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Matrix mit Zahl multiplizieren

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Mathe

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

In diesem Artikel dreht es sich um die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Regeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir den Matrizen und damit dem Fach Mathematik zuordnen.

Grundlagen

Bevor wir uns mit der Berechnung von Matrizen beschäftigen, wiederholen wir kurz einige Grundlagen zu den Matrizen.

Allgemeine Matrizen

Die verschiedenen Formen der Matrizen kennen wir bereits aus dem Kapitel Matrizen. Wir werden das Wichtigste hier kurz wiederholen.

Eine Matrix A kann in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. In der allgemeinen Form besitzt sie m Zeilen und n Spalten, weshalb für die Matrix A gilt:

Die einzelnen Komponenten (wie beispielsweise ) in der Klammer werden als Koeffizienten bezeichnet. Ein Beispiel für eine 3x3-Matrix könnte wie folgt aussehen:

Diese besitzt drei Zeilen und drei Spalten, weshalb sie auch als 3x3-Matrix oder auch als (3,3)-Matrix bezeichnet werden kann. Grundsätzlich kann sie aber auch weniger Spalten oder weniger Zeilen besitzen. Eine (2,3)-Matrix wäre zum Beispiel folgende:

Sie besitzt damit nur zwei Zeilen und drei Spalten.

Falls dir die Grundlagen zu den Matrizen unklar sind, lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.

Beim Rechnen mit Matrizen können verschiedenen Rechenoperationen angewandt werden, unter anderem auch die Multiplikation. Dabei können sowohl mehrere Matrizen miteinander multipliziert als auch die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl oder einem Vektor durchgeführt werden. Nachfolgend beschäftigen wir uns mit dem Produkt aus einer Matrix und einer reellen Zahl.

Reelle Zahlen

Reelle Zahlen sollten dir bereits bekannt sein. Sie beinhalten sowohl natürliche und ganze Zahlen als auch rationale und irrationale Zahlen. In der folgenden Abbildung sind noch einmal die wichtigen Zahlenbereiche aufgezeigt.

Abbildung 1: Zahlenbereiche

Reelle Zahlen umfassen demnach alle negativen und positiven Brüche und ebenfalls alle Wurzeln, jedoch kein Wurzelziehen aus negativen Zahlen. Dies fällt bereits in den Bereich der komplexen Zahlen. Im Gebiet der linearen Algebra werden oft Skalare (Zahlen) benutzt, die durch die reellen Zahlen vollständige beschrieben werden.

Multiplikation mit einer reellen Zahl

Damit kennen wir bereits die beiden Komponenten für die Multiplikation: eine Matrix und eine reelle Zahl. Aber wie gehen wir bei der Berechnung vor und müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein?

Voraussetzungen zur Berechnung

Bei der Berechnung einer Multiplikation einer Matrix mit einer weiteren Matrix müssen bestimmte Bedingungen vorhanden sein, um die Multiplikation überhaupt durchführen zu können. Anders verhält es sich bei der Berechnung mit einer reellen Zahl. Jede beliebige Matrix A des Typs (m,n) kann mit einer beliebigen reellen Zahl c multipliziert werden. Allgemein lässt sich die Multiplikation damit wie folgt definieren:

So kann beispielsweise die nachfolgende (3,2)-Matrix mit einer reellen Zahl c (Skalar) multipliziert werden.

Dieses Beispiel verwenden wir im nächsten Schritt für die Vorgehensweise zum Berechnen der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl.

Berechnung der Multiplikation

Aus den obigen Angaben soll nun das Produkt gebildet werden. Dabei wird bei der Berechnung jede Komponente der Matrix A mit der jeweiligen reellen Zahl einzeln multipliziert. In unserem Beispiel lässt sich dies wie folgt durchführen:

Eine Matrix A wird somit mit einer reellen Zahl c multipliziert, indem jedes Element der Matrix A mit der reellen Zahl c multipliziert wird. Zudem zeigt sich, dass der Typ der Matrix durch die Multiplikation nicht verändert wurde. Es bleibt weiterhin eine (3,2)-Matrix, jedoch haben sich die einzelnen Komponenten vervielfacht.

In manchen Fällen sind Matrizen in der Aufgabenstellung bereits mit einem Vorfaktor angegeben, wie zum Beispiel folgende Matrix B.

Dies entspricht exakt der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl. Der Vorfaktor stellt somit die reelle Zahl c dar und kann ebenso in die Matrix mit einberechnet werden. Dafür wird wieder jede Komponente der Matrix B mit dem Vorfaktor multipliziert.

Hierbei wurde die Matrix B um den Faktor 4 vermindert, behält jedoch wieder die Anzahl der Zeilen und Spalten.

Am einfachsten lässt sich die Vervielfachung/Verminderung anhand einer einspaltigen Matrix (einem Vektor) veranschaulichen. Die folgende (2,1)-Matrix D kann in einem Koordinatensystem gezeichnet werden.

Abbildung 2: Matrix D im KOS

Das Produkt aus einer reellen Zahl und der Matrix D ergibt:

Grafisch dargestellt ist die neue (2,1)-Matrix, also der Vektor, um den Faktor 2 vervielfacht worden, weshalb der neue Vektor doppelt so lang ist, seine Richtung jedoch beibehält. Er wurde dementsprechend nur gestreckt.

Abbildung 3: Alte Matrix D und neue Ergebnismatrix

Rechengesetze

Wie wir Matrizen mit reellen Zahlen (Skalaren) multiplizieren, haben wir damit bereits gelernt. In diesem Zuge sind ebenfalls wieder einige Rechengesetze zu beachten. Dies ist besonders relevante, wenn Matrizen mit mehreren Skalaren multipliziert werden, beispielsweise mit c und d. Anhand eines einfachen Beispiels wird die Gültigkeit der Rechengesetze überprüft.

Unser Beispiel zeigt, dass sich das Ergebnis durch Vertauschen der Matrix und der reellen Zahl nicht verändert.

Sind zwei verschiedene reellen Zahlen zur Multiplikation gegeben, so spielt es keine Rolle, ob zunächst die erste Zahl mit Matrix multipliziert wird und dann die zweite Zahl oder ob zuerst das Produkt aus den beiden reellen Zahlen gebildet wird.

Der erste und zweite Teil des Distributivgesetz lässt sich ebenso anhand einer Berechnung leicht verdeutlichen. Teil 1:

Teil 2:

Es zeigt sich, dass wir ebenfalls das gleiche Ergebnis erhalten und sich das Distributivgesetz bestätigt.

Damit haben wir alle wichtigen Grundlagen zur Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl kennengelernt. Nachfolgend findest du noch eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Informationen.

Multiplikation mit einer reellen Zahl - Alles Wichtige auf einen Blick

  • Matrizen (z.B. eine Matrix A) besitzen m Zeilen und n Spaltenund können allgemein definiert werden durch:
  • Der reelle Zahlenbereich beinhaltet sowohl die natürlichen und ganzen Zahlen, als auch die rationalen und irrationalen Zahlen.
  • Skalare werden durch reelle Zahlen vollständig beschrieben.
  • Jede beliebige Matrix des Typs (m,n) kann mit einer beliebigen reellen Zahl c multipliziert werden.
  • Die Multiplikation erfolgt, indem jede Komponente der Matrix einzeln mit der reellen Zahl multipliziert wird.
  • Folgende Rechengesetze sind bei der Multiplikation zu beachten:
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