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Matrix invertieren

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Mathe

Dieser Artikel dreht es sich um die inverse Matrix. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Regeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir den Matrizen und damit dem Fach Mathe zuordnen.

Inverse Matrix - Was hat es damit auf sich?

Bevor wir uns damit beschäftigen welche Eigenschaften eine inverse Matrix hat und wie wir eine Matrix invertieren können, wiederholen wir kurz einige Grundlagen.

Kehrwert einer Zahl

In der Mathematik haben wir bereits Potenzen und Potenzregeln für Zahlen oder Brüche kennengelernt. Ein Bruch kann dabei als Zahl mit negativer Potenz geschrieben werden, wie beispielsweise:

Dies wäre damit der Kehrwert der Zahl 3. Multiplizieren wir eine Zahl mit ihrem Kehrwert, so erhalten wir als Ergebnis immer eine 1.

Von der Matrix zur inversen Matrix

Die Grundlage für eine inverse Matrix bildet die Matrix selbst. Die verschiedenen Formen der Matrizen kennen wir bereits aus dem Kapitel Matrizen. Wenn mehrere Matrizen miteinander verknüpft werden, müssen wir uns mit der Matrizenrechnung beschäftigen. Falls dir die Grundlagen zu den Matrizen unklar sind, lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.

Der Begriff „invers“ hat seine Herkunft ursprünglich aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „umgekehrt“. Bei einer inversen Matrix wird die Matrix ebenfalls umgekehrt und wir erhalten eine Kehrmatrix.

Analog zu den normalen Zahlen erhält eine inverse Matrix ebenfalls eine negative Potenz. Gekennzeichnet ist eine inverse Matrix durch die hochgestellte -1.

  • Matrix A
  • Inverse Matrix

Wir zeigen dir nachfolgend ein Beispiel für eine Matrix A und dessen inverse Matrix . Der Einfachheit halber nutzen wir zunächst nur eine 2x2-Matrix.

Bei der Multiplikation der Matrix A mit der Kehrmatrix erhalten wir eine Einheitsmatrix.

Wie die inverse Matrix einer ursprünglichen Matrix A berechnet werden kann, erklären wir im späteren Verlauf. Zunächst beschäftigen wir uns noch mit den Eigenschaften und Rechenregeln der inversen Matrizen.

Existenz der inversen Matrix

Nicht jede Matrix lässt sich umkehren bzw. invertieren. Es müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein, damit eine inverse Matrix berechnet werden kann. Eine Matrix ist dann invertierbar, wenn gilt:

  • Die Matrix A ist quadratisch.
  • Die Determinante der Matrix ist ungleich null.

Als Beispiel nehmen wir folgenden Matrizen A und B. Wir wollen überprüfen, ob die Voraussetzungen erfüllt sind und zu diesen Matrizen inverse Matrizen existieren.

Für die Matrix A ist bereits die erste Voraussetzung nicht erfüllt, denn die Matrix ist nicht quadratisch. Damit können wir die Frage der Invertierbarkeit bereits jetzt schon verneinen. Im Gegensatz dazu ist die Matrix B mit zwei Zeilen und zwei Spalten quadratisch und erfüllt somit die erste Anforderung. Mit der Berechnung der Determinante wird nun die zweite Voraussetzung überprüft.

Folglich existiert für die Matrix B eine inverse Matrix . Nicht jede quadratische Matrix besitzt aber eine inverse Matrix, daher müssen beide Anforderungen überprüft werden. Je nachdem, ob eine Matrix invertierbar oder nicht invertierbar ist, kann sie unterschiedlich benannt werden:

  • Invertierbare Matrix -> reguläre Matrix
  • Nicht invertierbare Matrix -> singuläre Matrix

Rechenregeln für inverse Matrizen

Wir wissen damit bereits, wann eine Matrix invertierbar ist. Es sind jedoch einige wichtigen Eigenschaften und Regeln bei inversen Matrizen zu beachten. Die grundlegenden Berechnungsvorschriften der Matrizen solltest du bereits aus der Matrizenrechnung kennen.

  • Invertieren einer inversen Matrix:

Durch Invertieren einer schon invertierten Matrix erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix A. Daraus folgt:

Das Invertieren eines Matrizenprodukts entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen. Jedoch muss bei der Multiplikation die Reihenfolge der Matrizen beachtet werden.

  • Multiplikation mit Skalaren:

Inverse Matrizen können ebenso mit Skalaren multipliziert werden. Hierbei wird der Kehrwert des Skalars multipliziert. Damit folgt:

  • Invertieren einer transponierten Matrix:

Das Invertieren einer transponierten Matrix entspricht dem Transponieren einer inversen Matrix. Es gilt:

  • Orthogonale Matrix:

Bei einer orthogonalen Matrix entspricht die inverse Matrix der transponierten Matrix:

Matrizen invertieren

Grundsätzlich lassen sich bei der Berechnung einer inversen Matrix verschiedene Verfahren anwenden wie zum Beispiel:

  • Gauß-Jordan-Algorithmus
  • Adjunkte
  • Cramersche Regel

Nachfolgend zeigen wir anhand eines einfachen Beispiels das Invertieren einer Matrix A durch das Gauß-Jordan-Verfahren.

Wir wissen bereits, dass sich durch die Multiplikation der Matrix A mit ihrer inversen Matrix A-1 die Einheitsmatrix E ergeben muss. Diese Information wird für die Berechnung genutzt.

1. Blockmatrix (A|E) bilden

Zunächst wird aus der Matrix A und der Einheitsmatrix E eine zusammengefasste Blockmatrix gebildet. Zum leichteren Verständnis werden zusätzlich noch die Klammern weggelassen.

Auf der linken Seite steht somit die Matrix A und auf der rechten Seite die Einheitsmatrix E. Ziel ist es mithilfe des Gauß-Jordan-Verfahren die Matrizen so umzuformen, dass auf der linken Seite die Einheitsmatrix erzeugt wird.

2. Umformung 1

Eine erste mögliche Umformung wäre die Multiplikation der zweiten Zeile mit dem Faktor 3.

Damit erhalten wir:

3. Umformung 2

Als nächstes subtrahieren wir die Zeile 1 von der Zeile 2.

Das Ergebnis ist:

4. Umformung 3

Jetzt können wir von der Zeile 1 das 5-fache der Zeile 2 abziehen.

Somit erhalten wir:

5. Umformung 4

Durch Division der Zeile 1 erhalten wir die letzte Umformung.

Das Ergebnis lautet:

Wie wir sehen können, wurden die Zeilen so umgeformt, dass wir links eine Einheitsmatrix erhalten. Wenn dies der Fall ist, kann die inverse Matrix aus der rechten Seite abgelesen werden.

6. Inverse Matrix ablesen

Die inverse Matrix ist damit:

Somit kann aus einer Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus eine Matrix invertiert werden. Damit haben wir alle wichtigen Grundlagen zu inversen Matrizen kennengelernt. Durch das folgende Übungsbeispiel kannst du dein Wissen zu diesem Thema überprüfen.

Inverse Matrix - Übungsbeispiel

Aufgabe: Zeige mithilfe der angegeben Matrix A, dass diese invertierbar ist.

Lösung: Ob eine Matrix invertierbar ist, hängt davon ab, ob die Anforderungen für die Invertierbarkeit erfüllt sind.

  • Die Matrix muss quadratisch sein.
  • Die Determinante der Matrix ist ungleich null.

Die Matrix A besitzt 3 Spalten und 3 Zeilen, ist damit quadratisch und erfüllt die erste Voraussetzung. Zusätzlich berechnen wir noch die Determinante der Matrix A.

Die Determinante ist damit ungleich null. Damit ist die zweite Anforderung ebenfalls erfüllt und die Matrix ist invertierbar.

Nachfolgend findest du noch eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Informationen.

Matrix invertieren - Alles Wichtige auf einen Blick

  • Eine inverse Matrix wird auch als Kehrmatrix bezeichnet.
  • Die inverse Matrix wird durch die Schreibweise A-1 gekennzeichnet.
  • Durch Multiplikation einer Matrix mit ihrer inversen Matrix ergibt sich eine Einheitsmatrix:
  • Eine Matrix ist nur invertierbar, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:
    1. Die Matrix ist quadratisch.
    2. Die Determinante der Matrix ist ungleich null.
  • Invertierbare Matrizen werden auch als reguläre Matrizen benannt.
  • Singuläre Matrizen sind nicht invertierbare Matrizen.
  • Folgende Rechenregeln sind bei der Berechnung zu beachten:

  • Matrizen können durch verschiedene Verfahren invertiert werden:
    1. Gauß-Jordan-Algorithmus
    2. Adjunkte
    3. Cramersche Regel
  • Durch Umformung kann aus der Blockmatrix (A|E) die Blockmatrix (E|A-1) gebildet und damit die inverse Matrix abgelesen werden.

Matrix invertieren

Die inverse Matrix ist die Kehrmatrix einer Matrix und kann beispielweise durch die Adjunkte, den Gauß-Jordan-Algorithmus oder mithilfe der Cramerschen Regel berechnet werden, da die Multiplikation einer Matrix mit ihrer inversen Matrix eine Einheitsmatrix ergibt.

Eine Matrix ist invertierbar, wenn sie quadratisch und ihre Determinante ungleich null ist.

Mithilfe von inversen Matrizen lassen sich beispielweise lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten lösen.

Da die 2x2-Matrix bereits quadratisch ist, muss nur überprüft werden, ob die Determinante der Matrix ungleich null ist. Dann ist sie invertierbar.

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