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Mengenlehre

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Mengenlehre

Im Kapitel Mengenlehre wirst du verschiedene Zahlenmengen kennenlernen und Mengenverknüpfungen sowie Mengenbeziehungen verstehen.

Das Kapitel Mengenlehre gehört in das Fach Mathematik und dort in den Bereich Algebra.

Was kannst du dir unter Mengenlehre vorstellen?

Eine Menge M ist die Zusammenfassung von mathematischen Objekten, beispielsweise von verschiedenen Zahlen. Man kann zum Beispiel eine Menge aus den Zahlen 1 bis 5 definieren:

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, das nicht ganz einfach zu greifen ist. Deshalb beschäftigt man sich in der Schule eher mit der Mengenalgebra.

In der Mengenalgebra geht es zum Beispiel darum, mehrere Mengen zu vereinen, also zusammenzufassen, oder die Schnittmenge zu bilden.

Gegeben seien die beiden Mengen M und N:

In der Vereinigung sind nun alle Zahlen, die entweder in M vorkommen, oder in N, oder aber auch in beiden Mengen. Richtig aufschreiben kann man das dann so:

Im Schnitt sind nur diejenigen Zahlen, die in beiden Mengen erhalten sind.:

Damit du dir das auch bildlich vorstellen kannst, gibt es hier noch eine Abbildung der Mengen M und N.

Die Vereinigung ist die gesamte Fläche, die Dunkelblau oder Hellblau oder mit beiden Farben markiert ist. Der Schnitt ist nur die Fläche, in der sich die beiden Ellipsen überschneiden, hier also die dunkelblaue Menge.

Diese Themen findest du im Kapitel Mengenlehre

Zahlenmengen

Im Kapitel Zahlenmengen findest du Erklärungen zu den folgenden Mengen:

Weitere Themen

Neben den Zahlenmengen gibt es in diesem Kapitel einen Artikel über die Grundlagen der Mengenlehre, über die Mengenverknüpfungen und die Beziehungen, in der verschiedene Mengen zueinander stehen können sowie über Intervalle.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mengenlehre

Eine rationale Zahl entsteht, wenn man eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl teilt. Rationale Zahlen kann man also als Brüche darstellen. 

Eine Mengenoperation verknüpft mehrere Mengen zu einer neuen Menge. Die wichtigsten Operationen sind die Vereinigung und der Schnitt.

Finales Mengenlehre Quiz

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


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Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

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Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

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Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

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Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

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Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

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Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

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Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

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Frage

Wann entstehen Brüche? 

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Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Was hat jede Zahl?

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Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

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Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

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Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

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Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

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Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

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Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

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Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

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Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

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Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

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Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

Frage anzeigen

Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
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Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

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Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

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Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

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Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

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Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

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Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

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Frage

Was sind Primzahlen? 

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Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

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Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

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Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.
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Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

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Antwort

XI = 10 + 1 = 11

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Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

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Antwort

IX = 10 - 1 = 9

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Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

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Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

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Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

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Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

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Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

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Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

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Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

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Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

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Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

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Frage

Addiere folgende Zahlen:

145 + 223 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    1  4 5

                    2 2 3

                    ____

                    3 6 8

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1.379 + 789 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                  1 3 7 9

                    7 8 9

                    ____

                   2 1 6 8

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

79 + 82

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    7 9

                    8 2

                    ____

                   1 6 1

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

974 + 737

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    9 7 4

                    7 3 7

                    ____

                    1 7 1 1

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

34 + 92

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     3 4

                     9 2

                    ____

                    1 2 6

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

17 + 46

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     1  7

                     4 6

                    ____

                     6 3

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

189 + 17 + 34

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1 8 9  

                      1 7

                      3 4

                    ____

                    2 4 0

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

16 + 12 + 27

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     1 6  

                     1  2

                     2 7

                    ____

                      5 5 

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1. 890 + 4.245

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1  8 9 0  

                   4 2 4 5

                  ________

                    6 1 3 5

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1.679 + 5.123

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1  6 7 9  

                   5 1  2 3

                  ________

                    6 8 0 2

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Zahlenmenge? 

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahlenmenge ist eine Menge in der Mathematik, deren Elemente Zahlen sind. Die Zahlen, die in einer Zahlenmenge enthalten sind, erfüllen je nach Zahlenmenge bestimmte Eigenschaften.

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Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

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Antwort

Jede ganze Zahl ist auch eine reelle Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Primzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selber und durch 1 teilbar ist. Sie hat also exakt zwei Teiler.

Frage anzeigen

Frage

Welche der beiden Zahlen hat einen größeren Betrag? 

Antwort anzeigen

Antwort

-6

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden ganzen Zahlen ist die größte?

Antwort anzeigen

Antwort

4

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.

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Frage

Was ist eine mathematische Menge?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Menge M ist die Zusammenfassung von mathematischen Objekten, beispielsweise von verschiedenen Zahlen.

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