Arten von Gleichungen

Q: Was sind transzendente Gleichungen?

Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen in einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt. Zu ihnen gehören die trigonometrischen Gleichungen, die Exponentialgleichung und die Logarithmengleichung.

Algebra

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Du feierst heute deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird.

Arten von Gleichungen Gleichung StudySmarter

Welche unterschiedlichen Arten von Gleichungen es gibt, erfährst Du in folgender Staffel zum Thema Gleichungen.

Arten von Gleichungen – Grundlagen

Eine Gleichung erkennst Du innerhalb weniger Sekunden anhand eines einzigen Zeichens: dem Gleichheitszeichen; oder als Symbol dargestellt: "=".

Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 1 an, welche die StudySmarter-Waage darstellt.

Arten von Gleichungen Waage im Gleichgewicht StudySmarter Abbildung 1: Waage im Gleichgewicht

Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung

Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.

Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck $L = R$ notieren. Der Ausdruck " $L = R$ " steht also für eine Gleichung, bei welcher linke Seite und R die rechte Seite gleich groß sind.

Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block.

Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, hätten wir ein Ungleichgewicht!

Arten von Gleichungen Waage ins Gleichgewicht bringen StudySmarter Abbildung 2: Waage ins Gleichgewicht bringen

Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:

Aufgabe 1

Stelle eine Gleichung für Abbildung 1 auf, wobei die Bausteine folgendes Gewicht aufweisen:

Rot = $2 k g$

Türkis = $3 k g$

Orange = $4 k g$

Entferne anschließend in der Gleichung den türkisfarbenen Baustein, wie Abbildung 2 aufzeigt.

Lösung

Es ergibt sich folgende Gleichung:

$R o t + T ü r k i s + O r a n g e = R o t + T ü r k i s + O r a n g e$

Als nächsten Schritt wird das Gewicht anstelle der Begriffe eingesetzt.

$2 k g + 3 k g + 4 k g = 2 k g + 3 k g + 4 k g$

Um den türkisfarbenen Baustein zu entfernen, werden auf beiden Seiten die $3 k g$ abgezogen, um die Lösung zu erhalten.

$2 k g + 4 k g = 2 k g + 4 k g$

In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden. Sie stehen für einen gesuchten Wert (?).

Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.

$\begin{array}{rcl} ? + 12 & = & 18 \\ x + 12 & = & 18 \end{array}$

Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine lineare Gleichung, welche den sogenannten algebraischen Gleichungen angehört. Welche weiteren Arten von Gleichungen es gibt und wie diese lineare Gleichung gelöst wird, folgt jetzt.

Algebraische Gleichungen

Eine algebraische Gleichung ist in der Mathematik wie folgt definiert:

Zu algebraischen Gleichungen zählen alle Arten von Gleichungen, in welchen entweder addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, radiert oder potenziert wird.

Auch die algebraischen Gleichungen kann man noch mal in verschiedene Gleichungsarten unterteilen.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen kommen Dir im Alltag sicher öfter unter. Auch im Matheunterricht tauchen sie immer wieder auf, Du solltest also alles Wichtige über sie wissen:

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form:

$a \cdot x + b = 0$

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Lineare Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden: grafisch oder rechnerisch.

Lineare Gleichung grafisch lösen

Um eine Gleichung grafisch zu lösen, werden jeweils die beiden Seiten der Gleichung als einzelne Funktionen gesehen. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, gibt die Lösung der Gleichung an.

Aufgabe 2

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung grafisch.

$x + 12 = 18$

Lösung

Um die grafische Lösung zu ermitteln, werden beide Seiten der Gleichung als eigene Funktion genommen. Die linke Seite wird zur Funktion f(x), die rechte Seite wird zu g(x).

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x + 12 \\ g (x) & = & 18 \end{array}$

Diese zwei Funktionen wiederum kannst Du jetzt in ein Koordinatensystem eintragen und deren Schnittpunkt einzeichnen.

Arten von Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarter Abbildung 3: Lineare Gleichung grafisch lösen

Der x-Wert des Schnittpunktes S gibt die Lösung der Gleichung an. Er liegt hier bei $x = 6$ .

Dieses Beispiel kann auch rechnerisch gelöst werden. Wie das geht, lernst Du jetzt.

Lineare Gleichung rechnerisch lösen

Um eine lineare Gleichung rechnerisch lösen zu können, muss dafür gesorgt werden, dass die Variable der Gleichung (das x), allein auf einer Seite steht.

Dies wird mithilfe von Äquivalenzumformungen erreicht. Das bedeutet, Du nimmst auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen vor und bringst damit das x alleine auf eine Seite der Gleichung.

Gehe also einmal die Rechnung von Beginn an durch.

Aufgabe 2

Löse die Gleichung $x + 12 = 18$ .

Lösung

Damit das x allein auf einer Seite steht, muss die 12 abgezogen werden, und zwar auf beiden Seiten.

$x + 12 = 18 | - 12 x + 12 - 12 = 18 - 12 x = 6$

Du musst also noch genau 6 Jahre bis zu Deiner Volljährigkeit warten.

Sieh Dir unbedingt den Artikel Lineare Gleichungen an, um mehr zu diesem Thema zu erfahren!

Neben den linearen Gleichungen gibt es noch weitere Arten, wie die quadratische Gleichung.

Quadratische Gleichungen

Die quadratische Gleichung ist in der Mathematik wie folgt definiert:

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

Sie beinhaltet mindestens eine Variable, die in ihrer zweiten Potenz vorkommen.

Die quadratische Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Parabel darstellen und es kann bis zu zwei Lösungen geben.

Folgender Abschnitt zeigt auf, wie eine quadratische Gleichung grafisch und rechnerisch gelöst wird.

Eine detailliertere Vorgehensweise findest Du im Artikel quadratische Gleichungen auf StudySmarter

Quadratische Gleichung grafisch lösen

Um eine quadratische Gleichung grafisch lösen zu können, gehst Du genauso wie bei der linearen Gleichung. Die quadratische Funktion wird in das Koordinatensystem eingezeichnet und anschließend der Schnittpunkt bestimmt.

Aufgabe 3

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung grafisch.

$x^{2} - 1 = 0$

Lösung

Schreibe dazu zunächst wieder beide Seiten der Gleichung als eigenständige Funktionen. Die linke Seite wird zu f(x), aus der echten Seite entsteht die Funktion g(x).

$f (x) = x^{2} - 1 g (x) = 0$

Zeichne nun beide Funktionen ins Koordinatensystem ein und ermittle den Schnittpunkt.

Falls Du hierbei Hilfe benötigst, sieh Dir noch mal den Artikel Quadratische Funktionen an.

Arten von Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarter Abbildung 4: Quadratische Gleichung grafisch lösen

Die x-Werte der beiden Schnittpunkte $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$ ergeben die Lösungen der quadratischen Gleichung.

Quadratische Gleichung rechnerisch lösen

Eine quadratische Gleichung kann auf verschiedene Art und Weisen gelöst werden, abhängig vom Aufbau der Gleichung. Um jedoch jede quadratische Gleichung rechnerisch lösen zu können, gibt es eine konkrete Formel.

Eine quadratische Gleichung kann mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden. Diese lautet wie folgt:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Diese Formel kannst Du für jede quadratische Gleichung verwenden.

Wird eine Gleichung zuerst in die Normalform gebracht, kann die Lösung mithilfe der PQ-Formel berechnet werden. Die Formel lautet $x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ .

Die Vorgehensweise des Lösens einer typischen quadratischen mithilfe der Mitternachtsformel kann wie folgt aussehen:

Aufgabe 4

Löse folgende Gleichung nach x auf:

$3 \cdot x^{2} + 5 \cdot x + 2 = 0$

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, wird als Erstes die sogenannte Mitternachtsformel aufgeschrieben.

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Der Buchstabe a steht für die Zahl vor dem x zweiter Potenz, der Buchstabe b für jenen Wert vor dem x erster Potenz und der Buchstabe c steht für die Zahl ohne x.

Schreibe Dir nun die passenden Werte für Deine Gleichung heraus.

a = 3 b = 5 c = 2

Nun werden die Werte anstelle der Buchstaben in die Formel eingesetzt und die Gleichung mithilfe des Taschenrechners gelöst.

$x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{6} x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{6} x_{1} = \frac{- 5 - 1}{6} = \frac{- 6}{6} = - 1 x_{2} = \frac{- 5 + 1}{6} = \frac{- 4}{6} = - \frac{2}{3}$

Um x₁zu erhalten, wird entweder das '+' oder '-' verwendet, das andere Vorzeichen dann für die zweite Lösung x₂.

Bruchgleichungen & Wurzelgleichungen

Um Dir diese beiden Arten von Gleichungen vorstellen zu können, sieh Dir diese kurze Übersicht an:

Bruchgleichungen	Wurzelgleichungen
Enthält mindestens einen Bruchterm mit der Unbekannten im Nenner.	Die Variable tretet innerhalb der Wurzel auf.
Beispielgleichung	Beispielgleichung
$\frac{1}{x + 1} = 0$	$\sqrt{x} = 0$
Beispielfunktion	Beispielfunktion
$f (x) = \frac{1}{x + 1}$	$f (x) = \sqrt{x}$
Abbildung 5: Bruchgleichung	Abbildung 6: Wurzelgleichung
Lösung - Vorgehensweise	Lösung - Vorgehensweise
Bestimmen der Definitionsmenge Faktorisierung der Nenner Finden des Hauptnenners Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren Löse die normale Gleichung	Bestimmen der Definitionsmenge (Wert unter der Wurzel muss in R >= 0 sein) Gleichung mit Wurzelexponent potenzieren Lösen der Gleichung

Möchtest Du mehr zu den Themen Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen erfahren, sieh Dir unbedingt die Artikel hierzu auf StudySmarter an.

Neben den algebraischen Gleichungen gibt es noch transzendente Gleichungen. Was diese sind, erfährst Du im folgenden Abschnitt.

Transzendente Gleichungen

Diese Arten von Gleichungen sind in der Mathematik wie folgt definiert:

Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen mit einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt.

Transzendente Funktionen sind Funktionen, welche weder Wurzelfunktionen noch Polynomfunktionen sind.

Folgende Übersicht soll einen Einblick in die verschiedenen transzendenten Gleichungen geben und deren Merkmale aufzeigen.

Trigonometrische Gleichung	Exponentialgleichung	Logarithmusgleichung
Enthält Sinus, Cosinus oder Tangens	Potenz enthält ein x	Umkehrfunktion der Exponentionalfunktion
Beispielgleichung	Beispielgleichung	Beispielgleichung
$3 \cdot \sin (2 \cdot x + 1) - 1 = 0$	$2^{x} = 0$	$\log_{2} (x) = 0$
Beispielfunktion	Beispielfunktion	Beispielfunktion
$f (x) = 3 \cdot \sin (2 x + 1) - 1$	$f (x) = 2^{x}$	$f (x) = \log_{2} (x)$
Abbildung 7: Trigonometrische Gleichung	Abbildung 8: Exponentialgleichung	Abbildung 9: Logarithmusgleichung

Möchtest Du mehr über die Themen Exponential- und Logarithmusgleichungen oder Trigonometrische Gleichungen erfahren, dann sieh Dir den dazugehörigen Artikel auf StudySmarter an.

Um Dein Wissen zum Thema Gleichungen zu vertiefen, gibt es im Folgenden ein paar Übungsbeispiele.

Gleichungen Beispiele

Kannst Du alle Beispiele meistern? Probiere es selbst mal aus.

Aufgabe 5

Löse folgende lineare Gleichung rechnerisch:

$3 \cdot x + 6 = 24$

Lösung

Damit die Unbekannte allein auf einer Seite steht, muss wie folgt vorgegangen werden:

$3 \cdot x + 6 = 24 | S u b t r a h i e r e 6 3 \cdot x = 24 - 6 3 \cdot x = 18 | D i v i d i e r e d u r c h 3 x = \frac{18}{3} x = 6$

Die Lösung lautet $x = 6$ .

Aufgabe 6

Löse folgende quadratische Gleichung rechnerisch und prüfe das Ergebnis grafisch.

$2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 6 = 0$

Lösung

Dieses Beispiel wird mithilfe der Mitternachtsformel gelöst, indem die Werte anstelle der Buchstaben a, b, c eingesetzt und die Gleichung gelöst wird.

$a = 2 b = - 3 c = 6$

Diese Werte werden nun in die Formel eingesetzt.

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} | Setze die Werte ein x_{1, 2} = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 48}}{4} x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{- 39}}{4} \to darf nicht negativ unter der Wurzel sein L ö s u n g = {} \to Keine Lösung im reellen Zahlenbereich$

Es sieht so aus, als hätte folgende quadratische Gleichung keine Lösung, was zugleich bedeutet, dass die Funktion keine Nullstelle bzw. keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat.

Überprüfe das also grafisch:

Gleichungsarten Aufgabe StudySmarter Abbildung 10: Aufgabe Gleichung lösen

Das grafische Lösen bestätigt die Aussage, dass es keinen Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse hat. Die Lösung lautet demnach $x = {}$ .

Der Ausdruck "{ }" wird auch als die leere Menge bezeichnet und sagt aus, dass es keine Lösung gibt.

Aufgabe 7

Bei welcher der folgenden Gleichungen handelt es sich um eine Exponentialgleichung?

A	B	C	D
$\frac{3}{x + 1} - 4 = 0$	$\sin (9 x - 4) + 2 = 0$	$\sqrt{4 x - 1} + 2 = 0$	$7^{x} = 0$

Lösung

Wenn sich das x in der Potenz innerhalb einer Gleichung befindet, dann handelt es sich um eine Exponentialgleichung, also in diesem Fall bei Antwort D.

Aufgabe 8

Bei welcher der folgenden Gleichungen handelt es sich um eine Bruchgleichung?

A	B	C	D
$\frac{3}{x + 1} - 4 = 0$	$\sin (9 x - 4) + 2 = 0$	$\sqrt{4 x - 1} + 2 = 0$	$7^{x} = 0$

Lösung

Wenn sich das x innerhalb des Bruchs in einer Gleichung befindet, dann handelt es sich um eine Bruchgleichung, also in diesem Fall bei Antwort A.

Arten von Gleichungen – Das Wichtigste

Gleichungen werden durch das Zeichen '=' gekennzeichnet.
Bei Gleichungen muss immer auf beiden Seiten dieselbe Rechnung durchgeführt werden.
Um eine Gleichung lösen zu können, muss die Unbekannte auf einer Seite allein stehen.
Zu den algebraischen Gleichungen gehören: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, Bruchgleichung, Wurzelgleichung
Eine lineare Gleichung hat die Form $a \cdot x + b = 0$
Eine quadratische Gleichung hat die Form $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$
Zu den transzendenten Gleichungen zählen trigonometrische Gleichungen, Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen
Gleichungen können sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.

Nachweise

Kemnitz (2010). Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner Verlag
Böge (1995). Das Techniker Handbuch. Springer Fachmedien Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Arten von Gleichungen

Es gibt lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, algebraische Gleichungen und transzendente Gleichungen

Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche mit einem Gleichheitszeichen ( = ) voneinander getrennt werden.

Je nach Gleichungsart haben diese verschiedene Ausprägungsformen:

Algebraische Gleichungen:

- lineare Gleichung: ax + b = 0

- quadratische Gleichung: ax² + bx + c = 0

- Bruchgleichungen: 1 / (x + 1) = 0

- Wurzelgleichungen: √x

Transzendente Gleichungen:

- trigonometrische Gleichung: sin(2x)-1 = 0

- Exonentialgleichung: 2^x = 0

-Logarithmengleichung: log(x) = 0

Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen in einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt. Zu ihnen gehören die trigonometrischen Gleichungen, die Exponentialgleichung und die Logarithmengleichung.

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Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine Gleichung, in der die gesuchte Größe quadratisch vorkommt, nennt sich quadratische Gleichung.

Wie kann man eine quadratische Gleichung in der Normalform mit der quadratischen Ergänzung lösen?

Die Normalform wird dabei so umgewandelt, dass eine binomische Formel entsteht, aus der man die Wurzel ziehen kann.

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 2 = 14

x^2 - 2 = 14
x^2 = 16
x = +/- 4

x1 = 4
x2 = -4

Reinquadratische Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.

Achte beim Wurzelziehen darauf, dass sowohl 4^2 als auch (– 4)^2 als Ergebnis 16 haben. Deswegen muss es zwei Lösungen geben

Bestimme die Lösung der Gleichung x^2 - 5x - 6 = 0 mit der quadratischen Ergänzung

x^2 - 5x - 6 = 0
(x^2 - 2 * 2,5 x +2,5^2) - 2,5^2 - 6 = 0

(x - 2,5)^2 - 12,25 = 0
(x - 2,5)^2 = 12,25
(x - 2,5)^2 = +/- 3,5

x1 = 6
x2 = -1

Damit man die 2. binomische Formel erhält, muss man 2,52 addieren. Um die Gleichung insgesamt nicht zu verändern, muss man 2,52 auch wieder subtrahieren.

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.

x² = 0

x^2 = 6,25
x = +/- 2,5

x1 = 2,5

x2 = -2,5

Gib die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen an.

y² = 0

y = 0

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