Elias soll im Matheunterricht den Term lösen. Dabei hat er jedoch Schwierigkeiten, da er nicht weiß, welche Zahlen er zuerst miteinander verrechnen soll. Elias versucht trotzdem, den Term zu berechnen und kommt auf das Ergebnis -36. Ob das richtig ist?
Um Terme korrekt zu berechnen, gibt es gewisse Regeln, die das Lösen vereinfachen. Diese können genutzt werden, um einen Term zu strukturieren. Wie das funktioniert, erfährst Du in dieser Erklärung!
Termstruktur
Terme können eine Vielfalt an Elementen enthalten. So kann ein Term nur eine Variable oder eine Zahl sein, aber auch eine Verknüpfung von vielen verschiedenen Rechenoperationen, Variablen und Zahlen. Da kann es manchmal ziemlich unübersichtlich werden, wenn es ans Rechnen geht. Als Einstieg ist es sinnvoll, sich erst einmal eine Wiederholung zu Termen anzuschauen!
Terme – Wiederholung
Terme begegnen Dir regelmäßig im Fach Mathematik. Deshalb ist es wichtig, die konkrete Definition von Termen zu kennen, um korrekt mit ihnen zu rechnen.
Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Rechenoperationen . Dabei darf ein Term keine Ungleichheitszeichen oder Gleichheitszeichen enthalten.
Die Rechenoperationen, die in Termen enthalten sein können, sind die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
Was genau gilt jetzt als Term und was nicht?
Terme versus Gleichungen/Ungleichungen
Gleichungen und Ungleichungen enthalten die mathematischen Zeichen und gelten somit nicht als Term. Wie das genau aussieht, kannst Du Dir in dem folgenden Beispiel anschauen.
| Term | kein Term | Warum? |
| | - ist ein sinnvoller Ausdruck und somit ein Term
- ist ein unvollständiger Ausdruck, da nach dem Divisionszeichen keine Zahl oder Variable mehr folgt
|
| | - ist ein sinnvoller Ausdruck und deshalb ein Term
- enthält ein Ungleichheitszeichen und ist somit eine Ungleichung und kein Term
|
| | - ist eine sinnvolle Verknüpfung mathematischer Elemente und damit ein Term
- enthält ein Gleichheitszeichen und ist damit eine Gleichung und kein Term
|
Terme können ziemlich lang werden und wenn es dann ans Terme lösen oder vereinfachen geht, ist es wichtig die Übersicht zu behalten.
Termstruktur bestimmen
Um die Struktur eines Terms zu bestimmen, gibt es gewisse Vorrangregeln, die angeben, in welcher Reihenfolge der Term zu berechnen oder zu vereinfachen ist. Eine Vorrangregel kennst Du vielleicht schon, die lautete "Punkt vor Strich".
- Klammern auflösen.
- Potenzen berechnen.
- Punktrechnung (Multiplikation/Division).
- Strichrechnung (Addition/Subtraktion).
Allgemein gilt auch: Terme werden von links nach rechts berechnet.
Um dann – mithilfe dieser Rechengesetze – einen die Struktur eines Terms zu bestimmen, kannst Du zur Veranschaulichung einen Gliederungsbaum aufstellen. Der Gliederungsbaum beginnt bei der Strichrechnung und geht in Schritten bis hin zu den Elementen, die in der Klammer stehen.
Termarten
Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Rechenoperationen. Diese Rechenoperationen entsprechen den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Dabei lassen sich Terme, die diese Rechenoperationen enthalten, in verschiedene Arten unterteilen.
| Summenterm | Differenzterm | Produktterm | Quotiententerm |
 Abbildung 1: Summenterm
|  Abbildung 2: Differenzterm
|  Abbildung 3: Produktterm
|  Abbildung 4: Divisionsterm
|
Diese verschiedenen Termarten spielen auch eine Rolle bei der Aufstellung eines Gliederungsbaums.
Termstruktur angeben
Es gibt mehrere Arten, eine Termstruktur anzugeben. In diesem Artikel erfährst Du die Methode mit einem Gliederungsbaum und einem Rechenbaum. Schau Dir als Erstes den Gliederungsbaum an.
Ein Gliederungsbaum, der die Struktur eines Terms beschreibt, beginnt bei der Berechnung, die als Letztes gemacht wird.
Der Gliederungsbaum ähnelt dem Baumdiagramm. Das Baumdiagramm kennst Du vielleicht schon aus dem Unterricht.
Der Gliederungsbaum hat verschiedene Äste. Aus jeder Abzweigung entspringen zwei weitere Äste. Fast wie bei einem richtigen Baum!
Ast mit zwei Abzweigungen
Am Ende der Äste stehen entweder einzelne Zahlen oder Variablen des Terms oder Rechenoperationen, aus denen – wie bei Abzweigungen – weitere Äste folgen.
Terme strukturieren und berechnen
Wie das Strukturieren eines Terms genau aussieht, kannst Du Dir in den folgenden Beispielen anschauen.
Terme strukturieren – Gliederungsbaum
Schau Dir zuerst die Struktur eines Terms anhand eines Gliederungsbaum an.
Aufgabe 1
Erstelle einen Gliederungsbaum, der die Struktur des Terms id="2994540" role="math" wiedergibt.
Lösung
Der Gliederungsbaum beginnt mit einer ersten Abzweigung. An dieser steht immer die Rechenoperation, die bei dem Term als letztes berechnet wird. Das ist bei diesem Term die Differenz .
Abbildung 5: Erste Zeile Gliederungsbaum
Als Letztes wird also der Differenzterm berechnet. Der Differenzterm besteht aus Minuend und Subtrahend. Hier ist der Minuend die Zahl 15. Der Subtrahend ist das Produkt . An dem Produkt entsteht eine weitere Abzweigung.
Abbildung 6: Zweite Zeile Gliederungsbaum
Ein Produkt besteht aus zwei Elementen, und zwar dem 1. Faktor und dem 2. Faktor. Der 1. Faktor ist in diesem Term die Zahl 18. Der 2. Faktor ist die Summe, die in der Klammer steht . Auch die Zahlen werden in den Gliederungsbaum eingetragen:
Abbildung 7: Dritte Zeile Gliederungsbaum
Die Summe besteht aus dem 1. und 2. Summanden. Das sind die zwei Zahlen in der Klammer, 9 und 5. Mit diesem Gliederungsbaum hast Du die Struktur des Terms bestimmt. Zuerst wird der Summenterm in der Klammer berechnet, dann der Produktterm und zuletzt der Differenzterm. Die Lösung des Terms sieht also so aus:
Das Ergebnis des Terms beträgt .
Bedenke immer die Vorrangregeln. Dann sollte beim Strukturieren und Berechnen von Termen auch nichts schiefgehen!
Terme strukturieren – Rechenbaum
Der Rechenbaum hat eine ähnliche Struktur wie der Gliederungsbaum. Der Unterschied zwischen den beiden Bäumen ist, dass der Rechenbaum keine Beschreibung der Termart enthält. Außerdem wird in dem Rechenbaum in Zwischenschritten das Ergebnis direkt reingeschrieben. Am Ende erhältst Du in einem Termbaum das Endergebnis.
Aufgabe 2
Erstelle einen Rechenbaum, der die Struktur des Terms wiedergibt.
Lösung
Ein Rechenbaum, der die Struktur des Terms angibt, sieht so aus:
Abbildung 8: Rechenbaum
Wie Du siehst, wird das Ergebnis beim Rechenbaum direkt berechnet und reingeschrieben. Am Ende siehst Du das Endergebnis des Terms. Außerdem wird im Rechenbaum die Rechnung, die nach Vorrangregeln zuerst gemacht wird in die erste Zeile geschrieben, und die die zuletzt geschieht dementsprechend in die letzte Zeile. Im Gliederungsbaum ist das genau andersherum. Der Rechenbaum enthält ebenfalls die Angabe der Rechenoperationen.
Terme haben aber nicht immer nur Zahlen und Rechenoperationen enthalten. Auch Terme, in denen Variablen stehen, lassen sich nach diesem Muster sortieren. Ab jetzt wird die Termstruktur nur anhand von Gliederungsbäumen dargestellt.
Terme strukturieren mit Variablen
Wenn Variablen in einem Term stehen, müssen sie im Gliederungsbaum auch beachtet werden.
Wichtige Erinnerung: Steht eine Zahl unmittelbar vor einer Variable (diese Zahl wird Koeffizient genannt), so befindet sich dazwischen ein Malzeichen, das weggelassen wurde. Aus wird . Das zählt aber auch zu einer Rechenoperation und muss im Gliederungsbaum notiert werden.
Das kannst Du Dir anhand des nächsten Beispiels anschauen.
Aufgabe 2
Veranschauliche die Struktur des Terms anhand eines Gliederungsbaums.
Hier können mehrere Abzweigungen auf einer Ebene stehen!
Lösung
Hier sind drei unterschiedliche Variablen enthalten, die jeweils einen Koeffizient haben. Weil der Koeffizient direkt vor den Variablen steht und dieser Term nicht weiter vereinfacht werden kann, ist das Malnehmen des Koeffizient der erste Schritt und steht somit am Ende des Gliederungsbaums.
Die Rechenoperation, die als Letztes durchgeführt wird, ist das Addieren von .
Abbildung 9: Gliederungsbaum erste Zeile
Danach folgt im Gliederungsbaum die Division von dem Restterm durch :
Abbildung 10: Zweite Zeile Gliederungsbaum
Weil die Subtraktion in der Klammer steht, ist sie die nächste Rechenoperation im Gliederungsbaum.
Abbildung 11: Dritte Zeile Gliederungsbaum
Wie anfangs schon erwähnt, wird das Verrechnen der Koeffizienten mit den Variablen als Erstes durchgeführt und steht somit an letzter Stelle des Gliederungsbaums.
Abbildung 12: Vierte Zeile Gliederungsbaum
Der Gliederungsbaum ist ziemlich lang geworden, oder? Den Term kannst Du jedoch nicht weiter vereinfachen.
Terme aufstellen, strukturieren und berechnen
Terme können reale Verhältnisse darstellen. Auch aufgestellte Terme lassen sich anhand eines Gliederungsbaums veranschaulichen.
Wenn Du Dir das Aufstellen von Termen genau anschauen willst, dann schau gerne in den Artikel "Terme aufstellen" rein.
Aufgabe 3
Luisa und Matteo wollen in ihrem Garten 30 verschieden Pflanzen einpflanzen lassen. Dafür beauftragen sie eine Firma, die ihnen folgendes Angebot macht:
- 30 Pflanzen für 20 € pro Stück
- 2 Gärtner kommen zum Einpflanzen für 17 € die Stunde
- Die Gärtner arbeiten insgesamt 10 Stunden
Stelle einen Term auf, der diesen Sachverhalt darstellt und bestimme seine Struktur. Berechne danach, wie viel Geld Luisa und Matteo zahlen müssen.
Lösung
Zuerst werden die Pflanzen eingekauft. Dafür berechnet die Firma 20 € pro Pflanze.
Dazu kommt der Lohn für die zwei Gärtner, der 17€ die Stunde beträgt.
Die Gärtner arbeiten dann insgesamt 10 Stunden:
Damit hast Du den fertigen Term aufgestellt. Jetzt kannst Du mithilfe eines Gliederungsbaums die Termstruktur beschreiben. Am Ende sollte die Struktur des Gliederungsbaums folgendermaßen aussehen:
Abbildung 13: Gliederungsbaum Term
Zuletzt kannst Du den Term berechnen, um herauszufinden, wie viel die Firma insgesamt von Luisa und Matteo verlangt.
Das Ergebnis des Terms ist 940. Das Ergebnis kannst Du jetzt in einem Antwortsatz in Kontext bringen:
Die Firma verlangt 940 € von Luisa und Matteo, um die Pflanzen in ihrem Garten zu pflanzen.
Und, bist Du bereit für ein paar Übungen?
Termstruktur Übungen
Hier kannst Du Dein Wissen überprüfen! Solltest du irgendwo hängen oder Fragen haben, ist das kein Problem; scroll einfach hoch und lies Dir die Abschnitte nochmal durch.
Aufgabe 4
Bestimme und begründe, welcher der folgenden Gliederungsbäume zu dem Term gehört.
1.
Abbildung 14: Gliederungsbaum 1
2.
Abbildung 15: Gliederungsbaum 2
Lösung
Der Gliederungsbaum in Abbildung Nummer 1 beschreibt die Struktur des Term . Zuerst werden die Variablen a und b mit ihren Koeffizienten 8 und 5 multipliziert (). Gleichzeitig wird der Differenzterm in der Klammer berechnet. Danach wird das Ergebnis der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer berechnet (). Dann wird das Ergebnis mit 8a addiert. Zuletzt wird 5b davon subtrahiert.
Aufgabe 5
Elias' Lösung des Terms beträgt -36. Überprüfe sein Ergebnis, indem Du einen Gliederungsbaum aufstellst. Berechne am Ende das Ergebnis des Terms.
Lösung
Abbildung 16: Elias' Gliederungsbaum
So sieht die Termstruktur des Terms anhand eines Gliederungsbaums aus. Um die Lösung des Terms zu berechnen, kannst Du den Baum von unten nach oben ablaufen.
Zuerst rechnest Du den Summenterm in der Klammer aus:
Danach berechnest Du die zwei Produktterme:
Und zuletzt wird der Differenzterm berechnet:
Damit lag Elias mit seinem Ergebnis falsch. Das richtige Ergebnis des Terms beträgt 17.
Terme strukturieren – Das Wichtigste
- Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Rechenoperationen
- Bei der Vereinfachung von Termen, gibt es eine gewisse Reihenfolge:
- 1) Klammern auflösen
- 2) Potenzen berechnen
- 3) Punktrechnung
- 4) Strichrechnung
- Um lange Terme zu vereinfachen oder zu ordnen, ohne Fehler zu machen, ist es sinnvoll einen Gliederungsbaum oder Rechenbaum aufzustellen
- Der Gliederungsbaum gibt die Reihenfolge der Rechenoperationen an
- Bei dem Gliederungsbaum wird die letzte Zeile zuerst berechnet und die Erste zuletzt
- Beim Rechenbaum wird die erste Zeile zuerst berechnet und die Letzte zuletzt
- Im Rechenbaum werden die Zahlen und Variablen direkt miteinander verrechnet
Nachweise
- Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.
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