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Brüche addieren

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Mathe

Stelle Dir vor, Du hast Geburtstag und 2 Kuchen bekommen: Einen Käsekuchen und eine Erdbeertorte. Um Deinen Geburtstag zu feiern, kommt Deine Familie zum Kaffee trinken und Kuchen essen vorbei. Die Erdbeertorte wird in insgesamt 10 Stücke geschnitten, während der Käsekuchen in 12 Stücke geschnitten wird.

Nachdem ihr fertig seid, sind nur noch 5 Stücke von der Erdbeertorte und 8 Stücke vom Käsekuchen da. Jetzt fragst Du Dich, ob Du die Reststücke zusammen auf eine runde Kuchenplatte stellen kannst.

Brüche addieren Käsekuchen StudySmarter Brüche addieren Erdbeertorte StudySmarter

Um diese Frage zu beantworten, benötigst Du die Addition von Brüchen. Was das ist, wie die Addition von Brüchen funktioniert und alle dazugehörigen Sonderfälle wirst Du in diesem Artikel lernen.

Brüche – Wiederholung

Bevor Du lernst, wie Du Brüche addieren kannst, wird erst wiederholt, was Brüche überhaupt sind und wofür Du sie nutzen kannst.

Brüche – Definition

Brüche sind rationale Zahlen, die das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander darstellen. Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner, welche in der Mitte durch den Bruchstrich voneinander getrennt sind.

Ein Bruch ist das Trennen zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Man spricht bei diesen Zahlen von einem Zähler (Zahl über dem Bruchstrich) und einem Nenner (Zahl unter dem Bruchstrich).

Brüche addieren Bruch Form StudySmarter

  • Der Bruchstrich kann in jedem Fall durch ein Divisionszeichen ersetzte werden. Prinzipiell kannst Du also jeden Bruch auch als Divisionsaufgabe umschreiben. Den Bruch kannst Du also auch als aufschreiben.
  • Du kannst Brüche kürzen, aber auch erweitern.
  • Brüche können auch als Dezimalzahlen, also Zahlen mit Vorkomma- und Nachkommastellen, beschrieben werden. So steht beispielsweise der Bruch für die Dezimalzahl und umgekehrt.
  • Außerdem können Brüche als Prozentzahlen dargestellt werden. So entsprechen genau .

Anwendung von Brüchen

Doch wofür benötigst Du jetzt eigentlich Brüche? Auf diese Frage gibt es mehrere Antworten:

  • Durch Brüche kannst Du es vor allem vermeiden, lange Dezimalzahlen aufschreiben zu müssen. Dadurch sparst Du Platz und Zeit beim Rechnen.
  • Mit Brüchen kannst Du einen Anteil von einem Ganzen ausdrücken (z. B. ein halber Apfel).
  • Du kannst auch ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen ausdrücken.
  • Außerdem dienen sie Dir, wie oben bereits aufgezeigt, auch als Schreibweise für eine Division oder eine Prozentrechnung.

Brüche können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Das Rechnen mit Brüchen, bzw. die Bruchrechnung, wird nicht nur in der Schulmathematik, sondern auch im Alltag benötigt, beispielsweise bei der Teilung eines Kuchens in Stücke für eine bestimmte Anzahl an Personen.

Brüche addieren

Beim Rechnen mit Brüchen wird stets versucht zwei Brüche miteinander zu verknüpfen, sodass ein resultierender dritter Bruch, bzw. eine Zahl entsteht. Es wird zwischen der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division von Brüchen unterschieden. In diesem Artikel dreht sich alles um die Addition von Brüchen.

Aufgabe 1

Addiere folgende Brüche: .

Lösung

1. Schritt

Als Erstes musst Du die beiden Brüche mit einem Pluszeichen verbinden.

2. Schritt

Bei der Addition zweier Brüche müssen deren Nenner immer übereinstimmen. Du kannst also keine Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren. Ein solcher Fall wäre beispielsweise: .

In diesem Fall betragen beiden Nenner 4, sind also gleich. Aufgrund dessen dürfen die beiden Brüche addiert werden.

Du addierst die Brüche, indem Du die Zähler mit einem Pluszeichen verbunden nach oben in den Bruch schreibst und den Nenner, der ja für beiden gleich ist, einmalig unten in den Bruch schreibst. Das sieht dann so aus:

3. Schritt

Um das jetzt zu berechnen, kannst Du die Zahlen im Zähler addieren und den Nenner beibehalten.

Schon hast Du zwei Brüche miteinander addiert.

Um zwei oder mehr Brüche zu addieren, müssen deren Nenner demnach dem gleichen Wert entsprechen. Ist das nicht der Fall, so können die Brüche so nicht addiert werden.

Für die Addition zweier Brüche gilt:

Brüche addieren Addition von Brüchen Regel StudySmarter

Ungleichnamige Brüche addieren

Gerade eben hast Du gelernt, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht addiert werden können. Jedoch können Brüche mit unterschiedlichen Nennern durch Erweitern und Kürzen auf den gleichen Nenner gebracht und somit anschließend addiert werden.

Aufgabe 2

Addiere folgende Brüche:

Lösung

Als Erstes schaust Du Dir die Nenner an. Der eine Nenner ist 7, während der andere Nenner 2 ist. Um jetzt auf den gleichen Nenner zu kommen, musst Du die Brüche erweitern. Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, kannst Du immer die beiden Nenner multiplizieren. Das ist dann zwar nicht immer der kleinste gemeinsame Nenner, aber so kommst Du schnell auf einen der möglichen gemeinsamen Nenner.

Wenn Du wissen willst, wie ein gemeinsamer Nenner ermittelt werden kann, dann lies Dir den Artikel Brüche gleichnamig machen durch.

Jetzt können die beiden Brüche wie oben addiert werden.

Wenn Du zwei oder mehr ungleichnamige Brüche, also Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren sollst, so musst Du die Nenner immer so erweitern oder kürzen, dass alle den gleichen Nenner haben.

Brüche mit ganzen Zahlen addieren

Was musst Du tun, wenn Du eine ganze Zahl mit einem Bruch addieren musst?

An sich gibt es da kaum einen Unterschied zur vorherigen Methode. Du musst nur erst noch die Zahl in einen Bruch umwandeln. Dann kannst Du auch wieder mit Erweitern und Kürzen auf den gleichen Nenner kommen und die Brüche addieren.

Jede ganze Zahl a kann auch in einen Bruch umgeschrieben werden:

Brüche addieren ganze Zahl als Bruch schreiben StudySmarter

Dieses Verfahren sieht an einem Beispiel so aus:

Aufgabe 3

Berechne:

Lösung

Als Erstes musst Du die 4 in eine Bruchzahl umwandeln. Dazu wendest Du die Regel von oben aus der Definition an:

Somit hast Du jetzt folgende Rechnung:

Als Nächstes kannst Du die Brüche erweitern, indem Du die Nenner miteinander multiplizierst.

Zum Schluss kannst Du die Brüche wieder wie bisher addieren.

Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu addieren, musst Du also nur wissen, dass jede ganze Zahl als Bruch aufgeschrieben werden kann. Die restlichen Schritte sind dieselben, wie bei der Addition ungleichnamiger Brüche.

Gemischte Brüche addieren

Jetzt gibt es noch eine besondere Art von Brüchen: gemischte Brüche. Auch diese können addiert werden. Davor solltest Du aber genau wissen, was ein gemischter Bruch ist:

Ein gemischter Bruch besteht immer aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Dabei steht die ganze Zahl direkt vor dem Bruch. Ein gemischter Bruch hat die allgemeine Form:

Brüche addieren gemischte Brüche StudySmarter

Dabei steht jeder Buchstabe für eine natürliche Zahl.

Um gemischte Brüche zu addieren, gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Die ganzen Zahlen und die Brüche jeweils einzeln addieren.
  2. Die gemischten Brüche als einen Bruch umschreiben.

Wenn Du mehr zum Thema gemischte Brüche erfahren willst, dann lies Dir den Artikel Brüche und besondere Brüche durch.

Im Folgenden werden beide Arten der Berechnung einmal beispielsweise vorgerechnet.

Aufgabe 4

Berechne:

Lösung

1. Variante

Auch wenn die ganzen Zahlen und die Brüche einzeln addiert werden, so müssen die Brüche auch wieder den gleichen Nenner aufweisen. Aufgrund dessen müssen die Brüche erst wieder erweitert werden:

Jetzt kannst Du die ganzen Zahlen unabhängig von den Brüchen addieren:

Zum Schluss musst Du die ganzen Zahlen wieder mit den Brüchen zusammenfügen.

In diesem Fall kann der Bruch auch noch gekürzt werden und ein Teil zur ganzen Zahl dazu addiert werden.

2. Variante

Bei der anderen Variante musst Du Dir als Erstes überlegen, dass folgende Regel für einen gemischten Bruch besteht:

Wenn Du also den Bruch hast, dann musst Du folgende Regel umgekehrt anwenden. Dabei gilt: .

Das Gleiche kannst Du mit dem anderen Summanden auch machen: .

Jetzt können diese beiden Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden.

Im nächsten Schritt können die Brüche wie bisher addiert werden.

Zum Schluss kann der Bruch wieder in einen gemischten Bruch umgewandelt werden.

Wie Du siehst, unterscheiden sich die Ergebnisse nicht. Welche der beiden Methoden Du verwendest, ist also egal. Verwende die Methode, mit der Du schneller bist und Dich wohler fühlst.

Brüche mit Variablen addieren

Als letzten Sonderfall wird die Addition von einem Bruch mit einer Variable betrachtet. In diesem Fall gehst Du wie bisher vor, außer dass eine Deiner Zahlen eine Variable ist.

Aufgabe 5

Berechne folgende Addition:

.

Lösung

Im Prinzip gehst Du genauso vor, wie bisher. Als Erstes musst Du einen gemeinsamen Nenner aufstellen, indem Du den Bruch mit dem Nenner des anderen erweiterst.

Jetzt kannst Du die Brüche wie bisher addieren.

An diesem Punkt kannst Du den Bruch nicht noch weiter vereinfachen.

Brüche subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Wie oben bereits besprochen, können Brüche nicht nur addiert, sondern auch subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Wie das funktioniert, erfährst Du in diesem Abschnitt.

Brüche subtrahieren

Um Brüche zu subtrahieren, gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition von Brüchen. Du musst erst einen gemeinsamen Nenner finden und dann anschließend die Zähler subtrahieren.

Um zwei Brüche zu subtrahieren, gilt:

Brüche addieren Brüche subtrahieren StudySmarter

Brüche multiplizieren

Um zwei oder mehr Brüche zu multiplizieren, gehst Du anders als beim Addieren und Subtrahieren vor. In diesem Fall benötigst Du keine gemeinsamen Nenner. Du multiplizierst die Zähler und die Nenner und kommst so zu Deinem Ergebnis.

Um zwei Brüche zu multiplizieren, gilt:

Brüche addieren Brüche multiplizieren StudySmarter

Brüche dividieren

Bei der Division zweier Brüche gibt es eine spezielle Regel: Du kannst den Kehrbruch des zweiten Faktors der Division bilden und dann eine Multiplikation ausführen. Dann gilt alles wie bei der Multiplikation.

Bei der Division zweier Brüche gilt:

Brüche addieren Brüche dividieren StudySmarter

Wenn Du mehr zu diesen Themen erfahren willst, kannst Du in den zugehörigen Artikeln nachschauen.

Brüche addieren – Aufgaben zum Üben

In den folgenden Aufgaben kannst Du das eben gelernte üben.

Aufgabe 6

Berechne folgende Aufgaben:

a)

b)

c)

d)

e)

Lösung

a)

Als Erstes musst Du die beiden Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

Dann kannst Du die Zähler addieren.

Dann kann der Bruch noch in einen gemischten Bruch umgeschrieben werden.

b)

Als Erstes kannst Du 6 als Bruch schreiben.

Dann musst Du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

Dann kannst Du die Brüche normal addieren.

Auch der Bruch kann noch umgeformt werden.

c)

Wenn im Zähler und im Nenner die gleiche Zahl a steht, so ist das Ergebnis immer 1:

d)

Als Erstes musst Du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

Dann kannst Du die ganzen Zahlen und die Brüche einzeln addieren.

Im nächsten Schritt musst Du die ganzen Zahlen und die Brüche wieder vereinen.

Dieses Ergebnis kann noch weiter umgeformt werden.

e)

Als Erstes kannst Du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

Danach kannst Du die Zähler addieren.

Aufgabe 7

Denke zurück an die Einleitung, in der Du einen Käsekuchen und eine Erdbeertorte bekommen hast und am Ende des Abends noch 5 Stücke Erdbeertorte und 8 Stücke vom Käsekuchen übrig hast. Zur Erinnerung: Der Käsekuchen wurde in insgesamt 12 Stücke geschnitten, die Erdbeertorte in 10 Stücke.

Kannst Du die restlichen Kuchenstücke alle zusammen auf eine Kuchenplatte stellen?

Lösung

In diesem Fall ist gefragt, ob alle Stücke zusammen 1 oder kleiner als 1 ergeben. Um das zu bestimmen, musst Du zunächst die Brüche aufstellen.

Beim Käsekuchen sind noch 8 von insgesamt 12 Stücken übrig.

Bei der Erdbeertorte sind noch 5 von insgesamt 10 Stücken übrig.

Jetzt kannst Du die beiden Brüche auf einen Nenner bringen.

Als Nächstes kannst Du die Brüche addieren.

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis noch umschreiben.

An diesem Ergebnis kannst Du bereits die Antwort auf die Frage ablesen. Für die Anzahl n an Kuchenstücken muss gelten:

Wie Du siehst, passen nicht alle Kuchenstücke auf eine Kuchenplatte, da sie zusammen einen ganzen Kuchen und ein Stück von einem Kuchen, welcher in 6 Stücke geschnitten wurde, ergibt.

Brüche addieren – Das Wichtigste

  • Ein Bruch ist das Trennen zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Man spricht bei diesen Zahlen von einem Zähler (Zahl über dem Bruchstrich) und einem Nenner (Zahl unter dem Bruchstrich):
  • Brüche können auch dargestellt werden als:
  • Für die Addition zweier Brüche gilt:
  • Bevor Du zwei ungleichnamige Brüche addierst, musst Du sie auf den gleichen Nenner bringen.
  • Rechenoperation

    Addition von Brüchen

    Voraussetzungen

    Zähler werden addiert und es besteht ein gemeinsamer Nenner.

    Form

    Mathematische Schreibweise

    Beispiel

  • Jede ganze Zahl a kann auch in einen Bruch umgeschrieben werden:
  • Wenn gemischte Brüche addiert werden sollen, hast Du dafür zwei Möglichkeiten:
    • die ganzen Zahlen und die Brüche jeweils einzeln addieren
    • die gemischten Brüche als einen Bruch umschreiben
  • Wenn Du Brüche mit Variablen addierst, gehst Du wie bisher bei der Addition von Brüchen vor.

Finales Brüche addieren Quiz

Frage

Was sind Brüche?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Bruch ist das Trennen zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Man spricht bei diesen Zahlen von einem Zähler (Zahl über dem Bruchstrich) und einem Nenner (Zahl unter dem Bruchstrich)

Frage anzeigen

Frage

Wie können Brüche noch dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Als Dezimalzahlen.

Frage anzeigen

Frage

Wofür brauchst du Brüche?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Durch Brüche kannst du es vor allem vermeiden, lange Dezimalzahlen aufschreiben zu müssen. Dadurch sparst du Platz und Zeit beim Rechnen.
  • Mit Brüchen kannst du ein Anteil von einem Ganzen ausdrücken (z.B. ein halber Apfel).
  • Du kannst auch ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen ausdrücken.
  • Außerdem dienen sie dir, wie oben bereits besprochen, auch als Schreibweise für eine Division oder eine Prozentrechnung.


Frage anzeigen

Frage

Was musst du bei der Addition zweier Brüche besonders beachten?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du zwei oder mehr ungleichnamige Brüche, also Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren sollst, so musst du die Nenner immer so erweitern oder kürzen, dass alle den gleichen Nenner haben.

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Möglichkeiten hast du, um gemischte Brüche zu addieren?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. die ganzen Zahlen und die Brüche jeweils einzeln addieren
  2. die gemischten Brüche als einen Bruch umschreiben
Frage anzeigen
60%

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