\(\definecolor{sch}{RGB}{0, 0, 0} \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200}\)
Im Musikraum einer Schule befinden sich eine Gitarre, eine Trommel, ein Keyboard, ein großer Tisch und mehrere Stühle. Außerdem kannst Du dort Notenblätter, eine Triangel und ein Regal finden. Für ein Konzert soll die Menge aller dafür benötigten Objekte aus dem Raum in die Aula geholt werden.
Diese Menge umfasst dabei alle Musikinstrumente. Eine Menge kann aber auch andere Objekte umfassen. Welche das sind und was Du alles wissen solltest, wenn es um die Mengenlehre geht, erfährst Du in dieser Erklärung. Dabei lernst Du unter anderem etwas über die Mächtigkeit von Mengen, die Zeichen der Mengenlehre und die Vereinigungs- und Schnittmenge.
Mengenlehre – einfach erklärt
Die sogenannte „Mengenlehre“ ist eine wichtige Grundlage in der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der Untersuchung von Mengen.
Mengenlehre Definition
Zuerst solltest Du erfahren, was eine Menge überhaupt ist und welche Objekte sie besitzen kann.
Eine Menge \(M\) ist die Zusammenfassung von Objekten, beispielsweise von verschiedenen Zahlen. Die Menge muss dabei nicht zwingend aus mathematischen Objekten bestehen.
Die Objekte heißen dann Elemente der Menge \(M\).
Mengen können sowohl endlich als auch unendlich sein, also entweder eine bestimmte Anzahl an Elementen enthalten oder auch unendlich viele.
Es gibt auch eine Menge, die kein Element enthält. Dies ist die leere Menge \(\emptyset\).
Mengenlehre Zeichen und Schreibweise
Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet, z. B. \(A\), \(B\), \(M\) und andere. Elemente der Menge werden überwiegend einzeln als Teil der Menge aufgezählt.
Die Elemente einer Menge \(M\) werden hinter dem Gleichzeichen in geschweiften Klammern aufgezählt. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle: \[M=\{\text{Element 1, Element 2, Element 3, ...}\}\]
Du kannst eine Menge auch beschreiben, indem Du in einer geschweiften Klammer die Eigenschaften der Elemente der Menge angibst: \[M=\{x\,|\, \text{Eigenschaften von x}\}\]
Befindet sich ein Element in einer Menge, so wird dies mit dem Zeichen \(\in\) beschrieben.
Wie das aussehen kann, siehst Du in folgenden Beispielen.
Die Menge \(A\) umfasst die Elemente 1, 2, 3 und 4. Eine ihrer Schreibweisen ist dann: \[A=\{1,\,2,\,3,\,4\}\]
Dann ist die 1 ein Element der Menge \(A\), also gilt \[1\in A.\]
Alle Musikinstrumente aus dem Musikraum gehören ebenfalls einer Menge an.
Die Menge der Musikinstrumente kann ausgedrückt werden als \[M=\{\text{Gitarre},\,\text{Trommel},\,\text{Keyboard},\,\text{Triangel}\}.\] Ebenso kann die Menge beschrieben werden durch alle Elemente \(x\) aus dem Musikraum, die ein Musikinstrument sind: \[M=\{x\in \text{Musikraum} \,|\,x\text{ ist Musikinstrument}\}\]
Mengenlehre – Mächtigkeit von Mengen
Die Mächtigkeit einer Menge beschreibt ihre Größe, also die Anzahl ihrer Elemente.
Die Mächtigkeit einer Menge \(M\) entspricht bei endlichen Mengen der Anzahl der Elemente der Menge \(M\) und wird symbolisch folgendermaßen dargestellt: \[|M|\]
Bei vielen Mengen kannst Du also ihre Mächtigkeit angeben, indem Du ihre Elemente zählst.
Wie sieht also die Mächtigkeit der Menge aller Musikinstrumente aus dem Musikraum aus?
Die Menge der Musikinstrumente \[M=\{\text{Gitarre},\,\text{Trommel},\,\text{Keyboard},\,\text{Triangel}\}\] umfasst genau vier Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit vier ist. Geschrieben wird das dann so: \[|M|=4\]
Mengenlehre – Teilmenge
Eine Teilmenge ist, wie ihr Name schon sagt, ein Teil einer Menge \(M\).
Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge der Menge \(M\), wenn jedes Element der Menge \(A\) auch in der Menge \(M\) liegt. \(M\) ist dann die sogenannte Obermenge von \(A\). Geschrieben wird dies als \[A \subset M.\]
Die Musikinstrumente können ebenfalls in Teilmengen aufgeteilt werden.
Eine Teilmenge \(A\) der Menge \(M\) ist zum Beispiel \[A=\{\text{Gitarre},\,\text{Keyboard}\}.\]
Mengenlehre – Zahlenmengen
Gerade in der Mathematik ist es oft so, dass Mengen aus Zahlen bestehen. Diese werden Zahlenmengen genannt.
Eine Zahlenmenge ist eine Menge, deren Elemente ausschließlich Zahlen sind. Die Zahlen, die in einer Zahlenmenge enthalten sind, erfüllen je nach Zahlenmenge bestimmte Eigenschaften.
Dabei gibt es einige wichtige Zahlenmengen, die in der Mathematik eine grundlegende Rolle spielen:
Natürliche Zahlen \(\mathbb{N}\)
Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\)
Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\)
Reelle Zahlen \(\mathbb{R}\)
Alles Wichtige zu diesen besonderen Mengen erfährst Du in der Erklärung Zahlenmengen.
Mengenlehre – Intervalle
Intervalle sind ebenfalls bestimmte Mengen aus Zahlen.
Ein Intervall \(I\) entspricht einer bestimmten Teilmenge von reellen Zahlen. Die Teilmenge wird dabei von Grenzwerten beschränkt.
Du kannst Dir ein Intervall vorstellen, wie einen bestimmten Bereich auf einer Zahlengeraden.
Ein Intervall ist zum Beispiel \( I=[-1,4]\).
Es umfasst alle reellen Zahlen von -1 bis 4. Diese zwei Zahlen bilden also die Grenzen des Intervalls. Hier siehst Du das Intervall auf der Zahlengerade:
Abb. 1 – Intervall auf der Zahlengeraden
Alles Weitere zu Intervallen, wie zum Beispiel ihre Schreibweise, findest Du in der Erklärung Intervalle.
Mengenlehre – Mengenverknüpfungen
Zwei oder mehrere Mengen können untereinander verknüpft werden. Dabei gibt es verschiedene Arten von Verknüpfungen.
Mengenlehre Schnittmenge
Gegeben sind zwei Mengen \(A\) und \(B\). Ihre Schnittmenge wird dann wie folgt definiert.
Die Schnittmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\), auch Durchschnitt genannt, beinhaltet die Elemente, welche sowohl in der Menge \(A\) als auch in der Menge \(B\) liegen. Diese Menge wird geschrieben als \[A \cap B.\]
Es gilt immer \(A \cap B=B\cap A.\)
Du schaust Dir also beide Mengen an und markierst die Elemente, die in beiden Mengen vorhanden sind. Diese bilden die Schnittmenge.
Gegeben sind die Mengen \(A=\{1,\,{\color{r}2},\,{\color{r}3}\}\) und \(B=\{{\color{r}2},\,{\color{r}3},\,4\}\).
Abbildung 2: Schnittmenge der Mengen \(A\) und \(B\)
Beide Mengen enthalten die Elemente 2 und 3, weshalb ihre Schnittmenge folgende ist: \[A \cap B=\{{\color{r}2},\,{\color{r}3}\}.\]
Mengenlehre Vereinigung
Die Vereinigung dagegen verbindet zwei Mengen zu einer.
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Menge, welche alle Elemente aus \(A\) oder alle Elemente aus \(B\) enthält. Die Vereinigung der Mengen \(A\) und \(B\) wird geschrieben als \[A \cup B.\]
Es gilt immer \(A \cup B=B\cup A.\)
Vereinigst Du die Mengen aus dem vorigen Beispiel, sieht es so aus:
Gegeben sind die Mengen \(A=\{{\color{gr}1},\,{\color{gr}2},\,{\color{gr}3}\}\) und \(B=\{{\color{bl}2},\,{\color{bl}3},\,{\color{bl}4}\}\).
Abbildung 3: Vereinigung der Mengen \(A\) und \(B\)
Vereinigst Du die Mengen \(A\) und \(B\), so fasst Du alle ihre Elemente in einer Menge zusammen. Elemente, die mehrfach auftauchen, schreibst Du nur einmal in die Menge. Die Vereinigungsmenge lautet dann \[A \cup B=\{{\color{gr}1},\,{\color{r}2},\,{\color{r}3},\,{\color{bl}4}\}.\]
Mengenlehre Differenz
Die Differenzmenge beschreibt alle Elemente, die die beiden Mengen nicht gemeinsam haben.
Die Differenzmenge \[A \setminus B\] enthält die Elemente, die in \(A\), aber nicht in \(B\) enthalten sind.
Andersherum ist es auch möglich: Die Menge \[B \setminus A\] beschreibt alle Elemente, die in \(B\), aber nicht in \(A\) liegen.
Für die Differenzmengen der Mengen \(A\) und \(B\) betrachtest Du also die Elemente, die in \(A\), aber nicht in \(B\) liegen und umgekehrt.
Sieh Dir gerne auch hier wieder das Beispiel an:
Auch hier sind wieder die Mengen \(A=\{{\color{gr}1},\,{\color{r}2},\,{\color{r}3}\}\) und \(B=\{{\color{r}2},\,{\color{r}3},\,{\color{bl}4}\}\) gegeben.
Abbildung 4: Differenz der Mengen A und B
Dann ist \[A \setminus B=\{{\color{gr}1}\}\] und \[B \setminus A=\{{\color{bl}4}\}.\]
Alles Weitere zu den verschiedenen Verknüpfungen von Mengen findest Du in der Erklärung Mengenverknüpfungen.
Mengenlehre – Axiome und naive Mengenlehre
Auch in der Mengenlehre, so wie überall in der Mathematik, herrschen bestimmte Regeln für das Bilden von Mengen. Dies war aber nicht immer so.
Der Begriff der naiven Mengenlehre entstand am Anfang des 20. Jahrhunderts für die Mengenlehre des 19. Jahrhunderts. Er beschreibt eine ungeregelte oder unbeschränkte Mengenbildung, also ein Bilden von Mengen ohne bestimmte Regeln und mit vielen Widersprüchen in sich. Um diese Widersprüche aufzulösen, wurde sie durch die axiomatische Mengenlehre abgelöst.
In der Mathematik gibt es heutzutage also folgende Regeln, sogenannte „Axiome“, die grundlegend für die Mengenlehre sind:
- Für jedes Element x und jede Menge A gilt entweder \[x \in A\] oder \[x \notin A.\]
- Es gibt mindestens eine Menge.
- Zu jedem Element \(x\) gibt es mindestens eine Menge mit \(x \in A\).
Mengenlehre – Formeln
Zusammengefasst findest Du hier eine Tabelle mit den wichtigsten Formeln und Bezeichnungen der Mengenlehre.
| Zeichen oder Formel | Bedeutung |
| \(a \in A\) | Das Element \(a\) liegt in der Menge \(A\) |
| \(|A|\) | Mächtigkeit der Menge \(A\) |
| \(A \subset M\) | \(A\) ist eine Teilmenge von \(M\) |
| \([a,b]\) | Intervall mit den Grenzen \(a\) und \(b\) |
| \(A \cap B=B\cap A\) | Schnittmenge von \(A\) und \(B\) |
| \(A \cup B=B\cup A\) | Vereinigungsmenge von \(A\) und \(B\) |
| \(A \setminus B\) | Differenzmenge: \(A\) ohne \(B\) |
Mengenlehre – Aufgaben
So, nun hast Du schon ein wenig über Mengen im Allgemeinen erfahren können! Damit Du testen kannst, was Du bereits weißt, findest Du hier ein paar Aufgaben zur Mengenlehre.
Aufgabe 1
Gegeben sind diese Mengen:
- \(A=\{a,\,b,\,c\}\)
- \(B=\{a,\,b,\,c,\,d\}\)
- \(C=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}\)
Beurteile, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) \(A \cap B=A\)
b) \(A \cup C=\{a,\,b,\,c,\,d,\,1,\,2,\,3,\,4\}\)
c) \(B \setminus A=\{d\}\)
Lösung
a) Die Aussage ist wahr, denn \(A\) ist eine Teilmenge von \(B\). Somit sind alle Elemente in \(A\) auch in \(B\) enthalten und die Schnittmenge ist genau \(A\).
b) Die Aussage ist falsch. Die Vereinigungsmenge von \(A\) und \(C\) enthält nicht das Element d, dafür aber das Element 5. Sie lautet also: \[A \cup C=\{a,\,b,\,c,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\}.\]
c) Die Aussage ist wahr, denn die Differenzmenge \(B\setminus A\) enthält alle Elemente aus \(B\) abzüglich der Elemente aus \(A\). Übrig bleibt also nur das \(d\).
Aufgabe 2
Bilde alle möglichen Teilmengen der Menge \(A=\{2,\,18,\,191\}\).
Lösung
Möglich sind folgende Teilmengen:
\(\{2,\,18\}, \{2,\,191\},\{18,\,191\}, \{2\}, \{18\}, \{191\}\)
Aufgabe 3
Bestimme jeweils die Mächtigkeit der folgenden Mengen.
a) \(A=\{0,\,1,\,2,\,3,\,...,\,99\}\)
b) \(B=\{a,\,d,\,x,\,y,\,z\}\)
c) \(C=\{x\in \mathbb{R}|x \text{ ist durch 3 teilbar}\}\)
Lösung
a) Diese Menge enthält alle ganzen Zahlen von 0 bis 99. Das sind genau 100 Zahlen. Es gilt also \[|A|=100.\]
b) Die Menge \(B\) enthält genau fünf Buchstaben, ihre Mächtigkeit ist also \[|B|=5.\]
c) Da es in den reellen Zahlen unendlich Vielfache der 3 gibt, gibt es auch unendlich viele Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Die Mächtigkeit der Menge \(C\) ist also unendlich: \[|C|=\infty\]
Mengenlehre – Das Wichtigste
- Eine Menge M ist die Zusammenfassung von Objekten. Die Objekte heißen dann Elemente der Menge M.
- Die Elemente einer Menge \(M\) werden hinter dem Gleichzeichen in geschweiften Klammern aufgezählt. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. Du kannst eine Menge auch beschreiben, indem Du in einer geschweiften Klammer die Eigenschaften der Elemente der Menge angibst.
- Befindet sich ein Element in einer Menge, so wird dies mit dem Zeichen \(\in\) beschrieben.
- Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge der Menge \(B\) \(A \subset B.\)) , wenn jedes Element der Menge \(A\) auch in der Menge \(B\) liegt. \(B\) ist dann die sogenannte Obermenge von \(A\).
- Eine Zahlenmenge ist eine Menge, deren Elemente ausschließlich Zahlen sind, z. B. die natürlichen Zahlen.
- Es gibt unterschiedliche Mengenverknüpfungen:
- Die Schnittmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) (symbolisch: \(A \cap B\)) beinhaltet die Elemente, welche sowohl in der Menge \(A\) als auch in der Menge \(B\) liegen.
- Die Vereinigungsmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) (symbolisch: \(A \cup B\)) ist die Menge, welche alle Elemente aus \(A\) oder alle Elemente aus \(B\) enthält.
- Die Differenzmenge \(A \setminus B\) enthält die Elemente, die in \(A\), aber nicht in \(B\) enthalten sind und umgekehrt.
Nachweise
- Hausdorff (1978). Grundzüge der Mengenlehre. American Mathematical Soc.
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