Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|
Arten von Gleichungen

Du feierst heute deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird. Welche unterschiedlichen Arten von Gleichungen es gibt, erfährst Du in folgender Staffel zum Thema Gleichungen. Eine Gleichung erkennst Du innerhalb weniger Sekunden anhand eines einzigen Zeichens: dem…

Von Expert*innen geprüfte Inhalte
Kostenlose StudySmarter App mit über 20 Millionen Studierenden
Mockup Schule

Entdecke über 200 Millionen kostenlose Materialien in unserer App

Arten von Gleichungen

Arten von Gleichungen

Speicher die Erklärung jetzt ab und lies sie, wenn Du Zeit hast.

Speichern
Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Du feierst heute deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird.

Arten von Gleichungen Gleichung StudySmarter

Welche unterschiedlichen Arten von Gleichungen es gibt, erfährst Du in folgender Staffel zum Thema Gleichungen.

Arten von Gleichungen – Grundlagen

Eine Gleichung erkennst Du innerhalb weniger Sekunden anhand eines einzigen Zeichens: dem Gleichheitszeichen; oder als Symbol dargestellt: "=".

Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 1 an, welche die StudySmarter-Waage darstellt.

Arten von Gleichungen Waage im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 1: Waage im Gleichgewicht

Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung

Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.

Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck L=Rnotieren. Der Ausdruck "L =R" steht also für eine Gleichung, bei welcher linke Seite und R die rechte Seite gleich groß sind.

Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block.

Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, hätten wir ein Ungleichgewicht!

Arten von Gleichungen Waage ins Gleichgewicht bringen StudySmarterAbbildung 2: Waage ins Gleichgewicht bringen

Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:

Aufgabe 1

Stelle eine Gleichung für Abbildung 1 auf, wobei die Bausteine folgendes Gewicht aufweisen:

Rot = 2 kg

Türkis = 3 kg

Orange = 4 kg

Entferne anschließend in der Gleichung den türkisfarbenen Baustein, wie Abbildung 2 aufzeigt.

Lösung

Es ergibt sich folgende Gleichung:

Rot + Türkis + Orange = Rot + Türkis + Orange

Als nächsten Schritt wird das Gewicht anstelle der Begriffe eingesetzt.

2 kg + 3 kg + 4 kg = 2 kg + 3 kg + 4 kg

Um den türkisfarbenen Baustein zu entfernen, werden auf beiden Seiten die 3 kg abgezogen, um die Lösung zu erhalten.

2 kg + 4 kg = 2 kg + 4 kg

In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden. Sie stehen für einen gesuchten Wert (?).

Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.

? + 12 = 18x + 12 =18

Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine lineare Gleichung, welche den sogenannten algebraischen Gleichungen angehört. Welche weiteren Arten von Gleichungen es gibt und wie diese lineare Gleichung gelöst wird, folgt jetzt.

Algebraische Gleichungen

Eine algebraische Gleichung ist in der Mathematik wie folgt definiert:

Zu algebraischen Gleichungen zählen alle Arten von Gleichungen, in welchen entweder addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, radiert oder potenziert wird.

Auch die algebraischen Gleichungen kann man noch mal in verschiedene Gleichungsarten unterteilen.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen kommen Dir im Alltag sicher öfter unter. Auch im Matheunterricht tauchen sie immer wieder auf, Du solltest also alles Wichtige über sie wissen:

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form:

a·x+b=0

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Lineare Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden: grafisch oder rechnerisch.

Lineare Gleichung grafisch lösen

Um eine Gleichung grafisch zu lösen, werden jeweils die beiden Seiten der Gleichung als einzelne Funktionen gesehen. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, gibt die Lösung der Gleichung an.

Aufgabe 2

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung grafisch.

x + 12 = 18

Lösung

Um die grafische Lösung zu ermitteln, werden beide Seiten der Gleichung als eigene Funktion genommen. Die linke Seite wird zur Funktion f(x), die rechte Seite wird zu g(x).

f(x)=x+12g(x)=18

Diese zwei Funktionen wiederum kannst Du jetzt in ein Koordinatensystem eintragen und deren Schnittpunkt einzeichnen.

Arten von Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarterAbbildung 3: Lineare Gleichung grafisch lösen

Der x-Wert des Schnittpunktes S gibt die Lösung der Gleichung an. Er liegt hier bei x=6.

Dieses Beispiel kann auch rechnerisch gelöst werden. Wie das geht, lernst Du jetzt.

Lineare Gleichung rechnerisch lösen

Um eine lineare Gleichung rechnerisch lösen zu können, muss dafür gesorgt werden, dass die Variable der Gleichung (das x), allein auf einer Seite steht.

Dies wird mithilfe von Äquivalenzumformungen erreicht. Das bedeutet, Du nimmst auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen vor und bringst damit das x alleine auf eine Seite der Gleichung.

Gehe also einmal die Rechnung von Beginn an durch.

Aufgabe 2

Löse die Gleichung x + 12 = 18.

Lösung

Damit das x allein auf einer Seite steht, muss die 12 abgezogen werden, und zwar auf beiden Seiten.

x + 12 = 18 | - 12x + 12 - 12 =18 - 12x =6

Du musst also noch genau 6 Jahre bis zu Deiner Volljährigkeit warten.

Sieh Dir unbedingt den Artikel Lineare Gleichungen an, um mehr zu diesem Thema zu erfahren!

Neben den linearen Gleichungen gibt es noch weitere Arten, wie die quadratische Gleichung.

Quadratische Gleichungen

Die quadratische Gleichung ist in der Mathematik wie folgt definiert:

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

a·x2+b·x+c=0

Sie beinhaltet mindestens eine Variable, die in ihrer zweiten Potenz vorkommen.

Die quadratische Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Parabel darstellen und es kann bis zu zwei Lösungen geben.

Folgender Abschnitt zeigt auf, wie eine quadratische Gleichung grafisch und rechnerisch gelöst wird.

Eine detailliertere Vorgehensweise findest Du im Artikel quadratische Gleichungen auf StudySmarter

Quadratische Gleichung grafisch lösen

Um eine quadratische Gleichung grafisch lösen zu können, gehst Du genauso wie bei der linearen Gleichung. Die quadratische Funktion wird in das Koordinatensystem eingezeichnet und anschließend der Schnittpunkt bestimmt.

Aufgabe 3

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung grafisch.

x2-1=0

Lösung

Schreibe dazu zunächst wieder beide Seiten der Gleichung als eigenständige Funktionen. Die linke Seite wird zu f(x), aus der echten Seite entsteht die Funktion g(x).

f(x)=x2-1g(x)=0

Zeichne nun beide Funktionen ins Koordinatensystem ein und ermittle den Schnittpunkt.

Falls Du hierbei Hilfe benötigst, sieh Dir noch mal den Artikel Quadratische Funktionen an.

Arten von Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarterAbbildung 4: Quadratische Gleichung grafisch lösen

Die x-Werte der beiden Schnittpunkte x1=-1 und x2=1 ergeben die Lösungen der quadratischen Gleichung.

Quadratische Gleichung rechnerisch lösen

Eine quadratische Gleichung kann auf verschiedene Art und Weisen gelöst werden, abhängig vom Aufbau der Gleichung. Um jedoch jede quadratische Gleichung rechnerisch lösen zu können, gibt es eine konkrete Formel.

Eine quadratische Gleichung kann mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden. Diese lautet wie folgt:

x1,2 = -b ± b2 - 4 · a · c2 · a

Diese Formel kannst Du für jede quadratische Gleichung verwenden.

Wird eine Gleichung zuerst in die Normalform gebracht, kann die Lösung mithilfe der PQ-Formel berechnet werden. Die Formel lautet x1/2 = - p2 ± p22 - q.

Die Vorgehensweise des Lösens einer typischen quadratischen mithilfe der Mitternachtsformel kann wie folgt aussehen:

Aufgabe 4

Löse folgende Gleichung nach x auf:

3·x2 + 5·x + 2 = 0

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, wird als Erstes die sogenannte Mitternachtsformel aufgeschrieben.

x1,2 = -b ± b2 - 4 · a · c2 · a

Der Buchstabe a steht für die Zahl vor dem x zweiter Potenz, der Buchstabe b für jenen Wert vor dem x erster Potenz und der Buchstabe c steht für die Zahl ohne x.

Schreibe Dir nun die passenden Werte für Deine Gleichung heraus.

a =3 b = 5 c = 2

Nun werden die Werte anstelle der Buchstaben in die Formel eingesetzt und die Gleichung mithilfe des Taschenrechners gelöst.

x1,2 = -5 ± 52 - 4 · 3 · 22 · 3x1,2 = -5 ± 25 - 246x1,2 = -5 ± 16x1,2 = -5 ± 16x1 =-5-16= -66 = -1x2 =-5+16= -46 = - 23

Um x1 zu erhalten, wird entweder das '+' oder '-' verwendet, das andere Vorzeichen dann für die zweite Lösung x2.

Bruchgleichungen & Wurzelgleichungen

Um Dir diese beiden Arten von Gleichungen vorstellen zu können, sieh Dir diese kurze Übersicht an:

BruchgleichungenWurzelgleichungen
Enthält mindestens einen Bruchterm mit der Unbekannten im Nenner.Die Variable tretet innerhalb der Wurzel auf.
Beispielgleichung
Beispielgleichung
1x + 1 = 0
x = 0
Beispielfunktion
Beispielfunktion
f(x) = 1x + 1
f(x) =x

Gleichungsarten Bruchgleichung StudySmarterAbbildung 5: Bruchgleichung

Gleichungsarten Wurzelgleichung StudySmarterAbbildung 6: Wurzelgleichung

Lösung - VorgehensweiseLösung - Vorgehensweise
  1. Bestimmen der Definitionsmenge
  2. Faktorisierung der Nenner
  3. Finden des Hauptnenners
  4. Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
  5. Löse die normale Gleichung
  1. Bestimmen der Definitionsmenge (Wert unter der Wurzel muss in R >= 0 sein)
  2. Gleichung mit Wurzelexponent potenzieren
  3. Lösen der Gleichung

Möchtest Du mehr zu den Themen Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen erfahren, sieh Dir unbedingt die Artikel hierzu auf StudySmarter an.

Neben den algebraischen Gleichungen gibt es noch transzendente Gleichungen. Was diese sind, erfährst Du im folgenden Abschnitt.

Transzendente Gleichungen

Diese Arten von Gleichungen sind in der Mathematik wie folgt definiert:

Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen mit einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt.

Transzendente Funktionen sind Funktionen, welche weder Wurzelfunktionen noch Polynomfunktionen sind.

Folgende Übersicht soll einen Einblick in die verschiedenen transzendenten Gleichungen geben und deren Merkmale aufzeigen.

Trigonometrische GleichungExponentialgleichungLogarithmusgleichung
Enthält Sinus, Cosinus oder TangensPotenz enthält ein xUmkehrfunktion der Exponentionalfunktion
BeispielgleichungBeispielgleichungBeispielgleichung
3·sin(2·x+1)-1 = 0 2x = 0log2x = 0
BeispielfunktionBeispielfunktionBeispielfunktion
f(x)=3·sin(2x+1)-1f(x) =2xf(x) = log2x

Gleichungsarten Trigonometrische Gleichung StudySmarterAbbildung 7: Trigonometrische Gleichung

Gleichungsarten Exponentialgleichung StudySmarterAbbildung 8: Exponentialgleichung

Gleichungsarten Logarithmusgleichung StudySmarterAbbildung 9: Logarithmusgleichung

Möchtest Du mehr über die Themen Exponential- und Logarithmusgleichungen oder Trigonometrische Gleichungen erfahren, dann sieh Dir den dazugehörigen Artikel auf StudySmarter an.

Um Dein Wissen zum Thema Gleichungen zu vertiefen, gibt es im Folgenden ein paar Übungsbeispiele.

Gleichungen Beispiele

Kannst Du alle Beispiele meistern? Probiere es selbst mal aus.

Aufgabe 5

Löse folgende lineare Gleichung rechnerisch:

3·x +6 = 24

Lösung

Damit die Unbekannte allein auf einer Seite steht, muss wie folgt vorgegangen werden:

3·x +6 = 24 | Subtrahiere 63·x = 24 - 63·x = 18 | Dividiere durch 3x =183x = 6

Die Lösung lautet x = 6.

Aufgabe 6

Löse folgende quadratische Gleichung rechnerisch und prüfe das Ergebnis grafisch.

2·x2 - 3 ·x + 6 = 0

Lösung

Dieses Beispiel wird mithilfe der Mitternachtsformel gelöst, indem die Werte anstelle der Buchstaben a, b, c eingesetzt und die Gleichung gelöst wird.

a = 2 b = -3 c = 6

Diese Werte werden nun in die Formel eingesetzt.

x1,2 = -b ± b2 - 4·a·c2·a | Setze die Werte einx1,2 = -(-3) ± (-3)2 - 4·2·62·2 x1,2 = 3 ± 9 - 484x1,2 = 3 ± -394 darf nicht negativ unter der Wurzel seinLösung = { } Keine Lösung im reellen Zahlenbereich

Es sieht so aus, als hätte folgende quadratische Gleichung keine Lösung, was zugleich bedeutet, dass die Funktion keine Nullstelle bzw. keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat.

Überprüfe das also grafisch:

Gleichungsarten Aufgabe StudySmarterAbbildung 10: Aufgabe Gleichung lösen

Das grafische Lösen bestätigt die Aussage, dass es keinen Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse hat. Die Lösung lautet demnach x = { }.

Der Ausdruck "{ }" wird auch als die leere Menge bezeichnet und sagt aus, dass es keine Lösung gibt.

Aufgabe 7

Bei welcher der folgenden Gleichungen handelt es sich um eine Exponentialgleichung?

ABCD
3x + 1 - 4 = 0sin9x - 4 + 2 = 04x - 1 + 2 = 07x = 0

Lösung

Wenn sich das x in der Potenz innerhalb einer Gleichung befindet, dann handelt es sich um eine Exponentialgleichung, also in diesem Fall bei Antwort D.

Aufgabe 8

Bei welcher der folgenden Gleichungen handelt es sich um eine Bruchgleichung?

ABCD
3x + 1 - 4 = 0sin9x - 4 + 2 = 04x - 1 + 2 = 07x = 0

Lösung

Wenn sich das x innerhalb des Bruchs in einer Gleichung befindet, dann handelt es sich um eine Bruchgleichung, also in diesem Fall bei Antwort A.

Arten von Gleichungen – Das Wichtigste

  • Gleichungen werden durch das Zeichen '=' gekennzeichnet.
  • Bei Gleichungen muss immer auf beiden Seiten dieselbe Rechnung durchgeführt werden.
  • Um eine Gleichung lösen zu können, muss die Unbekannte auf einer Seite allein stehen.
  • Zu den algebraischen Gleichungen gehören: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, Bruchgleichung, Wurzelgleichung
  • Eine lineare Gleichung hat die Form a · x + b = 0
  • Eine quadratische Gleichung hat die Form a · x2 + b · x + c = 0
  • Zu den transzendenten Gleichungen zählen trigonometrische Gleichungen, Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen
  • Gleichungen können sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.

Nachweise

  1. Kemnitz (2010). Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner Verlag
  2. Böge (1995). Das Techniker Handbuch. Springer Fachmedien Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Arten von Gleichungen

Es gibt lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, algebraische Gleichungen und transzendente Gleichungen

Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche mit einem Gleichheitszeichen ( = ) voneinander getrennt werden.

Je nach Gleichungsart haben diese verschiedene Ausprägungsformen:

Algebraische Gleichungen:

- lineare Gleichung:  ax + b = 0

- quadratische Gleichung: ax² + bx + c = 0

- Bruchgleichungen: 1 / (x + 1) = 0

- Wurzelgleichungen: √x 

Transzendente Gleichungen:

- trigonometrische Gleichung: sin(2x)-1 = 0

- Exonentialgleichung: 2^x = 0 

-Logarithmengleichung: log(x) = 0 

  

Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen in einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt. Zu ihnen gehören die trigonometrischen Gleichungen, die Exponentialgleichung und die Logarithmengleichung.

Finales Arten von Gleichungen Quiz

Arten von Gleichungen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was ist eine quadratische Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gleichung, in der die gesuchte Größe quadratisch vorkommt, nennt sich quadratische Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man eine quadratische Gleichung in der Normalform mit der quadratischen Ergänzung lösen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Normalform wird dabei so umgewandelt, dass eine binomische Formel entsteht, aus der man die Wurzel ziehen kann.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 14 

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 2 = 14
x^2 = 16
x = +/- 4

x1 = 4
x2 = -4


Reinquadratische Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.


 Achte beim Wurzelziehen darauf, dass sowohl 4^2 als auch (– 4)^2 als Ergebnis 16 haben. Deswegen muss es zwei Lösungen geben

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 5x - 6 = 0 mit der quadratischen Ergänzung

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 - 5x - 6 = 0
(x^2 - 2 * 2,5 x +2,5^2) - 2,5^2 - 6 = 0 

(x - 2,5)^2 - 12,25 = 0
(x - 2,5)^2 = 12,25
(x - 2,5)^2 = +/- 3,5 


x1 = 6
x2 = -1


Damit man die 2. binomische Formel erhält, muss man 2,52 addieren. Um die Gleichung insgesamt nicht zu verändern, muss man 2,52 auch wieder subtrahieren.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


x² = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x^2 = 6,25
x = +/- 2,5


x1 = 2,5

x2 = -2,5

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


y² = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

y = 0 

Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


z² + 5 = 2
z² = -3


Antwort anzeigen

Antwort

Keine Lösung. Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.


Frage anzeigen

Frage

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.


9a² - 0,25 = 20

Antwort anzeigen

Antwort

9a² - 0,25 = 20

9 a² = 20,25
a² = 9/4
a = +/- 3*/2

a1 = 3/2
a2 = -3/2

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² + 6x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x²+ 6x = 0
(x² + 2*3x + 3²) - 3² = 0
(x+3)² = 9
x + 3 = +/- 3

x1 = 0
x2 = -6

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.


x² - 4x + 3 = 0

Antwort anzeigen

Antwort

x² - 4x + 3 = 0
(x² - 2*2x + 2²) - 2² + 3 = 0
(x - 2)² - 1 = 0
(x - 2)² = 1
x - 2 = +/- 1

x1 = 3
x2 = 1

Frage anzeigen

Frage

Wozu nutzt man den Satz von Vieta? 

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Lösung für eine quadratische Gleichung zu überprüfen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt der Satz von Vieta:


x1 + x2 = -p
x1*x2 = q 

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

x * (x  - 0,5) = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

x * (x - 0,5) = 0
x1 = 0 

x2 - 0,5 = 0

x2 = 0,5

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.

(x-2) * (x+2) = 0  

Antwort anzeigen

Antwort

(x-2) * (x+2) = 0
x1 - 2 = 0 -> x1 = 2
x2 + 2 = 0 -> x2 = -2

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Lösungen der Gleichung, ohne die Lösungsformel anzuwenden. Überlege dir dazu, wann ein Term 0 wird.


2x² + 0,5x = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

2x² * 0,5x = 0
2x (x + 0,25) = 0 

x1 = 0 

x2 + 0,25 = 0 

x2 = -0,25

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x - 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)^2 + 81 = 162 


D > 0: zwei Lösungen

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 18x + 81 = 0 

Antwort anzeigen

Antwort

D = (–9)² – 81 = 0 


D = 0: eine Lösung

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Diskriminante und entscheide, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.


x² - 2x + 3 = 0


Antwort anzeigen

Antwort

x² - 2x + 3 = 0
D = (-1)² -3 = -2


D<0: keine Lösung

Frage anzeigen

Frage

Herr Engel, Frau Friedrich und Frau Gerlach gründen eine Firma. Herr Engel investiert 120 000 €. Frau Friedrich gibt 1/4 und Frau Gerlach 2/3 des Kapitals dazu. 


Wie groß ist das gesamte Kapital?

Antwort anzeigen

Antwort

Herr Engel: 120.000 €
Frau Friedrich = 1/4 x
Frau Gerlach = 2/3*x

120.000 + 1/4x + 2/3x = x
1.440.000 + 3x + 8x = 12x
1.440.000 + 11x = 12x
1.440.000 = x

Das Gesamtkapital beträgt 1.440.000 €

Frage anzeigen

Frage

Welche Werte werden in der Definitionsmenge von Bruchgleichungen ausgeschlossen?

Antwort anzeigen

Antwort

Werte, für welche der Nener gleich Null werden würde, werden in der Definitionsmenge von Bruchgleichungen ausgeschlossen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Bruchgleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, welche mindestens einen Bruchterm enthält.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der erste Schritt, wenn du eine Bruchgleichung mit einem Bruchterm auflösen möchtest?

Antwort anzeigen

Antwort

Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruches. So löst sich der Bruch auf und du kannst die Gleichung wie gewohnt weiter auflösen.

Frage anzeigen

Frage

Was muss bei der Definitionsmenge von Bruchgleichungen mit mehreren Brüchen beachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt mehrere Werte für x aus der Definitionsmenge auszuschließen, da es mehrere Nenner gibt, welche nicht 0 werden dürfen.

Frage anzeigen

Frage

Wie bringst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?


Antwort anzeigen

Antwort

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Brüche und erweitere diese entsprechend.

Frage anzeigen

Frage

Um das Lösen einer Bruchgleichung einfacher zu machen kannst du...

Antwort anzeigen

Antwort

... den Kehrwert bilden.

Frage anzeigen

Frage

Eine Bruchgleichung ...

Antwort anzeigen

Antwort

... kann mehrere Bruchterme haben.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die Bedeutung der graphischen Lösung einer linearen Gleichung.

Antwort anzeigen

Antwort

Willst du die lineare Gleichung graphisch lösen, betrachtest du die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als Funktionen.

Diese Funktionen kannst du in ein gemeinsames Koordinatensystem einzeichnen. 

Der x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden ist die Lösung der linearen Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den ersten Umformungsschritt den Du machst, wenn Du eine Wurzelgleichung lösen sollst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Wurzelgleichung zu lösen, isolierst Du zuerst eine Wurzel. Du formst also so um, dass die Wurzel alleine auf einer Seite der Gleichung steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Schritte sind beim Lösen einer Wurzelgleichung sinnvoll?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzel isolieren

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum du die mögliche Lösung einer Wurzelgleichung mit einer Probe überprüfen solltest.

Antwort anzeigen

Antwort

Um Wurzelgleichungen zu lösen quadrierst Du sie. Durch das Quadrieren können Lösungen hinzukommen, die von der ursprünglichen Gleichung gar keine Lösungen sind. Deswegen prüfst Du zum Schluss, ob deine bestimmte Lösung auch wirklich eine Lösung ist.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Arten von Gleichungen
60%

der Nutzer schaffen das Arten von Gleichungen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Wie möchtest du den Inhalt lernen?

Karteikarten erstellen
Inhalte meiner Freund:innen lernen
Ein Quiz machen

Wie möchtest du den Inhalt lernen?

Karteikarten erstellen
Inhalte meiner Freund:innen lernen
Ein Quiz machen

Kostenloser mathe Spickzettel

Alles was du zu . wissen musst. Perfekt zusammengefasst, sodass du es dir leicht merken kannst!

Jetzt anmelden

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Fang an mit StudySmarter zu lernen, die einzige Lernapp, die du brauchst.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration