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Rang einer Matrix

Wenn Du lineare Gleichungssysteme lösen sollst, kannst Du dieses in eine Matrix umschreiben und mit der Matrix lösen. Aber des Öfteren ist gar nicht nach der gesamten Lösung des Gleichungssystems gefragt, sondern nach der Abhängigkeit der verschiedenen Gleichungen des Gleichungssystems. Genau dann kannst Du anstatt das ganze System auszurechnen, den Rang der Matrix berechnen und weißt, welche Zeilen voneinander abhängig sind und welche nicht. Wie Du den Rang einer Matrix bestimmst und was der maximale Rang einer Matrix ist, erfährst Du in dieser Erklärung.

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Wenn Du lineare Gleichungssysteme lösen sollst, kannst Du dieses in eine Matrix umschreiben und mit der Matrix lösen. Aber des Öfteren ist gar nicht nach der gesamten Lösung des Gleichungssystems gefragt, sondern nach der Abhängigkeit der verschiedenen Gleichungen des Gleichungssystems. Genau dann kannst Du anstatt das ganze System auszurechnen, den Rang der Matrix berechnen und weißt, welche Zeilen voneinander abhängig sind und welche nicht. Wie Du den Rang einer Matrix bestimmst und was der maximale Rang einer Matrix ist, erfährst Du in dieser Erklärung.

Rang einer Matrix Definition

Der Rang einer Matrix \(\text{rang}(A)\) ist die maximale Zahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren \(A=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\) oder Spaltenvektoren \(A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n\end{pmatrix}\) einer Matrix \(A\).

Linear unabhängig bedeutet, dass ein Vektor der Matrix \(A\) sich nicht als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen lässt.

Mit der Bestimmung des Ranges einer Matrix ermittelst Du die höchstmögliche Ordnung der Matrix der nicht verschwindenden Unterdeterminanten von der Matrix \(A\).

Maximaler Rang einer Matrix

Der maximale Rang einer Matrix ist gleich der Zeilen- oder Spaltenanzahl.

Für den maximalen Rang \(r\) gilt Folgendes:\[\text{r}(A)\leq \min (m,n)\]

Du kannst also bei einer \(4\times 5\) Matrix einen maximalen Rang von \(r=4\) erreichen.

Die folgenden Regeln sollen Dir helfen, den Rang einer Matrix zu bestimmen:

  • \(A_{m\times n}\) hat den vollen Spaltenrang, wenn \(\text{r}(A)=n\) ist.
  • \(A_{m\times n}\) hat den vollen Zeilenrang, wenn \(\text{r}(A)=m\) ist.
  • \(A_{n\times n}\) hat vollen Zeilen-/Spaltenrang, wenn \(\text{r}(A)=n\), in diesem Fall \(A^{-1}\) existiert, das heißt \(A\) regulär ist.
  • \(A_{n\times n}\) ist singulär, wenn \(\text{r}(A)<n\), in diesem Fall \(A^{-1}\) nicht existiert.

\(A^{-1}\) beschreibt eine invertierte Matrix. Mehr zu inversen Matrizen erfährst Du in der Erklärung „Matrix invertieren“.

Rang einer Matrix bestimmen

Wie Du den Rang der Matrix bestimmst, ist abhängig von der Matrix. Für quadratische Matrizen gibt es einen anderen Rechenweg als für nicht quadratische.

Der Rang einer Matrix kann zwischen \(1\) bis \(n\) gehen. Die einzige Matrix, welche einen Rang von null hat, ist die Nullmatrix.

Die Nullmatrix ist eine besondere Matrix und besteht nur aus Nullen \(\left( \begin{array}{rrr} 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 \end{array}\right)\).

Für eine transponierte Matrix \(A^{T}\) einer beliebigen Matrix \(A\) gilt: \[\text{r}(A)^{T}=\text{r}(A)\]

Rang einer Matrix Determinante

Wenn eine quadratische Matrix \(A_{n\times m}\) eine Determinante ungleich null hat, dann ist die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich dem Rang der Matrix.

Es gilt: \[\text{r}(A)=m=n\]

Die Determinante einer \(2\times 2\) Matrix berechnest Du mit der folgenden Formel:

\begin{align} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\\\ \det(A)=a\cdot d-c\cdot b\end{align}

Wie Du die Determinante von anderen Matrizenarten berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Determinante“.

Aufgabe 1

Berechne den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -5 \end{pmatrix}\).

Lösung

Zuerst musst Du feststellen, ob es sich bei der Matrix \(A\) um eine quadratische Matrix handelt.

\begin{align} m&=3 \\ n&=3 \\ m&=n=3 \end{align}

Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix.

\begin{align} \det(A)&=\det\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -5 \end{pmatrix} \\[0.2cm] &= 4\cdot 2\cdot (-5)+ 1\cdot (-1)\cdot 1 +3 \cdot (-2) \cdot 5 - 1\cdot 2\cdot 3-5\cdot (-1)\cdot 4 -(-5)\cdot (-2)\cdot 1 \\ &=-40-1-30-6+20 -10 \\ &=-67 \end{align}

Das heißt, die Determinante der Matrix \(A\) ist ungleich null. Also stimmt der Rang der Matrix mit der Anzahl der Spalten und Zeilen überein. Der Rang der Matrix ist \(3\).

Rang einer Matrix berechnen

Wenn Du von einer nicht quadratische Matrix oder eine quadratische Matrix, mit der Determinante gleich null, den Rang berechnen sollst, gehst Du folgendermaßen vor:

  • Schritt 1: Bringe die Matrix mittels dem Gauß-Algorithmus auf die Zeilenstufenform.
  • Schritt 2: Der Rang der Matrix entspricht jetzt den Zeilen der Matrix, die keine Nullzeilen sind.

Beim Gauß-Algorithmus bringst Du die Matrix in eine Stufenform.

\[\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]

Wie Du den Gauß-Algorithmus anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Gauß-Algorithmus“.

Nullzeilen sind die Zeilen, welche nur aus Nullen bestehen. Diese Zeilen sehen folgendermaßen aus:

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}\]

Aufgabe 2

Berechne den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}\).

Lösung

Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.

\begin{align} &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ 2\cdot Z_1- Z_2 \\ {} \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ -1 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 2\cdot Z_3+Z_1 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -8 & 7 \end{pmatrix} \end{align}

Danach soll die zweite Spalte in Form \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.

\begin{align} &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -8 & 7 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_3-Z_2 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -10 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

Nachdem Du die Matrix \(A\) in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.

\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -10 & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \end{matrix}\end{align}

Bei dieser Matrix sind alle drei Zeilen keine Nullzeilen, das heißt, der Rang der Matrix ist \(\text{r}(A)=3\).

Rang einer Matrix – Aufgaben

Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 3

Ermittle den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix}\).

Lösung

Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.

\begin{align} &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ 2\cdot Z_1-5\cdot Z_2 \\ {} \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 4\cdot Z_1-5\cdot Z_3 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 16 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

Danach soll die zweite Spalte in Form \(\begin{pmatrix} -1 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.

\begin{align} &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 16 & 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 3\cdot Z_3+4\cdot Z_2 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & -64 \end{pmatrix} \end{align}

Nachdem Du die Matrix \(A\) in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.

\begin{align} \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & -64 \end{pmatrix} \begin{matrix} &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \end{matrix}\end{align}

Bei dieser Matrix sind alle drei Zeilen keine Nullzeilen, das heißt, der Rang der Matrix ist \(\text{r}(A)=3\).

Aufgabe 4

Gegeben ist die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & a \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}\), mit \(a\in \mathbb{R}\). Berechne den Rang der Matrix in Abhängigkeit von dem Parameter \(a\).

Lösung

Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte \(\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.

\begin{align} &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & a \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ Z_1+3\cdot Z_2 \\ {} \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{align}

Danach soll die zweite Spalte in Form \(\begin{pmatrix} -1 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.

\begin{align} &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 14\cdot Z_3+3\cdot Z_2 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 0 & 9a-8 \end{pmatrix} \end{align}

Nachdem Du die Matrix \(A\) in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.

\begin{align} \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 0 & 9a-8 \end{pmatrix} \begin{matrix} &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{abhängig von a} \end{matrix}\end{align}

Ob die letzte Zeile eine Nullzeile ist abhängig von dem Parameter \(a\). Damit Du weißt, bei welchem Parameter \(a\) die Matrix eine Nullzeile bekommt, setzt Du den Term gleich null und führst eine Fallunterscheidung durch.

\begin{align} 9a-8&=0 &|&+8 \\ 9a&=8 &|&:9 \\ a&=\frac{8}{9} \end{align}

Das heißt für die letzte Zeile, wenn \(a=\frac{8}{9}\) ist es eine Nullzeile. Der Rang der Matrix ist dann folgendermaßen \(\text{r}(A)=\Biggl\lbrace\begin{matrix}2\hspace{1cm} a=\frac{8}{9} \\ 3\hspace{1cm} a\neq\frac{8}{9} \end{matrix}\).

Rang einer Matrix – Das Wichtigste

  • Der Rang einer Matrix \(\text{rang}(A)\) ist die maximale Zahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren \(A=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\) oder Spaltenvektoren \(A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n\end{pmatrix}\) einer Matrix \(A\).
  • Der maximale Rang einer Matrix ist gleich der Zeilen- oder Spaltenanzahl.
  • Wenn eine quadratische Matrix \(A_n\times n\) eine Determinante ungleich null hat, dann ist die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich dem Rang der Matrix.

    Es gilt: \[\text{r}(A)=m=n\]

  • Um den Rang einer Matrix zu berechnen, nutzt Du den Gauß-Algorithmus. Dabei sind folgende Umformungen erlaubt:

    • Schritt 1: Bringe die Matrix mittels dem Gauß-Algorithmus auf die Zeilenstufenform.
    • Schritt 2: Der Rang der Matrix entspricht jetzt den Zeilen der Matrix, die keine Nullzeilen sind.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix trifft eine Aussage darüber, ob zwei oder mehr Zeilen einer Matrix voneinander abhängig sind.

Grundsätzlich berechnest Du den Rang einer Matrix, in dem Du die Matrix in eine Stufenform bringst (Gauß-Algorithmus) und danach die nicht Nullzeilen zählst. Bei einer quadratischen Matrix, mit einer Determinante ungleich null, entspricht der Rang der Matrix dem höchsten n/m.

Es existiert nur eine Matrix mit dem Rang null. Diese ist die Nullmatrix. Alle anderen Matrizen haben mindestens den Rang 1.

Eine Matrix mit vollem Rang ist die Matrix, bei welcher der Rang mit dem n/m der Matrix übereinstimmt.

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Was ist der maximale Rang einer Matrix?

Welchen Rang kann eine \(5\times 5\) Matrix maximal haben?

Welche Matrix ist die einzige Matrix mit \(\text{r}(A)=0\) als  Rang?

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