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Feedback sendenDer Begriff „invers“ kommt ursprünglich aus dem lateinischen und bedeutet so viel wie „umgekehrt“. Das heißt, wenn Du eine Matrix invertierst, bildest Du so zusagen ihren „Kehrwert“, auch Kehrmatrix genannt. Welche Matrizen überhaupt eine Inverse haben, wie Du eine 3x3 Matrix invertieren kannst sowie insbesondere einen Trick für die Berechnung der Inversen einer 2x2 Matrix, erfährst Du in dieser Erklärung.
Wenn eine Matrix \(A\) invertiert wird, wird die inverse Matrix als \(A^{-1}\) bezeichnet.
Das Produkt der Matrizen \(A\) und \(A^{-1}\) ergibt die Einheitsmatrix \(E\).
Es gilt: \[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\]
Beim Invertieren einer symmetrischen Matrix ist die Inverse Matrix auch wieder symmetrisch.
Da in der Matrizenrechnung keine Division existiert, benötigst Du die inverse Matrix immer dann, wenn Du eine Gleichung der Art \(Ax=b\) lösen musst. Dabei ist \(A\) die Matrix, \(x\) die Unbekannte und \(b\) eine Zahl oder ebenfalls eine Matrix.
\begin{align}A\cdot x&=b &&|\cdot A^{-1}\\ A^{-1}\cdot A\cdot x&=A^{-1}\cdot b \\ x&=A^{-1}\cdot b \end{align}
Nicht alle Matrizen können invertiert werden.
Nur die Matrizen, welche folgende Bedingungen erfüllen, können invertiert werden:
Zum Invertieren einer 2x2 Matrix musst Du nichts berechnen, sondern Du kannst das folgende Schema auf die Matrix anwenden und die 2x2 Matrix ist invertiert.
\begin{align}A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}a} & {\color{gr}b} \\ {\color{r}c} & {\color{li}d} \end{pmatrix} \\\\A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}d} & -{\color{gr}b} \\ -{\color{r}c} & {\color{bl}a} \end{pmatrix}\end{align}
Aufgabe 1
Weise nach, dass die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) eine Inverse Matrix \(A^{-1}\) besitzt und berechne diese.
Lösung
Als Erstes überprüfst Du, ob die Matrix \(A\) eine Inverse besitzt. Dafür untersuchst Du zunächst, ob die Matrix quadratisch ist. Die Matrize ist dann quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten der Anzahl der Zeilen entspricht.
\begin{align} m&=2 \\ n&=2 \\ m&=n=2 \end{align}
Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix und überprüfst, ob diese ungleich null ist.
\begin{align} \det(A)&=a\cdot d-c\cdot b \\ \det(A)&=5\cdot 2-1\cdot 3 \\ \det(A)&=7\neq0 \end{align}
Nachdem die Matrix \(A\) beide Bedingungen für die Existenz einer Inversen erfüllt, kannst Du nun beginnen, die Matrix zu invertieren.
\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}5} & {\color{gr}3} \\ {\color{r}1} & {\color{li}2} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}2} & -{\color{gr}3} \\ -{\color{r}1} & {\color{bl}5} \end{pmatrix} \end{align}
Die Matrix \(A\) besitzt als Inverse die Matrix \(A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\).
Mit dem Gauß-Algorithmus kannst Du jede Matrix invertieren, vorausgesetzt die Matrix ist quadratisch und die Determinante ist ungleich null.
Der Gauß-Algorithmus ist Dir wahrscheinlich vom Lösen von linearen Gleichungssystemen bereits bekannt.
Um die Inverse Matrix mit dem Gauß-Algorithmus zu berechnen, nutzt Du folgende Schritte:
Die Einheitsmatrix lautet: \[E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Diese Matrix sollst Du nun durch Umformungen aus der Matrix \(A\) erzeugen. Wie Du das machst, erfährst Du in diesem Beispiel.
Aufgabe 3
Berechne die inverse Matrix von \(A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\). Nutze den Gauß-Algorithmus.
Lösung
1. Schritt:
Schreibe die Einheitsmatrix \(E\) mit einem Strich getrennt rechts neben die zu invertierende Matrix \(A\) \(\to(A|E)\).
\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
2. Schritt:
Jetzt beginnst Du mit den Umformungen. Dafür addierst und subtrahierst Du die einzelnen Zeilen der Matrix miteinander.
Zu Beginn erzeugst Du die Nullen der Einheitsmatrix auf der linken Seite.
Beachte, alles, was Du auf der einen Seite machst, musst Du auch auf der anderen Seite machen.
\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ Z_1-2\cdot Z_2 \\ {}\end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 4 & 1& -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_2-5\cdot Z_3 \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 4 & 1& -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -2 & -5\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ -1\cdot Z_3 \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 4 & 1& -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ 4\cdot Z_3-Z_2 \\ {} \end{matrix}&\end{align}
Nachdem Du fast alle Nullen der Einheitsmatrix auf der anderen Seite hast, kannst Du nun auch die Einsen der Einheitsmatrix durch Multiplizieren erzeugen.
\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & -5 & 10 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ \frac{1}{5}Z_2 \\ {} \end{matrix}& \\\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)&\begin{matrix} Z_1+Z_2 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right)&\begin{matrix} \frac{1}{2}Z_1 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ {} \end{matrix}&\end{align}
3. Schritt:
Lies die inverse Matrix \(A^{-1}\) auf der rechten Seite ab \(\to(E|A^{-1})\).
\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 &5 \end{array}\right) &\begin{matrix} {} \\ {}\\ {} \end{matrix}&\end{align}
Als Inverse besitzt die Matrix \(A\) also die Matrix \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\]
Zur Probe, ob Du richtig gerechnet hast, kannst Du jetzt auch noch die Matrix \(A\) und die inverse Matrix \(A^{-1}\) multiplizieren. Wenn die inverse Matrix richtig ist, sollte der Einheitsvektor rauskommen.
Matrizen kannst Du neben dem Gauß-Algorithmus auch mithilfe der Determinante invertieren. Diese Methode nennt sich Adjunkten-Verfahren und wird mit folgender Formel berechnet:
\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot \text{adj}(A)\]
Um eine Matrix \(A\) mithilfe der Determinante zu invertieren, kannst Du Dich an folgende Schritte halten:
Was die Determinante ist und wie Du sie berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Determinante“.
Wie Du dieses Verfahren an einem Beispiel anwendest, kannst Du Dir in der folgenden Vertiefung anschauen.
Aufgabe 2
Berechne die inverse Matrix von \(A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\). Nutze das Adjunkten-Verfahren.
Lösung
Schritt 1
Berechne die Determinante der Matrix \(A\).
\begin{align} \det(A)&=\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \\[0.2cm]&=2\cdot 2\cdot 1+(-1)\cdot (-2)\cdot 0+0\cdot 1\cdot (-1)-0\cdot 2\cdot 0-(-1)\cdot (-2)\cdot 2-1\cdot 1\cdot (-1) \\ &= 4+0+0-0-4+1 \\ &=1 \end{align}
Schritt 2
Als Nächstes berechnest Du die Adjunkte von \(A\). Dafür berechnest Du zunächst die Unterdeterminante von jedem Element \(a\) aus der Matrix.
Die Unterdeterminante bestimmst Du, indem Du die Determinante von dem Teil der Matrix, welcher weder in der Spalte noch in der Zeile des Elements \(a_{mn}\) steht, berechnest.
\begin{align}det(a_{11})&=2\cdot1-(-1)\cdot (-2)&=&0 \\det(a_{12})&=1\cdot 1-0\cdot (-2)&=&1 \\det(a_{13})&=1\cdot (-1)-0\cdot 2&=&-1 \\det(a_{21})&=-1\cdot 1-(-1)\cdot 0&=&-1 \\det(a_{22})&=2\cdot 1-0\cdot 0&=&2 \\det(a_{23})&=2\cdot (-1)-0\cdot (-1)&=&-2 \\det(a_{31})&=-1\cdot (-2)-2\cdot 0&=&2 \\det(a_{32})&=2\cdot (-2)-1\cdot 0&=&-4 \\det(a_{33})&=2\cdot 2-1\cdot (-1)&=&5\end{align}
Schritt 3:
Anschließend trägst Du die Unterdeterminanten in eine Matrix mit Schachbrettregel für Vorzeichen ein. Diese Matrix muss anschließend noch transponiert werden.
\begin{align} \text{adj}(A)&=1\cdot \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}^T \\\\ \text{adj}(A)&=1\cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}^T\end{align}
Schritt 4:
Jetzt transponierst Du die Matrix noch, das heißt, Du vertauschst die erste Zeile mit der ersten Spalte und wiederholst das auch mit den anderen beiden Zeilen.
Die Zahlen, die Plätze tauschen, sind in derselben Farbe.
\begin{align}\text{adj}(A)&=\begin{pmatrix} 0 & \color{bl}-1 & \color{gr}-1 \\ \color{bl}1 & 2 & \color{r}2 \\ \color{gr}2 & \color{r}4 & 5 \end{pmatrix}^T \\\\\text{adj}(A)&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\end{align}
Schritt 5:
Zum Schluss setzt Du die Determinante zusammen mit der Adjunkten in die Gleichung vom Adjunkten-Verfahren ein.
\begin{align} A^{-1}&=\frac{1}{{\color{bl}\det(A)}}\cdot {\color{gr}\text{adj}(A)} \\[0.2cm] &=\frac{1}{{\color{bl}1}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} }\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\end{align}
Als Inverse besitzt die Matrix \(A\) die Matrix: \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\]
Auch für inverse Matrizen gibt es ein paar Rechenregeln, welche Dir helfen können, Matrizengleichungen zu lösen.
| Beschreibung | Rechenregel |
| Wenn Du eine invertierte Matrix invertierst, erhältst Du die Ausgangsmatrix \(A\). | \((A^{-1})^{-1}=A\) |
| Das Invertieren eines Matrizenprodukt entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen. Beachte die Reihenfolge der Matrizen. | \((A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\), wenn \(B\) regulär ist |
| Wenn Du ein Skalar mit einer Matrix multiplizierst und anschließend invertierst, ist das das Gleiche wie der Kehrwert des Skalaren multipliziert mit dem Inversen der Matrix. | \((k\cdot A)^{-1}=k^{-1}\cdot A^{-1}\), für \(k\neq 0\) |
| Eine invertierte transponierende Matrix entspricht der transponierenden inversen Matrix. | \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\) |
| Bei einer orthogonalen Matrix entspricht die inverse Matrix der transponierten Matrix. | \(A^{-1}=A^T\),wenn \(A\) orthogonal ist |
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 4
Berechne die Inverse der Matrix \(A=\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\). Überprüfe zunächst, ob diese Matrize invertierbar ist.
Lösung
Als Erstes überprüfst Du die Bedingungen für die Existenz einer inversen Matrix.
Die Matrix \(A\) muss quadratisch sein, also die Spaltenanzahl muss gleich der Zeilenanzahl sein.
\begin{align} m&=2 \\ n&=2 \\ m&=n=2 \end{align}
Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix \(A\)
\begin{align} \det(A)&=a\cdot d-c\cdot b \\ \det(A)&=-2\cdot (-3)-3\cdot 4 \\ \det(A)&=-6\neq0 \end{align}
Die Matrix \(A\) erfüllt die Bedingungen zur Exitenz von einer Inversen. Du kannst nun die Matrix \(A\) invertieren.
\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}-2} & {\color{gr}4} \\ {\color{r}3} & {\color{li}-3} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}-3} & -{\color{gr}4} \\ -{\color{r}3} & {\color{bl}-2} \end{pmatrix} \end{align}
Als Inverse besitzt die Matrix \(A\) die Matrix \(A^{-1}=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}\).
Aufgabe 5
Berechne mit einer Methode Deiner Wahl die Inverse der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\).
Lösung
Eine Methode zur Berechnung der Inversen von \(A\) ist das Gauß-Jordan-Verfahren.
1. Schritt:
Schreibe die Einheitsmatrix \(E\) mit einem Strich getrennt rechts neben die zu invertierende Matrix \(A\) \(\to(A|E)\).
\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
2. Schritt:
Stelle Umformungen an, sodass die Einheitsmatrix \(E\) auf der linken Seite der Matrix steht.
\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ Z_1- Z_2 \\ {}\end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_2- Z_3 \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)&\begin{matrix} Z_1+Z_3 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)&\begin{matrix} Z_1-Z_2 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_3 \cdot (-1) \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right)\end{align}
3. Schritt:
Lies die inverse Matrix \(A^{-1}\) auf der rechten Seite ab \(\to(E|A^{-1})\).
\begin{align}& \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{align}
Die Matrix \(A\) besitzt als Inverse die Matrix: \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
Es gilt: \[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\]
Nur die Matrizen, welche folgende Bedingungen erfüllen, dürfen invertiert werden:
Die Matrix muss quadratisch sein. Das heißt, dass die Spaltenanzahl \(n\) mit der Zeilenanzahl \(m\) übereinstimmen muss.
Es muss gelten: \[n=m\]
Die Determinante der Matrix muss ungleich null sein.
Es muss gelten: \[\det(A)\neq0\]
Eine inverse Matrix benötigst Du immer dann, wenn Du eine Gleichung der Art \(Ax=b\) lösen musst. In der Matrizenrechnung existiert keine Division.
Eine 2x2 Matrix kannst Du folgendermaßen invertieren:\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}a} & {\color{gr}b} \\ {\color{r}c} & {\color{li}d} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}d} & -{\color{gr}b} \\ -{\color{r}c} & {\color{bl}a} \end{pmatrix}\end{align}
Wenn Du eine 3x3 Matrize oder höhere Matrize invertieren willst, kannst Du folgende Verfahren nutzen:
Gauß-Algorithmus
Adjunkten-Verfahren
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Wann ist eine 2x2 Matrix invertierbar?
Eine 2x2 Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
Ist jede quadratische Matrix invertierbar?
Nein, nicht jede quadratische Matrize ist invertierbar. Neben der Bedingung, quadratisch zu sein, muss die Determinante der Matrix zusätzlich ungleich null haben, damit sie eine Inverse besitzt.
Wie invertiert man eine Matrix?
Es gibt mehrere Verfahren zum Invertieren von Matrizen. Du kannst den Gauß-Jordan-Algorithmus oder das Adjunkte-Verfahren nutzen.
Kann eine Matrix mehrere Inversen haben?
Eine Matrix hat nur eine inverse Matrix. Es existieren nicht mehrere Inverse für eine Matrix.
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