StudySmarter: Besser Lernen
4.5 • +22k Bewertungen
Mehr als 22 Millionen Downloads
Kostenlos
Wie kannst Du eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren und welche Rechenregeln musst Du bei der Skalarmultiplikation von Matrizen beachten? Anhand von Beispielen kannst Du in dieser Erklärung nachvollziehen, wie Du eine Matrix mit einer ganzen oder einer reellen Zahl multiplizierst.
Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenNie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Jetzt kostenlos anmeldenWie kannst Du eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren und welche Rechenregeln musst Du bei der Skalarmultiplikation von Matrizen beachten? Anhand von Beispielen kannst Du in dieser Erklärung nachvollziehen, wie Du eine Matrix mit einer ganzen oder einer reellen Zahl multiplizierst.
In den Erklärungen „Matrizen“ und „Matrizenrechnung“ findest Du alles rund um die Matrix und das Rechnen mit Matrizen.
Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) kann mit einem Skalar \(c\) multipliziert werden, indem jedes Matrixelement \((a_{ik})\) der Matrix \(A\) mit dem Skalar \(c\) multipliziert wird.
\[c\cdot A=c\cdot (a_{ik})=(c\cdot a_{ik})\]
Dabei entspricht \(a_{ik}\) dem Matrixelement der \(i\)-ten Zeile und der \(k\)-ten Spalte.
Als Skalar wird eine mathematische Größe bezeichnet, die lediglich durch eine Zahl vollständig beschrieben ist.
Demnach kannst Du jede beliebige Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\) multiplizieren. Dabei musst Du lediglich das Skalar \(c\) elementweise multiplizieren. Für eine allgemeine \((m,\,n)\)-Matrix \(A\) würde das Produkt \(c\cdot A\) Folgendes ergeben:
\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A=\left(\begin{array}{cc} a_{11}&\cdots &a_{1n} \\ \cdots &\ddots & \cdots \\ a_{m1}&\cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\color{#00DCB4}c}\cdot a_{11}&\cdots &{\color{#00DCB4}c} \cdot a_{1n} \\ \cdots &\ddots & \cdots \\ {\color{#00DCB4}c}\cdot a_{m1}&\cdots &{\color{#00DCB4}c} \cdot a_{mn}\end{array}\right)\]
Die Produktmatrix \(c\cdot A\) hat dabei denselben Typ \((m,\,n)\) wie die Matrix \(A\).
Wie gehst Du bei der Berechnung vor, wenn es sich bei dem Skalar um eine ganze Zahl handelt?
Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) wird mit einer ganzen Zahl \(c\) multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der ganzen Zahl \(c\) multipliziert wird.
Die \((3,\,2)\)-Matrix \(A\) soll mit der ganzen Zahl \(c=2\) multipliziert werden.
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 2&4 \\ 3&-2\end{array}\right)\]
Lösung
Multipliziere jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der Zahl \(c=2\), um das Produkt \(c\cdot A\) zu erhalten.
\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 2&4 \\ 3&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}2}\cdot 1 &{\color{#00DCB4}2} \cdot (-1) \\ {\color{#00DCB4}2}\cdot2 & {\color{#00DCB4}2}\cdot\,\,\,\, 4\,\,\,\,\, \\ {\color{#00DCB4}2}\cdot 3 &{\color{#00DCB4}2} \cdot (-2) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&-2 \\ 4&8 \\ 6&-4\end{array}\right)\]
Bei der Produktmatrix \(c\cdot A\) handelt es sich ebenfalls um eine \((3,\,2)\)-Matrix.
Handelt es sich bei dem Skalar \(c\) nicht um eine ganze Zahl, sondern eine reelle Zahl, so kannst Du das Verfahren ebenso anwenden.
Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) wird mit einer reellen Zahl \(c\) multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der reellen Zahl \(c\) multipliziert wird.
Die \((3,\,3)\)-Matrix \(A\) soll mit der reellen Zahl \(c=\frac{1}{4}\) multipliziert werden.
\[A=\left(\begin{array}{cc} 4&2&8 \\ 16&-4&2 \\ 2&-8&2\end{array}\right)\]
Lösung
Multipliziere jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der Zahl \(c=\frac{1}{4}\), um das Produkt \(c\cdot A\) zu erhalten.
\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A={\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \left(\begin{array}{cc} 4&2&8 \\ 16&-4&2 \\ 2&-8&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \,\,4\, &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot \,\,\,\,2\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 8 \\ {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot16 & {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot(-4) &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 2\\ {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \,\,2\, &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot (-8)&{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1&\frac{1}{2}&2 \\ 4&-1&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{array}\right)\]
Bei der Produktmatrix \(c\cdot A\) handelt es sich ebenfalls um eine \((3,\,3)\)-Matrix.
Multiplizierst Du ein Skalar mit einer Matrix, so gibt es auch Rechenregeln, die Du beachten musst.
Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.
Mit den Skalaren \(c\) und \(d\) sowie den Matrizen \(A\) und \(B\) vom selben Typ gilt:
Rechenregel | Skalarmultiplikation |
Kommutativgesetz | \[{\color{#00DCB4}c}\cdot A=A\cdot {\color{#00DCB4}c}\] |
Assoziativgesetz | \begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)={\color{#1478C8}d}\cdot( {\color{#00DCB4}c}\cdot A)=({\color{#00DCB4}c}\cdot{\color{#1478C8}d})\cdot A\end{align} |
Distributivgesetz | \begin{align}({\color{#00DCB4}c}\pm {\color{#1478C8}d})\cdot A&={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#1478C8}d}\cdot A\\[0.2cm]{\color{#00DCB4}c}\cdot (A\pm B)&={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#00DCB4}c}\cdot B\end{align} |
Anhand der folgenden Beispiele kannst Du die Rechenregeln für die Multiplikation nachvollziehen.
Gegeben sind die Matrizen \(A\) und \(B\), sowie die Skalare \(c=2\) und \(d=3\).
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3 \end{array}\right)\hspace{1cm} B=\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1 \end{array}\right)\]
Kommutativgesetz:
Die Produkte \(c\cdot A\) und \(A\cdot c\) sind identisch.
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot A&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}2}\cdot\,\,\,\, 1\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}2} \cdot 2 \\{\color{#00DCB4}2}\cdot(-2) & {\color{#00DCB4}2}\cdot 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6 \end{array}\right) \\[0.2cm]A \cdot {\color{#00DCB4}c}&=\left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3\end{array}\right)\cdot {\color{#00DCB4}2}=\left(\begin{array}{cc}\,\,\,\,1\,\,\,\,\cdot {\color{#00DCB4}2}&2\cdot {\color{#00DCB4}2} \\(-2)\cdot {\color{#00DCB4}2} & 3\cdot {\color{#00DCB4}2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6\end{array}\right)\end{align}
Assoziativgesetz:
Wird eine Matrix \(A\) mit den Skalaren \(c\) und \(d\) multipliziert, können auch zuerst die Skalare multipliziert und anschließend mit der Matrix verrechnet werden.
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left({\color{#1478C8}3}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)\right)={\color{#00DCB4}2}\cdot \left( \begin{array}{cc} 3&6\\-6&9\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&12 \\-12&18\end{array}\right) \\[0.2cm]({\color{#00DCB4}c}\cdot {\color{#1478C8}d})\cdot A&=({\color{#00DCB4}2}\cdot {\color{#1478C8}3})\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)=6\cdot \left( \begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&12 \\-12&18\end{array}\right)\end{align}
Distributivgesetz:
Sind zwei Matrizen \(A\) und \(B\) desselben Typs mit einem Skalar \(c\) zu multiplizieren, so kannst Du die Matrizen zuerst addieren und dann mit dem Skalar multiplizieren oder beide Matrizen mit dem Skalar verrechnen und erst anschließend addieren.
In der Erklärung „Matrizen addieren“ kannst Du alles rund um die Addition von Matrizen nachlesen.
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot (A+B)&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1\end{array}\right)\right)={\color{#00DCB4}2}\cdot\left(\begin{array}{cc} 3&4 \\ 2&2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&8 \\4&4\end{array}\right) \\[0.2cm]{\color{#00DCB4}c}\cdot A+{\color{#00DCB4}c}\cdot B&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc}1&2\\-2&3\end{array}\right)+{\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 4&4 \\ 8&-2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&8\\4&4\end{array}\right)\end{align}
Hast Du Lust, direkt noch Übungsaufgaben zur Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl zu meistern und Dein Wissen zu testen? Dann sieh Dir gleich die zugehörigen Karteikarten an!
Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.
Eine Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden, aber nicht addiert. Dies wäre nur möglich, wenn es sich um eine (1, 1)-Matrix handelt.
Beschreibe das Vorgehen bei der Multiplikation einer Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\).
Um eine Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\) zu multiplizieren, wird jedes Matrixelement \(a_{11},\,\cdots\,a_{mn}\) einzeln mit dem Skalar \(c\) multipliziert.
Nenne den Typ \((m,\,n)\) der Produktmatrix bei einer Multiplikation
einer \((3,\,4)\)-Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c=2\).
Der Matrixtyp der Produktmatrix aus \(c\cdot A\) ist ebenfalls eine \((3,\,4)\)-Matrix.
Entscheide, welcher Matrixtyp mit einem Skalar \(c\) multipliziert werden kann.
Nur quadratische Matrizen
Beschreibe, worin sich die Multiplikation einer Matrix \(A\) mit einem
reellen Skalar oder einer ganzen Zahl unterscheidet.
Die Multiplikationen beider Varianten unterscheiden sich nicht! Das Vorgehen der Multiplikation bleibt sowohl bei einer ganzen Zahl als auch bei einem reellen Skalar gleich.
Entscheide, welche Rechenregeln für die Multiplikation einer Matrix \(A\)
mit den Skalaren \(c\) und \(d\) gelten.
\[{\color{#1478C8}d}\cdot( {\color{#00DCB4}c}\cdot A)=({\color{#00DCB4}c}\cdot{\color{#1478C8}d})\cdot A\]
Weise anhand der Matrix \(A=\left(\begin{array}{cc}0&2\\-1&4\end{array}\right)\) und des Skalars \(c=-1\) nach, dass gilt:
\[c\cdot A=A \cdot c\]
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot A&={\color{#00DCB4}-1}\cdot \left(\begin{array}{cc} 0&2 \\ -1&4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}-1}\cdot\,\,\,\, 0\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}-1} \cdot 2 \\{\color{#00DCB4}-1}\cdot(-1) & {\color{#00DCB4}-1}\cdot 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0&-2 \\ 1&-4\end{array}\right) \\[0.2cm]
A \cdot {\color{#00DCB4}c}&=\left(\begin{array}{cc} 0&2 \\ -1&4
\end{array}\right)\cdot {\color{#00DCB4}-1}=\left(\begin{array}{cc}\,\,\,\,0\,\,\,\,\cdot {\color{#00DCB4}(-1)}&2\cdot{\color{#00DCB4}(-1)} \\(-1)\cdot {\color{#00DCB4}(-1)} & 4\cdot {\color{#00DCB4}(-1)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0&-2 \\ 1&-4\end{array}\right)\end{align}
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
Open in AppDie erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Speichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Mit E-Mail registrieren Mit Apple registrierenDurch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden