Matrix invertieren

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\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)

Der Begriff „invers“ kommt ursprünglich aus dem lateinischen und bedeutet so viel wie „umgekehrt“. Das heißt, wenn Du eine Matrix invertierst, bildest Du so zusagen ihren „Kehrwert“, auch Kehrmatrix genannt. Welche Matrizen überhaupt eine Inverse haben, wie Du eine 3x3 Matrix invertieren kannst sowie insbesondere einen Trick für die Berechnung der Inversen einer 2x2 Matrix, erfährst Du in dieser Erklärung.

Inverse Matrix

Wenn eine Matrix \(A\) invertiert wird, wird die inverse Matrix als \(A^{-1}\) bezeichnet.

Das Produkt der Matrizen \(A\) und \(A^{-1}\) ergibt die Einheitsmatrix \(E\).

Es gilt: \[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\]

Beim Invertieren einer symmetrischen Matrix ist die Inverse Matrix auch wieder symmetrisch.

Da in der Matrizenrechnung keine Division existiert, benötigst Du die inverse Matrix immer dann, wenn Du eine Gleichung der Art \(Ax=b\) lösen musst. Dabei ist \(A\) die Matrix, \(x\) die Unbekannte und \(b\) eine Zahl oder ebenfalls eine Matrix.

\begin{align}A\cdot x&=b &&|\cdot A^{-1}\\ A^{-1}\cdot A\cdot x&=A^{-1}\cdot b \\ x&=A^{-1}\cdot b \end{align}

Nicht alle Matrizen können invertiert werden.

Matrix invertieren – Bedingungen

Nur die Matrizen, welche folgende Bedingungen erfüllen, können invertiert werden:

Die Matrix muss quadratisch sein. Das heißt, dass die Spaltenanzahl \(n\) mit der Zeilenanzahl \(m\) übereinstimmen muss. Es muss gelten: \[n=m\]
Die Determinante der Matrix muss ungleich null sein. Es muss gelten: \[\det(A)\neq0\]

2x2 Matrix invertieren

Zum Invertieren einer 2x2 Matrix musst Du nichts berechnen, sondern Du kannst das folgende Schema auf die Matrix anwenden und die 2x2 Matrix ist invertiert.

\begin{align}A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}a} & {\color{gr}b} \\ {\color{r}c} & {\color{li}d} \end{pmatrix} \\\\A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}d} & -{\color{gr}b} \\ -{\color{r}c} & {\color{bl}a} \end{pmatrix}\end{align}

Aufgabe 1

Weise nach, dass die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) eine Inverse Matrix \(A^{-1}\) besitzt und berechne diese.

Lösung

Als Erstes überprüfst Du, ob die Matrix \(A\) eine Inverse besitzt. Dafür untersuchst Du zunächst, ob die Matrix quadratisch ist. Die Matrize ist dann quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten der Anzahl der Zeilen entspricht.

\begin{align} m&=2 \\ n&=2 \\ m&=n=2 \end{align}

Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix und überprüfst, ob diese ungleich null ist.

\begin{align} \det(A)&=a\cdot d-c\cdot b \\ \det(A)&=5\cdot 2-1\cdot 3 \\ \det(A)&=7\neq0 \end{align}

Nachdem die Matrix \(A\) beide Bedingungen für die Existenz einer Inversen erfüllt, kannst Du nun beginnen, die Matrix zu invertieren.

\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}5} & {\color{gr}3} \\ {\color{r}1} & {\color{li}2} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}2} & -{\color{gr}3} \\ -{\color{r}1} & {\color{bl}5} \end{pmatrix} \end{align}

Die Matrix \(A\) besitzt als Inverse die Matrix \(A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\).

Matrix invertieren 3x3 – Gauß-Algorithmus

Mit dem Gauß-Algorithmus kannst Du jede Matrix invertieren, vorausgesetzt die Matrix ist quadratisch und die Determinante ist ungleich null.

Der Gauß-Algorithmus ist Dir wahrscheinlich vom Lösen von linearen Gleichungssystemen bereits bekannt.

Um die Inverse Matrix mit dem Gauß-Algorithmus zu berechnen, nutzt Du folgende Schritte:

Schreibe die Einheitsmatrix \(E\) mit einem Strich getrennt rechts neben die zu invertierende Matrix \(A\) \(\to(A|E)\).
Stelle Umformungen an, sodass die Einheitsmatrix \(E\) auf der linken Seite der Matrix steht.
Lies die inverse Matrix \(A^{-1}\) auf der rechten Seite ab \(\to(E|A^{-1})\).

Die Einheitsmatrix lautet: \[E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Diese Matrix sollst Du nun durch Umformungen aus der Matrix \(A\) erzeugen. Wie Du das machst, erfährst Du in diesem Beispiel.

Aufgabe 3

Berechne die inverse Matrix von \(A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\). Nutze den Gauß-Algorithmus.

Lösung

1. Schritt:

Schreibe die Einheitsmatrix \(E\) mit einem Strich getrennt rechts neben die zu invertierende Matrix \(A\) \(\to(A|E)\).

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

2. Schritt:

Jetzt beginnst Du mit den Umformungen. Dafür addierst und subtrahierst Du die einzelnen Zeilen der Matrix miteinander.

Zu Beginn erzeugst Du die Nullen der Einheitsmatrix auf der linken Seite.

Beachte, alles, was Du auf der einen Seite machst, musst Du auch auf der anderen Seite machen.

\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ Z_1-2\cdot Z_2 \\ {}\end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 4 & 1& -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_2-5\cdot Z_3 \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 4 & 1& -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -2 & -5\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ -1\cdot Z_3 \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 4 & 1& -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ 4\cdot Z_3-Z_2 \\ {} \end{matrix}&\end{align}

Nachdem Du fast alle Nullen der Einheitsmatrix auf der anderen Seite hast, kannst Du nun auch die Einsen der Einheitsmatrix durch Multiplizieren erzeugen.

\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & -5 & 10 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ \frac{1}{5}Z_2 \\ {} \end{matrix}& \\\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)&\begin{matrix} Z_1+Z_2 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right)&\begin{matrix} \frac{1}{2}Z_1 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5 \end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ {} \end{matrix}&\end{align}

3. Schritt:

Lies die inverse Matrix \(A^{-1}\) auf der rechten Seite ab \(\to(E|A^{-1})\).

\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 &5 \end{array}\right) &\begin{matrix} {} \\ {}\\ {} \end{matrix}&\end{align}

Als Inverse besitzt die Matrix \(A\) also die Matrix \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\]

Zur Probe, ob Du richtig gerechnet hast, kannst Du jetzt auch noch die Matrix \(A\) und die inverse Matrix \(A^{-1}\) multiplizieren. Wenn die inverse Matrix richtig ist, sollte der Einheitsvektor rauskommen.

Matrix invertieren – Determinante

Matrizen kannst Du neben dem Gauß-Algorithmus auch mithilfe der Determinante invertieren. Diese Methode nennt sich Adjunkten-Verfahren und wird mit folgender Formel berechnet:

\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot \text{adj}(A)\]

Um eine Matrix \(A\) mithilfe der Determinante zu invertieren, kannst Du Dich an folgende Schritte halten:

Berechne die Determinante der Matrix \(A\).
Berechne die Unterdeterminante aus jedem Element \(a\) der Matrix.
Übertrage die Unterdeterminanten mit Schachbrettregel für Vorzeichen in eine Matrix \(\to \text{adj}(A)^T\).
Transponiere diese Matrix \(\to \text{adj}(A)\).
Multipliziere die Determinante von \(A\) mit der Adjunkten von \(A\).

Was die Determinante ist und wie Du sie berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Determinante“.

Wie Du dieses Verfahren an einem Beispiel anwendest, kannst Du Dir in der folgenden Vertiefung anschauen.

Aufgabe 2

Berechne die inverse Matrix von \(A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\). Nutze das Adjunkten-Verfahren.

Lösung

Schritt 1

Berechne die Determinante der Matrix \(A\).

\begin{align} \det(A)&=\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \\[0.2cm]&=2\cdot 2\cdot 1+(-1)\cdot (-2)\cdot 0+0\cdot 1\cdot (-1)-0\cdot 2\cdot 0-(-1)\cdot (-2)\cdot 2-1\cdot 1\cdot (-1) \\ &= 4+0+0-0-4+1 \\ &=1 \end{align}

Schritt 2

Als Nächstes berechnest Du die Adjunkte von \(A\). Dafür berechnest Du zunächst die Unterdeterminante von jedem Element \(a\) aus der Matrix.

Die Unterdeterminante bestimmst Du, indem Du die Determinante von dem Teil der Matrix, welcher weder in der Spalte noch in der Zeile des Elements \(a_{mn}\) steht, berechnest.

\begin{align}det(a_{11})&=2\cdot1-(-1)\cdot (-2)&=&0 \\det(a_{12})&=1\cdot 1-0\cdot (-2)&=&1 \\det(a_{13})&=1\cdot (-1)-0\cdot 2&=&-1 \\det(a_{21})&=-1\cdot 1-(-1)\cdot 0&=&-1 \\det(a_{22})&=2\cdot 1-0\cdot 0&=&2 \\det(a_{23})&=2\cdot (-1)-0\cdot (-1)&=&-2 \\det(a_{31})&=-1\cdot (-2)-2\cdot 0&=&2 \\det(a_{32})&=2\cdot (-2)-1\cdot 0&=&-4 \\det(a_{33})&=2\cdot 2-1\cdot (-1)&=&5\end{align}

Schritt 3:

Anschließend trägst Du die Unterdeterminanten in eine Matrix mit Schachbrettregel für Vorzeichen ein. Diese Matrix muss anschließend noch transponiert werden.

\begin{align} \text{adj}(A)&=1\cdot \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}^T \\\\ \text{adj}(A)&=1\cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}^T\end{align}

Schritt 4:

Jetzt transponierst Du die Matrix noch, das heißt, Du vertauschst die erste Zeile mit der ersten Spalte und wiederholst das auch mit den anderen beiden Zeilen.

Die Zahlen, die Plätze tauschen, sind in derselben Farbe.

\begin{align}\text{adj}(A)&=\begin{pmatrix} 0 & \color{bl}-1 & \color{gr}-1 \\ \color{bl}1 & 2 & \color{r}2 \\ \color{gr}2 & \color{r}4 & 5 \end{pmatrix}^T \\\\\text{adj}(A)&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\end{align}

Schritt 5:

Zum Schluss setzt Du die Determinante zusammen mit der Adjunkten in die Gleichung vom Adjunkten-Verfahren ein.

\begin{align} A^{-1}&=\frac{1}{{\color{bl}\det(A)}}\cdot {\color{gr}\text{adj}(A)} \\[0.2cm] &=\frac{1}{{\color{bl}1}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} }\\[0.2cm]&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\end{align}

Als Inverse besitzt die Matrix \(A\) die Matrix: \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\]

Inverse Matrix berechnen – Rechenregeln

Auch für inverse Matrizen gibt es ein paar Rechenregeln, welche Dir helfen können, Matrizengleichungen zu lösen.

Beschreibung	Rechenregel
Wenn Du eine invertierte Matrix invertierst, erhältst Du die Ausgangsmatrix \(A\).	\((A^{-1})^{-1}=A\)
Das Invertieren eines Matrizenprodukt entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen. Beachte die Reihenfolge der Matrizen.	\((A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\), wenn \(B\) regulär ist
Wenn Du ein Skalar mit einer Matrix multiplizierst und anschließend invertierst, ist das das Gleiche wie der Kehrwert des Skalaren multipliziert mit dem Inversen der Matrix.	\((k\cdot A)^{-1}=k^{-1}\cdot A^{-1}\), für \(k\neq 0\)
Eine invertierte transponierende Matrix entspricht der transponierenden inversen Matrix.	\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
Bei einer orthogonalen Matrix entspricht die inverse Matrix der transponierten Matrix.	\(A^{-1}=A^T\),wenn \(A\) orthogonal ist

Matrix invertieren – Aufgaben

Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

2x2 Matrix invertieren – Aufgabe

Aufgabe 4

Berechne die Inverse der Matrix \(A=\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\). Überprüfe zunächst, ob diese Matrize invertierbar ist.

Lösung

Als Erstes überprüfst Du die Bedingungen für die Existenz einer inversen Matrix.

Die Matrix \(A\) muss quadratisch sein, also die Spaltenanzahl muss gleich der Zeilenanzahl sein.

\begin{align} m&=2 \\ n&=2 \\ m&=n=2 \end{align}

Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix \(A\)

\begin{align} \det(A)&=a\cdot d-c\cdot b \\ \det(A)&=-2\cdot (-3)-3\cdot 4 \\ \det(A)&=-6\neq0 \end{align}

Die Matrix \(A\) erfüllt die Bedingungen zur Exitenz von einer Inversen. Du kannst nun die Matrix \(A\) invertieren.

\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}-2} & {\color{gr}4} \\ {\color{r}3} & {\color{li}-3} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}-3} & -{\color{gr}4} \\ -{\color{r}3} & {\color{bl}-2} \end{pmatrix} \end{align}

Als Inverse besitzt die Matrix \(A\) die Matrix \(A^{-1}=\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}\).

Matrix invertieren 3x3 – Aufgabe

Aufgabe 5

Berechne mit einer Methode Deiner Wahl die Inverse der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\).

Lösung

Eine Methode zur Berechnung der Inversen von \(A\) ist das Gauß-Jordan-Verfahren.

1. Schritt:

Schreibe die Einheitsmatrix \(E\) mit einem Strich getrennt rechts neben die zu invertierende Matrix \(A\) \(\to(A|E)\).

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

2. Schritt:

Stelle Umformungen an, sodass die Einheitsmatrix \(E\) auf der linken Seite der Matrix steht.

\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ Z_1- Z_2 \\ {}\end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_2- Z_3 \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)&\begin{matrix} Z_1+Z_3 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)&\begin{matrix} Z_1-Z_2 \\ {} \\ {} \end{matrix}& \\\\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)&\begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_3 \cdot (-1) \end{matrix}& \\ \\\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right)\end{align}

3. Schritt:

Lies die inverse Matrix \(A^{-1}\) auf der rechten Seite ab \(\to(E|A^{-1})\).

\begin{align}& \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{align}

Die Matrix \(A\) besitzt als Inverse die Matrix: \[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Matrix invertieren – Das Wichtigste

Wenn Du eine Matrix \(A\) invertierst, wird die invertierte Matrix als \(A^{-1}\) bezeichnet. Werden die Matrizen \(A\) und \(A^{-1}\) multipliziert, erhältst Du die Einheitsmatrix \(E\).
Es gilt: \[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\]
Nur die Matrizen, welche folgende Bedingungen erfüllen, dürfen invertiert werden:
- Die Matrix muss quadratisch sein. Das heißt, dass die Spaltenanzahl \(n\) mit der Zeilenanzahl \(m\) übereinstimmen muss.
  Es muss gelten: \[n=m\]
- Die Determinante der Matrix muss ungleich null sein.
  Es muss gelten: \[\det(A)\neq0\]
Eine inverse Matrix benötigst Du immer dann, wenn Du eine Gleichung der Art \(Ax=b\) lösen musst. In der Matrizenrechnung existiert keine Division.
Eine 2x2 Matrix kannst Du folgendermaßen invertieren:\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}a} & {\color{gr}b} \\ {\color{r}c} & {\color{li}d} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}d} & -{\color{gr}b} \\ -{\color{r}c} & {\color{bl}a} \end{pmatrix}\end{align}
Wenn Du eine 3x3 Matrize oder höhere Matrize invertieren willst, kannst Du folgende Verfahren nutzen:
- Gauß-Algorithmus
- Adjunkten-Verfahren

Nachweise

Schmidt, Trenkler. (2015) Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer. Berlin Heidelberg

Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrix invertieren

Eine 2x2 Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Nein, nicht jede quadratische Matrize ist invertierbar. Neben der Bedingung, quadratisch zu sein, muss die Determinante der Matrix zusätzlich ungleich null haben, damit sie eine Inverse besitzt.

Es gibt mehrere Verfahren zum Invertieren von Matrizen. Du kannst den Gauß-Jordan-Algorithmus oder das Adjunkte-Verfahren nutzen.

Eine Matrix hat nur eine inverse Matrix. Es existieren nicht mehrere Inverse für eine Matrix.

Finales Matrix invertieren Quiz

Frage

Definiere eine inverse Matrix.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine inverse Matrix wird als \(A^{-1}\) bezeichnet und ist die Kehrmatrix von \(A\).

Frage anzeigen

Frage

Welcher Zusammenhang gilt für eine Matrix und ihre Inverse?

Antwort anzeigen

Antwort

\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\]

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Frage

Wann gilt eine Matrix als invertierbar?

Schreibe die Bedingungen auf.

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Antwort

Die Matrix ist quadratisch.
Die Determinante der Matrix ist ungleich null.

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Frage

Was bedeutet es, dass eine Matrix quadratisch ist?

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Antwort

Eine Matrix ist dann quadratisch, wenn die Spaltenanzahl der Zeilenanzahl entspricht.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennst Du invertierbare Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Reguläre Matrizen

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Frage

Wie lautet die Rechenregel zum invertieren von einer bereits invertierten Matrix?

Schreibe sie auf.

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Antwort

\[(A^{-1})^{-1}=A\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Schema zum invertieren von \(2\times 2\) Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}a} & {\color{gr}b} \\ {\color{r}c} & {\color{li}d} \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}d} & -{\color{gr}b} \\ -{\color{r}c} & {\color{bl}a} \end{pmatrix}\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Welche Verfahren zum invertieren von Matrizen existieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Adjunkte-Verfahren

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel des Adjunkten-Verfahrens.

Antwort anzeigen

Antwort

\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot \text{adj}(A)\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte zur Berechnung der Inversen über den Gauß-Algorithmus.

Antwort anzeigen

Antwort

Bilde eine Blockmatrix mit der Einheitsmatrix \((A|E)\).
Stelle Umformungen an, sodass die Einheitsmatrix \(E\) auf der linken Seite der Blockmatrix steht.
Lese die inverse Matrix ab.

Frage anzeigen

Frage

Wofür benötigst Du die invertierten Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Du benötigst die inverse Matrix immer dann, wenn Du eine Gleichung der Art \(Ax=b\) lösen musst. In der Matrizenrechnung existiert keine Division.

Frage anzeigen

Frage

Kann eine Matrix mehrere Inverse haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine invertierbare Matrix hat nur eine Inverse, da \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\) für die Inverse gelten muss.

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Nachweise

Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrix invertieren

Wann ist eine 2x2 Matrix invertierbar?

Ist jede quadratische Matrix invertierbar?

Wie invertiert man eine Matrix?

Kann eine Matrix mehrere Inversen haben?

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