In einem kleinen Dorf wohnen 800 Menschen. Im Laufe des Jahres werden in einem Neubaugebiet viele neue Häuser gebaut. Die Einwohnerzahl nimmt in diesem Jahr um 25 Prozent zu. Wie viele Einwohner*innen im Dorf gibt es zum Jahresende, wenn die Häuser bezogen sind?
Der Zuwachs an Einwohner*innen ist hier als prozentuale Veränderung angegeben. Um zu wissen, wie viele Einwohner*innen es am Jahresende gibt, berechnest Du den Endwert.
Prozentrechnung – Grundlagen
In der Prozentrechnung spielen drei grundlegende Begriffe eine wichtige Rolle: Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.
In einem Sack sind 20 Kugeln. 5 davon sind blau. Das sind 25 %.
In diesem Beispiel sind die 20 Kugeln der Grundwert. Die 5 blauen Kugeln sind der Prozentwert und die 25 % der Prozentsatz.
Der Grundwert beschreibt die Ausgangsmenge. Er entspricht stets 100 %. Der Prozentwert gibt Dir einen Teil des Ganzen an. Er ist eine absolute Anzahl. Zu dem Prozentwert gehört ein Prozentsatz. Dieser gibt an, wie viel Prozent des Ganzen der Prozentwert ist.
Mithilfe der folgenden Formel kannst Du einen fehlenden Wert berechnen:
Hier ist der Prozentwert ein Teil des Grundwertes zu einem bestimmten Zeitpunkt. Manchmal werden mit Prozenten aber auch Veränderungen über einen bestimmten Zeitraum beschrieben. Das ist dann die prozentuale Veränderung.
Prozentuale Veränderung – Definition
Zu Beginn hast Du einen Anfangswert. Dieser verändert sich in einem bestimmten Zeitraum. Zum Schluss hast Du dann einen Endwert. Die Veränderung vom Anfangswert zum Endwert kannst Du in Prozent angeben. Das ist dann die prozentuale Veränderung.
Die prozentuale Veränderung ist die Veränderung eines Anfangswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Sie wird in Prozent ausgedrückt.
Wichtig ist hier, dass Du immer einen Ausgangswert hast, der sich zu einem Endwert verändert.
In einer Klasse sind 24 Kinder. Zum Beginn des neuen Schuljahres kommen 3 Kinder dazu. Das ist eine prozentuale Veränderung um 12,5 %.
Abbildung 1: Veränderung der Kinderanzahl als prozentuale Veränderung
Prozentuale Veränderung berechnen – Formel
Zu einer prozentualen Veränderung gehören der Anfangswert, der Endwert und die Angabe der Veränderung in Prozent. Wenn zwei der drei Werte gegeben sind, kannst Du den dritten berechnen.
Differenz in Prozent berechnen
Sind der Anfangswert und der Endwert gegeben, kannst Du die Differenz in Prozent oder auch prozentuale Veränderung mithilfe einer Formel berechnen.
Verändert sich ein Anfangswert in einer bestimmten Zeit zu einem Endwert, kannst Du die prozentuale Veränderung mit der folgenden Formel berechnen:
Um die prozentuale Veränderung zu bestimmen, berechnest Du also zuerst die Differenz von Endwert und Anfangswert. Du beantwortest damit die Frage: Um wie viel hat sich der Anfangswert verändert?
Dann setzt Du diese Differenz ins Verhältnis zum Anfangswert, indem Du durch den Anfangswert teilst. Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl. Um die Prozentzahl zu bestimmen, multiplizierst Du mit 100.
Felix hat 50 Euro. Er bekommt Taschengeld und besitzt danach 60 Euro.
Wenn Du jetzt berechnen willst, um wie viel Prozent sich Felix Geld verändert hast, berechnest Du zuerst die Differenz.
Diese Differenz teilst Du durch den Anfangswert.
Jetzt multiplizierst Du mit 100, um den Prozentsatz zu bestimmen.
Felix' Geld ist um 20 % mehr geworden.
In der Rechnung stehen Brüche. Sie bedeuten, dass geteilt gerechnet wurde. Statt kannst Du auch schreiben.
Diese Formel kannst Du also verwenden, um die prozentuale Veränderung zu berechnen, wenn Anfangs- und Endwert gegeben sind.
Wenn Du die prozentuale Veränderung mit der Formel wie eben berechnest, entspricht dies dem Berechnen des Prozentsatzes.
Vielleicht kennst Du diese Formel:
Der Grundwert ist der Anfangswert. Der Prozentwert ist die Differenz aus Anfangs- und Endwert. Wie in der anderen Formel teilst Du den Prozentwert durch den Grundwert.
Die prozentuale Veränderung wird mit einer separaten Formel behandelt, da es hier immer um Änderungen mit Anfangs- und Endwert geht. Wenn Du hingegen einen Prozentsatz mit Prozentwert und Grundwert berechnest, muss keine Änderung vorhanden sein. Der Prozentwert kann auch ein Teil des Grundwertes sein (zum Beispiel 2 von 6 Äpfeln).
Endwert berechnen
Es ist auch möglich, dass ein Anfangswert und die prozentuale Veränderung gegeben sind. Den Endwert bestimmst Du dann rechnerisch.
Um aus dem Anfangswert und der prozentualen Veränderung den Endwert zu bestimmen, gehst Du in zwei Schritten vor.
Schritt 1: Zuerst berechnest Du die Veränderung:
Schritt 2: Dann addierst oder subtrahierst Du die Veränderung zum Anfangswert.
Um mit der prozentualen Veränderung zu Multiplizieren, benötigst Du die prozentuale Veränderung als Dezimalzahl. Du multiplizierst nicht mit dem Prozentwert.
Zuerst berechnest Du also aus der prozentualen Veränderung eine absolute Veränderung. Dann bestimmst Du den Endwert.
Aufgabe 1
In einem Sack Kartoffeln sind 4 kg. Der Verkäufer erhöht den Inhalt des Sacks um 25 %. Wie groß ist der Endwert?
Lösung
Schritt 1: Wenn Du berechnen willst, wie viel Kilogramm Kartoffeln nun im Sack sind, bestimmst Du zuerst die absolute Veränderung. 25 % sind als Dezimalzahl 0,25.
Schritt 2: Jetzt addierst Du diese absolute Veränderung zum Anfangswert.
In einem Sack Kartoffeln sind nun 5 kg.
Du kannst die beiden Schritte auch zusammenfassen. Dann lautet die Formel:
Anfangswert berechnen
Manchmal ist auch der Endwert sowie die prozentuale Veränderung gegeben und Du sollst den Anfangswert berechnen.
Beachte dann, dass sich die prozentuale Veränderung auf den Anfangswert bezieht und nicht auf den Endwert.
Um den Anfangswert zu berechnen, kannst Du die Formel für die prozentuale Veränderung umstellen:
In der Umformung steht pV für die prozentuale Veränderung, E für den Endwert und A für den Anfangswert.
Damit ergibt sich diese Formel für den Anfangswert.
Sind die prozentuale Veränderung und der Endwert gegeben, so berechnest Du den Anfangswert mit:
Eine Aufgabe zum Anfangswert könnte zum Beispiel so aussehen.
Aufgabe 2
Die Größe eines Waldes hat in einem Jahr um 20 Prozent zugenommen. Jetzt ist der Wald groß. Berechne den Anfangswert!
Lösung
Wenn Du berechnen möchtest, wie groß der Wald zu Beginn des Jahres war, bestimmst Du den Anfangswert.
Du rechnest:
Der Wald war zu Jahresbeginn groß.
Unterschied prozentuale Steigerung und Abnahme
Eine prozentuale Veränderung kann nicht nur bedeuten, dass der Endwert größer ist als der Anfangswert. Es kann auch eine Abnahme geben.
Ist die Veränderung eine prozentuale Abnahme, so ist die prozentuale Veränderung negativ. Der Endwert ist kleiner als der Anfangswert.
Eine Band hat zu Jahresbeginn 20.000 Fans. Innerhalb des Jahres verliert sie an Beliebtheit. Am Ende des Jahres hat die Band nur noch 17.500 Fans.
Ein ehemaliger Fan möchte wissen, wie viel Prozent an Fans die Band verloren hat.
Du kannst die Formel für die prozentuale Veränderung verwenden:
Die Band hat in einem Jahr 12,5 Prozent ihrer Fans verloren. Dies ist eine prozentuale Abnahme.
Den Prozentsatz der Änderung berechnest Du auf dieselbe Art, egal ob eine Steigerung oder eine Abnahme vorliegt. Wie Du im Beispiel sehen kannst, ist die Differenz aus Endwert und Anfangswert negativ, wenn es sich um eine Abnahme handelt. Durch diese negative Differenz ist der berechnete Prozentsatz negativ. An einem negativen Vorzeichen vor einem Prozentsatz kannst Du immer erkennen, dass es sich um eine Abnahme handelt.
Wenn es eine prozentuale Steigerung gibt, ist die Differenz von Endwert und Anfangswert positiv. Dadurch ist auch der Prozentsatz positiv.
Zwei Männer wiegen je 80 kg. Der eine Mann nimmt innerhalb des nächsten Monats um 2 Prozent zu, der andere Mann um 2 Prozent ab.
Um zu bestimmen, wie viel die Männer am Ende des Monats wiegen, rechnest Du zuerst den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um.
Jetzt kannst Du die Endwerte mit der Formel berechnen.
Mann A:
Mann B:
Eine prozentuale Steigerung oder Abnahme unterscheidet sich in der Berechnung nur durch das Vorzeichen.
Prozentuale Veränderung berechnen – Prozentfaktor
Du kannst den Endwert einer prozentualen Veränderung auch mithilfe des Prozentfaktors ausrechnen. Der Prozentfaktor gibt Dir an, auf wie viel Prozent sich die Größe verändert hat.
Im vorherigen Beispiel hatte sich das Gewicht des einen Mannes um 2 Prozent erhöht. Sein Anfangsgewicht entspricht 100 Prozent. Dann kommen 2 Prozent hinzu. Wenn Du diese Angaben addierst, erhältst Du den Prozentwert des Endwertes. Dies entspricht dem Prozentfaktor.
Diese Prozentangabe kannst Du auch als Dezimalzahl schreiben.
Den Prozentfaktor berechnest Du, indem Du zu den ursprünglichen 100 % die prozentuale Veränderung addierst oder subtrahierst.
Meist ist es einfacher, wenn Du einen Prozentfaktor als Dezimalzahl angibst. Dann kannst Du besser mit ihm rechnen. Dazu wandelst Du den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um.
In der Erklärung "Prozent" kannst Du nachlesen, wie genau Du einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umwandelst.
Prozentuale Zunahme mit dem Prozentfaktor berechnen
Den Prozentfaktor kannst Du verwenden, um den Endwert zu berechnen. Wenn der Prozentsatz der Veränderung und der Anfangswert gegeben sind, kannst Du mithilfe des Prozentsatzes zuerst den Prozentfaktor berechnen und dann mit dem Anfangswert Multiplizieren.
Merke Dir: Wenn Du direkt multiplizieren willst, verwendest Du eine Dezimalzahl und keine Prozentzahl.
Aufgabe 3
Frau Müller hat 10.000 Euro. Innerhalb eines Jahres kann sie ihr Geld um 15 % vermehren. Wie viel Geld hat Frau Müller nach dem Jahr?
Lösung
Diese Aufgabe kannst Du mithilfe des Prozentfaktors lösen. Zu Beginn hat Frau Müller 100 %. Es kommen 15 % hinzu.
Der Endwert entspricht 115 Prozent. Dies rechnest Du in eine Dezimalzahl um.
Jetzt kannst Du den Endwert berechnen, indem Du den Anfangswert mit dem Prozentfaktor multiplizierst.
Prozentuale Abnahme mit dem Prozentfaktor berechnen
Du kannst auch mit dem Prozentfaktor rechnen, wenn es sich um eine prozentuale Abnahme handelt. Dann ist der Prozentfaktor kleiner als 1, da die prozentuale Änderung negativ ist.
Aufgabe 4
In einer Müslipackung waren 800 g. Die Müslifirma reduziert den Inhalt um 5 Prozent.
Berechne, wie viel Gramm jetzt noch in der Packung sind.
Lösung
Dazu kannst Du zuerst den Prozentfaktor berechnen. Die 800 g entsprechen 100 Prozent.
Jetzt multiplizierst Du den Anfangswert mit dem Prozentfaktor, um den Endwert zu berechnen.
Beachte: Wenn Du einen Endwert einer prozentualen Veränderung berechnen möchtest, kannst Du sowohl zuerst die absolute Veränderung berechnen und sie zum Anfangswert addieren als auch mithilfe des Prozentfaktors multiplizieren.
Prozentuale Veränderung berechnen – Aufgaben und Beispiele
Du kannst die folgenden Aufgaben nutzen, um selbst zu rechnen. Du kannst sie Dir aber auch als Beispiel ansehen.
Aufgabe 5
Ein T-Shirt in einem bekannten Bekleidungsgeschäft kostet 20 Euro. Das Geschäft erhöht die Preise um 5 Prozent. Berechne den neuen Preis des T-Shirts.
Lösung
Zuerst berechnest Du, um wie viel Euro der Preis gestiegen ist. Dazu bestimmst Du, wie viel 5 Prozent von 20 Euro sind. 5 Prozent entsprechen 0,05 als Dezimalzahl.
Das T-Shirt ist um einen Euro teurer geworden.
Es kostet jetzt 21 Euro.
Du kannst die Aufgabe auch mithilfe des Prozentfaktors lösen.
Aufgabe 6
Ein Sportverein hat zu Jahresbeginn 2500 Mitglieder. Im Laufe des Jahres treten mehrere Mitglieder aus. Zum Jahresende sind es noch 2200. Berechne, um wie viel Prozent sich die Mitgliederzahl verändert hat.
Lösung
Zuerst bestimmst Du die Differenz aus Endwert und Anfangswert. Du berechnest damit, wie viele Mitglieder ausgetreten sind.
Jetzt setzt Du diese 300 Mitglieder ins Verhältnis zum Anfangswert und rechnest die Dezimalzahl in Prozent um.
12 Prozent der Mitglieder sind im Laufe des Jahres ausgetreten.
Auch hier kannst Du alternativ den Prozentfaktor zum Rechnen verwenden.
Aufgabe 7
Zu einer Schule gehen zum Ende des Schuljahres 2650 Schülerinnen und Schüler. Zum neuen Schuljahr steigt die Anzahl um 8 Prozent. Berechne mithilfe des Prozentfaktors, wie viele Schülerinnen und Schüler nun die Schule besuchen.
Lösung
2650 Schülerinnen und Schüler entsprechen 100 Prozent. Hinzu kommen 8 Prozent.
Der Prozentfaktor ist 1,08. Jetzt multiplizierst Du den Anfangswert mit diesem Prozentfaktor.
Zu Beginn des neuen Schuljahres besuchen 2862 Schülerinnen und Schüler diese Schule.
Prozentuale Veränderung berechnen – Das Wichtigste
- Die prozentuale Veränderung ist die Veränderung eines Anfangswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Sie wird in Prozent ausgedrückt.
- Zu einer prozentualen Veränderung gehört ein Anfangswert, ein Endwert und die Veränderung in Prozent. Du kannst fehlende Werte mit diesen Formeln berechnen:
- Der Prozentfaktor gibt Dir an, auf wie viel Prozent sich der Anfangswert verändert hat. Du kannst den Endwert auch mithilfe des Prozentfaktors berechnen:
Nachweise
- Böer et al. Mathe live 7, Mathematik für Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
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