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Zahlenlehre

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Zahlenlehre

In diesem Kapitel geht es um einige grundlegende Dinge in der Algebra. Kennst du den Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern? Weißt du, was der Betrag einer Zahl ist? Oder was Ordinalzahlen und Kardinalzahlen sind? All das wirst du hier in diesem Kapitel erfahren.

Das Kapitel Zahlenlehre gehört in das Fach Mathe und dort in den Bereich Algebra.

Was lernst du in diesem Kapitel?

In diesem Kapitel lernst du einige Algebra-Basics kennen. Diese sind:

Was solltest du vor diesem Kapitel wissen?

Es wäre gut, wenn du bereits die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen kennst. Für das ein oder andere Thema ist es auch von Vorteil, wenn du Brüche schon kennst, aber dieses Vorwissen brauchst du auf keinen Fall für alle Artikel.

Viel Spaß beim Lernen!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zahlenlehre

Nein. 1,5 ist eine rationale Zahl.
Die nächsten natürlichen Zahlen sind die 1 oder die 2.

Zu den reellen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen. Alle Zahlen, die du in der Schule lernst, sind reelle Zahlen.

Den Begriff "unnatürliche Zahl" gibt es nicht. Aber was du wahrscheinlich meintest: alle negativen Zahlen sowie alle Dezimalzahlen, also Zahlen mit Nachkommastellen, sind keine natürlichen Zahlen.

Die Menge, die mit einem mathematischen ℤ  bezeichnet wird, ist die Menge der ganzen Zahlen. Das sind alle positiven und negativen Zahlen, die keine Nachkommastellen haben.

Finales Zahlenlehre Quiz

Frage

Definiere das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen.

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Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache - kurz kgV - zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von a, als auch von b geteilt wird. 


Alternativ: das kgV ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von a, als auch Vielfaches von b ist. 

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussagen sind richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Das kgV ist immer positiv.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Das kgV zweier Zahlen ist eindeutig.

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig.

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein Beispiel in der Mathematik, für das das kgV nützlich ist.

Antwort anzeigen

Antwort

In der Bruchrechnung kann das kgV immer dann genutzt werden, wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen. Das ist der Fall, wenn

  • du Brüche addieren möchtest.
  • du Brüche subtrahieren möchtest.
  • du Brüche vergleichen möchtest.
Frage anzeigen

Frage

Definiere den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

Der ggT zweier Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, welche sowohl a, als auch b teilt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne einen Bereich in der Mathematik, in der der ggT eine wichtige Rolle spielt.

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Antwort

Der ggT spielt zum Beispiel in der Bruchrechnung eine Rolle.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die vier Methoden, mit denen man den ggT bestimmen kann.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. mithilfe der Teilermengen
  2. über die Primfaktorzerlegung
  3. über den Euklidischen Algorithmus
  4. über das kgV
Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den ggT mithilfe von Teilermengen bestimmt.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst werden alle Teiler beider gegebenen Zahlen aufgelistet und anschließend miteinander verglichen. Die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt, ist der ggT.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den ggT mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmt.

Antwort anzeigen

Antwort

Um den ggT mithilfe der Primfaktorzerlegung zu finden, muss man zunächst die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen. Anschließend nimmt man diejenigen Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Kommt ein Primfaktor nur in einer der beiden Zerlegungen vor, darf er nicht genommen werden! Zu jedem Primfaktor nimmt man den niedrigsten vorkommenden Exponenten. Multipliziert man diese gemeinsamen Primfaktoren nun, so ist das Ergebnis der ggT.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler von mehreren Zahlen ist die größte natürliche Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Quersumme von der Zahl 3462.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Quersumme beträgt 15.

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Zahlen ist 16540 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

10

Frage anzeigen

Frage

Ist 3201 durch 6 teilbar?

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Antwort

nein

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Frage

Durch welche Zahlen ist 379548 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

4

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die zu 205 nächstgelegene Zahl, die durch 9 teilbar ist?

Antwort anzeigen

Antwort

207

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme auch durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Endziffern durch 4 teilbar sind.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme auch durch 9 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 12 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.


Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 2328 durch 12 teilbar?

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Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Durch welche Zahlen ist 22360 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

4

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt die nächstgelegene höhere Zahl zu 309, die durch 6 teilbar ist?

Antwort anzeigen

Antwort

312

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, bzw. ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6,8 oder 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer eine 0 oder ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. Sie muss also gerade sein und die Quersumme muss durch 3 teilbar sein.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 8 teilbar?

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Antwort

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Endziffern durch 8 teilbar sind.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 10 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Primfaktorzerlegung?

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Antwort

Die Primfaktorzerlegung stellt eine natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen dar.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Eigenschaften von Primzahlen?

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Antwort

Primzahlen haben ausschließlich folgende zwei Teiler:

  • sich selbst
  • 1
Frage anzeigen

Frage

Wie ist die Vorgehensweise einer Primfaktorzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Finden einer teilbaren Primzahl, beginnend mit der Kleinsten
  2. Abspalten des ersten Primfaktors 
  3. Wiederholen von Schritt 1 und 2 bis keine Zerlegung mehr möglich ist
Frage anzeigen

Frage

Mit welcher Primzahl beginnt man beim Suchen nach dem ersten Primfaktor?

Antwort anzeigen

Antwort

Man beginnt mit der kleinsten Primzahl, also der Zahl 2.

Frage anzeigen

Frage

Wobei hilft die Primfaktorzerlegung in der Mathematik unter anderem?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Primfaktorzerlegung hilft beim:


  • Kürzen von Brüchen
  • Berechnen des kgV zweier Zahlen
  • Berechnen des ggT zweier Zahlen


Frage anzeigen

Frage

Wofür steht die Abkürzung kgV?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie steht für kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Frage anzeigen

Frage

Wofür steht die Abkürzung ggT?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie steht für größter gemeinsamer Teiler.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man den ggT zweier Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a.
  • Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl b.
  • Betrachte jetzt nur die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen und davon den kleinsten Exponenten haben.
  • Multipliziere diese miteinander.
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das kgV zweier Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a und b (in Potenzschreibweise).
  • Betrachte alle Primfaktoren. Handelt es sich um jeweils gleiche Primfaktoren, wählst du die mit dem höheren Exponenten aus.
  • Abschließend multipliziere diese Primfaktoren.
Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Primzahlen unter 20!

Antwort anzeigen

Antwort

  • 2
  • 3
  • 5
  • 7
  • 11
  • 13
  • 17
  • 19
Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6 oder 8 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Zahl eine 5 oder 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Natürliche Zahlen sind alle ganzen positiven Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind rationale Zahlen?

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Antwort

Rationale Zahlen sind Brüche und Dezimalzahlen.

Frage anzeigen

Frage

Können natürliche Zahlen auch rationale Zahlen sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja können sie da, da man diese auch als Bruch darstellen kann.

Frage anzeigen

Frage

Können rationale Zahlen auch natürliche Zahlen sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, ausser der Bruch steht für eine ganze Zahl, ohne Rest.

Frage anzeigen

Frage

Welche positive Zahl ist die kleinste?

Antwort anzeigen

Antwort

Die, die am nächsten an der 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche positive Zahl ist die größte?

Antwort anzeigen

Antwort

Die, die am Weitesten rechts ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche negative Zahl ist am kleinsten?

Antwort anzeigen

Antwort

Die am weitesten von der 0 entfernt ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche negative Zahl ist am größten?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl die am nächsten an der 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du sortieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Beispielsweise von groß nach klein oder von klein nach groß.

Frage anzeigen

Frage

Sortiere folgende Zahlen:

3, 8, 1, 23, 0, -2

Antwort anzeigen

Antwort

-2, 0, 1, 3, 8, 23

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