Stell dir vor, Du möchtest 500 Gramm Mehl kaufen. Du stehst im Supermarkt vor dem Regal, in dem das Mehl steht und schaust Dir die Preise der verschiedenen Mehlarten an:
| Marke des Weizenmehls | Preis in € |
| Feines | |
| Super | |
| Bio | |
| Extra | |
Du möchtest am liebsten das billigste Mehl kaufen. Aber welches Mehl kostet am wenigsten? Bei diesen Zahlen kann nicht unbedingt auf Anhieb festgestellt werden, welcher Preis kleiner und welcher Preis größer ist. Diese Preise sind Dezimalzahlen. Um herauszufinden, welches Mehl dich am wenigsten kostet, kannst du die Dezimalzahlen vergleichen und ordnen.
Dezimalzahlen vergleichen und ordnen – Grundlagen
Die Zahlen, die du in der Tabelle siehst, sind alle unterschiedlich. Diese Art von Zahl wird Dezimalzahl oder Dezimalbruch genannt. Diese Zahlen werden durch das Komma ausgezeichnet, das die Vorkommastelle und Nachkommastelle voneinander trennt.
Dezimalzahlen – Definition
Und wie wird so eine Dezimalzahl definiert?
Eine Dezimalzahl ist eine Kommazahl. Das heißt, sie besteht aus einer oder mehreren Vorkommastelle(n) und aus einer oder mehreren Nachkommastelle(n). Zwischen Vorkommastelle und Nachkommastelle befindet sich ein Komma.
Das Ganze kannst Du Dir anhand des Preises für das Mehl "Feines" genauer anschauen:
Die Zahl ist eine Dezimalzahl. Die Zahl 0 steht vor dem Komma und bildet somit die Vorkommastelle. Die Zahl 63 steht nach dem Komma und bildet somit die Nachkommastelle.
Dezimalzahlen am Zahlenstrahl
Diese Dezimalzahlen sind ebenfalls auf dem Zahlenstrahl zu finden. Sie sind nämlich zwischen den ganzen Zahlen versteckt.
Dezimalzahlen kannst Du, wie auch ganze Zahlen (1,2,3,4,...) auf einem Zahlenstrahl abbilden. Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer ist sie.
Abbildung 1: Zahlenstrahl ganze Zahlen
Aber wo liegen jetzt die Dezimalzahlen?
Die Dezimalzahlen liegen zwischen den ganzen Zahlen. Das heißt, du kannst den Zahlenstrahl vergrößern und siehst die Kommazahlen zwischen den ganzen Zahlen.
Abbildung 2: Zahlenstrahl 0,5er Schritte
Dezimalzahlen können unendlich viele Nachkommastellen haben, das bedeutet, du kannst den Zahlenstrahl bis ins Unendliche vergrößern. Du könntest dir zum Beispiel zwischen den Zahlen 1 und 2 unendlich viele Dezimalzahlen anschauen.
Abbildung 3: Zahlenstrahl 0,1er Schritte
Dezimalzahlen lesen
Eine Dezimalzahl liest Du von links nach rechts. Du liest also erst die Vorkommastelle(n), dann das Komma und zuletzt die Nachkommastelle(n). Die Zahl 0,63 liest Du als "null-komma-sechs-drei".
Dezimalzahlen kannst Du, wie auch ganze Zahlen, in eine Stellenwerttafel eintragen. Damit kannst Du die Bestandteile einer Dezimalzahl veranschaulichen.
Allgemein sieht eine Stellenwerttafel so aus:
Tausender | Hunderter | Zehner | Einer | Komma , | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
Ganze Zahlen (1, 2, 3,... , 926,...) werden üblicherweise nur in der ersten Hälfte der Tabelle eingetragen. Dezimalzahlen besitzen Nachkommastellen. Diese Nachkommastellen werden in die zweite Hälfte der Tabelle nach dem Komma eingetragen.
sind alles Dezimalzahlen. Diese Zahlen kannst Du alle in eine Stellenwerttafel eintragen. Das sieht dann so aus:
Tausender | Hunderter | Zehner | Einer | , | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
| | | 0 | , | 2 | 5 | |
| | | 2 | , | 3 | 8 | |
| | 1 | 9 | , | 9 | 7 | |
| 1 | 0 | 2 | , | 5 | 9 | 8 |
Mithilfe einer Stellenwerttafel können Dezimalzahlen anschaulich verglichen werden. Welche Dezimalzahl größer und welche kleiner ist, erfährst Du im nächsten Abschnitt.
Dezimalzahlen vergleichen und ordnen – Erklärung
Wie Brüche und ganze Zahlen kannst Du auch Dezimalzahlen nach ihrer Größe vergleichen und ordnen. Aber wie sieht das überhaupt aus? Und woran ist die größere Dezimalzahl zu erkennen?
Dezimalzahlen vergleichen und ordnen – Anleitung
Um Dezimalzahlen zu vergleichen und ordnen, untersuchst Du sie auf ihre Vorkommastellen und Nachkommastellen. Dabei ist es hilfreich, die zu ordnenden Zahlen untereinander zu schreiben, um eine Art Stellenwerttafel zu erstellen.
Dezimalzahlen werden von links nach rechts gelesen und auch so verglichen.
1. Vorkommastellen vergleichen
Sind die Vorkommastellen identisch, so werden die Nachkommastellen verglichen. Sind sie nicht identisch, so ist die Dezimalzahl mit der größeren Vorkommastelle die größere Dezimalzahl.
2. Nachkommastellen vergleichen
Die Nachkommastellen werden ebenfalls von links nach rechts verglichen.
Angefangen wird mit den Zehnteln. Sind die Zehntel identisch, werden die Hundertstel verglichen. Sind die Zehntel nicht identisch, so ist die Dezimalzahl größer, die eine größere Zahl als Zehntel hat, usw.
Sind Vorkommastellen und Nachkommastellen identisch, so sind auch die Dezimalzahlen identisch.
Dezimalzahlen vergleichen – Merksatz
Um Dezimalzahlen zu vergleichen und ordnen gibt es mathematische Symbole, mit denen die Zahlen geordnet werden können. Und wie sehen diese Symbole aus?
Diese Symbole sehen folgendermaßen aus:
Das Zeichen "<" bedeutet "kleiner als". Beispiel mit den Zahlen 5 und 9:
Das Zeichen ">" bedeutet "größer als". Beispiel mit den Zahlen 5 und 9:
Das Zeichen "=" bedeutet "gleich". Beispiel mit der Zahl 9:
Um sich die Symbole zu merken, ist eine Eselsbrücke ganz hilfreich, oder?
Stell dir vor, die Symbole "<" und ">" sind das Maul eines hungrigen Krokodils. Es will natürlich immer das größere Fressen essen und wendet sich also der größeren Zahl zu. Deshalb zeigt die offene Seite des "größer als" und "kleiner als" Symbols immer auf die größere Zahl.
Dezimalzahlen vergleichen – Übungen
Und wie werden Dezimalzahlen jetzt in der Anwendung verglichen und geordnet? Dafür kannst Du Dir gerne die folgenden Anwendungsbeispiele anschauen!
Alex und Lasse machen im Schwimmbad einen Wettbewerb, wer länger die Luft unter Wasser anhalten kann. Alex taucht nach Sekunden auf und Lasse nach Sekunden. Wer hat den Wettbewerb gewonnen?
Die Zeit, die größer ist, hat gewonnen. Die Zeit, die kleiner ist, hat verloren, da es somit weniger Sekunden unter Wasser waren.
Dafür kannst Du die Zahlen untereinander schreiben und sie auf Vorkomma- und Nachkommastellen untersuchen.
Die Vorkommastellen sind gleich. Beide haben 30 Sekunden als Vorkommastelle. Das heißt, Du schaust auf die Nachkommastellen, um die Zeiten zu vergleichen.
Die 5 und die 9 sind verschieden, also kannst Du die Zahlen anhand dessen ordnen. Weil die 5 kleiner als die 9 ist, ist auch die gesamte Zahl kleiner. Das heißt:
Lasse hat den Wettbewerb also gewonnen, weil er für eine längere Zeit unter Wasser war.
Und wie sieht das jetzt beim Mehl aus? Welches Mehl ist nun das billigste?
Feines kostet , Super kostet , für Bio bezahlst Du und extra kostet . Um das billigste Mehl auszusuchen, solltest Du die Preise miteinander vergleichen. Du kannst die Zahlen also untereinander schreiben und auf ihre Vor- und Nachkommastellen untersuchen.
Wie Du siehst, sind die Vorkommastellen alle gleich. Um die Größe zu bestimmen, sind in diesem Fall nur die Nachkommastellen ausschlaggebend. Beim Vergleichen fängst Du, wie bei der Stellenwerttafel, von links an. Die erste Nachkommastelle ist die 6, die 4, die 9 und nochmal die 9. Die ersten beiden Stellen sind unterschiedlich, deshalb kannst Du die beiden Zahlen schonmal ordnen.
Weil die 4 kleiner als die 6 ist, ist kleiner als . Und was ist mit den anderen zwei Preisen?
Die letzten zwei Preise haben die erste Nachkommastelle gemeinsam. Um auch diese Zahlen zu ordnen, schaust Du Dir dann die zweite Nachkommastelle an. Das ist einmal die 9 und die 8. Weil die 9 größer ist als die 8, ist dementsprechend auch die Dezimalzahl größer. Das heißt:
Jetzt kannst Du alle Preise nach ihrer Größe ordnen.
Das billigste Mehl ist also das "Super" mit .
Dezimalzahlen runden
Dezimalzahlen kannst Du (wie ganze Zahlen) auch auf – oder abrunden. Dabei kannst Du auf Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und so weiter runden.
Wenn Du dazu eine ausführliche Erklärung lesen möchtest, kannst Du gerne bei dem Artikel Runden vorbeischauen!
Wenn du Zehntel rundest, dann schaust Du Dir die zweite Nachkommastelle der Dezimalzahl an. Liegt diese Zahl zwischen 0 und 4, so rundest Du ab. Liegt die Zahl bei 5 und darüber, dann wird aufgerundet.
rundest Du auf auf.
Bei Hundertsteln schaust Du Dir die dritte Nachkommastelle an. Ob Du auf – oder abrundest kommt auf die Zahl an. Wie bei Zehnteln rundest Du von 0 bis 4 ab und von 5 bis 9 auf.
rundest Du auf ab.
Beim Vergleichen von Dezimalzahlen könnte das Auf – und Abrunden jedoch zu Ungenauigkeiten führen.
Dezimalzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
Jetzt kannst Du Dein Können beweisen!
Aufgabe 1
Gegeben sind folgende Dezimalzahlen:
Vergleiche und ordne die Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl.
Lösung
Wie Du siehst, haben jeweils zwei der vier Zahlen die gleichen Vorkommastellen. Trotzdem kannst Du die Zahlen schonmal anhand der Vorkommastellen vergleichen. Die 0 ist kleiner als die 12, also sind die Dezimalzahlen und kleiner als die Dezimalzahlen und .
Um jetzt weiter zu vergleichen, schaust Du Dir die Nachkommastellen an.
Bei und ist die erste Nachkommastelle gleich. Dann schaust Du Dir als nächstes die zweite Nachkommastelle an. Diese ist bei größer als bei . Das heißt:
Bei und gehst Du genauso vor. Du beginnst mit der ersten Nachkommastelle. Die ist bei kleiner als bei . Das heißt:
Wenn Du alle Zahlen nach ihrer Größe ordnest, dann sieht es so aus:
Aufgabe 2
| Lena | Sekunden |
| Marie | Sekunden |
| Leon | Sekunden |
| Henri | Sekunden |
Lena, Marie, Leon und Henri haben ein Wettrennen gemacht. Vergleiche die Zeiten miteinander und nenne den Gewinner des Wettrennens.
Lösung
Erstmal vergleichst Du die Vorkommastellen. Jeweils zwei der vier Zeiten haben gleiche Vorkommastellen. Das heißt, Du kannst die Zeiten schon grob ordnen. Marie und Leon waren mit den 11 Sekunden als Vorkommastelle schneller als Lena und Henri, da . Lena und Henri haben also nicht gewonnen.
Um herauszufinden, ob Marie oder Leon gewonnen hat, kannst Du Dir jetzt die Nachkommastellen anschauen. Bei Marie ist die erste Nachkommastelle eine 3. Bei Henri ist die erste Nachkommastelle eine 0. Da 0 kleiner als 3 ist, ist die Zahl kleiner als die Zahl . Das bedeutet .
Insgesamt kannst Du die Zeiten folgendermaßen ordnen:
| 1. Platz | Leon |
| 2. Platz | Marie |
| 3. Platz | Henri |
| 4. Platz | Lena |
Dezimalzahlen vergleichen – Das Wichtigste
- Dezimalzahlen sind Kommazahlen.
- Sie bestehen aus Vor- und Nachkommastellen.
- Vor- und Nachkommastellen werden durch ein Komma getrennt.
- Um Dezimalzahlen zu vergleichen, werden gleiche Stellen miteinander verglichen (Hunderter mit Hundertern, Zehner mit Zehnern und so weiter), bis die Zahlen an einer Stelle unterschiedlich sind.
- Ist eine Zahl an einer verglichenen Stelle größer, so ist die ganze Dezimalzahl größer.
- Sind alle Stellen identisch, so sind die Dezimalzahlen identisch.
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