Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Kommutativgesetz

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Kommutativgesetz

In diesem Artikel betrachten wir das Kommutativgesetz, eines der drei wichtigsten Rechengesetze. Neben dem Kommutativgesetz gibt es noch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Diese drei Rechengesetze helfen dir, lange Terme zu strukturieren und zu berechnen.

Wiederholung: Was sind Rechengesetze?

Bevor wir uns das Kommutativgesetz genau anschauen, wollen wir noch einmal kurz wiederholen, was ein Rechengesetz ist und wofür wir es benötigen.

Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.

Ein Rechengesetz gibt dir also vor, wie du in bestimmten Situationen Rechnungen auszuführen hast. Es sagt dir zum Beispiel, welchen Teil der Rechnung du zuerst berechnen musst. Genauso wie bei Gesetzen im Alltag passiert etwas Unschönes, wenn man dagegen verstößt. Das Ergebnis der Rechnung wird falsch, und in der Mathematik-Prüfung bekommst du wahrscheinlich einen Punkt Abzug.

Neben den Rechengesetzen gibt es noch ein paar Rechenregeln, wie die Klammerregeln oder die Vorrangregeln.

Alle wichtigen Rechengesetze und Rechenregeln findest du im Kapitel "Rechengesetze" erklärt!

Kommutativgesetz Erklärung und Beispiele

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Es erlaubt dir, in bestimmten Rechnungen zwei Zahlen zu vertauschen.

Beim Addieren oder Multiplizieren ist es egal, in welcher Reihenfolge die Summanden oder Faktoren aufgeschrieben und miteinander verrechnet werden.

Das Kommutativgesetz gilt für alle Zahlen, egal ob sie rational, reell, ganz oder natürlich sind.

Das Kommutativgesetz gilt jedoch nicht immer: beim Subtrahieren und Dividieren verändert sich das Ergebnis, wenn Minuend und Subtrahend oder Dividend und Divisor vertauscht werden.

Das kann man schnell mithilfe von zwei Gegenbeispielen sehen:

Gegenbeispiel für das Kommutativgesetz der Subtraktion:

Gegenbeispiel für das Kommutativgesetz der Division:

Die Ergebnisse der Rechnungen mit vertauschten Zahlen stimmen nicht mit den jeweils oberen Rechnungen überein. Daher gilt hier das Kommutativgesetz nicht.

Das Kommutativgesetz gilt also nur für die Addition und die Multiplikation. Deshalb wird auch öfters vom Kommutativgesetz der Addition und vom Kommutativgesetz der Multiplikation gesprochen.

Wie genau diese beiden Gesetze aussehen, schauen wir uns jetzt nacheinander an.

Kommutativgesetz der Addition

Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man die Reihenfolge der Summanden vertauschen kann und das Ergebnis dabei gleich bleibt.

Formal definiert, sieht es wie folgt aus:

Kommutativgesetz der Addition

Für alle Zahlen a und b gilt:

Kommutativgesetz Kommutativgesetz der Addition Formel StudySmarter

Dieses Rechengesetz erlaubt dir also, die Summanden in einer Summe beliebig zu vertauschen. Das Ergebnis bleibt trotzdem dasselbe.

Ein paar Rechenbeispiele:

Das Kommutativgesetz der Addition ist besonders hilfreich, wenn man nicht nur zwei Summanden, sondern mehrere Summanden hat. Dann ist es nämlich manchmal leichter und geschickter, wenn man bestimmte Summanden zuerst addiert.

Aufgabe 1

Berechne geschickt!

Lösung

Schau dir diese Summe einmal genauer an. Mit dem Kommutativgesetz im Hinterkopf könnte dir auffallen, dass sich 123 und 77 perfekt auf 200 ergänzen und dass die Summe aus 9 und 41 auch schön ist. In jedem Fall schöner, als wenn du starr von links nach rechts addierst.

Wenden wir also das Kommutativgesetz der Addition an, um diesen Rechenvorteil zu nutzen!

Ist dir das Kommutativgesetz der Addition sowieso schon klar? Dann kannst du in der folgenden Vertiefung lernen, wie du mit einem kleinen Trick das Kommutativgesetz doch beim Subtrahieren anwenden kannst.

Wenn du das Kommutativgesetz der Addition aber gerade erst in der Schule gelernt hast und dir noch nicht ganz sicher damit bist, dann kannst du den Kasten einfach überspringen und dich mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation beschäftigen.

Das Kommutativgesetz in Differenzen

Wenn du dir eine Sache bewusst machst, dann ist es auch möglich, das Kommutativgesetz der Addition in Differenzen anzuwenden:

Eine Differenz ist nichts anderes als eine Summe mit einer negativen Zahl.

Es ist also möglich, jede Differenz in eine Summe umzuwandeln. Und in Summen darf man bekanntlich das Kommutativgesetz anwenden.

Wichtig ist jedoch, dass das Vorzeichen jeder Zahl fest mit der Zahl verbunden ist und bei der Anwendung des Kommutativgesetzes zusammen mit der Zahl vertauscht werden muss. In dem Beispiel von eben würde das wie folgt aussehen:

Praktisch, oder? Es ermöglicht dir nämlich, auch in Termen, in denen Summen und Differenzen vorkommen, das Kommutativgesetz der Addition anzuwenden.

Kommutativgesetz der Multiplikation

Das Kommutativgesetz der Multiplikation funktioniert genauso wie das Kommutativgesetz der Addition. Es besagt, dass man die Reihenfolge der Faktoren innerhalb eines Produkts vertauschen kann und das Ergebnis dabei gleich bleibt.

Formal definiert sieht es wie folgt aus:

Kommutativgesetz der Multiplikation

Für alle Zahlen a und b gilt:

Kommutativgesetz Kommutativgesetz der Multiplikation Formel StudySmarter

Schauen wir uns auch hier ein paar Rechenbeispiele an:

Vielleicht ist dir das Kommutativgesetz schon unbewusst aufgefallen, als du das kleine Einmaleins in der Grundschule gelernt hast. Manchmal ist es einfach angenehmer, wenn die Faktoren beim Multiplizieren vertauscht werden. Jetzt weißt du offiziell, dass du das auch machen darfst!

Auch das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt für beliebig viele Faktoren. Hierbei kannst du durch geschicktes Vertauschen Rechenvorteile gewinnen und benötigst vielleicht nicht einmal den Taschenrechner.

Aufgabe 2

Überlege dir, wie du geschickt an die folgende Rechnung rangehen kannst:

Lösung

Ein geschicktes Auge erkennt, dass das Produkt aus 4 und 125 eine ziemlich schöne Zahl ergibt, nämlich 500. Gleichzeitig kannst du auch schon das Produkt aus 9 und 5 bilden und sparst dir so einen Rechenschritt.

Es wäre aber auch möglich gewesen, zuerst das Produkt aus 4 und 5 zu berechnen, das ist nämlich 20, auch eine schöne Zahl.

Wie du siehst, kannst du das Kommutativgesetz so anwenden, wie es dir persönlich am liebsten zum Rechnen ist.

Kommutativgesetz Division

Das Kommutativgesetz in Quotienten

Genauso wie beim Subtrahieren gibt es einen Trick, mit dem du das Kommutativgesetz der Multiplikation auch beim Dividieren verwenden darfst.

Dazu müssen wir uns eine kleine Wiederholung aus der Bruchrechnung anschauen:

Bekanntermaßen gilt beim Dividieren mit Brüchen die Regel:

Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

Diese Regel kann man auch auf ganze Zahlen oder natürliche Zahlen übertragen: wenn ich durch eine Zahl teilen möchte, dann kann ich ebenso mit ihrer Kehrzahl oder ihrem Kehrwert multiplizieren.

Hat man also einen Quotienten in ein Produkt umgewandelt, kann man das Kommutativgesetz der Multiplikation darauf anwenden:

Wenn du das und die vorherige Vertiefung verstanden hast, ist es also möglich, in Termen mit beliebigen Rechenzeichen das Kommutativgesetz sinnvoll anzuwenden.

Kommutativgesetz Aufgaben und Beispiele

Damit du fit im Einsatz des Kommutativgesetzes wirst und schnell mögliche Rechenvorteile entdeckst, folgen nun einige Übungsaufgaben für dich!

Kommutativgesetz Übungsaufgaben Aufgaben Beispiele StudySmarter

Aufgabe 3

Berechne die folgenden Terme geschickt, indem du das Kommutativgesetz der Addition und das Kommutativgesetz der Multiplikation anwendest.

Lösungen

zu 1.

zu 2.

zu 3.

zu 4.

Kommutativgesetz Das Wichtigste

  • Das Kommutativgesetz ist neben dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz eines der drei wichtigsten Rechengesetze der Mathematik.
  • Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
  • Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und die Multiplikation, nicht aber für die Subtraktion und die Division.
  • Betrachtet man die Subtraktion als Addition mit einer negativen Zahl und wandelt man die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrbruch um, so kann man auch das Kommutativgesetz anwenden.
  • Das Kommutativgesetz der Addition lautet: für alle Zahlen a und b gilt:
  • Das Kommutativgesetz der Addition gilt auch für Summen, die mehr als zwei Summanden haben.
  • Das Kommutativgesetz der Multiplikation lautet: für alle Zahlen a und b gilt:
  • Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt auch für Produkte, die mehr als zwei Faktoren haben.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz ist eines der wichtigsten Rechengesetze der Mathematik. Es erlaubt dir, beim Addieren und beim Multiplizieren Summanden bzw. Faktoren zu vertauschen. Deshalb wird es auch Vertauschungsgesetz genannt.

Du darfst das Kommutativgesetz innerhalb von Summen (also beim Addieren) und innerhalb von Produkten (also beim Multiplizieren) anwenden. Beim Subtrahieren und Dividieren darfst du es jedoch nicht anwenden. Wenn du hier Zahlen vertauscht, dann ändert sich das Ergebnis der Rechnung.

Das Kommutativgesetz erlaubt dir, in Summen und Produkten Zahlen zu vertauschen, um so Rechenvorteile zu erlangen. Das Assoziativgesetz erlaubt dir dagegen, in Summen und Produkten Klammern zu setzen, um bestimmte Rechnungen zuerst zu machen. So sparst du dir den Schritt des Vertauschens.


Das Kommutativgesetz der Multiplikation erlaubt dir, beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren zu verändern. Es gilt für alle Zahlen a und b: a · b = b · a

Finales Kommutativgesetz Quiz

Frage

Erkläre, was beim Kommutativgesetz passiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Wird das Kommutativgesetz angewendet, wird in einer Addition oder Multiplikation die Reihenfolge der Zahlen vertauscht. Dadurch verändert sich das Endergebnis nicht.

Frage anzeigen

Frage

Gilt das Kommutativgesetz auch für die Subtraktion


Erkläre deine Antwort.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion. Du darfst nicht einfach Minuend und Subtrahend vertauschen. 

Hierzu ein einfaches Gegenbeispiel:


Du kannst aber jede Subtraktion in eine Addition mit der Gegenzahl umwandeln. Dann kannst du das Kommutativgesetz trotzdem anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Gilt das Kommutativgesetz auch für die Division?


Begründe deine Antwort.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division. Du darfst in einer Division den Dividend und de Divisor nicht einfach vertauschen, denn dadurch veränderst du das Ergebnis.


Hierzu ein Gegenbeispiel:


Du kannst aber jede Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert umwandeln. Dann kannst du das Kommutativgesetz trotzdem anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Kommutativgesetz der Addition?

Antwort anzeigen

Antwort

Für alle Zahlen a und b gilt:



Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Kommutativgesetz der Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Für alle Zahlen a und b gilt:



Frage anzeigen

Frage

Berechne diese Aufgabe geschickt, indem du das Kommutativgesetz anwendest:



Antwort anzeigen

Antwort

Hast du gesehen, dass sich einige Zahlen auf ganze Hunderter oder ganze Zehner ergänzen?



Sortiere die Summanden entsprechend um und addiere anschließend:



Frage anzeigen

Frage

Berechne diese Aufgabe geschickt, indem du das Kommutativgesetz anwendest.



Antwort anzeigen

Antwort

Hast du die Faktoren gefunden, die sich zu besonders schönen Zahlen multiplizieren?



Wende also das Kommutativgesetz an, vertausche also die 4 und die 5 und berechne dann geschickter.



Frage anzeigen

Frage

Berechne diese Aufgabe geschickt, indem du das Kommutativgesetz anwendest. 




Vorsicht auf die Minuszeichen!

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Rechnung ist keine reine Summe. Wenn wir die Minuszeichen bei der jeweils dahinterstehenden Zahl lassen, dürfen wir das Kommutativgesetz aber trotzdem anwenden.

Wir sortieren also geschickt um und berechnen:



Frage anzeigen

Frage

In welcher der folgenden Aufgabe darfst du das Kommutativgesetz nicht einfach so anwenden?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welches ist das Kommutativgesetz?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wo wurde das Kommutativgesetz falsch auf den Term  angewendet?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wo wurde das Kommutativgesetz richtig auf den Term angewendet

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn man in einem Term mit Strichrechnungen (+ und -) die Termglieder zusammen mit dem Vorzeichen, das vor ihnen steht, vertauscht, dann ist die Umformung richtig.

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Umformungen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Forme den folgenden Term mithilfe des Kommutativgesetzes so um, dass du ihn weiter zusammenfassen kannst:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
Mehr zum Thema Kommutativgesetz
60%

der Nutzer schaffen das Kommutativgesetz Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.