Die Zahlenlehre ist nicht nur als großes Themengebiet in der Mathematik, sondern auch oft in Kreuzworträtseln gefragt. Die Zahlenlehre wird dabei oft als Element im Rätsel abgefragt oder es wird ihre Definition und Bedeutung als Lösung gesucht.
Abb. 1 - Zahlenlehre Kreuzworträtsel.
Alle wichtigen Grundlagen zur Zahlenlehre werden Dir in dieser Erklärung anhand von Beispielen und Aufgaben aufgezeigt, damit Du schließlich alle Rätsel lösen kannst.
Zahlenlehre Algebra – Definition und Bedeutung
Der Begriff der Zahlenlehre kann so definiert werden:
Die Zahlenlehre ist ein Überbegriff für die Inhalte, die um die Zahlen als mathematische Zeichen und deren Grundlagen handeln.
Zahlen und Ziffern sind Grundlage aller weiteren mathematischen Themengebiete. Deshalb ist die Zahlenlehre als Grundvoraussetzung von besonderer Bedeutung.
Elemente der Zahlenlehre
Zur Zahlenlehre werden die folgenden Themen gezählt:
- Zahlen
- Zahlenstrahl und Zahlengerade
- Zahlen ordnen
- Betrag und Gegenzahl
- Römische Zahlen
- Ordinalzahlen und Kardinalzahlen
- Stellenwertsystem
- Vielfaches
- Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
- Divisor
- Teilbarkeitsregeln
- Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
- Quersumme
- Primfaktorzerlegung
- Summenzeichen
Diese Gebiete werden in den nächsten Abschnitten ein wenig näher erklärt und in den jeweiligen Erklärungen ausführlich behandelt.
Zahlenlehre Grundlagen
Grundlage der Zahlenlehre sind natürlich die Zahlen selbst.
Ziffern, Zahlen, Zahlengerade
Ziffern und Zahlen werden folgendermaßen unterschieden:
Eine Ziffer ist ein einzelnes Symbol, das für einen bestimmten Wert steht.
Eine Zahl dagegen kann aus mehreren Ziffern bestehen.
Die Zahl \(123\) hat also zum Beispiel drei Ziffern.
\[ \definecolor{blau}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{türkies}{RGB}{0, 220, 180}\color{blau}{\Huge{\overbrace{1\;{\color{türkies}\underbrace2_{\text{Ziffer}}}\;3}^{\text{Zahl}}}}\]
Zahlen können anhand ihres Wertes an einem Zahlenstrahl oder einer Zahlengeraden dargestellt werden.
Diese helfen auch dabei, Zahlen der Größe nach zu ordnen:
- Größere Zahlen liegen weiter rechts auf der Zahlengeraden und können mithilfe eines \(>\)-Zeichens angegeben werden.
- Kleinere Zahlen liegen dementsprechend weiter auf der linken Seite und werden durch das \(<\)-Symbol angezeigt.
Abb. 2 - Zahlen an Zahlengerade.
Um mehr Informationen zu diesem Thema zu erhalten, sieh Dir die Erklärungen Zahlen und Ziffern, Zahlenstrahl, Zahlengerade und Zahlen ordnen genauer an.
Betrag und Gegenzahl
Eine Gegenzahl ist auf der Zahlengeraden genauso weit von der Zahl 0 entfernt wie ihre zugehörige Zahl.
Abb. 3 - Gegenzahlen.
Der Betrag \(|a|\) einer Zahl a ist der Abstand der Zahl a zum Nullpunkt einer Zahlengeraden.
Abb. 4 - Betrag.
Jetzt weißt Du was Gegenzahl und Betrag überhaupt sind. Näheres zur Schreibweise, zur Berechnung und einige Übungen findest Du in der Erklärung Betrag und Gegenzahl.
Ordinalzahlen und Kardinalzahlen
Beim Sportwettkampf sind insgesamt \(15\) Sportler am Start. Du kommst als \(3.\) ins Ziel und sicherst Dir damit eine Medaille.
Die Zahl (\(15\)) ist dabei eine Kardinalzahl, die die Anzahl der Elemente (beziehungsweise hier der Sportler) beschreibt.
Die Ordinalzahl (\(3.\)) legt die Position eines Elementes (beziehungsweise hier Deine Platzierung) fest.
Stellenwertsystem
Ein Stellenwertsystem ordnet jeder Stelle (zum Beispiel Zehnerstelle, Einerstelle, Zehntelstelle und so weiter) einer Zahl einen bestimmten Wert zu.
\[{\color{#1478c8}6} {\color{#00dcb4}4} {\color{#fa3273}1} , \color{#8363e2}7\]
Diese Zahl wird in unserem Stellenwertsystem, dem Dezimalsystem, nach ihren jeweiligen Stellen folgendermaßen bewertet:
\begin{align}&{\color{#1478c8}6\cdot 100} + {\color{#00dcb4}4 \cdot 10} + {\color{#fa3273}1\cdot 1} + {\color{#8363e2}7\ \cdot \frac{1}{10}} \\ &= {\color{#1478c8}600} + {\color{#00dcb4}40} + {\color{#fa3273}1}+ \color{#8363e2}\frac{7}{10} \\ &={\color{#1478c8}6} {\color{#00dcb4}4} {\color{#fa3273}1} , \color{#8363e2}7\end{align}
Es gibt allerdings auch Zahlensysteme, die keine Stellenwertsysteme sind, wie zum Beispiel die römischen Zahlen.
Wenn Dir Zahlensysteme und Stellenwertsysteme noch neu sind, kannst Du in den Erklärungen Stellenwertsystem und Römische Zahlen mehr darüber erfahren.
Vielfache und Teiler
Das Vielfache einer Zahl ergibt sich, wenn diese zweifach, dreifach, vierfach und so weiter genommen wird.
Ein Teiler ist ein ganzzahliger Divisor einer Zahl. Um diesen zu finden, helfen Dir die sogenannten Teilbarkeitsregeln.
Abb. 5 - Vielfaches und Teiler.
In der Mathematik benötigst Du oft das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) oder den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier oder mehr Zahlen. Diese können mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmt werden.
Nähere Informationen gibts in den Erklärungen Vielfaches, Divisor, Teilbarkeitsregeln, Primfaktorzerlegung, kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler.
Quersumme
Arbeitest Du Dich jetzt einmal quer durch eine Zahl und summierst dabei alle Ziffern miteinander, so handelt es sich um die Quersumme.
\begin{align} {\color{#1478c8}3} {\color{#00dcb4}6} {\color{#fa3273}5} \xrightarrow{\text{ Quers}\text{umme }} {\color{#1478c8}3}+{\color{#00dcb4}6}+{\color{#fa3273}5}=14 \end{align}
Die Erklärung Quersumme behandelt alles weitere Wichtige dazu.
Summenzeichen
Eine Summe kann mithilfe des Summenzeichens verkürzt aufgeschrieben werden.
Dieses wird folgendermaßen geschrieben:
Abb. 6 - Summenzeichen.
Die Erklärung Summenzeichen gibt einen guten Überblick.
Zahlentheorie
- Zum Ersten ist die Zahlentheorie ein (veraltetes) Synonym zur Zahlenlehre.
- Zum Anderen wird der Begriff der Elementaren Zahlentheorie oft als Überbegriff für schwierige mathematische Probleme rund um Zahlen gesehen. Das ist dann aber kein Schul-Stoff mehr.
Zahlenlehre – Beispiele und Aufgaben
Probiere nun einmal selbst, eine Aufgabe zur Lehre der Zahlen zu lösen.
Aufgabe 1
Es ist die Zahl \(379\) gegeben.
- Aus welchen Ziffern besteht die Zahl?
- Wie lautet ihre Gegenzahl?
- Gib ein Vielfaches der Zahl an.
- Berechne die Quersumme.
Lösung
- Die Zahl \(\color{#1478c8}3 \color{#00dcb4}7 \color{#fa3273}9\) besteht aus den Ziffern \(\color{#1478c8}3\), \(\color{#00dcb4}7\) und \(\color{#fa3273}9\).
- Die Gegenzahl hat den gleichen Abstand zum Nullpunkt der Zahlengerade und liegt daher bei \(-379\).
- Um ein Vielfaches einer Zahl zu erhalten, musst Du sie zweifach, dreifach o.ä. nehmen. Das Zweifache von \(379\) und damit ein Vielfaches dieser Zahl ist beispielsweise: \[758\]
- Zur Berechnung der Quersumme müssen alle Ziffern der Zahl addiert werden.\[{\color{#1478c8}3} + {\color{#00dcb4}7} + {\color{#fa3273}9} =19\]
Zahlenlehre – Das Wichtigste
- Zahlenlehre – Definition: Die Zahlenlehre ist ein Überbegriff für die Inhalte, die sich um die Zahlen als mathematische Zeichen und deren Grundlagen drehen.
- Elemente der Zahlenlehre sind diese Themen:
- Grundlage der Zahlenlehre sind die Zahlen an sich.
- Weitere Beispiele und Aufgaben zu den einzelnen Themengebieten findest Du in den jeweiligen Erklärungen.
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