Die ganzen Zahlen sind ein stetiger Begleiter in unserem Alltag. Sie erlauben es Dir, mit negativen Zahlen zu rechnen. Neben der Nutzung einer Zahlengeraden und dem schriftlichen Multiplizieren ganzer Zahlen, wirst Du in dieser Erklärung Tricks und Rechenregeln kennenlernen, um ganze Zahlen zu multiplizieren.
Ganze Zahlen multiplizieren – Wiederholung
Um ganze Zahlen multiplizieren zu können, benötigst Du ein Verständnis für die einzelnen Zahlenmengen und weitere Grundrechenoperationen.
Zahlenmenge – Ganze Zahlen
Zahlen können in Mengen eingeteilt werden. Eine davon ist die Menge der ganzen Zahlen \( \mathbb{Z}\), die aus den positiven und negativen ganzzahligen Werten besteht.
Zum Beispiel bei Temperaturen oder auf Deinem Konto können sowohl positive als auch negative Werte auftreten. So sind beispielsweise die Zahlen \(- 3\) oder \(- 0\) Teil der ganzen Zahlen, ebenso wie die Zahl \(5\).
Die ganzen Zahlen können anschaulich an einer Zahlengeraden dargestellt werden.
Dabei gilt, dass die Zahlen nach rechts immer größer werden, nach links nimmt dagegen der Wert ab.
\[-1 < 0\]
\[2 < 3\]
Deshalb können die Zahlen wie folgt sortiert werden:
Abb. 2 – Ganze Zahlen multiplizieren Zahlengerade
Dies kannst Du auch in der Erklärung Zahlen ordnen näher betrachten.
Weitere Zahlenmengen sind übrigens zum Beispiel die Natürlichen Zahlen \( \mathbb{N}\), die Rationalen Zahlen \( \mathbb{Q}\) und die Reellen Zahlen \( \mathbb{R}\).
Möchtest Du mehr über Zahlenmengen erfahren, kannst Du in diesen Erklärungen vorbeisehen:
Multiplikation – Begriffe
Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten. Sie besteht aus folgenden Elementen:
\begin{align} \textcolor{#1478c8}{1. Faktor} \cdot \textcolor{#00DCb4}{2. Faktor} &= \textcolor{#fa3273}{Produkt} \\ \textcolor{#1478c8}{3} \cdot \textcolor{#00DCb4}{2} &= \textcolor{#fa3273}{6}\end{align}
Daneben gibt es noch die Addition, Subtraktion und die Division. Hier soll es allerdings vorrangig um die Multiplikation gehen.
Multiplikation ganzer Zahlen Einführung
Weiter geht es mit der Multiplikation der ganzen Zahlen, damit der Einkauf im Supermarkt auch perfekt funktioniert.
Multiplikation ganzer Zahlen – allgemein
Die Multiplikation ist in der Mathematik eine Form der Addition. Sie ist vor allem bei großen Zahlenmengen wichtig.
Die Multiplikation ist die Verkürzung der Addition von gleichen Zahlen. Dabei entsprechen die Zahlen Faktoren, die mit einem Mal-Zeichen verbunden werden.
Die Multiplikation für ganze Zahlen funktioniert ähnlich wie die Multiplikation für positive Zahlen. Unterschiede wirst Du später erfahren.
Zur Wiederholung die Fachbegriffe der Multiplikation, die Du in folgender Grafik sehen kannst:
\begin{align} \underbrace{ \underbrace { \overset{ \color{#1478c8}{ \ \text{1. Faktor}} } {\overset{ \downarrow} {\color{#00dcb4}{ 3}}} { \color{#1478c8}{\cdot}} \overset{ \color{#1478c8}{ \text{ 2. Faktor}} } {\overset{ \downarrow}{ \color{#00dcb4}{ 2} }} }_{ \color{#1478c8}{Produkt}} \color{#000000}{ \color{#1478c8}{=}} \overset{ \color{#1478c8}{ \text{Wert des Produkts}} } {\overset{ \downarrow} {\color{#fa3273}{ 6}}} }_{ \color{#1478c8}{Multiplikation}}\end{align}
Das bedeutet also, die Multiplikation beschreibt zusätzlich das Ergebnis des Produkts. Während ein Produkt ausschließlich die Faktoren beinhaltet, die in diesem Fall ganze Zahlen sind.
Ganze Zahlen multiplizieren – Zahlengerade
Die Multiplikation kannst Du Dir wie eine mehrfache Addition desselben Werts vorstellen. Dies kannst Du auch an einer Zahlengerade darstellen, bei der Du die fortgesetzte Addition zeigen kannst. Das Ergebnis ist dabei das, worauf der letzte Pfeil zeigt.
Du kannst das Beispiel aus dem Supermarkt verwenden. Dabei kannst Du sagen, dass Du eine Packung mit 3 Äpfeln kaufst, und noch eine. Das bedeutet, dies kann geschrieben werden als:
\[3 + 3 = 6\]
Da jedoch die Zahl \(3\) insgesamt \(2\) mal vorkommt, lässt sich dies umschreiben als:
\[2 \cdot 3 = 6\]
Somit ist die Multiplikation als mehrfache Addition an einer Zahlengeraden zu zeigen.
Abb. 3 – Ganze Zahlen multiplizieren Zahlengerade.
Es wird also zweimal ein Pfeil der Länge \(3\) beginnend bei der Null angetragen, wobei das Ergebnis \(6\) ist.
Das Beispiel der Zahlengeraden kann auch für negative Zahlen verwendet werden. Zusammen mit den Rechenregeln wirst Du im nächsten Kapitel mehr erfahren.
Die Zahl \(6\) stellt dabei ein Vielfaches von \(3\) dar. Sieh dazu gerne bei der Erklärung Vielfaches vorbei.
Rechenregeln ganze Zahlen und negative Zahlen multiplizieren
Es gibt einige Rechenregeln und Rechengesetze für ganze Zahlen. Dabei kannst Du unterscheiden, ob Du speziell auf negative Zahlen eingehen möchtest oder allgemein.
Rechenregeln ganze Zahlen
Für das Multiplizieren ganzer Zahlen gelten grundsätzlich zwei Gesetze, die wichtig in der Mathematik sind und übrigens auch für die Addition immer gelten.
Dabei betrachtest Du sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz.
Das Kommutativgesetz beschreibt, dass die Reihenfolge der Faktoren auch vertauscht werden kann.
Bei mehr als 3 Faktoren kann anhand des Assoziativgesetzes eine Klammer beliebig gesetzt werden.
Sieh dazu folgende Tabelle an:
| Rechenregel | Allgemein | Beispiel (Multiplikation) |
| Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) | \begin{align}a\cdot b &=b \cdot a \\ a+b&=b+a \end{align} | \begin{align} 5 \cdot 4 &= 4 \cdot 5 \\ &= 20 \end{align} |
| Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz) | \begin{align} (a\cdot b) \cdot c &= a \cdot (b\cdot c) \\ (a+b)+c&=a+(b+c) \end{align} | \begin{align} (2 \cdot 4) \cdot 5 &= 2 \cdot (4 \cdot 5) \\ 8 \cdot 5 &= 2 \cdot 20 \\ 40 &= 40 (\text{w}) \end{align} |
In diesem Zusammenhang wirst Du oftmals auch vom Distributivgesetz hören. Dies ist grundsätzlich auch ein wichtiges Rechengesetz, wird jedoch bei bloßer Betrachtung der Multiplikation für ganze Zahlen nicht wichtig sein. Du benötigst dazu nämlich mindestens noch eine Addition oder Subtraktion in Deiner Rechnung.
Negative Zahlen multiplizieren
Betrachtest Du auch die negativen Zahlen für eine Multiplikation, so gibt es 4 verschiedene Konstellationen, wenn Du ganze Zahlen multiplizierst. Das Ergebnis ändert sich nämlich abhängig von den Vorzeichen. Die folgende Tabelle zeigt dies auf:
| \(\pmb{\cdot}\) | \(\textcolor{#00DCb4}{Plus}\) | \(\textcolor{#fa3273}{Minus}\) |
| \(\textcolor{#00DCb4}{Plus}\) | \(\textcolor{#00DCb4}{Plus}\) | \(\textcolor{#fa3273}{Minus}\) |
| \(\textcolor{#fa3273}{Minus}\) | \(\textcolor{#fa3273}{Minus}\) | \(\textcolor{#00DCb4}{Plus}\) |
Die Zahl und sein negatives Vorzeichen sollten dabei in Klammern geschrieben werden.
Das bedeutet, um bei der Multiplikation für Zahlen mit Vorzeichen auf das Ergebnis zu kommen, gehst Du diese Schritte durch:
- Bestimme das Vorzeichen für die Multiplikation über die Rechenregeln aus der Tabelle.
- Multipliziere die Beträge der Zahlen, also deren positiven Werte.
Um herauszufinden, was ein Betrag ist, schaue doch gerne bei der Erklärung Betrag und Gegenzahl vorbei.
Nun kannst Du das Prinzip über eine Tabelle üben.
Aufgabe 1
Dir ist eine Tabelle gegeben mit jeweils einer Multiplikation für auch negative Zahlen. Bestimme für die jeweilige Tabellenzelle zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses und dann das Ergebnis selbst.
| \(3 \cdot 4\) | \(7 \cdot (-8)\) |
| \( (-5) \cdot 3\) | \( (-5) \cdot (-6) \) |
Lösung
Denke an die Tabelle zuvor und erstelle erst das Vorzeichen. Danach kannst Du das Endergebnis angeben. Die Regeln lauten:
\begin{align} + \cdot + &= + \\ + \cdot - &= - \\ - \cdot + &= - \\ - \cdot - &= + \end{align}
Vorzeichen: \( + \cdot + = + \) \(3 \cdot 4 = + 12\) | Vorzeichen: \( + \cdot - = - \) \(7 \cdot (-8) = - 56\) |
Vorzeichen: \( - \cdot + = - \) \( (-5) \cdot 3 = - 15\) | Vorzeichen: \( - \cdot - = + \) \( (-5) \cdot (-6) = 30\) |
Du kannst auch gerne bei der Erklärung Multiplizieren vorbeisehen.
Ganze Zahlen schriftlich multiplizieren
Das schriftliche Multiplizieren verwendest Du, wenn Du selbst nicht im Kopf multiplizieren kannst, da beispielsweise die Zahlen zu groß sind.
Grundsätzlich arbeitest Du bei der schriftlichen Multiplikation für ganze Zahlen stellenweise und führst dann eine Addition der einzelnen Teilergebnisse durch. Dabei soll Dir ein Beispiel bis zum Ergebnis zeigen, wie Du schriftlich multiplizierst.
Allgemein kannst Du in diesen Schritten vorgehen:
Faktoren nebeneinander schreiben
Höchste Stelle der rechten Zahl mit der linken Zahl stellenweise multiplizieren
Nächste Stelle der rechten Zahl mit der linken Zahl stellenweise multiplizieren
Wiederholung von Schritt 3
Diese Schritte der schriftlichen Multiplikation für ganze Zahlen wird Dir einzeln erläutert.
| Schritte | Erklärung |
| 1 | Die Faktoren werden sauber nebeneinander geschrieben. Du brauchst darunter einige Zeilen Platz. \begin{array}{ccccc} \color{#1478c8}{1}&\color{#1478c8}{6}&\color{#1478c8}{1}& \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#1478c8}{3}&\color{#1478c8}{8} \\ \hline &&&&&& \\ &&&&&& \\ &&&&&& \\ \hline \end{array} |
| 2 | Als Nächstes betrachtest Du die höchste Stelle (also die linke Stelle) der rechten Zahl und multiplizierst diese als Einzelzahl mit jeder Stelle der linken Zahl von rechts nach links. Dabei gelten für das Anschreiben der jeweiligen Ergebnisse folgende Regeln: - Ergebnis einstellig (<10): Du kannst das Ergebnis direkt ins Kästchen schreiben. \[1\cdot 3=3 \rightarrow \text{Schreibe 3} \]
- Ergebnis zweistellig (>9): Du schreibst die hinterste Ziffer des Ergebnisses ins Kästchen und merkst Dir die vorderste Stelle. \[6\cdot 3=18 \rightarrow \text{Schreibe 8, Merke 1}\] Die gemerkte Zahl wird bei der nächsten Multiplikation addiert. (Ausnahme: Bei der letzten Multiplikation kannst Du das komplette Ergebnis aufschreiben).
Die Ergebnisse werden nach der Reihenfolge in das Kästchen unter die hier genutzte Ziffer des zweiten Faktors und anschließend in die Kästchen links daneben geschrieben. |
| 3 | Anschließend betrachtest Du die nächste Stelle der rechen Zahl und multiplizierst sie Schritt für Schritt mit der kompletten linken Zahl nach den Regeln aus Schritt 2. Denke hierbei an den möglichen Übertrag aus der Rechnung zuvor. |
| 4 | Schritt 3 wird so lange wiederholt, bis alle Ziffern der rechten Zahl multipliziert wurden. Danach addierst Du die Zwischenergebnisse stellenweise. |
Das Beste ist es nun, diese Schritte praktisch an einem Beispiel zu üben.
Führe die Multiplikation der Zahlen \(156\) und \(32\) schriftlich durch.
Schritt 1:
Als Erstes schreibst Du die Zahlen sauber nebeneinander. Dafür verwendest Du am besten kariertes Papier und schreibst jede Ziffer in ein Kästchen.
Du brauchst darunter so viele Zeilen, wie die rechte Zahl Stellen hat für die einzelnen Multiplikationen und noch eine Zeile für die Addition am Ende.
\begin{array}{ccccc} \color{#1478c8}{1}&\color{#1478c8}{5}&\color{#1478c8}{6}& \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#1478c8}{3}&\color{#1478c8}{2} \\ \hline &&&&&& \\ &&&&&& \\ &&&&&& \\ \hline \end{array}
Schritt 2:
Als Nächstes betrachtest Du die höchste Stelle der rechten Zahl – also die \(3\) – und multiplizierst sie Schritt für Schritt mit der kompletten linken Zahl – also der \(156\). Bei der Multiplikation gehst Du von rechts nach links vor.
\begin{array}{ccccc} \color{#00DCb4}{1}&\color{#00DCb4 }{5}&\color{#00DCb4}{6}& \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#00DCb4}{3}&\color{#1478c8}{2}\\ \hline &&\color{#fa3273}{4}&\color{#fa3273}{6}&\color{#fa3273 }{8}&\\ &&&&&& \\ &&&&&& \\ \hline \end{array}
Die Zahl \(468\) entsteht wie folgt:\begin{align} 6 \cdot 3 &= 18 && \text{Schreibe 8, merke 1} \\ 5 \cdot 3 + 1 &= 16 && \text{Schreibe 6, merke 1} \\ 1 \cdot 3 + 1 &= 4 && \text{Schreibe 4} \end{align}
Schritt 3:
Anschließend betrachtest Du die nächste Stelle der rechen Zahl – also die \(2\) – und multiplizierst sie Schritt für Schritt mit der kompletten linken Zahl – also der \(156\). Auch hier solltest Du eventuell einen Übertrag merken.
\begin{array}{ccccc} \color{#00DCb4}{1}&\color{#00DCb4 }{5}&\color{#00DCb4 }{6}& \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#1478c8}{3}&\color{#00DCb4 }{2}\\ \hline &&\color{#1478c8}{4}&\color{#1478c8}{6}&\color{#1478c8}{8}&\\&&&\color{#fa3273}{3}&\color{#fa3273 }{1}&\color{#fa3273 }{2} \\ &&&&&& \\ \hline \end{array}
In diesem Beispiel kommst Du wie folgt auf das Ergebnis \(312\).
\begin{align} 6 \cdot 2 &= 12 && \text{Schreibe 2, merke 1} \\ 5 \cdot 2 + 1 &= 11 && \text{Schreibe 1, merke 1} \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 && \text{Schreibe 3} \end{align}
Schritt 4:
Keine Ziffern der rechten Zahl sind mehr übrig. Damit startet die Addition der jeweiligen Multiplikation.
\begin{array}{ccccc} \color{#1478c8}{1}&\color{#1478c8}{5}&\color{#1478c8}{6}& \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#1478c8}{3}&\color{#1478c8}{2}\\ \hline &&\color{#1478c8}{4}&\color{#1478c8}{6}&\color{#1478c8}{8}&\\&&&\color{#1478c8}{3}&\color{#1478c8}{1}&\color{#1478c8}{2}\\ \hline &&\color{#00dcb4}{4}&\color{#00dcb4}{9}&\color{#00dcb4}{9}&\color{#00dcb4}{2} \end{array}
Das Ergebnis der Multiplikation lautet:
\[156 \cdot 32 = 4992 \]
Ganze Zahlen multiplizieren Trick
Es gibt gewisse Tricks bei der Multiplikation, die Du verwenden kannst. Diese beziehen sich vor allem auf die Vorzeichen oder auf die Multiplikation großer Zahlen.
Ganze Zahlen multiplizieren – Vorzeichen
In manchen Berechnungen kann es mehr als nur zwei Faktoren geben. Möchtest Du dabei herausfinden, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist, reicht es die Anzahl an negativen Faktoren anzusehen.
Gibt es nämlich eine ungerade Anzahl an negativen Faktoren, ist das Ergebnis immer negativ.
Multiplizierst Du eine gerade Anzahl an negativen Faktoren, so ist das Ergebnis positiv.
Das siehst Du in der Tabelle für die unterschiedlichen Möglichkeiten bei drei Rechenzeichen.
| Gerade Anzahl negativer Zahlen | Ungerade Anzahl negativer Zahlen |
| \( + \cdot + \cdot + = + \) | \( + \cdot + \cdot - = - \) |
| \( + \cdot - \cdot - = + \) | \( + \cdot - \cdot + = - \) |
| \( - \cdot + \cdot - = + \) | \( - \cdot + \cdot + = - \) |
| \( - \cdot - \cdot + = + \) | \( - \cdot - \cdot - = - \) |
Dies kannst Du an folgendem Beispiel üben.
Aufgabe 2
Multipliziere diese Faktoren. Gebe zuvor das Vorzeichen für das Ergebnis an.
\[2 \cdot (-1) \cdot (-3) \cdot 2 \cdot (-3) \]
Lösung
Zähle zuerst die Anzahl der negativen Zahlen. Dies entspricht \(3\), nämlich die folgenden Zahlen: \(-1; -3; -3\).
Damit lautet das Vorzeichen des Ergebnisses: \(-\).
Multipliziere nun einzeln diese Faktoren aus. In diesem Fall wird von links nach rechts durchmultipliziert.
\begin{align} 2 \cdot (- 1) \cdot (- 3) \cdot 2 \cdot (- 3) &= - 2 \cdot (-3) \cdot 2 \cdot (- 3) \\ &= 6 \cdot 2 \cdot (- 3) \\ &= 12 \cdot (-3) \\ &= - 36 \end{align}
Das heißt das Ergebnis dieser Multiplikation für ganze Zahlen ist \(- 36\).
Ganze Zahlen multiplizieren – große Zahlen
Du kannst auch eine Multiplikation mit größeren Zahlen im Kopf berechnen, indem Du die einzelnen Zahlen in ihre Ziffern aufteilst und berechnest. So ist es möglich, von der Einerstelle einer Zahl bis hin zur ersten Stelle zu gehen und die einzelnen Zahlen aufzuaddieren.
Du möchtest folgende Zahlen miteinander multiplizieren.
\[312 \cdot 9\]
Ohne einer schriftlichen Addition scheint es schwierig, diese Zahlen zu multiplizieren. Doch sieh Dir jeweils die einzelnen Stellen an und berechne sie einzeln. Zum Schluss wird alles aufaddiert.
Dazu teilst Du die große Zahl in einzelne Stellen auf:
\[ \textcolor{#fa3273}{3} \textcolor{#00dcb4}{1} \textcolor{#1478c8}{2}\]
Jede Stelle wird nun einzeln berechnet und in der jeweiligen Farbe dargestellt.
\begin{align} \textcolor{#1478c8}{2} \cdot 9 &= \textcolor{#1478c8}{18} \end{align}
Merke Dir dieses Ergebnis oder schreibe es auf. Danach schaust Du Dir die 10er-Stelle an.
\begin{align} \textcolor{#00dcb4} {10} \cdot 9 &= \textcolor{#00dcb4}{90} \end{align}
Jetzt geht es um die 100er-Stelle.
\begin{align} \textcolor{#fa3273} {300} \cdot 9 &= \textcolor{#fa3273}{27} \cdot \textcolor{#fa3273}{100} \\ &= \textcolor{#fa3273}{2700}\end{align}
Zum Schluss addierst Du alle Teilergebnisse auf und Du erhältst:
\begin{align} 18 + 90 + 2700 &= 2790 + 18 \\ &= 2808 \end{align}
Ganze Zahlen multiplizieren Aufgaben
Damit Du ganze Zahlen multiplizieren kannst, ist es am besten, dies mit Aufgaben zu üben. Dazu findest Du umfangreiche Rechenschritte.
Aufgabe 3
Berechne folgende Multiplikation schriftlich:
\[9876 \cdot 5\]
Lösung
Die Lösung dieser Aufgabe funktioniert wie folgt:
\begin{align} 6 \cdot 5 &= 30 && \text{Schreibe 0, merke 3} \\ 7 \cdot 5 + 3 &= 38 &&\text{Schreibe 8, merke 3} \\ 8 \cdot 5 + 3 &= 43 &&\text{Schreibe 3, merke 4} \\ 9 \cdot 5 + 4 &= 49 &&\text{Schreibe 49} \end{align}
Mit dieser einen Multiplikation ist das Ergebnis bereits gegeben und Du brauchst keine Addition mehr.
\begin{array}{ccccc} \color{#1478c8}{9}&\color{#1478c8}{8}&\color{#1478c8}{7} &\color{#1478c8}{6} &\color{#1478c8}{\cdot} &\color{#00dcb4}{5}\\ \hline &\color{#00dcb4}{4}&\color{#00dcb4}{9}&\color{#00dcb4}{3}&\color{#00dcb4}{8}&\color{#00dcb4}{0} \end{array}
Aufgabe 4
Berechne die Multiplikation \(59 \cdot 36\) ebenfalls schriftlich.
Lösung
Dazu benötigst Du insgesamt 3 Schritte. Nämlich zwei Multiplikationen und eine Addition der Teilergebnisse.
Schritt 1 (\(59 \cdot 3\)):
\begin{align} 9 \cdot 3 &= 27 && \text{Schreibe 7, merke 2} \\ 5 \cdot 3 + 2 &= 17 && \text{Schreibe 17} \end{align}
Schritt 2 (\(59 \cdot 6\)):
\begin{align} 9 \cdot 6 &= 54 && \text{Schreibe 4, merke 5} \\ 5 \cdot 6 + 5 &= 35 && \text{Schreibe 35} \end{align}
Schritt 3 (Addition):
Nun werden die beiden Teilergebnisse aufaddiert, entweder im Kopf oder über die schriftliche Addition.
\[1770 + 354 = 2124\]
\begin{array}{ccccc} \color{#1478c8}{5}&\color{#1478c8}{9}& \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#00dcb4}{3}&\color{#fa3273}{6}\\ \hline &\color{#00dcb4}{1}&\color{#00dcb4}{7}&\color{#00dcb4}{7}&\\&&\color{#fa3273}{3}&\color{#fa3273}{5}&\color{#fa3273}{4}\\ \hline &\color{#1478c8}{2}&\color{#1478c8}{1}&\color{#1478c8}{2}&\color{#1478c8}{4} \end{array}
Aufgabe 5
Multipliziere \(486 \cdot 519\) schriftlich.
Lösung
Diese Aufgabe ist die umfangreichste mit insgesamt 4 Schritten.
Schritt 1 (\(486 \cdot 5\)):
\begin{align} 6 \cdot 5 &= 30 && \text{Schreibe 0, merke 3} \\ 8 \cdot 5 + 3 &= 43 && \text{Schreibe 3, merke 4} \\ 4 \cdot 5 + 4 &= 24 &&\text{Schreibe 24} \end{align}
Schritt 2 (\(486 \cdot 1\)):
\begin{align} 6 \cdot 1 &= 6 && \text{Schreibe 6} \\ 8 \cdot 1 &= 8 && \text{Schreibe 8} \\ 4 \cdot 1 &= 4 &&\text{Schreibe 4} \end{align}
Schritt 3 (\(486 \cdot 9\)):
\begin{align} 6 \cdot 9 &= 54 && \text{Schreibe 4, merke 5} \\ 8 \cdot 9 + 5 &= 77 && \text{Schreibe 7, merke 7} \\ 4 \cdot 9 + 7 &= 43 &&\text{Schreibe 43} \end{align}
Für die Addition ergibt sich:
\[243000 + 4860 + 4374 = 252.234 \]
\begin{array}{ccccccc} \color{#1478c8}{4}&\color{#1478c8}{8}& \color{#1478c8}{6} & \color{#1478c8}{\cdot} &\color{#00dcb4}{5}&\color{#fa3273}{1}&\color{#8363e2}{9} \\ \hline &\color{#00dcb4}{2}&\color{#00dcb4}{4}&\color{#00dcb4}{3}&\color{#00dcb4}{0} &&\\&&&\color{#fa3273}{4}&\color{#fa3273}{8}&\color{#fa3273}{6}&\\&&&\color{#8363e2}{4}&\color{#8363e2}{3}&\color{#8363e2}{7}&\color{#8363e2}{4} \\ \hline &\color{#1478c8}{2}&\color{#1478c8}{5}&\color{#1478c8}{2}&\color{#1478c8}{2} &\color{#1478c8}{3}&\color{#1478c8}{4} \end{array}
Schriftlich multiplizieren - Das Wichtigste
- Eine der Zahlenmengen ist die Menge der ganzen Zahlen \( \mathbb{Z}\), die aus den positiven und negativen ganzzahligen Werten besteht.
- Die Multiplikation besteht aus dieser Form: \( \underbrace{ \underbrace{ \text{1. Faktor} \cdot \text{2. Faktor}}_{Produkt} = \text{Wert des Produkts} }_{Multiplikation} \)
- Die Ganzen Zahlen lassen sich an einer Zahlengeraden ordnen.
- Für die Multiplikation gilt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
- Werden gleiche Vorzeichen miteinander multipliziert, ist das Ergebnis positiv; werden unterschiedliche Vorzeichen multipliziert, ist das Ergebnis negativ (für zwei Zahlen).
- Das schriftliche Multiplizieren funktioniert wie folgt:
- Faktoren nebeneinander schreiben
- Höchste Stelle der rechten Zahl mit der linken Zahl stellenweise multiplizieren
- Nächste Stelle der rechten Zahl mit der linken Zahl stellenweise multiplizieren
- Wiederholung mit allen weiteren Stellen
- Keine Ziffern der rechten Zahl mehr übrig – Addition der einzelnen Multiplikationen
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