Arten von Gleichungen

Du feierst heute deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Arten von Gleichungen Gleichung StudySmarter

    Welche unterschiedlichen Arten von Gleichungen es gibt, erfährst Du in folgender Staffel zum Thema Gleichungen.

    Arten von Gleichungen – Grundlagen

    Eine Gleichung erkennst Du innerhalb weniger Sekunden anhand eines einzigen Zeichens: dem Gleichheitszeichen; oder als Symbol dargestellt: "=".

    Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 1 an, welche die StudySmarter-Waage darstellt.

    Arten von Gleichungen Waage im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 1: Waage im Gleichgewicht

    Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

    Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung

    Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.

    Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck L=Rnotieren. Der Ausdruck "L =R" steht also für eine Gleichung, bei welcher linke Seite und R die rechte Seite gleich groß sind.

    Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block.

    Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, hätten wir ein Ungleichgewicht!

    Arten von Gleichungen Waage ins Gleichgewicht bringen StudySmarterAbbildung 2: Waage ins Gleichgewicht bringen

    Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:

    Aufgabe 1

    Stelle eine Gleichung für Abbildung 1 auf, wobei die Bausteine folgendes Gewicht aufweisen:

    Rot = 2 kg

    Türkis = 3 kg

    Orange = 4 kg

    Entferne anschließend in der Gleichung den türkisfarbenen Baustein, wie Abbildung 2 aufzeigt.

    Lösung

    Es ergibt sich folgende Gleichung:

    Rot + Türkis + Orange = Rot + Türkis + Orange

    Als nächsten Schritt wird das Gewicht anstelle der Begriffe eingesetzt.

    2 kg + 3 kg + 4 kg = 2 kg + 3 kg + 4 kg

    Um den türkisfarbenen Baustein zu entfernen, werden auf beiden Seiten die 3 kg abgezogen, um die Lösung zu erhalten.

    2 kg + 4 kg = 2 kg + 4 kg

    In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden. Sie stehen für einen gesuchten Wert (?).

    Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.

    ? + 12 = 18x + 12 =18

    Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine lineare Gleichung, welche den sogenannten algebraischen Gleichungen angehört. Welche weiteren Arten von Gleichungen es gibt und wie diese lineare Gleichung gelöst wird, folgt jetzt.

    Algebraische Gleichungen

    Eine algebraische Gleichung ist in der Mathematik wie folgt definiert:

    Zu algebraischen Gleichungen zählen alle Arten von Gleichungen, in welchen entweder addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, radiert oder potenziert wird.

    Auch die algebraischen Gleichungen kann man noch mal in verschiedene Gleichungsarten unterteilen.

    Lineare Gleichungen

    Lineare Gleichungen kommen Dir im Alltag sicher öfter unter. Auch im Matheunterricht tauchen sie immer wieder auf, Du solltest also alles Wichtige über sie wissen:

    Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form:

    a·x+b=0

    Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

    Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

    Lineare Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden: grafisch oder rechnerisch.

    Lineare Gleichung grafisch lösen

    Um eine Gleichung grafisch zu lösen, werden jeweils die beiden Seiten der Gleichung als einzelne Funktionen gesehen. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, gibt die Lösung der Gleichung an.

    Aufgabe 2

    Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung grafisch.

    x + 12 = 18

    Lösung

    Um die grafische Lösung zu ermitteln, werden beide Seiten der Gleichung als eigene Funktion genommen. Die linke Seite wird zur Funktion f(x), die rechte Seite wird zu g(x).

    f(x)=x+12g(x)=18

    Diese zwei Funktionen wiederum kannst Du jetzt in ein Koordinatensystem eintragen und deren Schnittpunkt einzeichnen.

    Arten von Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarterAbbildung 3: Lineare Gleichung grafisch lösen

    Der x-Wert des Schnittpunktes S gibt die Lösung der Gleichung an. Er liegt hier bei x=6.

    Dieses Beispiel kann auch rechnerisch gelöst werden. Wie das geht, lernst Du jetzt.

    Lineare Gleichung rechnerisch lösen

    Um eine lineare Gleichung rechnerisch lösen zu können, muss dafür gesorgt werden, dass die Variable der Gleichung (das x), allein auf einer Seite steht.

    Dies wird mithilfe von Äquivalenzumformungen erreicht. Das bedeutet, Du nimmst auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen vor und bringst damit das x alleine auf eine Seite der Gleichung.

    Gehe also einmal die Rechnung von Beginn an durch.

    Aufgabe 2

    Löse die Gleichung x + 12 = 18.

    Lösung

    Damit das x allein auf einer Seite steht, muss die 12 abgezogen werden, und zwar auf beiden Seiten.

    x + 12 = 18 | - 12x + 12 - 12 =18 - 12x =6

    Du musst also noch genau 6 Jahre bis zu Deiner Volljährigkeit warten.

    Sieh Dir unbedingt den Artikel Lineare Gleichungen an, um mehr zu diesem Thema zu erfahren!

    Neben den linearen Gleichungen gibt es noch weitere Arten, wie die quadratische Gleichung.

    Quadratische Gleichungen

    Die quadratische Gleichung ist in der Mathematik wie folgt definiert:

    Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

    a·x2+b·x+c=0

    Sie beinhaltet mindestens eine Variable, die in ihrer zweiten Potenz vorkommen.

    Die quadratische Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Parabel darstellen und es kann bis zu zwei Lösungen geben.

    Folgender Abschnitt zeigt auf, wie eine quadratische Gleichung grafisch und rechnerisch gelöst wird.

    Eine detailliertere Vorgehensweise findest Du im Artikel quadratische Gleichungen auf StudySmarter

    Quadratische Gleichung grafisch lösen

    Um eine quadratische Gleichung grafisch lösen zu können, gehst Du genauso wie bei der linearen Gleichung. Die quadratische Funktion wird in das Koordinatensystem eingezeichnet und anschließend der Schnittpunkt bestimmt.

    Aufgabe 3

    Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung grafisch.

    x2-1=0

    Lösung

    Schreibe dazu zunächst wieder beide Seiten der Gleichung als eigenständige Funktionen. Die linke Seite wird zu f(x), aus der echten Seite entsteht die Funktion g(x).

    f(x)=x2-1g(x)=0

    Zeichne nun beide Funktionen ins Koordinatensystem ein und ermittle den Schnittpunkt.

    Falls Du hierbei Hilfe benötigst, sieh Dir noch mal den Artikel Quadratische Funktionen an.

    Arten von Gleichungen Gleichung grafisch lösen StudySmarterAbbildung 4: Quadratische Gleichung grafisch lösen

    Die x-Werte der beiden Schnittpunkte x1=-1 und x2=1 ergeben die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Quadratische Gleichung rechnerisch lösen

    Eine quadratische Gleichung kann auf verschiedene Art und Weisen gelöst werden, abhängig vom Aufbau der Gleichung. Um jedoch jede quadratische Gleichung rechnerisch lösen zu können, gibt es eine konkrete Formel.

    Eine quadratische Gleichung kann mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden. Diese lautet wie folgt:

    x1,2 = -b ± b2 - 4 · a · c2 · a

    Diese Formel kannst Du für jede quadratische Gleichung verwenden.

    Wird eine Gleichung zuerst in die Normalform gebracht, kann die Lösung mithilfe der PQ-Formel berechnet werden. Die Formel lautet x1/2 = - p2 ± p22 - q.

    Die Vorgehensweise des Lösens einer typischen quadratischen mithilfe der Mitternachtsformel kann wie folgt aussehen:

    Aufgabe 4

    Löse folgende Gleichung nach x auf:

    3·x2 + 5·x + 2 = 0

    Lösung

    Um diese Aufgabe lösen zu können, wird als Erstes die sogenannte Mitternachtsformel aufgeschrieben.

    x1,2 = -b ± b2 - 4 · a · c2 · a

    Der Buchstabe a steht für die Zahl vor dem x zweiter Potenz, der Buchstabe b für jenen Wert vor dem x erster Potenz und der Buchstabe c steht für die Zahl ohne x.

    Schreibe Dir nun die passenden Werte für Deine Gleichung heraus.

    a =3 b = 5 c = 2

    Nun werden die Werte anstelle der Buchstaben in die Formel eingesetzt und die Gleichung mithilfe des Taschenrechners gelöst.

    x1,2 = -5 ± 52 - 4 · 3 · 22 · 3x1,2 = -5 ± 25 - 246x1,2 = -5 ± 16x1,2 = -5 ± 16x1 =-5-16= -66 = -1x2 =-5+16= -46 = - 23

    Um x1 zu erhalten, wird entweder das '+' oder '-' verwendet, das andere Vorzeichen dann für die zweite Lösung x2.

    Bruchgleichungen & Wurzelgleichungen

    Um Dir diese beiden Arten von Gleichungen vorstellen zu können, sieh Dir diese kurze Übersicht an:

    BruchgleichungenWurzelgleichungen
    Enthält mindestens einen Bruchterm mit der Unbekannten im Nenner.Die Variable tretet innerhalb der Wurzel auf.
    BeispielgleichungBeispielgleichung
    1x + 1 = 0x = 0
    BeispielfunktionBeispielfunktion
    f(x) = 1x + 1f(x) =x

    Gleichungsarten Bruchgleichung StudySmarterAbbildung 5: Bruchgleichung

    Gleichungsarten Wurzelgleichung StudySmarterAbbildung 6: Wurzelgleichung

    Lösung - VorgehensweiseLösung - Vorgehensweise
    1. Bestimmen der Definitionsmenge
    2. Faktorisierung der Nenner
    3. Finden des Hauptnenners
    4. Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
    5. Löse die normale Gleichung
    1. Bestimmen der Definitionsmenge (Wert unter der Wurzel muss in R >= 0 sein)
    2. Gleichung mit Wurzelexponent potenzieren
    3. Lösen der Gleichung

    Möchtest Du mehr zu den Themen Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen erfahren, sieh Dir unbedingt die Artikel hierzu auf StudySmarter an.

    Neben den algebraischen Gleichungen gibt es noch transzendente Gleichungen. Was diese sind, erfährst Du im folgenden Abschnitt.

    Transzendente Gleichungen

    Diese Arten von Gleichungen sind in der Mathematik wie folgt definiert:

    Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen mit einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt.

    Transzendente Funktionen sind Funktionen, welche weder Wurzelfunktionen noch Polynomfunktionen sind.

    Folgende Übersicht soll einen Einblick in die verschiedenen transzendenten Gleichungen geben und deren Merkmale aufzeigen.

    Trigonometrische GleichungExponentialgleichungLogarithmusgleichung
    Enthält Sinus, Cosinus oder TangensPotenz enthält ein xUmkehrfunktion der Exponentionalfunktion
    BeispielgleichungBeispielgleichungBeispielgleichung
    3·sin(2·x+1)-1 = 0 2x = 0log2x = 0
    BeispielfunktionBeispielfunktionBeispielfunktion
    f(x)=3·sin(2x+1)-1f(x) =2xf(x) = log2x

    Gleichungsarten Trigonometrische Gleichung StudySmarterAbbildung 7: Trigonometrische Gleichung

    Gleichungsarten Exponentialgleichung StudySmarterAbbildung 8: Exponentialgleichung

    Gleichungsarten Logarithmusgleichung StudySmarterAbbildung 9: Logarithmusgleichung

    Möchtest Du mehr über die Themen Exponential- und Logarithmusgleichungen oder Trigonometrische Gleichungen erfahren, dann sieh Dir den dazugehörigen Artikel auf StudySmarter an.

    Um Dein Wissen zum Thema Gleichungen zu vertiefen, gibt es im Folgenden ein paar Übungsbeispiele.

    Gleichungen Beispiele

    Kannst Du alle Beispiele meistern? Probiere es selbst mal aus.

    Aufgabe 5

    Löse folgende lineare Gleichung rechnerisch:

    3·x +6 = 24

    Lösung

    Damit die Unbekannte allein auf einer Seite steht, muss wie folgt vorgegangen werden:

    3·x +6 = 24 | Subtrahiere 63·x = 24 - 63·x = 18 | Dividiere durch 3x =183x = 6

    Die Lösung lautet x = 6.

    Aufgabe 6

    Löse folgende quadratische Gleichung rechnerisch und prüfe das Ergebnis grafisch.

    2·x2 - 3 ·x + 6 = 0

    Lösung

    Dieses Beispiel wird mithilfe der Mitternachtsformel gelöst, indem die Werte anstelle der Buchstaben a, b, c eingesetzt und die Gleichung gelöst wird.

    a = 2 b = -3 c = 6

    Diese Werte werden nun in die Formel eingesetzt.

    x1,2 = -b ± b2 - 4·a·c2·a | Setze die Werte einx1,2 = -(-3) ± (-3)2 - 4·2·62·2 x1,2 = 3 ± 9 - 484x1,2 = 3 ± -394 darf nicht negativ unter der Wurzel seinLösung = { } Keine Lösung im reellen Zahlenbereich

    Es sieht so aus, als hätte folgende quadratische Gleichung keine Lösung, was zugleich bedeutet, dass die Funktion keine Nullstelle bzw. keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat.

    Überprüfe das also grafisch:

    Gleichungsarten Aufgabe StudySmarterAbbildung 10: Aufgabe Gleichung lösen

    Das grafische Lösen bestätigt die Aussage, dass es keinen Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse hat. Die Lösung lautet demnach x = { }.

    Der Ausdruck "{ }" wird auch als die leere Menge bezeichnet und sagt aus, dass es keine Lösung gibt.

    Aufgabe 7

    Bei welcher der folgenden Gleichungen handelt es sich um eine Exponentialgleichung?

    ABCD
    3x + 1 - 4 = 0sin9x - 4 + 2 = 04x - 1 + 2 = 07x = 0

    Lösung

    Wenn sich das x in der Potenz innerhalb einer Gleichung befindet, dann handelt es sich um eine Exponentialgleichung, also in diesem Fall bei Antwort D.

    Aufgabe 8

    Bei welcher der folgenden Gleichungen handelt es sich um eine Bruchgleichung?

    ABCD
    3x + 1 - 4 = 0sin9x - 4 + 2 = 04x - 1 + 2 = 07x = 0

    Lösung

    Wenn sich das x innerhalb des Bruchs in einer Gleichung befindet, dann handelt es sich um eine Bruchgleichung, also in diesem Fall bei Antwort A.

    Arten von Gleichungen – Das Wichtigste

    • Gleichungen werden durch das Zeichen '=' gekennzeichnet.
    • Bei Gleichungen muss immer auf beiden Seiten dieselbe Rechnung durchgeführt werden.
    • Um eine Gleichung lösen zu können, muss die Unbekannte auf einer Seite allein stehen.
    • Zu den algebraischen Gleichungen gehören: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, Bruchgleichung, Wurzelgleichung
    • Eine lineare Gleichung hat die Form a · x + b = 0
    • Eine quadratische Gleichung hat die Form a · x2 + b · x + c = 0
    • Zu den transzendenten Gleichungen zählen trigonometrische Gleichungen, Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen
    • Gleichungen können sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.

    Nachweise

    1. Kemnitz (2010). Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner Verlag
    2. Böge (1995). Das Techniker Handbuch. Springer Fachmedien Wiesbaden.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Arten von Gleichungen

    Welche Arten von Gleichungen gibt es?


    Es gibt lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, algebraische Gleichungen und transzendente Gleichungen

    Was gehört alles zu Gleichungen?


    Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche mit einem Gleichheitszeichen ( = ) voneinander getrennt werden.

    Wie können Gleichungen aussehen?


    Je nach Gleichungsart haben diese verschiedene Ausprägungsformen:

    Algebraische Gleichungen:

    - lineare Gleichung:  ax + b = 0

    - quadratische Gleichung: ax² + bx + c = 0

    - Bruchgleichungen: 1 / (x + 1) = 0

    - Wurzelgleichungen: √x 

    Transzendente Gleichungen:

    - trigonometrische Gleichung: sin(2x)-1 = 0

    - Exonentialgleichung: 2^x = 0 

    -Logarithmengleichung: log(x) = 0 

      

    Was sind transzendente Gleichungen? 

    Unter transzendenten Gleichungen versteht man jene Gleichungen in einer Unbekannten, bei welcher mindestens eine transzendente Funktionen vorkommt. Zu ihnen gehören die trigonometrischen Gleichungen, die Exponentialgleichung und die Logarithmengleichung.

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