In diesem Artikel betrachten wir das Kommutativgesetz, eines der drei wichtigsten Rechengesetze. Neben dem Kommutativgesetz gibt es noch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Diese drei Rechengesetze helfen dir, lange Terme zu strukturieren und zu berechnen.
Wiederholung: Was sind Rechengesetze?
Bevor wir uns das Kommutativgesetz genau anschauen, wollen wir noch einmal kurz wiederholen, was ein Rechengesetz ist und wofür wir es benötigen.
Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
Ein Rechengesetz gibt dir also vor, wie du in bestimmten Situationen Rechnungen auszuführen hast. Es sagt dir zum Beispiel, welchen Teil der Rechnung du zuerst berechnen musst. Genauso wie bei Gesetzen im Alltag passiert etwas Unschönes, wenn man dagegen verstößt. Das Ergebnis der Rechnung wird falsch, und in der Mathematik-Prüfung bekommst du wahrscheinlich einen Punkt Abzug.
Neben den Rechengesetzen gibt es noch ein paar Rechenregeln, wie die Klammerregeln oder die Vorrangregeln.
Kommutativgesetz – Erklärung und Beispiele
Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Es erlaubt dir, in bestimmten Rechnungen zwei Zahlen zu vertauschen.
Beim Addieren oder Multiplizieren ist es egal, in welcher Reihenfolge die Summanden oder Faktoren aufgeschrieben und miteinander verrechnet werden.
Das Kommutativgesetz gilt für alle Zahlen, egal ob sie rational, reell, ganz oder natürlich sind.
Das Kommutativgesetz gilt jedoch nicht immer: beim Subtrahieren und Dividieren verändert sich das Ergebnis, wenn Minuend und Subtrahend oder Dividend und Divisor vertauscht werden.
Das kann man schnell mithilfe von zwei Gegenbeispielen sehen:
Gegenbeispiel für das Kommutativgesetz der Subtraktion:
Gegenbeispiel für das Kommutativgesetz der Division:
Die Ergebnisse der Rechnungen mit vertauschten Zahlen stimmen nicht mit den jeweils oberen Rechnungen überein. Daher gilt hier das Kommutativgesetz nicht.
Das Kommutativgesetz gilt also nur für die Addition und die Multiplikation. Deshalb wird auch öfters vom Kommutativgesetz der Addition und vom Kommutativgesetz der Multiplikation gesprochen.
Wie genau diese beiden Gesetze aussehen, schauen wir uns jetzt nacheinander an.
Kommutativgesetz der Addition
Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man die Reihenfolge der Summanden vertauschen kann und das Ergebnis dabei gleich bleibt.
Formal definiert, sieht es wie folgt aus:
Kommutativgesetz der Addition
Für alle Zahlen a und b gilt:
Dieses Rechengesetz erlaubt dir also, die Summanden in einer Summe beliebig zu vertauschen. Das Ergebnis bleibt trotzdem dasselbe.
Ein paar Rechenbeispiele:
Das Kommutativgesetz der Addition ist besonders hilfreich, wenn man nicht nur zwei Summanden, sondern mehrere Summanden hat. Dann ist es nämlich manchmal leichter und geschickter, wenn man bestimmte Summanden zuerst addiert.
Aufgabe 1
Berechne geschickt!
Lösung
Schau dir diese Summe einmal genauer an. Mit dem Kommutativgesetz im Hinterkopf könnte dir auffallen, dass sich 123 und 77 perfekt auf 200 ergänzen und dass die Summe aus 9 und 41 auch schön ist. In jedem Fall schöner, als wenn du starr von links nach rechts addierst.
Wenden wir also das Kommutativgesetz der Addition an, um diesen Rechenvorteil zu nutzen!
Ist dir das Kommutativgesetz der Addition sowieso schon klar? Dann kannst du in der folgenden Vertiefung lernen, wie du mit einem kleinen Trick das Kommutativgesetz doch beim Subtrahieren anwenden kannst.
Wenn du das Kommutativgesetz der Addition aber gerade erst in der Schule gelernt hast und dir noch nicht ganz sicher damit bist, dann kannst du den Kasten einfach überspringen und dich mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation beschäftigen.
Das Kommutativgesetz in Differenzen
Wenn du dir eine Sache bewusst machst, dann ist es auch möglich, das Kommutativgesetz der Addition in Differenzen anzuwenden:
Eine Differenz ist nichts anderes als eine Summe mit einer negativen Zahl.
Es ist also möglich, jede Differenz in eine Summe umzuwandeln. Und in Summen darf man bekanntlich das Kommutativgesetz anwenden.
Wichtig ist jedoch, dass das Vorzeichen jeder Zahl fest mit der Zahl verbunden ist und bei der Anwendung des Kommutativgesetzes zusammen mit der Zahl vertauscht werden muss. In dem Beispiel von eben würde das wie folgt aussehen:
Praktisch, oder? Es ermöglicht dir nämlich, auch in Termen, in denen Summen und Differenzen vorkommen, das Kommutativgesetz der Addition anzuwenden.
Kommutativgesetz der Multiplikation
Das Kommutativgesetz der Multiplikation funktioniert genauso wie das Kommutativgesetz der Addition. Es besagt, dass man die Reihenfolge der Faktoren innerhalb eines Produkts vertauschen kann und das Ergebnis dabei gleich bleibt.
Formal definiert sieht es wie folgt aus:
Kommutativgesetz der Multiplikation
Für alle Zahlen a und b gilt:
Schauen wir uns auch hier ein paar Rechenbeispiele an:
Vielleicht ist dir das Kommutativgesetz schon unbewusst aufgefallen, als du das kleine Einmaleins in der Grundschule gelernt hast. Manchmal ist es einfach angenehmer, wenn die Faktoren beim Multiplizieren vertauscht werden. Jetzt weißt du offiziell, dass du das auch machen darfst!
Auch das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt für beliebig viele Faktoren. Hierbei kannst du durch geschicktes Vertauschen Rechenvorteile gewinnen und benötigst vielleicht nicht einmal den Taschenrechner.
Aufgabe 2
Überlege dir, wie du geschickt an die folgende Rechnung rangehen kannst:
Lösung
Ein geschicktes Auge erkennt, dass das Produkt aus 4 und 125 eine ziemlich schöne Zahl ergibt, nämlich 500. Gleichzeitig kannst du auch schon das Produkt aus 9 und 5 bilden und sparst dir so einen Rechenschritt.
Es wäre aber auch möglich gewesen, zuerst das Produkt aus 4 und 5 zu berechnen, das ist nämlich 20, auch eine schöne Zahl.
Wie du siehst, kannst du das Kommutativgesetz so anwenden, wie es dir persönlich am liebsten zum Rechnen ist.
Kommutativgesetz – Division
Das Kommutativgesetz in Quotienten
Genauso wie beim Subtrahieren gibt es einen Trick, mit dem du das Kommutativgesetz der Multiplikation auch beim Dividieren verwenden darfst.
Dazu müssen wir uns eine kleine Wiederholung aus der Bruchrechnung anschauen:
Bekanntermaßen gilt beim Dividieren mit Brüchen die Regel:
Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
Diese Regel kann man auch auf ganze Zahlen oder natürliche Zahlen übertragen: wenn ich durch eine Zahl teilen möchte, dann kann ich ebenso mit ihrer Kehrzahl oder ihrem Kehrwert multiplizieren.
Hat man also einen Quotienten in ein Produkt umgewandelt, kann man das Kommutativgesetz der Multiplikation darauf anwenden:
Wenn du das und die vorherige Vertiefung verstanden hast, ist es also möglich, in Termen mit beliebigen Rechenzeichen das Kommutativgesetz sinnvoll anzuwenden.
Kommutativgesetz – Aufgaben und Beispiele
Damit du fit im Einsatz des Kommutativgesetzes wirst und schnell mögliche Rechenvorteile entdeckst, folgen nun einige Übungsaufgaben für dich!
Aufgabe 3
Berechne die folgenden Terme geschickt, indem du das Kommutativgesetz der Addition und das Kommutativgesetz der Multiplikation anwendest.
Lösungen
zu 1.
zu 2.
zu 3.
zu 4.
Kommutativgesetz – Das Wichtigste
- Das Kommutativgesetz ist neben dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz eines der drei wichtigsten Rechengesetze der Mathematik.
- Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
- Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation, nicht aber für die Subtraktion und die Division.
- Betrachtet man die Subtraktion als Addition mit einer negativen Zahl und wandelt man die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrbruch um, so kann man auch das Kommutativgesetz anwenden.
- Das Kommutativgesetz der Addition lautet: für alle Zahlen a und b gilt:
- Das Kommutativgesetz der Addition gilt auch für Summen, die mehr als zwei Summanden haben.
- Das Kommutativgesetz der Multiplikation lautet: für alle Zahlen a und b gilt:
- Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt auch für Produkte, die mehr als zwei Faktoren haben.
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