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Mengenlehre

Mengenlehre

\(\definecolor{sch}{RGB}{0, 0, 0} \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200}\)

Im Musikraum einer Schule befinden sich eine Gitarre, eine Trommel, ein Keyboard, ein großer Tisch und mehrere Stühle. Außerdem kannst Du dort Notenblätter, eine Triangel und ein Regal finden. Für ein Konzert soll die Menge aller dafür benötigten Objekte aus dem Raum in die Aula geholt werden.

Diese Menge umfasst dabei alle Musikinstrumente. Eine Menge kann aber auch andere Objekte umfassen. Welche das sind und was Du alles wissen solltest, wenn es um die Mengenlehre geht, erfährst Du in dieser Erklärung. Dabei lernst Du unter anderem etwas über die Mächtigkeit von Mengen, die Zeichen der Mengenlehre und die Vereinigungs- und Schnittmenge.

Mengenlehre – einfach erklärt

Die sogenannte „Mengenlehre“ ist eine wichtige Grundlage in der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der Untersuchung von Mengen.

Mengenlehre Definition

Zuerst solltest Du erfahren, was eine Menge überhaupt ist und welche Objekte sie besitzen kann.

Eine Menge \(M\) ist die Zusammenfassung von Objekten, beispielsweise von verschiedenen Zahlen. Die Menge muss dabei nicht zwingend aus mathematischen Objekten bestehen.

Die Objekte heißen dann Elemente der Menge \(M\).

Mengen können sowohl endlich als auch unendlich sein, also entweder eine bestimmte Anzahl an Elementen enthalten oder auch unendlich viele.

Es gibt auch eine Menge, die kein Element enthält. Dies ist die leere Menge \(\emptyset\).

Mengenlehre Zeichen und Schreibweise

Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet, z. B. \(A\), \(B\), \(M\) und andere. Elemente der Menge werden überwiegend einzeln als Teil der Menge aufgezählt.

Die Elemente einer Menge \(M\) werden hinter dem Gleichzeichen in geschweiften Klammern aufgezählt. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle: \[M=\{\text{Element 1, Element 2, Element 3, ...}\}\]

Du kannst eine Menge auch beschreiben, indem Du in einer geschweiften Klammer die Eigenschaften der Elemente der Menge angibst: \[M=\{x\,|\, \text{Eigenschaften von x}\}\]

Befindet sich ein Element in einer Menge, so wird dies mit dem Zeichen \(\in\) beschrieben.

Wie das aussehen kann, siehst Du in folgenden Beispielen.

Die Menge \(A\) umfasst die Elemente 1, 2, 3 und 4. Eine ihrer Schreibweisen ist dann: \[A=\{1,\,2,\,3,\,4\}\]

Dann ist die 1 ein Element der Menge \(A\), also gilt \[1\in A.\]

Alle Musikinstrumente aus dem Musikraum gehören ebenfalls einer Menge an.

Die Menge der Musikinstrumente kann ausgedrückt werden als \[M=\{\text{Gitarre},\,\text{Trommel},\,\text{Keyboard},\,\text{Triangel}\}.\] Ebenso kann die Menge beschrieben werden durch alle Elemente \(x\) aus dem Musikraum, die ein Musikinstrument sind: \[M=\{x\in \text{Musikraum} \,|\,x\text{ ist Musikinstrument}\}\]

Mengenlehre – Mächtigkeit von Mengen

Die Mächtigkeit einer Menge beschreibt ihre Größe, also die Anzahl ihrer Elemente.

Die Mächtigkeit einer Menge \(M\) entspricht bei endlichen Mengen der Anzahl der Elemente der Menge \(M\) und wird symbolisch folgendermaßen dargestellt: \[|M|\]

Bei vielen Mengen kannst Du also ihre Mächtigkeit angeben, indem Du ihre Elemente zählst.

Wie sieht also die Mächtigkeit der Menge aller Musikinstrumente aus dem Musikraum aus?

Die Menge der Musikinstrumente \[M=\{\text{Gitarre},\,\text{Trommel},\,\text{Keyboard},\,\text{Triangel}\}\] umfasst genau vier Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit vier ist. Geschrieben wird das dann so: \[|M|=4\]

Mehr über die Mächtigkeit einer Menge erfährst Du in der Erklärung Mächtigkeit von Mengen.

Mengenlehre – Teilmenge

Eine Teilmenge ist, wie ihr Name schon sagt, ein Teil einer Menge \(M\).

Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge der Menge \(M\), wenn jedes Element der Menge \(A\) auch in der Menge \(M\) liegt. \(M\) ist dann die sogenannte Obermenge von \(A\). Geschrieben wird dies als \[A \subset M.\]

Die Musikinstrumente können ebenfalls in Teilmengen aufgeteilt werden.

Eine Teilmenge \(A\) der Menge \(M\) ist zum Beispiel \[A=\{\text{Gitarre},\,\text{Keyboard}\}.\]

Mengenlehre – Zahlenmengen

Gerade in der Mathematik ist es oft so, dass Mengen aus Zahlen bestehen. Diese werden Zahlenmengen genannt.

Eine Zahlenmenge ist eine Menge, deren Elemente ausschließlich Zahlen sind. Die Zahlen, die in einer Zahlenmenge enthalten sind, erfüllen je nach Zahlenmenge bestimmte Eigenschaften.

Dabei gibt es einige wichtige Zahlenmengen, die in der Mathematik eine grundlegende Rolle spielen:

  • Natürliche Zahlen \(\mathbb{N}\)

  • Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\)

  • Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\)

  • Reelle Zahlen \(\mathbb{R}\)

Alles Wichtige zu diesen besonderen Mengen erfährst Du in der Erklärung Zahlenmengen.

Mengenlehre – Intervalle

Intervalle sind ebenfalls bestimmte Mengen aus Zahlen.

Ein Intervall \(I\) entspricht einer bestimmten Teilmenge von reellen Zahlen. Die Teilmenge wird dabei von Grenzwerten beschränkt.

Du kannst Dir ein Intervall vorstellen, wie einen bestimmten Bereich auf einer Zahlengeraden.

Ein Intervall ist zum Beispiel \( I=[-1,4]\).

Es umfasst alle reellen Zahlen von -1 bis 4. Diese zwei Zahlen bilden also die Grenzen des Intervalls. Hier siehst Du das Intervall auf der Zahlengerade:

Mengenlehre Intervall StudySmarterAbb. 1 – Intervall auf der Zahlengeraden

Alles Weitere zu Intervallen, wie zum Beispiel ihre Schreibweise, findest Du in der Erklärung Intervalle.

Mengenlehre – Mengenverknüpfungen

Zwei oder mehrere Mengen können untereinander verknüpft werden. Dabei gibt es verschiedene Arten von Verknüpfungen.

Mengenlehre Schnittmenge

Gegeben sind zwei Mengen \(A\) und \(B\). Ihre Schnittmenge wird dann wie folgt definiert.

Die Schnittmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\), auch Durchschnitt genannt, beinhaltet die Elemente, welche sowohl in der Menge \(A\) als auch in der Menge \(B\) liegen. Diese Menge wird geschrieben als \[A \cap B.\]

Es gilt immer \(A \cap B=B\cap A.\)

Du schaust Dir also beide Mengen an und markierst die Elemente, die in beiden Mengen vorhanden sind. Diese bilden die Schnittmenge.

Gegeben sind die Mengen \(A=\{1,\,{\color{r}2},\,{\color{r}3}\}\) und \(B=\{{\color{r}2},\,{\color{r}3},\,4\}\).

Mengenlehre Schnittmenge StudySmarterAbbildung 2: Schnittmenge der Mengen \(A\) und \(B\)

Beide Mengen enthalten die Elemente 2 und 3, weshalb ihre Schnittmenge folgende ist: \[A \cap B=\{{\color{r}2},\,{\color{r}3}\}.\]

Mengenlehre Vereinigung

Die Vereinigung dagegen verbindet zwei Mengen zu einer.

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Menge, welche alle Elemente aus \(A\) oder alle Elemente aus \(B\) enthält. Die Vereinigung der Mengen \(A\) und \(B\) wird geschrieben als \[A \cup B.\]

Es gilt immer \(A \cup B=B\cup A.\)

Vereinigst Du die Mengen aus dem vorigen Beispiel, sieht es so aus:

Gegeben sind die Mengen \(A=\{{\color{gr}1},\,{\color{gr}2},\,{\color{gr}3}\}\) und \(B=\{{\color{bl}2},\,{\color{bl}3},\,{\color{bl}4}\}\).

Mengenlehre Vereinigung StudySmarterAbbildung 3: Vereinigung der Mengen \(A\) und \(B\)

Vereinigst Du die Mengen \(A\) und \(B\), so fasst Du alle ihre Elemente in einer Menge zusammen. Elemente, die mehrfach auftauchen, schreibst Du nur einmal in die Menge. Die Vereinigungsmenge lautet dann \[A \cup B=\{{\color{gr}1},\,{\color{r}2},\,{\color{r}3},\,{\color{bl}4}\}.\]

Mengenlehre Differenz

Die Differenzmenge beschreibt alle Elemente, die die beiden Mengen nicht gemeinsam haben.

Die Differenzmenge \[A \setminus B\] enthält die Elemente, die in \(A\), aber nicht in \(B\) enthalten sind.

Andersherum ist es auch möglich: Die Menge \[B \setminus A\] beschreibt alle Elemente, die in \(B\), aber nicht in \(A\) liegen.

Für die Differenzmengen der Mengen \(A\) und \(B\) betrachtest Du also die Elemente, die in \(A\), aber nicht in \(B\) liegen und umgekehrt.

Sieh Dir gerne auch hier wieder das Beispiel an:

Auch hier sind wieder die Mengen \(A=\{{\color{gr}1},\,{\color{r}2},\,{\color{r}3}\}\) und \(B=\{{\color{r}2},\,{\color{r}3},\,{\color{bl}4}\}\) gegeben.

Mengenlehre Differenz StudySmarterAbbildung 4: Differenz der Mengen A und B

Dann ist \[A \setminus B=\{{\color{gr}1}\}\] und \[B \setminus A=\{{\color{bl}4}\}.\]

Alles Weitere zu den verschiedenen Verknüpfungen von Mengen findest Du in der Erklärung Mengenverknüpfungen.

Mengenlehre – Axiome und naive Mengenlehre

Auch in der Mengenlehre, so wie überall in der Mathematik, herrschen bestimmte Regeln für das Bilden von Mengen. Dies war aber nicht immer so.

Der Begriff der naiven Mengenlehre entstand am Anfang des 20. Jahrhunderts für die Mengenlehre des 19. Jahrhunderts. Er beschreibt eine ungeregelte oder unbeschränkte Mengenbildung, also ein Bilden von Mengen ohne bestimmte Regeln und mit vielen Widersprüchen in sich. Um diese Widersprüche aufzulösen, wurde sie durch die axiomatische Mengenlehre abgelöst.

In der Mathematik gibt es heutzutage also folgende Regeln, sogenannte „Axiome“, die grundlegend für die Mengenlehre sind:

  1. Für jedes Element x und jede Menge A gilt entweder \[x \in A\] oder \[x \notin A.\]
  2. Es gibt mindestens eine Menge.
  3. Zu jedem Element \(x\) gibt es mindestens eine Menge mit \(x \in A\).

Mengenlehre – Formeln

Zusammengefasst findest Du hier eine Tabelle mit den wichtigsten Formeln und Bezeichnungen der Mengenlehre.

Zeichen oder FormelBedeutung
\(a \in A\)Das Element \(a\) liegt in der Menge \(A\)
\(|A|\)Mächtigkeit der Menge \(A\)
\(A \subset M\)\(A\) ist eine Teilmenge von \(M\)
\([a,b]\)Intervall mit den Grenzen \(a\) und \(b\)
\(A \cap B=B\cap A\)Schnittmenge von \(A\) und \(B\)
\(A \cup B=B\cup A\)Vereinigungsmenge von \(A\) und \(B\)
\(A \setminus B\)Differenzmenge: \(A\) ohne \(B\)

Mengenlehre – Aufgaben

So, nun hast Du schon ein wenig über Mengen im Allgemeinen erfahren können! Damit Du testen kannst, was Du bereits weißt, findest Du hier ein paar Aufgaben zur Mengenlehre.

Aufgabe 1

Gegeben sind diese Mengen:

  • \(A=\{a,\,b,\,c\}\)
  • \(B=\{a,\,b,\,c,\,d\}\)
  • \(C=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}\)

Beurteile, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a) \(A \cap B=A\)

b) \(A \cup C=\{a,\,b,\,c,\,d,\,1,\,2,\,3,\,4\}\)

c) \(B \setminus A=\{d\}\)

Lösung

a) Die Aussage ist wahr, denn \(A\) ist eine Teilmenge von \(B\). Somit sind alle Elemente in \(A\) auch in \(B\) enthalten und die Schnittmenge ist genau \(A\).

b) Die Aussage ist falsch. Die Vereinigungsmenge von \(A\) und \(C\) enthält nicht das Element d, dafür aber das Element 5. Sie lautet also: \[A \cup C=\{a,\,b,\,c,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\}.\]

c) Die Aussage ist wahr, denn die Differenzmenge \(B\setminus A\) enthält alle Elemente aus \(B\) abzüglich der Elemente aus \(A\). Übrig bleibt also nur das \(d\).

Aufgabe 2

Bilde alle möglichen Teilmengen der Menge \(A=\{2,\,18,\,191\}\).

Lösung

Möglich sind folgende Teilmengen:

\(\{2,\,18\}, \{2,\,191\},\{18,\,191\}, \{2\}, \{18\}, \{191\}\)

Aufgabe 3

Bestimme jeweils die Mächtigkeit der folgenden Mengen.

a) \(A=\{0,\,1,\,2,\,3,\,...,\,99\}\)

b) \(B=\{a,\,d,\,x,\,y,\,z\}\)

c) \(C=\{x\in \mathbb{R}|x \text{ ist durch 3 teilbar}\}\)

Lösung

a) Diese Menge enthält alle ganzen Zahlen von 0 bis 99. Das sind genau 100 Zahlen. Es gilt also \[|A|=100.\]

b) Die Menge \(B\) enthält genau fünf Buchstaben, ihre Mächtigkeit ist also \[|B|=5.\]

c) Da es in den reellen Zahlen unendlich Vielfache der 3 gibt, gibt es auch unendlich viele Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Die Mächtigkeit der Menge \(C\) ist also unendlich: \[|C|=\infty\]

Mengenlehre – Das Wichtigste

  • Eine Menge M ist die Zusammenfassung von Objekten. Die Objekte heißen dann Elemente der Menge M.
  • Die Elemente einer Menge \(M\) werden hinter dem Gleichzeichen in geschweiften Klammern aufgezählt. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. Du kannst eine Menge auch beschreiben, indem Du in einer geschweiften Klammer die Eigenschaften der Elemente der Menge angibst.
  • Befindet sich ein Element in einer Menge, so wird dies mit dem Zeichen \(\in\) beschrieben.
  • Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge der Menge \(B\) \(A \subset B.\)) , wenn jedes Element der Menge \(A\) auch in der Menge \(B\) liegt. \(B\) ist dann die sogenannte Obermenge von \(A\).
  • Eine Zahlenmenge ist eine Menge, deren Elemente ausschließlich Zahlen sind, z. B. die natürlichen Zahlen.
  • Es gibt unterschiedliche Mengenverknüpfungen:
    • Die Schnittmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) (symbolisch: \(A \cap B\)) beinhaltet die Elemente, welche sowohl in der Menge \(A\) als auch in der Menge \(B\) liegen.
    • Die Vereinigungsmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) (symbolisch: \(A \cup B\)) ist die Menge, welche alle Elemente aus \(A\) oder alle Elemente aus \(B\) enthält.
    • Die Differenzmenge \(A \setminus B\) enthält die Elemente, die in \(A\), aber nicht in \(B\) enthalten sind und umgekehrt.

Nachweise

  1. Hausdorff (1978). Grundzüge der Mengenlehre. American Mathematical Soc.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mengenlehre

Die Mengenlehre beschäftigt sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen verschiedener Objekte. Sie bildet eine Grundlage des Teilgebiets der Algebra in der Mathematik.

Die Mengenlehre ist ein Grundbaustein der heutigen Mathematik. Sie baut auf den Axiomen, also den Regeln der Mengenlehre auf.

Die Mengenlehre beschreibt das grundlegende Wissen über Mengen und ihre Zusammenhänge. Dabei ist eine Menge eine Zusammenfassung von (mathematischen) Objekten.

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten, z. B. Zahlen. Die Objekte können aber auch Gegenstände, Menschen oder anderes sein. 

Finales Mengenlehre Quiz

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


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Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

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Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

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Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

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Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

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Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

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Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

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Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

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Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

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Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

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Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

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Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

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Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

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Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.

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Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


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Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

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Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

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Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

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Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

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Antwort

XI = 10 + 1 = 11

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Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

Antwort anzeigen

Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

Antwort anzeigen

Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

Antwort anzeigen

Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

Antwort anzeigen

Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

Frage anzeigen

Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

145 + 223 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    1  4 5

                    2 2 3

                    ____

                    3 6 8

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1.379 + 789 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                  1 3 7 9

                    7 8 9

                    ____

                   2 1 6 8

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

79 + 82

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    7 9

                    8 2

                    ____

                   1 6 1

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

974 + 737

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    9 7 4

                    7 3 7

                    ____

                    1 7 1 1

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

34 + 92

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     3 4

                     9 2

                    ____

                    1 2 6

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

17 + 46

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     1  7

                     4 6

                    ____

                     6 3

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

189 + 17 + 34

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1 8 9  

                      1 7

                      3 4

                    ____

                    2 4 0

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

16 + 12 + 27

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     1 6  

                     1  2

                     2 7

                    ____

                      5 5 

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1. 890 + 4.245

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1  8 9 0  

                   4 2 4 5

                  ________

                    6 1 3 5

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1.679 + 5.123

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1  6 7 9  

                   5 1  2 3

                  ________

                    6 8 0 2

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Aussagen korrekt sind. 

Antwort anzeigen

Antwort

\(-2 \in \mathbb{N}\)

Frage anzeigen

Frage

Nenne eine Zahlenmenge, die einen Imaginäranteil besitzt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge \(\mathbb{C}\) der komplexen Zahlen. 

Frage anzeigen

Frage

Definiere die Menge der natürlichen Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mathbb{N}=\{1;\,2;\,3;\,...\}\)

Frage anzeigen

Frage

Definiere die Menge der natürlichen Zahlen mit Null.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mathbb{N}_0=\{0;\,1;\,2;\,3;\,...\}\)

Frage anzeigen

Frage

Definiere die Menge der ganzen Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mathbb{Z}=\{...;\,-3;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,...\}\)


Frage anzeigen

Frage

Definiere die Menge der rationalen Zahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mathbb{Q}=\{x|x=\dfrac{m}{n}\,(\text{mit}\,m\in \mathbb{Z},\,n \in \mathbb{N})\}\)

Frage anzeigen

Frage

Definiere die Menge der komplexen Zahlen. 

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mathbb{C}=\{z|z=a+bi\,(\text{mit}\,a,b \in \mathbb{R})\}\)

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