Matrix mit Zahl multiplizieren

Wie kannst Du eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren und welche Rechenregeln musst Du bei der Skalarmultiplikation von Matrizen beachten? Anhand von Beispielen kannst Du in dieser Erklärung nachvollziehen, wie Du eine Matrix mit einer ganzen oder einer reellen Zahl multiplizierst. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    In den Erklärungen „Matrizen“ und „Matrizenrechnung“ findest Du alles rund um die Matrix und das Rechnen mit Matrizen.

    Matrix mit Skalar multiplizieren

    Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) kann mit einem Skalar \(c\) multipliziert werden, indem jedes Matrixelement \((a_{ik})\) der Matrix \(A\) mit dem Skalar \(c\) multipliziert wird.

    \[c\cdot A=c\cdot (a_{ik})=(c\cdot a_{ik})\]

    Dabei entspricht \(a_{ik}\) dem Matrixelement der \(i\)-ten Zeile und der \(k\)-ten Spalte.

    Als Skalar wird eine mathematische Größe bezeichnet, die lediglich durch eine Zahl vollständig beschrieben ist.

    Demnach kannst Du jede beliebige Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\) multiplizieren. Dabei musst Du lediglich das Skalar \(c\) elementweise multiplizieren. Für eine allgemeine \((m,\,n)\)-Matrix \(A\) würde das Produkt \(c\cdot A\) Folgendes ergeben:

    \[{\color{#00DCB4}c}\cdot A=\left(\begin{array}{cc} a_{11}&\cdots &a_{1n} \\ \cdots &\ddots & \cdots \\ a_{m1}&\cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\color{#00DCB4}c}\cdot a_{11}&\cdots &{\color{#00DCB4}c} \cdot a_{1n} \\ \cdots &\ddots & \cdots \\ {\color{#00DCB4}c}\cdot a_{m1}&\cdots &{\color{#00DCB4}c} \cdot a_{mn}\end{array}\right)\]

    Die Produktmatrix \(c\cdot A\) hat dabei denselben Typ \((m,\,n)\) wie die Matrix \(A\).

    Wie gehst Du bei der Berechnung vor, wenn es sich bei dem Skalar um eine ganze Zahl handelt?

    Matrix mit ganzer Zahl multiplizieren Beispiel

    Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) wird mit einer ganzen Zahl \(c\) multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der ganzen Zahl \(c\) multipliziert wird.

    Die \((3,\,2)\)-Matrix \(A\) soll mit der ganzen Zahl \(c=2\) multipliziert werden.

    \[A=\left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 2&4 \\ 3&-2\end{array}\right)\]

    Lösung

    Multipliziere jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der Zahl \(c=2\), um das Produkt \(c\cdot A\) zu erhalten.

    \[{\color{#00DCB4}c}\cdot A={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 2&4 \\ 3&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}2}\cdot 1 &{\color{#00DCB4}2} \cdot (-1) \\ {\color{#00DCB4}2}\cdot2 & {\color{#00DCB4}2}\cdot\,\,\,\, 4\,\,\,\,\, \\ {\color{#00DCB4}2}\cdot 3 &{\color{#00DCB4}2} \cdot (-2) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&-2 \\ 4&8 \\ 6&-4\end{array}\right)\]

    Bei der Produktmatrix \(c\cdot A\) handelt es sich ebenfalls um eine \((3,\,2)\)-Matrix.

    Handelt es sich bei dem Skalar \(c\) nicht um eine ganze Zahl, sondern eine reelle Zahl, so kannst Du das Verfahren ebenso anwenden.

    Matrix mit reeller Zahl multiplizieren Beispiel

    Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) wird mit einer reellen Zahl \(c\) multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der reellen Zahl \(c\) multipliziert wird.

    Die \((3,\,3)\)-Matrix \(A\) soll mit der reellen Zahl \(c=\frac{1}{4}\) multipliziert werden.

    \[A=\left(\begin{array}{cc} 4&2&8 \\ 16&-4&2 \\ 2&-8&2\end{array}\right)\]

    Lösung

    Multipliziere jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der Zahl \(c=\frac{1}{4}\), um das Produkt \(c\cdot A\) zu erhalten.

    \[{\color{#00DCB4}c}\cdot A={\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \left(\begin{array}{cc} 4&2&8 \\ 16&-4&2 \\ 2&-8&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \,\,4\, &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot \,\,\,\,2\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 8 \\ {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot16 & {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot(-4) &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 2\\ {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \,\,2\, &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot (-8)&{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1&\frac{1}{2}&2 \\ 4&-1&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{array}\right)\]

    Bei der Produktmatrix \(c\cdot A\) handelt es sich ebenfalls um eine \((3,\,3)\)-Matrix.

    Multiplizierst Du ein Skalar mit einer Matrix, so gibt es auch Rechenregeln, die Du beachten musst.

    Skalarmultiplikation Matrizen Rechenregeln

    Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.

    Mit den Skalaren \(c\) und \(d\) sowie den Matrizen \(A\) und \(B\) vom selben Typ gilt:

    RechenregelSkalarmultiplikation
    Kommutativgesetz\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A=A\cdot {\color{#00DCB4}c}\]
    Assoziativgesetz\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)={\color{#1478C8}d}\cdot( {\color{#00DCB4}c}\cdot A)=({\color{#00DCB4}c}\cdot{\color{#1478C8}d})\cdot A\end{align}
    Distributivgesetz\begin{align}({\color{#00DCB4}c}\pm {\color{#1478C8}d})\cdot A&={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#1478C8}d}\cdot A\\[0.2cm]{\color{#00DCB4}c}\cdot (A\pm B)&={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#00DCB4}c}\cdot B\end{align}

    Anhand der folgenden Beispiele kannst Du die Rechenregeln für die Multiplikation nachvollziehen.

    Gegeben sind die Matrizen \(A\) und \(B\), sowie die Skalare \(c=2\) und \(d=3\).

    \[A=\left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3 \end{array}\right)\hspace{1cm} B=\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1 \end{array}\right)\]

    Kommutativgesetz:

    Die Produkte \(c\cdot A\) und \(A\cdot c\) sind identisch.

    \begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot A&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}2}\cdot\,\,\,\, 1\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}2} \cdot 2 \\{\color{#00DCB4}2}\cdot(-2) & {\color{#00DCB4}2}\cdot 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6 \end{array}\right) \\[0.2cm]A \cdot {\color{#00DCB4}c}&=\left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3\end{array}\right)\cdot {\color{#00DCB4}2}=\left(\begin{array}{cc}\,\,\,\,1\,\,\,\,\cdot {\color{#00DCB4}2}&2\cdot {\color{#00DCB4}2} \\(-2)\cdot {\color{#00DCB4}2} & 3\cdot {\color{#00DCB4}2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6\end{array}\right)\end{align}

    Assoziativgesetz:

    Wird eine Matrix \(A\) mit den Skalaren \(c\) und \(d\) multipliziert, können auch zuerst die Skalare multipliziert und anschließend mit der Matrix verrechnet werden.

    \begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left({\color{#1478C8}3}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)\right)={\color{#00DCB4}2}\cdot \left( \begin{array}{cc} 3&6\\-6&9\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&12 \\-12&18\end{array}\right) \\[0.2cm]({\color{#00DCB4}c}\cdot {\color{#1478C8}d})\cdot A&=({\color{#00DCB4}2}\cdot {\color{#1478C8}3})\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)=6\cdot \left( \begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&12 \\-12&18\end{array}\right)\end{align}

    Distributivgesetz:

    Sind zwei Matrizen \(A\) und \(B\) desselben Typs mit einem Skalar \(c\) zu multiplizieren, so kannst Du die Matrizen zuerst addieren und dann mit dem Skalar multiplizieren oder beide Matrizen mit dem Skalar verrechnen und erst anschließend addieren.

    In der Erklärung „Matrizen addieren“ kannst Du alles rund um die Addition von Matrizen nachlesen.

    \begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot (A+B)&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1\end{array}\right)\right)={\color{#00DCB4}2}\cdot\left(\begin{array}{cc} 3&4 \\ 2&2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&8 \\4&4\end{array}\right) \\[0.2cm]{\color{#00DCB4}c}\cdot A+{\color{#00DCB4}c}\cdot B&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc}1&2\\-2&3\end{array}\right)+{\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 4&4 \\ 8&-2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&8\\4&4\end{array}\right)\end{align}

    Hast Du Lust, direkt noch Übungsaufgaben zur Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl zu meistern und Dein Wissen zu testen? Dann sieh Dir gleich die zugehörigen Karteikarten an!

    Matrix mit Zahl multiplizieren Das Wichtigste

    • Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) lässt sich mit einer ganzen oder reellen Zahl \(c\) multiplizieren, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit dem Skalar \(c\) einzeln multipliziert wird.
    • Die Produktmatrix \(c\cdot A\) hat dabei denselben Matrixtyp \((m,\,n)\) wie die Matrix \(A\).
    • Mit den Skalaren \(c\) und \(d\) sowie den Matrizen \(A\) und \(B\) vom selben Typ gelten die Rechenregeln:
      • Kommutativgesetz: \({\color{#00DCB4}c}\cdot A=A\cdot {\color{#00DCB4}c}\)
      • Assoziativgesetz: \({\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)={\color{#1478C8}d}\cdot( {\color{#00DCB4}c}\cdot A)=({\color{#00DCB4}c}\cdot{\color{#1478C8}d})\cdot A\)
      • Distributivgesetz: \(({\color{#00DCB4}c}\pm {\color{#1478C8}d})\cdot A={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#1478C8}d}\cdot A\hspace{1cm}{\color{#00DCB4}c}\cdot (A\pm B)={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#00DCB4}c}\cdot B\)
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrix mit Zahl multiplizieren

    Wie wird eine Matrix mit einer Zahl multipliziert?

    Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.

    Kann eine Matrix mit einer Zahl addiert werden?

    Eine Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden, aber nicht addiert. Dies wäre nur möglich, wenn es sich um eine (1, 1)-Matrix handelt.

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    Entscheide, welche Rechenregeln für die Multiplikation einer Matrix \(A\)mit den Skalaren \(c\) und \(d\) gelten.

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