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Dezimalzahlen

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Mathe


In diesem Kapitel lernst du alles über Dezimalzahlen. Du wirst dieses Thema wahrscheinlich im Mathematik Unterricht in der 6. Klasse oder 7. Klasse behandeln. 


Dezimalzahlen haben in der Mathematik eine hohe Bedeutung, und auch in vielen Berufsfeldern, die vielleicht gar nicht so viel mit Mathematik zu tun haben, werden sie gebraucht. Daher ist es wichtig, dass du sie zumindest grundlegend verstehst.

Das Thema Dezimalzahlen gehört in das Fach Mathematik, dort in den Bereich der Algebra und genauer in den Abschnitt Brüche und Dezimalzahlen.


Übrigens: Ganz am Ende dieses Artikels haben wir drei Aufgaben für dich zusammengestellt. Mit diesen Aufgaben und mit den Lösungen dazu kannst du überprüfen, ob du die Grundlagen zu Dezimalzahlen verstanden hast!


Was sind Dezimalzahlen?

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. Du kennst solche Zahlen bestimmt schon vom Rechnen mit Größen. Wenn du beispielsweise im Supermarkt für 23,75€ einkaufst, ist das eine Dezimalzahl, oder wenn du beim Basteln ein Stück Papier mit der Länge von 5,5cm ausschneiden willst, ist auch das eine Dezimalzahl. 


Fallen dir noch weitere Beispiele von Dezimalzahlen ein, denen du im Alltag begegnest? 


Lösungsideen: bei der Temperatur, Längen und Flächen, Mengenangaben in Gramm, Kilo oder Liter, oder bei Zeitangaben im Sport, bei denen sehr genau gemessen wird, werden Dezimalzahlen genutzt. Das sind aber nicht alle Möglichkeiten, vielleicht sind dir also noch andere Situationen eingefallen, die auch nicht falsch sind!

Dezimalzahlen werden manchmal auch Dezimalbrüche genannt. Die beiden Begriffe bedeuten also dasselbe. Beim Begriff Dezimalbruch wird jedoch noch ein bisschen betont, dass Dezimalbrüche etwas mit Brüchen zu tun haben. Sicherlich wirst du schon in der Schule gelernt haben, dass man jeden Bruch in einen Dezimalbruch bzw. in eine Dezimalzahl umwandeln kann, oder? Manchmal werden sie auch Kommazahlen genannt. 


Dezimalschreibweise / Kommaschreibweise

Dezimalzahlen werden in der Dezimalschreibweise oder Kommaschreibweise aufgeschrieben (daher auch der Begriff Kommazahlen, aber gewöhne dir lieber Dezimalzahl oder Dezimalbruch an, das sind mathematisch schönere Begriffe). 

Dafür wird die Stellenwerttafel, die du bereits aus der Grundschule kennen solltest, wieder wichtig. Sie wird nämlich rechts neben den Einern auf folgende Weise erweitert:



Vor dem Komma
Komma
Nach dem Komma

...Zehner (Z)Einer (E)
Zehntel (z)Hundertstel (h)Tausendstel (t)...

28,453


Die Zahlen rechts vom Komma werden Nachkommastellen genannt. Bei der hier eingetragenen Zahl 28,453 sind also die Ziffern 453 die Nachkommastellen. 


Wichtig: hinter dem Komma gibt es keine "Eintel", sondern es kommen direkt die Zehnteln. Zehner und Zehntel, Hunderter und Hundertstel usw. sind also NICHT gleich weit vom Komma entfernt!


Die Aussprache von Dezimalzahlen ist eventuell auch etwas ungewohnt. Man spricht nämlich jede Ziffer der Nachkommastellen aus. In dem Fall der Dezimalzahl von eben würde man dann sprechen:


Achtundzwanzig Komma Vier Fünf Drei


Das solltest du dir auf jeden Fall angewöhnen, denn gerade beim Rechnen mit Dezimalzahlen ist das hilfreich. Sprechweisen wie "Komma Vierhundertdreiundfünfzig" können dagegen verwirren. Aber dazu mehr im Kapitel Rechnen mit Dezimalzahlen.


Die drei Arten von Dezimalzahlen

Es gibt drei verschiedene Arten von Dezimalzahlen:

Endliche Dezimalzahlen

Endliche Dezimalzahlen haben endlich viele Nachkommastellen. Irgendwann hört also die Zahl auf. 


Endliche Dezimalzahlen kannst du prima in Stellenwerttafeln darstellen. Außerdem kannst du jede endliche Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln. Wie das funktioniert, kannst du dir im Artikel Dezimalzahlen in Brüche umwandeln anschauen. Endliche Dezimalzahlen sind also auch rationale Zahlen, genauso wie Brüche. 


Periodische Dezimalzahlen

Periodische Dezimalzahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, jedoch wiederholt sich bei den Nachkommastellen eine Ziffernfolge immer wieder. Diese wird dann Periode genannt.


Es wird weiter unterschieden zwischen rein periodischen und gemischt periodischen Dezimalzahlen. 

Bei rein periodischen Dezimalzahlen beginnt die Periode direkt hinter dem Komma. So wie im letzten Beispiel bei der ersten und der dritten Dezimalzahl. 

Bei gemischt periodischen Dezimalzahlen stehen zwischen Komma und Periode eine oder mehrere Ziffern, die aber nicht zur Periode gehören. Beispiele dazu sind die zweite und die vierte Dezimalzahl von eben.


Das Eintragen von periodischen Dezimalzahlen in das Stellenwertsystem ist ganz korrekt nicht möglich, da du das Stellenwertsystem nicht unendlich lang in dein Matheheft schreiben kannst. Aber trotzdem kann man periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln! Also obwohl die Zahl in der Dezimalschreibweise nie ausgeschrieben werden kann, kannst du sie ganz einfach als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und einer ganzen Zahl im Nenner schreiben - faszinierend, oder?


Periodische Dezimalzahlen gehören also auch zu den rationalen Zahlen.


Unendliche Dezimalzahlen

Zuletzt gibt es einige Dezimalzahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die jedoch nicht periodisch sind. Diese Zahlen gehören dann nicht mehr zu den rationalen Zahlen, sondern zu den sogenannten reellen Zahlen, die du vermutlich erst in der 8. Klasse oder 9. Klasse kennenlernen wirst. 


Für alle, die schon soweit sind: drei bekannte unendliche Dezimalzahlen sind Kreiszahl  die Euler'sche Zahl e und  die Zahl .


Unendliche Dezimalzahlen kann man also nicht in Brüche umwandeln!



Dezimalzahlen und Endnullen

An eine endliche Dezimalzahl kann man Nullen anhängen, ohne dass sie den Wert der Zahl verändern. Zum Beispiel sind die Zahlen 6,75 und 6,750 genau gleich, obwohl die zweite mehr Nachkommastellen hat. Genauso wäre die Zahl 6,7500000 gleichwertig. Solche Nullen, die ganz korrekt Endnullen genannt werden, sind manchmal beim Rechnen mit Dezimalzahlen wichtig.



Was lernst du in diesem Kapitel?

Im ersten Artikel, Vergleichen von Dezimalzahlen, kannst du lernen, wie du zwei Dezimalzahlen miteinander vergleicht. Wenn du mehrere Dezimalzahlen gegeben hast, möchtest du vielleicht wissen, welche davon die größte ist oder welche die kleinste. Genau das lernst du hier. 


Dann wirst du zwei Artikel finden, wie man Brüche in Dezimalzahlen umwandelt und andersherum. Hier wird auch nochmal darauf eingegangen, welche Dezimalzahlen du überhaupt in Brüche umwandeln kannst, und welche nicht. 


Zuletzt findest du einen Artikel über Zehnerpotenzen, weil auch alle endlichen Dezimalzahlen mithilfe von Zehnerpotenzen dargestellt werden können. 



Was solltest du vor diesem Kapitel wissen?

Sicherlich wirst du in der Schule schon das Thema Brüche und Bruchrechnung behandelt haben. Dieses solltest du vor dem Thema Dezimalzahlen verstanden haben oder zumindest parallel dazu lernen. 


Es ist außerdem empfehlenswert, unseren Artikel Zahlensysteme und das Stellenwertsystem durchzulesen.



Dezimalzahlen - Übungsaufgaben

Zum Abschluss dieses Kapitels findest du hier noch drei Aufgaben. Unter den Aufgaben wirst du die Lösungen finden, also erst ganz nach unten Scrollen, wenn du die Aufgaben bearbeitet hast! 


Dezimalzahlen - Aufgabe 1

Entscheide jeweils, ob die Dezimalzahl endlich, rein periodisch oder gemischt periodisch ist. Kann man sie in einen Bruch umwandeln? 



Dezimalzahlen - Aufgabe 2

Welche Dezimalzahlen sind gleichwertig? Lass dich nicht von den vielen Nullen verwirren!




Dezimalzahlen - Aufgabe 3

Wie spricht man diese Kommazahlen aus? Schreibe auf.




Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1: 

Die erste und die dritte Dezimalzahl ist endlich. Die zweite und die sechste Dezimalzahl ist rein periodisch. Und die vierte und fünfte Dezimalzahl ist gemischt periodisch. 

Im Übrigen kann man alle diese Dezimalzahlen in einen Bruch umwandeln! Falls du dich fragst, wieso, solltest du oben die Absätze über endliche und periodische Dezimalzahlen nochmal durchlesen. Diese Arten von Kommazahlen sind immer gleichwertig zu einem Bruch.


Aufgabe 2: 

Hoffentlich bist du nicht verwirrt worden von den vielen Nullen!

Gleichwertig sind:

  • 1.) 4.) und 10.)
  • 2.) und 7.)
  • 3.) 5.) und 9.)
6.) und 8.) sind nicht gleichwertig und auch nicht gleichwertig zu einer anderen gegebenen Zahl.


Aufgabe 3: 

  1. Null Komma Sieben Fünf
  2. Null Komma Periode Drei
  3. Sechsundfünfzig Komma Acht Periode Sechs
  4. Zwölf Komma Sieben Null Neun
  5. Dreihundert Komma Neun Neun Fünf


Wenn du beim Bearbeiten der Aufgaben nur ein paar kleine Leichtsinnsfehler gemacht hast, dann hast du diese Einführung in Dezimalzahlen verstanden. Du kannst jetzt auf jeden Fall mit den weiteren Artikeln in diesem Kapitel weitermachen. Hast du viele Fehler gemacht, solltest du den Artikel nochmal durcharbeiten und auch die Aufgaben nochmal bearbeiten. Versuche zu verstehen, was deine Fehler beim Bearbeiten der Aufgaben waren.


Häufig gestellte Fragen zum Thema Dezimalzahlen

Beim Vergleichen von Dezimalzahlen schaut man sich zuerst die Zahl vor dem Komma an. Ist hier bereits eine größer     und eine kleiner, dann bist du schon fertig. Sind die Zahlen vor dem Komma - wie z. B. bei 24,935 und 24,94 - gleich, dann fängst du an, die Nachkommastellen zu betrachten. Dabei vergleichst du nach und nach erst die Zehntel, dann die Hundertstel usw. Sobald diese Ziffern nicht mehr gleich sind, kannst du sehen, welche der beiden größer ist. Im obigen Beispiel unterscheiden sich beide Zahlen in der zweiten Nachkommastelle (dem Hundertstel). Da die erste Zahl dort eine 3 hat, die zweite eine 4, so ist die zweite Zahl die größere. Also 24,935<24,94

Hier kannst du auch direkt sehen: mehr Nachkommastellen bedeutet nicht automatisch größer!

Eine endliche Dezimalzahl hat endlich viele Nachkommastellen. Sie kann in einen Bruch umgewandelt werden, der im Nenner eine Zehnerpotenz hat.

Es gibt endliche, periodische und unendliche Dezimalzahlen. Die ersten beiden Arten kannst du in Brüche umwandeln. Sie gehören zu den rationalen Zahlen. Unendliche Dezimalzahlen kannst du nicht in Brüche umwandeln. Sie gehören zu den reellen Zahlen.

Ein gemischt periodischer Dezimalbruch ist ein Dezimalbruch mit Periode in den Nachkommastellen, bei dem jedoch Ziffern zwischen dem Komma und der Periode stehen. Ein Beispiel hierfür wäre 0,0666666666... oder 3,5627272727272...

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, der als Dezimalzahl dargestellt werden kann. Im Dezimalsystem ist also jeder Bruch ein Dezimalbruch.

Dezimalbruch und Dezimalzahl sind zwei verschiedene Arten, dieselbe Zahl darzustellen. Im Prinzip sind alle Brüche, die in der Schule verwendet werden, Dezimalbrüche und können als Dezimalzahlen (also Kommazahlen) dargestellt werden. Dezimalzahl und Dezimalbruch sind also unterschiedliche Schreibweisen der gleichen Zahl.

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