Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Rang einer Matrix

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Rang einer Matrix

In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit dem Rang einer Matrix auf sich hat und zeigen dir anhand von Tipps, Tricks und Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Matrizen.

Was ist überhaupt eine Matrix?

Über Matrizen können Daten strukturiert dargestellt werden. Daten werden meist tabellarisch aufbereitet, wobei diese Informationen auch vereinfacht in Form einer Matrix dargestellt werden können. Eine Matrix setzt sich zusammen aus m Zeilen und n Spalten und ihren Elementen . Durch strukturelle Datenaufbereitung können beispielsweise Lineare Gleichungssysteme oder Lineare Abbildungen vereinfacht in Matrixform dargestellt werden. Dadurch lassen sich verschiedene Rechenoperationen mit Matrizen bewerkstelligen. Eine (m x n)-Matrix hat demnach folgende Form:

Matrizendarstellung:

Die Elemente einer Matrix sind definiert durch Skalare (reelle Zahlen) oder deren Platzhalter. Bei der Angabe, bzw. Schreibweise einer Matrix ist zu beachten, dass zuerst die Zeilennummer und anschließend die Spaltennummer angegeben wird. Beispielsweise findet man das Element in der zweiten Zeile und sechsten Spalte einer (m x n)-Matrix.

Eine Matrix besteht in der Regel aus einer rechteckigen oder quadratischen Anordnung an Elementen, kann aber auch nur über einen einzelnen Vektor definiert werden. Dabei unterscheidet man Spaltenvektoren und Zeilenvektoren:

  • Spaltenvektor: Matrix mit nur einer Spalte [n=1]
  • Zeilenvektor: Matrix mit nur einer Zeile [m=1].

Die Matrixschreibweise, bzw. die Matrix an sich ist eine kurze, treffende und angenehme Schreibweise für mathematische Probleme, Methoden und Daten. Matrizen können addiert, subtrahiert und multipliziert, jedoch nicht dividiert werden. Wichtig! Die Matrizendivision ist in der Mathematik nicht definiert!

Wann benötige ich den Rang einer Matrix?

Unter dem Rang einer Matrix A versteht man die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren einer Matrix A. Man addiert die Zeilenvektoren der Matrix, die ungleich 0 sind auf und erhält als Summe den Matrizenrang. Allgemein gilt, dass die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spaltenvektoren der maximalen Anzahl an linear unabhängigen Zeilenvektoren einer (m x n)-Matrix entspricht.

Ein Zeilenvektor oder ein Spaltenvektor einer Matrix A ist genau dann linear unabhängig, wenn sich der Vektor nicht als Linearkombination anderer Vektoren innerhalb der Matrix A abbilden lässt. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig.

So sind beispielsweise die Vektoren linear abhängig, da der sich der Vektor c aus der Summe der Vektoren a und b zusammensetzt [a + b = c].

Um den Rang einer (m x n)-Matrix zu bestimmen wird diese mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren auf linear abhängige Vektoren überprüft, sodass schlussendlich die Zeilenvektoren ungleich null übrig sind und den Rang der Matrix definieren. Für den Rang einer (m x n)-Matrix B gilt:

Wichtig! Das Gaußsche Eliminationsverfahren wird angewendet um Lineare Gleichungssysteme (LGS) durch Umformen und Rückwärtseinsetzen zu lösen.

Für quadratische Matrizen [m=n] gilt:

  • Der Rang einer quadratischen (2x2)-Matrix C entspricht wenn für die Matrix eine Determinante ungleich null existiert: .
  • Der Rang einer quadratischen (3x3)-Matrix D entspricht wenn für die Matrix eine Determinante ungleich null existiert: .
  • Der Rang einer quadratischen (mxm)-(nxn)-Matrix E entspricht wenn für die Matrix eine Determinante ungleich null existiert: .

Wichtig! Jeder quadratischen Matrix kann eine bestimmte Determinante zugeordnet werden, die sich aus den Werten der Matrix einfach errechnen lässt. Die Determinante ist schlussendlich eine einfache Zahl, bzw. ein Skalar, dass sich über eine bestimmte Matrix definiert und beim Invertieren von Matrizen oder bei der Flächenberechnung verwendet wird.

Für die transponierte Matrix einer beliebigen Matrix A gilt: . Außerdem ist der Rang der Nullmatrix O immer gleich null .

IMPORTANT TO KNOW!

Wenn du dein Gedächtnis noch etwas auffrischen willst oder du dich fragst was es überhaupt mit Matrizen dem Gaußschen Eliminationsverfahren, der Determinante oder der transponierten Matrix auf sich hat, so empfehlen wir dir vorab unsere Artikel dazu zu lesen.

Jetzt bist du startklar und wir können sofort mit der konkreten Berechnung des Rangs einer (m x n)-Matrix mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens loslegen!

Rang einer Matrix – Anwendung und Übung

Im Folgenden sehen wir Beispiele, wie der Rang einer quadratischen Matrix und einer (m x n)-Matrix über die Determinante, bzw. das Gaußsche Eliminationsverfahren bestimmt werden kann.

Rang einer (m x n)-Matrix – Funktionsbeispiel 1

Um die Berechnung des Matrizenrangs einer allgemeinen (m x n)-Matrix nachvollziehen zu können, stellen wir jetzt ein Kochrezept, das Gaußsche Eliminationsverfahren, für den Rechenweg anhand eines Funktionsbeispiels vor:

Im folgenden Beispiel wird das Ergebnis mit linear abhängigen Zeilenvektoren in der Ausgangsmatrix veranschaulicht.

Rechenweg und Funktionsbeispiel 1:

Gegeben ist die Matrix

Im ersten Schritt werden die Zeilenvektoren und nach dem Gaußschen Schema miteinander verrechnet, sodass das Element gleich null ergibt. Demnach wird der zweite Zeilenvektor mit (-2) multipliziert und anschließend mit dem ersten Zeilenvektor addiert. Der resultierende Zeilenvektor wird als neuer Vektor für die zweite Zeile eingetragen, während der erste Zeilenvektor bestehen bleibt.

Im zweiten Schritt werden die Zeilenvektoren nach dem Gaußschen Schema miteinander verrechnet, sodass das Element gleich null ergibt. Demnach wird der dritte Zeilenvektor mit dem ersten Zeilenvektor addiert. Der resultierende Zeilenvektor wird als neuer Vektor für die dritte Zeile eingetragen, während der erste Zeilenvektor bestehen bleibt.

]

Im dritten Schritt werden die Zeilenvektoren nach dem Gaußschen Schema miteinander verrechnet, sodass das Element gleich null ergibt. Demnach wird der dritte Zeilenvektor von dem zweiten Zeilenvektor subtrahiert. Der resultierende Zeilenvektor wird als neuer Vektor für die dritte Zeile eingetragen, während der zweite Zeilenvektor bestehen bleibt.

Der Rang der Matrix A entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren. Nach der Umformung mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens ist festzustellen, dass der dritte Zeilenvektor der resultierenden Matrix nur aus Nullen besteht. Demnach gibt es linear abhängige Vektoren in der Matrix A, nämlich die Zeilenvektoren zwei und drei. Übrig bleiben in der resultierenden Matrix zwei Zeilenvektoren bestehend aus mindestens einer Zahl größer oder kleiner null (<0<) und deshalb ist der Rang der Matrix A genau definiert:

Der Rang der Matrix A entspricht: .

Rang einer (m x n)-Matrix – Funktionsbeispiel 2

Im folgenden Beispiel wird das Ergebnis mit linear unabhängigen Zeilenvektoren in der Ausgangsform einer nicht-quadratischen (m x n)-Matrix veranschaulicht.

Rechenweg und Funktionsbeispiel 2:

Gegeben ist die Matrix

Im ersten Schritt werden die Zeilenvektoren und nach dem Gaußschen Schema miteinander verrechnet, sodass das Element gleich null ergibt. Demnach wird der zweite Zeilenvektor mit 3 multipliziert und anschließend mit dem ersten Zeilenvektor addiert. Der resultierende Zeilenvektor wird als neuer Vektor für die zweite Zeile eingetragen, während der erste Zeilenvektor bestehen bleibt.

Im zweiten Schritt werden die Zeilenvektoren und nach dem Gaußschen Schema miteinander verrechnet, sodass das Element gleich null ergibt. Da dieses Element bereits gleich null ist muss hier demnach keine weitere Berechnung vorgenommen werden.

Im dritten Schritt werden die Zeilenvektoren und nach dem Gaußschen Schema miteinander verrechnet, sodass das Element gleich null ergibt. Dieser Schritt ist allerdings nicht möglich, da sich die beiden Zeilenvektoren nicht wie beschrieben verrechnen lassen. Demnach kann bei dieser Matrixform keine weitere Null ergänzt werden und wir können jetzt den Rang Matrix B bestimmen.

Der Rang der Matrix B entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren. Nach der Umformung mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens ist festzustellen, dass alle drei Zeilenvektoren linear unabhängig sind. Übrig bleiben in der resultierenden Matrix alle drei Zeilenvektoren bestehend aus mindestens einer Zahl größer oder kleiner null (<0<) und deshalb ist der Rang der Matrix B genau definiert:

Der Rang der Matrix B entspricht: .

Im folgenden Abschnitt wird die Bestimmung des Matrizenrangs bei quadratischen Matrizenformen thematisiert.

Bestimmung des Rangs einer quadratischen Matrix

Wie bereits in der Einleitung näher beschrieben, lässt sich der Rang einer quadratischen (m x m)-(n x n)-Matrix einfach über die Determinante bestimmen:

→ Der Rang einer quadratischen (mxm)-(nxn)-Matrix E entspricht wenn für die Matrix eine Determinante ungleich null existiert: .

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist über eine reelle Zahl, bzw. ein Skalar eindeutig definiert. Somit setzt sich die Determinante aus den Elementen einer quadratischen Matrix zusammen und umgekehrt. Die Determinante benötigt man für fast alle Rechenprobleme mit Matrizen. Man muss in der Schulmathematik die Determinante einer (2 x 2)-Matrix und einer (3 x 3)-Matrix bestimmen können.

Die Determinante einer quadratischen (2 x 2)-Matrix setzt sich nach einem allgemeingültigen Rechenprinzip zusammen:

So ist beispielsweise die Determinante der Matrix eindeutig bestimmt:

Da die Determinante der Matrix E ungleich null ist () kann der Rang der Matrix E sofort über die Anzahl der Zeilen, bzw. der Spalten abgelesen werden.

Der Rang der Matrix E entspricht:.

Ist allerdings die Determinante einer quadratischen Gleichung gleich null (), so spricht man von einer singulären Matrix und der Rang muss ebenfalls über das bereits bekannte Gaußsche Eliminationsverfahren bestimmt werden.

Dasselbe Vorgehen zur Bestimmung des Rangs einer Matrix gilt für alle quadratischen Matrizen der Form (m x m)-(n x n). Allerdings erhöht sich der Schwierigkeitsgrad für die Bestimmung der Determinante je größer die Anzahl der Zeilen, bzw. Spalten einer Matrix.

Gratuliere! Wenn du alle erklärten Schritte logisch nachvollziehen kannst und du die Grundlagen der Berechnung des Rangs einer Matrix verstehst, so bist du jetzt Experte was die Eigenschaften von Matrizen betrifft und dir werden einige mathematische Operationen die im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen werden mit Sicherheit leichter fallen!

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Rang einer Matrix in einer Checkliste zusammengefasst.

Rang einer Matrix - Alles Wichtige auf einen Blick

Bei der Bestimmung des Rangs einer Matrix werden die Zeilenvektoren der Matrix, die ungleich null sind aufaddiert und man erhält als Summe den Matrizenrang.

Allgemein gilt, dass die maximale Anzahl an linear unabhängigen Zeilenvektoren den Rang einer resultierenden Matrix definiert.

Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit der du alle Merkmale zur Berechnung des Rangs einer Matrix einsehen kannst.

  • Bei einer (m x n)-Matrix definiert sich der Rang über die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren.
  • Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens können Matrizen der Form (m x n) auf linear abhängige Zeilenvektoren untersucht werden um final den Rang zu bestimmen.
  • Bei quadratischen (m x m)-(n x n)-Matrizen kann der Rang über die Determinante einfach bestimmt werden sofern diese ungleich null ist.

FERTIG!

Glückwunsch, du hast den schwierigsten Teil geschafft. Du weißt jetzt wie die Berechnung des Matrizenrangs funktioniert.

Natürlich verhält es sich mit der Bestimmung des Matrizenrangs wie mit anderen mathematischen Methoden auch. Du musst üben, üben, üben ...

Unsere Empfehlung

Es ist unheimlich wichtig, dass du das Gaußsche Eliminationsverfahren gezielt auf Matrizen anwenden kannst. Präge dir außerdem den Rechenweg zur Berechnung der Determinante einer (2 x 2)-Matrix gut ein und lerne ihn am besten auswendig. Auch der Rechenweg zur Bestimmung der Determinante einer (3 x 3)-Matrix sollte dir spätestens nach deiner Schulausbildung geläufig sein.

Bei Fragen nutzt gerne auch unseren Kommentarbereich! Weitere Übungsaufgaben findet ihr in den kostenlosen* Inhalten von STARK und in unseren weiterführenden Karteikarten zu diesem und vielen weiteren Themen!

INSIDER TIPP

“ Hey, cool das du dich für das Thema Rang einer Matrix interessierst! Wusstest du, dass du den Rang einer quadratischen (m x m)-Matrix an der Determinante auf einen Blick ablesen kannst? Bedingung: Determinante der Matrix ≠0. Mehr Infos dazu findest du auf dieser Learning Page! Bei Fragen nutze gerne auch unseren Kommentarbereich! Check it out! ”

Leon Jerg

StudySmarter Institute

Mehr zum Thema Rang einer Matrix
60%

der Nutzer schaffen das Rang einer Matrix Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.