Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Zahlenlehre

Zahlenlehre

Die Zahlenlehre ist nicht nur als großes Themengebiet in der Mathematik, sondern auch oft in Kreuzworträtseln gefragt. Die Zahlenlehre wird dabei oft als Element im Rätsel abgefragt oder es wird ihre Definition und Bedeutung als Lösung gesucht.

Zahlenlehre Kreuzworträtsel StudySmarterAbb. 1 - Zahlenlehre Kreuzworträtsel.

Alle wichtigen Grundlagen zur Zahlenlehre werden Dir in dieser Erklärung anhand von Beispielen und Aufgaben aufgezeigt, damit Du schließlich alle Rätsel lösen kannst.

Zahlenlehre Algebra – Definition und Bedeutung

Der Begriff der Zahlenlehre kann so definiert werden:

Die Zahlenlehre ist ein Überbegriff für die Inhalte, die um die Zahlen als mathematische Zeichen und deren Grundlagen handeln.

Zahlen und Ziffern sind Grundlage aller weiteren mathematischen Themengebiete. Deshalb ist die Zahlenlehre als Grundvoraussetzung von besonderer Bedeutung.

Elemente der Zahlenlehre

Zur Zahlenlehre werden die folgenden Themen gezählt:

  • Zahlen
  • Zahlenstrahl und Zahlengerade
  • Zahlen ordnen
  • Betrag und Gegenzahl
  • Römische Zahlen
  • Ordinalzahlen und Kardinalzahlen
  • Stellenwertsystem
  • Vielfaches
  • Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
  • Divisor
  • Teilbarkeitsregeln
  • Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
  • Quersumme
  • Primfaktorzerlegung
  • Summenzeichen

Diese Gebiete werden in den nächsten Abschnitten ein wenig näher erklärt und in den jeweiligen Erklärungen ausführlich behandelt.

Zahlenlehre Grundlagen

Grundlage der Zahlenlehre sind natürlich die Zahlen selbst.

Ziffern, Zahlen, Zahlengerade

Ziffern und Zahlen werden folgendermaßen unterschieden:

Eine Ziffer ist ein einzelnes Symbol, das für einen bestimmten Wert steht.

Eine Zahl dagegen kann aus mehreren Ziffern bestehen.

Die Zahl \(123\) hat also zum Beispiel drei Ziffern.

\[ \definecolor{blau}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{türkies}{RGB}{0, 220, 180}\color{blau}{\Huge{\overbrace{1\;{\color{türkies}\underbrace2_{\text{Ziffer}}}\;3}^{\text{Zahl}}}}\]

Zahlen können anhand ihres Wertes an einem Zahlenstrahl oder einer Zahlengeraden dargestellt werden.

Diese helfen auch dabei, Zahlen der Größe nach zu ordnen:

  • Größere Zahlen liegen weiter rechts auf der Zahlengeraden und können mithilfe eines \(>\)-Zeichens angegeben werden.
  • Kleinere Zahlen liegen dementsprechend weiter auf der linken Seite und werden durch das \(<\)-Symbol angezeigt.

Zahlenlehre Zahlengerade StudySmarterAbb. 2 - Zahlen an Zahlengerade.

Um mehr Informationen zu diesem Thema zu erhalten, sieh Dir die Erklärungen Zahlen und Ziffern, Zahlenstrahl, Zahlengerade und Zahlen ordnen genauer an.

Betrag und Gegenzahl

Eine Gegenzahl ist auf der Zahlengeraden genauso weit von der Zahl 0 entfernt wie ihre zugehörige Zahl.

Zahlenlehre Gegenzahl StudySmarterAbb. 3 - Gegenzahlen.

Der Betrag \(|a|\) einer Zahl a ist der Abstand der Zahl a zum Nullpunkt einer Zahlengeraden.

Zahlenlehre Betrag StudySmarterAbb. 4 - Betrag.

Jetzt weißt Du was Gegenzahl und Betrag überhaupt sind. Näheres zur Schreibweise, zur Berechnung und einige Übungen findest Du in der Erklärung Betrag und Gegenzahl.

Ordinalzahlen und Kardinalzahlen

Beim Sportwettkampf sind insgesamt \(15\) Sportler am Start. Du kommst als \(3.\) ins Ziel und sicherst Dir damit eine Medaille.

Die Zahl (\(15\)) ist dabei eine Kardinalzahl, die die Anzahl der Elemente (beziehungsweise hier der Sportler) beschreibt.

Die Ordinalzahl (\(3.\)) legt die Position eines Elementes (beziehungsweise hier Deine Platzierung) fest.

Mehr Beispiele und Hintergründe gibts in der Erklärung Ordinalzahlen und Kardinalzahlen.

Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem ordnet jeder Stelle (zum Beispiel Zehnerstelle, Einerstelle, Zehntelstelle und so weiter) einer Zahl einen bestimmten Wert zu.

\[{\color{#1478c8}6} {\color{#00dcb4}4} {\color{#fa3273}1} , \color{#8363e2}7\]

Diese Zahl wird in unserem Stellenwertsystem, dem Dezimalsystem, nach ihren jeweiligen Stellen folgendermaßen bewertet:

\begin{align}&{\color{#1478c8}6\cdot 100} + {\color{#00dcb4}4 \cdot 10} + {\color{#fa3273}1\cdot 1} + {\color{#8363e2}7\ \cdot \frac{1}{10}} \\ &= {\color{#1478c8}600} + {\color{#00dcb4}40} + {\color{#fa3273}1}+ \color{#8363e2}\frac{7}{10} \\ &={\color{#1478c8}6} {\color{#00dcb4}4} {\color{#fa3273}1} , \color{#8363e2}7\end{align}

Es gibt allerdings auch Zahlensysteme, die keine Stellenwertsysteme sind, wie zum Beispiel die römischen Zahlen.

Wenn Dir Zahlensysteme und Stellenwertsysteme noch neu sind, kannst Du in den Erklärungen Stellenwertsystem und Römische Zahlen mehr darüber erfahren.

Vielfache und Teiler

Das Vielfache einer Zahl ergibt sich, wenn diese zweifach, dreifach, vierfach und so weiter genommen wird.

Ein Teiler ist ein ganzzahliger Divisor einer Zahl. Um diesen zu finden, helfen Dir die sogenannten Teilbarkeitsregeln.

Zahlenlehre Vielfaches und Teiler StudySmarterAbb. 5 - Vielfaches und Teiler.

In der Mathematik benötigst Du oft das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) oder den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier oder mehr Zahlen. Diese können mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmt werden.

Nähere Informationen gibts in den Erklärungen Vielfaches, Divisor, Teilbarkeitsregeln, Primfaktorzerlegung, kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler.

Quersumme

Arbeitest Du Dich jetzt einmal quer durch eine Zahl und summierst dabei alle Ziffern miteinander, so handelt es sich um die Quersumme.

\begin{align} {\color{#1478c8}3} {\color{#00dcb4}6} {\color{#fa3273}5} \xrightarrow{\text{ Quers}\text{umme }} {\color{#1478c8}3}+{\color{#00dcb4}6}+{\color{#fa3273}5}=14 \end{align}

Die Erklärung Quersumme behandelt alles weitere Wichtige dazu.

Summenzeichen

Eine Summe kann mithilfe des Summenzeichens verkürzt aufgeschrieben werden.

Dieses wird folgendermaßen geschrieben:

Zahlenlehre Summenzeichen StudySmarterAbb. 6 - Summenzeichen.

Die Erklärung Summenzeichen gibt einen guten Überblick.

Zahlentheorie

  1. Zum Ersten ist die Zahlentheorie ein (veraltetes) Synonym zur Zahlenlehre.
  2. Zum Anderen wird der Begriff der Elementaren Zahlentheorie oft als Überbegriff für schwierige mathematische Probleme rund um Zahlen gesehen. Das ist dann aber kein Schul-Stoff mehr.

Zahlenlehre – Beispiele und Aufgaben

Probiere nun einmal selbst, eine Aufgabe zur Lehre der Zahlen zu lösen.

Aufgabe 1

Es ist die Zahl \(379\) gegeben.

  1. Aus welchen Ziffern besteht die Zahl?
  2. Wie lautet ihre Gegenzahl?
  3. Gib ein Vielfaches der Zahl an.
  4. Berechne die Quersumme.

Lösung

  1. Die Zahl \(\color{#1478c8}3 \color{#00dcb4}7 \color{#fa3273}9\) besteht aus den Ziffern \(\color{#1478c8}3\), \(\color{#00dcb4}7\) und \(\color{#fa3273}9\).
  2. Die Gegenzahl hat den gleichen Abstand zum Nullpunkt der Zahlengerade und liegt daher bei \(-379\).
  3. Um ein Vielfaches einer Zahl zu erhalten, musst Du sie zweifach, dreifach o.ä. nehmen. Das Zweifache von \(379\) und damit ein Vielfaches dieser Zahl ist beispielsweise: \[758\]
  4. Zur Berechnung der Quersumme müssen alle Ziffern der Zahl addiert werden.\[{\color{#1478c8}3} + {\color{#00dcb4}7} + {\color{#fa3273}9} =19\]

Zahlenlehre – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zahlenlehre

Diese Themen gehören zur Zahlenlehre:

  • Zahlen
  • Zahlenstrahl und Zahlengerade
  • Zahlen ordnen
  • Betrag und Gegenzahl
  • Römische Zahlen
  • Ordinalzahlen und Kardinalzahlen
  • Stellenwertsystem
  • Vielfaches
  • Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
  • Divisor
  • Teilbarkeitsregeln
  • Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
  • Quersumme
  • Primfaktorzerlegung
  • Summenzeichen

Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um das Rechnen mit Zahlen und Variablen geht.

Die Arithmetik ist ein Überbegriff für die Lehre der Zahlen, hier kommen keine Variablen vor.

Das Wort arithmetisch gibt an, dass etwas zur Arithmetik und damit zur "Lehre der Zahlen" gehört.

Finales Zahlenlehre Quiz

Frage

Definiere das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache - kurz kgV - zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von a, als auch von b geteilt wird. 


Alternativ: das kgV ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von a, als auch Vielfaches von b ist. 

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussagen sind richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Das kgV ist immer positiv.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Das kgV zweier Zahlen ist eindeutig.

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig.

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein Beispiel in der Mathematik, für das das kgV nützlich ist.

Antwort anzeigen

Antwort

In der Bruchrechnung kann das kgV immer dann genutzt werden, wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen. Das ist der Fall, wenn

  • du Brüche addieren möchtest.
  • du Brüche subtrahieren möchtest.
  • du Brüche vergleichen möchtest.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

Der ggT zweier Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, welche sowohl a, als auch b teilt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne einen Bereich in der Mathematik, in der der ggT eine wichtige Rolle spielt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der ggT spielt zum Beispiel in der Bruchrechnung eine Rolle.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die vier Methoden, mit denen man den ggT bestimmen kann.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. mithilfe der Teilermengen
  2. über die Primfaktorzerlegung
  3. über den Euklidischen Algorithmus
  4. über das kgV

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den ggT mithilfe von Teilermengen bestimmt.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst werden alle Teiler beider gegebenen Zahlen aufgelistet und anschließend miteinander verglichen. Die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt, ist der ggT.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den ggT mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmt.

Antwort anzeigen

Antwort

Um den ggT mithilfe der Primfaktorzerlegung zu finden, muss man zunächst die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen. Anschließend nimmt man diejenigen Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Kommt ein Primfaktor nur in einer der beiden Zerlegungen vor, darf er nicht genommen werden! Zu jedem Primfaktor nimmt man den niedrigsten vorkommenden Exponenten. Multipliziert man diese gemeinsamen Primfaktoren nun, so ist das Ergebnis der ggT.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler von mehreren Zahlen ist die größte natürliche Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Quersumme von der Zahl 3462.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Quersumme beträgt 15.

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Zahlen ist 16540 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

10

Frage anzeigen

Frage

Ist 3201 durch 6 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

nein

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Zahlen ist 379548 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

4

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die zu 205 nächstgelegene Zahl, die durch 9 teilbar ist?

Antwort anzeigen

Antwort

207

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme auch durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Endziffern durch 4 teilbar sind.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme auch durch 9 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 12 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.


Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 2328 durch 12 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Zahlen ist 22360 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

4

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die nächstgelegene höhere Zahl zu 309, die durch 6 teilbar ist?

Antwort anzeigen

Antwort

312

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, bzw. ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6,8 oder 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer eine 0 oder ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. Sie muss also gerade sein und die Quersumme muss durch 3 teilbar sein.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 8 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Endziffern durch 8 teilbar sind.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 10 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Primfaktorzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Primfaktorzerlegung stellt eine natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen dar.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Eigenschaften von Primzahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Primzahlen haben ausschließlich folgende zwei Teiler:

  • sich selbst
  • 1

Frage anzeigen

Frage

Wie ist die Vorgehensweise einer Primfaktorzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Finden einer teilbaren Primzahl, beginnend mit der Kleinsten
  2. Abspalten des ersten Primfaktors 
  3. Wiederholen von Schritt 1 und 2 bis keine Zerlegung mehr möglich ist

Frage anzeigen

Frage

Mit welcher Primzahl beginnt man beim Suchen nach dem ersten Primfaktor?

Antwort anzeigen

Antwort

Man beginnt mit der kleinsten Primzahl, also der Zahl 2.

Frage anzeigen

Frage

Wobei hilft die Primfaktorzerlegung in der Mathematik unter anderem?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Primfaktorzerlegung hilft beim:


  • Kürzen von Brüchen
  • Berechnen des kgV zweier Zahlen
  • Berechnen des ggT zweier Zahlen


Frage anzeigen

Frage

Wofür steht die Abkürzung kgV?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie steht für kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Frage anzeigen

Frage

Wofür steht die Abkürzung ggT?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie steht für größter gemeinsamer Teiler.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man den ggT zweier Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a.
  • Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl b.
  • Betrachte jetzt nur die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen und davon den kleinsten Exponenten haben.
  • Multipliziere diese miteinander.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das kgV zweier Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a und b (in Potenzschreibweise).
  • Betrachte alle Primfaktoren. Handelt es sich um jeweils gleiche Primfaktoren, wählst du die mit dem höheren Exponenten aus.
  • Abschließend multipliziere diese Primfaktoren.

Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Primzahlen unter 20!

Antwort anzeigen

Antwort

  • 2
  • 3
  • 5
  • 7
  • 11
  • 13
  • 17
  • 19

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6 oder 8 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Zahl eine 5 oder 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Natürliche Zahlen sind alle ganzen positiven Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind rationale Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Rationale Zahlen sind Brüche und Dezimalzahlen.

Frage anzeigen

Frage

Können natürliche Zahlen auch rationale Zahlen sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja können sie da, da man diese auch als Bruch darstellen kann.

Frage anzeigen

Frage

Können rationale Zahlen auch natürliche Zahlen sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, ausser der Bruch steht für eine ganze Zahl, ohne Rest.

Frage anzeigen

Frage

Welche positive Zahl ist die kleinste?

Antwort anzeigen

Antwort

Die, die am nächsten an der 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche positive Zahl ist die größte?

Antwort anzeigen

Antwort

Die, die am Weitesten rechts ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche negative Zahl ist am kleinsten?

Antwort anzeigen

Antwort

Die am weitesten von der 0 entfernt ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche negative Zahl ist am größten?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl die am nächsten an der 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du sortieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Beispielsweise von groß nach klein oder von klein nach groß.

Frage anzeigen

Frage

Sortiere folgende Zahlen:

3, 8, 1, 23, 0, -2

Antwort anzeigen

Antwort

-2, 0, 1, 3, 8, 23

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Zahlenlehre
60%

der Nutzer schaffen das Zahlenlehre Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.