umgewandelt in eine Dezimalzahl | Dezimalzahl |
Multiplizieren mit Brüchen | Dezimalzahl wird umgewandelt in einen Bruch | Bruch | Bruch |
Bruch in Dezimalzahl umwandeln
Einen Bruch kannst Du in eine Dezimalzahl umwandeln, indem Du den Bruch als Division schreibst. Diese kannst Du dann mithilfe der schriftlichen Division in eine Dezimalzahl umwandeln. Die zwei Dezimalzahlen kannst Du dann wie oben multiplizieren.
Tipp: Lese Dir die Artikel „Bruch in Dezimalzahlen umwandeln“ durch, um mehr zu erfahren und Beispielaufgaben zu rechnen.
Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Eine Dezimalzahl kann in einen Bruch umgewandelt werden, indem die Zehnerpotenz, mit der entsprechenden Anzahl an Nachkommastellen, in den Nenner geschrieben wird. In den Zähler schreibst Du die Dezimalzahl ohne Komma.
Hier findest Du ein Beispiel, indem die Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt wird:
Aufgabe 5
Berechne folgendes Produkt, indem Du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst.
\[\frac{24}{5} \cdot 36,912\]
Lösung
Die Dezimalzahl hat 3 Nachkommastellen. Demnach muss bei der Umwandlung von Dezimalzahl in Bruch im Nenner eine Zehn mit der Potenz 3 stehen.
Im Zähler muss dann die Dezimalzahl ohne Komma, also 36 912 stehen.
\[\frac{36\,912}{10^3} = \frac{36\,912}{1\,000}\]
Jetzt kannst Du die Brüche multiplizieren, indem Du Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler multiplizierst.
Erinnerung! Multiplizieren von zwei Brüchen:
\[\frac{\color{#1478c8}Z_1}{\color{#fa3273}N_1} \cdot \frac{\color{#00dcb4}Z_2}{\color{#8363e2}N_2} = \frac{\color{#1478c8}Z_1 \cdot \color{#00dcb4}Z_2}{\color{#fa3273}N_1 \cdot \color{#8363e2}N_2}\]
\[\frac{24}{5} \cdot \frac{36\,912}{1\,000} = \frac{24 \cdot 36\,912}{5 \cdot 1\,000}\]
Um das Ergebnis zu berechnen, musst Du in diesem Fall wieder schriftlich multiplizieren. Hier wird das Ergebnis angegeben, um Zeit zu sparen.
\[\frac{24}{5} \cdot \frac{36\,912}{1\,000} = \frac{24 \cdot 36\,912}{5 \cdot 1\,000}=\frac{885\,888}{5\,000}\]
Wenn Du willst, kannst Du das Ergebnis dann noch kürzen.
\[\frac{885\,888}{5\,000}=\frac{110\,736}{625}\]
Dein Ergebnis lautet also:
\[\frac{24}{5}\cdot 36,912 = \frac{110\,736}{625}\]
In diesem Beispiel hättest Du auch den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln und die Aufgabe wie im vorherigen Abschnitt berechnen können. Manchmal kann ein Bruch jedoch nicht in eine Dezimalzahl umgewandelt werden, da es sich sonst beispielsweise um eine periodische oder irrationale Dezimalzahl handeln würde. In diesen Fällen musst Du dann die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln und hast nicht die Wahl zwischen den zwei Verfahren.
Negative Dezimalzahlen multiplizieren
So wie auch andere Zahlen können Dezimalzahlen ein negatives Vorzeichen besitzen. Das sind die Zahlen auf der linken Seite des Zahlenstrahls.
Beim Rechnen mit negativen Zahlen gibt es einige Regeln, die so auch für die Multiplikation von Dezimalzahlen gelten:
Regeln zum Multiplizieren von negativen Dezimalbrüchen:
Abbildung 6: Regeln beim Multiplizieren mit Vorzeichen
Bei der Multiplikation von negativen Dezimalzahlen gehst Du genauso vor, wie bisher. Am Ende musst Du nur noch einen zusätzlichen Schritt durchführen, in welchem Du das Vorzeichen des Ergebnisses feststellst. Im Folgenden findest Du ein Beispiel:
Aufgabe 6
Berechne folgende Multiplikation.
\[-4,23 \cdot 0,6\]
Lösung
Als Erstes kannst Du die Rechnung so durchführen, als wären keine Vorzeichen vorhanden. Du rechnest als Erstes also:
\[4,23 \cdot 0,6\]
Diese Rechnung kannst Du jetzt wie bisher schriftlich lösen, indem Du die Nachkommastellen zählst und die Kommata vorerst weglässt.
Die Produkte haben gemeinsam 3 Nachkommastellen.
Abbildung 7: schriftliche Multiplikation
Diese 3 Nachkommastellen kannst Du jetzt beim Ergebnis wieder hinzufügen.
Abbildung 8: schrifltiche Multiplikation
Um das Ergebnis jetzt noch vollständig anzugeben, musst Du Dich jetzt noch um die Vorzeichen kümmern. Ein Vorzeichen war ein Minus, das andere war ein Plus. Minus und Plus ergibt, wie Du oben in der Tabelle sehen kannst, Minus. Das Ergebnis muss also ein negatives Vorzeichen erhalten.
\[-4,23 \cdot 0,6 = -2,538 \]
Und schon hast Du Dein fertiges Ergebnis.
Periodische Dezimalzahlen multiplizieren
Bei periodischen Dezimalzahlen enden die Nachkommastellen nie. Das Verfahren mit dem Zählen der Nullstellen funktioniert hier also nicht. Aber wie löst Du denn dann eine Multiplikation von periodischen Dezimalzahlen?
Grundsätzlich hast Du drei Möglichkeiten, um eine Multiplikation mit periodischen Zahlen durchzuführen:
- Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
- Zahlen runden
- Taschenrechner verwenden
1. Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Viele Dezimalzahlen lassen sich in Brüche umwandeln. Diesen Fakt kannst Du Dir zunutze machen, wenn Du periodische Dezimalzahlen multiplizieren willst. In der folgenden Tabelle siehst Du die häufigsten periodischen Dezimalzahlen mit den entsprechenden Brüchen.
Dezimalzahl | Brüche |
\[0,\overline{3}\] | \[\frac{1}{3}\] |
| \[0,\overline{1}\] | \[\frac{1}{9}\] |
| \[0,\overline{6}\] | \[\frac{2}{3}\] |
Die umgewandelten Brüche kannst Du dann wie bisher multiplizieren.
Theoretisch kann jede Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt werden, jedoch wird das, je mehr wiederholende Stellen die Zahl hat, immer mühsamer. Glücklicherweise kannst Du die Rechnung auch noch anders lösen.
2. Zahlen runden
Anstatt die Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst Du die Dezimalzahlen auch so runden, dass Du sie mit den bisher gelernten Verfahren multiplizieren kannst. Auf welche Nachkommastelle Du rundest, kannst Du dabei selbst entscheiden. Je nachdem, wie genau Du das Ergebnis angeben willst und wie viel Aufwand und Zeit Du in die Aufgabe stecken willst, rundest Du dann die Dezimalzahl.
Erinnerung! 1, 2, 3 und 4 werden abgerundet, während 5, 6, 7, 8 und 9 aufgerundet werden.
Hast Du Dezimalzahlen mit vielen sich wiederholenden Nachkommastellen, willst das Ergebnis aber nicht runden, so hast Du noch die Möglichkeit, die Multiplikation mit einem Taschenrechner durchzuführen.
3. Taschenrechner verwenden
Mit periodischen Zahlen hast Du meistens in den höheren Klassen zu tun. In der Regel darfst Du dann auch einen Taschenrechner verwenden. Wenn eine Dezimalzahl mehrere sich wiederholende Nachkommastellen hat, so werden auch die zugehörigen Brüche immer länger und komplizierter. Aufgrund dessen wirst Du in solchen Situationen wahrscheinlich Deinen Taschenrechner verwenden dürfen.
Dezimalzahlen multiplizieren – Aufgaben
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen auf die Probe stellen.
Aufgabe 7
Dein Supermarkt ist dafür bekannt oftmals falsche Angebote zu machen, die teurer sind als der ursprüngliche Preis.
Du stehst also im Regal und siehst folgendes Angebot:
Abbildung 9: Obst-Angebot im Supermarkt
Natürlich möchtest Du jetzt wissen, ob es günstiger wäre, die 15 Äpfel im Angebot oder einzeln zu kaufen. Berechne im Kopf!
Lösung
Um diese Aussage zu überprüfen, musst Du das Angebot mit dem Einzelpreis für 15 Äpfel vergleichen. Du stellst also folgende Rechnung infrage:
Abbildung 10: Multiplikation im Kopf Beispiel
Um diese Rechnung zu lösen, kannst Du jetzt wieder die Stellenwerttabellen zur Hand nehmen.
\(15 \cdot 0,4\) |
Einer | Zehntel |
\(15 \cdot 0 = 0\) | \(15 \cdot 4 = 60\) |
\(0 + 6,0 = 6,0\) |
Du merkst also, es ist günstiger, wenn Du 15 Äpfel einzeln kaufst, als wenn Du sie im Angebot kaufst. Dein Supermarkt hat also mal wieder einen Fehler gemacht.
Aufgabe 8
Liam und seine Eltern fahren für 14 Tage in den Urlaub. Das Hotel hat jedoch nur Zimmer für 2 Personen, wodurch Liam ein eigenes Zimmer nur für sich bekommt. Das Hotel kostest 91,75 € pro Nacht. Wie viel geben Liam's Eltern im Urlaub nur für das Hotel aus?
Lösung
Um die Gesamtkosten für das Hotel zu berechnen musst Du folgende Multiplikation durchführen:
\[\underbrace{{\color{#1478c8}14}} _{Anzahl\,der\,Tage} \cdot \underbrace{{\color{#00dcb4}91,75}}_{Preis\,pro\,Nacht} \cdot \underbrace{{\color{#fa3273}2}}_{2 Zimmer}\]
Um diese Rechnung zu lösen, bietet es sich an, eine schriftliche Multiplikation durchzuführen. Dafür zählst Du als Erstes die Anzahl der Nachkommastellen und addierst diese.
\[\underbrace{14}_{0\,Nkst.} \cdot \underbrace {91,{\color{#1478c8}75}}_{2\,Nkst.} \cdot \underbrace{2}_{0\,Nkst.}\]
In diesem Fall hast Du nur eine Dezimalzahl und somit auch insgesamt nur 2 Nachkommastellen. Im nächsten Schritt kannst Du jetzt eine normale schriftliche Multiplikation mit den ersten beiden Faktoren durchführen.
Abbildung 11: schriftliche Multiplikation
Im nächsten Schritt kannst Du jetzt im Kopf dieses Ergebnis mit dem dritten Faktor multiplizieren.
\[128450 \cdot 2 = 256900\]
Zum Schluss kannst Du jetzt das Komma wieder hinzufügen.
\[256900 \hspace{0,5 cm} \underrightarrow {\small Komma} \hspace {0,5 cm} 2569,00 \hspace{0,5 cm} \underrightarrow {\small Nullen\,weglassen} \hspace {0,5 cm} 2569\]
Liam's Eltern bezahlen im Urlaub also 2569 € für das Hotel.
Aufgabe 9
Löse folgende Aufgaben:
a) \(23,97 \cdot (-0,62)\)
b) \(529,1 \cdot \frac{1}{3}\)
c) \(63,\overline{2078} \cdot 4\)
Lösung
a)
In diesem Fall kannst Du erst mal das Vorzeichen ignorieren. Insgesamt hast Du 4 Nachkommastellen. Diese Zahl merkst Du Dir. Dann führst Du eine schriftliche Multiplikation durch.
Abbildung 12: schriftliche Multiplikation
Jetzt kannst du die 4 Nachkommastellen wieder hinzufügen.
\[148614 \rightarrow 14,8614\]
Zum Schluss kannst Du Dich noch um die Vorzeichen kümmern. Da die erste Zahl positiv und die zweite Zahl negativ ist, wird deren Produkt negativ sein.
Die Rechnung lautet demnach:
\[23,97 \cdot (-0,62) = -14,8614\]
b)
Bei dieser Rechnung ist es sinnvoll, die Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, da der Bruch eine periodische Dezimalzahl wäre.
Du rechnest also \(529,1\) in einen Bruch um.
\[529,1 \rightarrow \frac{5291}{10} \]
Jetzt kannst Du die Brüche miteinander multiplizieren.
\[\frac{5291}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5291 \cdot 1}{10 \cdot 3} = \frac{5291}{30}\]
Da Du diesen Bruch nicht mehr kürzen kannst, lautet die Rechnung:
\[529,1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5291}{30}\]
c)
In dieser Rechnung musst Du den ersten Faktor erst in eine Dezimalzahl umwandeln, da es sich hier um eine periodische Zahl handelt.
\[63,\overline{2078} \rightarrow \frac{8315}{9999}\]
Auch den zweiten Faktor musst Du jetzt noch in einen Bruch umwandeln, da Du keine Dezimalzahl mit einem Bruch multiplizieren kannst.
\[4 \rightarrow \frac{4}{1}\]
Jetzt kannst Du die beiden Brüche miteinander multiplizieren.
\[\frac{8315}{9999} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8315 \cdot 4}{9999 \cdot 1} = \frac{33260}{9999}\]
Auch hier kannst Du den Bruch nicht weiter kürzen. Die Rechnung lautet demnach:
\[63,\overline{2078} \cdot 4 = \frac{33260}{9999}\]
Dezimalzahlen multiplizieren – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Dezimalzahl stellt eine nicht-ganze und keine natürliche Zahl dar und wird auch als Dezimalbruch bezeichnet
- Du kannst Dezimalzahlen auf zwei verschiedene Wege im Kopf multiplizieren:
- Multiplikation mit Zehnerpotenzen
- Multiplikation durch Unterteilen in Stellenwerte
- Bei der Multiplikation einer Zehnerpotenzen und einer Dezimalzahl muss das Komma der Dezimalzahl, um die Anzahl der Zehnerpotenz bzw. die Anzahl der Nullen, nach rechts verschoben werden
- Um eine beliebige natürliche Zahl mit einer Dezimalzahl im Kopf zu multiplizieren, kannst Du die Dezimalzahl in ihre Stellenwerte zerlegen. Diese multiplizierst Du dann einzeln mit der natürlichen Zahl und addierst die Ergebnisse dann wieder.
- Bei der schriftlichen Multiplikation befolgst Du folgende Schritte:
- Nachkommastellen zählen
- Kommata weglassen
- schriftliche Multiplikation
- Komma wieder so einfügen, dass das Produkt m + n Nachkommastellen hat, wenn der erste Faktor m Nachkommastellen und der zweite Faktor n Nachkommastellen hat
- Um eine Dezimalzahl mit einem Bruch zu multiplizieren, musst Du entweder die Dezimalzahl in einen Brich umwandeln oder den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln
- Bei der Multiplikation mit Vorzeichen gelten folgende Regeln
- Bei der Multiplikation von periodischen Dezimalzahlen hast Du folgende Möglichkeiten:
- Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
- Zahlenrunden
- Taschenrechner verwenden
Nachweise
- Friedhelm Padberg, Andreas Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik. 2. Auflage. Springer, 2015
- Schülerduden – Mathematik I. 8. Auflage. Duden-Verlag, 2008
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