Dezimalzahlen

Dezimalzahlen werden auch Kommazahlen genannt und spielen eine große Rolle im Alltag. Ob beim Einkaufen einer Packung Chips für \(1{,}95 \text{€}\) oder beim Messen von Größen, Dezimalzahlen sind überall vertreten. In dieser Erklärung erfährst Du die Definition und den Aufbau von Dezimalzahlen, wie Du sie rundest und wie Du sie in einen Bruch umrechnest und andersherum. Außerdem lernst Du, wie Du Dezimalzahlen vergleichen kannst. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Was sind Dezimalzahlen?

    Eine Dezimalzahl (auch Kommazahl genannt) stellt eine Zahl dar, die weder den natürlichen Zahlen noch den rationalen Zahlen zuzuordnen ist. Rechts vom Komma steht dabei der Bruchteil.

    Es gibt grundsätzlich drei Arten von Dezimalzahlen

    • Endliche (abbrechende) Dezimalzahlen
    • unendliche periodische Dezimalzahlen
    • unendliche irrationale Dezimalzahlen

    Dezimalzahlen subtrahieren Arten von Dezimalzahlen StudySmarterAbb. 1 – Arten von Dezimalzahlen

    Endliche Dezimalzahlen

    Endliche Dezimalzahlen werden auch Dezimalbrüche genannt. Eine solche Dezimalzahl lässt sich als Bruch mit einer Zehnerpotenz (10; 100; 1000; ... ) im Nenner schreiben. Die Anzahl der 0er in der Zehnerpotenz gibt Dir die Anzahl der Kommastellen in der Dezimalzahl. Der Zähler stellt die Ziffern dieser Dezimalzahl dar.

    \[\frac{1359}{\underbrace{10000}_{\text{4 Nullen}}}=0,\underbrace{1359}_{\text{4 Kommastellen}}\]

    Periodische Dezimalzahlen

    Eine periodische Dezimalzahl besitzt unendlich viele Kommastellen, die sich nach einem Muster wiederholen, sich also periodisch Verhalten. Jeder Bruch, der vollständig gekürzt, andere Primfaktoren als 2 und 5 in seinem Nenner enthält, ist eine periodische Dezimalzahl. Der periodische Teil einer solchen Dezimalzahl wird mit einem Strich markiert \(0,1111111\dots = 0,\overline 1\).

    Irrationale Dezimalzahlen

    Irrationale Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen, die unendlich sind und nicht periodisch dargestellt werden können. Dazu gehören etwa Wurzeln von nicht quadratischen Zahlen und besondere Zahlen wie die Kreiszahl \(\pi\).

    \[\sqrt{2}=1.41421356237\dots\]

    Aufbau einer Dezimalzahl

    Wie Du bereits gesehen hast, beschreibt eine Dezimalzahl eine Kommazahl, die aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen oder sogenannten Dezimalen besteht.

    Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie besteht aus Vorkommastellen, Komma und Nachkommastellen.

    \[ {\color{#1478c8} 0} {\color{#00dcb4} {,} } {\color{#fa3273} 4} \]

    Kommastellen einer Dezimalzahl

    In diesem Abschnitt werden die Kommastellen der Dezimalzahl benannt. Als Beispiel wird hier die Dezimalzahl \(28{,}436\) betrachtet.

    28,436
    Zehner EinerKommaZehntelHundertstelTausendstel

    Du kannst Dezimalzahlen auch auf ihre Nachkommastellen runden, schau Dir gern den passenden Artikel dazu an, wenn Du mehr zum Thema erfahren möchtest.

    Dezimalzahlen vergleichen

    Um Dezimalzahlen zu vergleichen, gehst Du von links nach rechts Stelle für Stelle durch und vergleichst beide Dezimalzahlen Ziffer für Ziffer. Die Zahl die an der ersten gleichwertigen Stelle größer ist, als die andere, ist auch insgesamt die größere Dezimalzahl.

    Die eine Packung Schokoriegel kostet \({\color{bl}1{,}95\text{€}}\) und die andere \({\color{gr}1{,}99\text{€}}\). Jetzt musst Du herausfinden, welche Packung günstiger ist.

    Aber wie machst Du das? Du gehst von links nach rechts durch die Zahlen und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind. \begin{align} {\color{bl}1}&={\color{gr}1} \\[0.2cm] {\color{bl}9}&={\color{gr}9}\\[0.2cm] {\color{bl}5}&<{\color{gr}9} \end{align} Hier erkennst Du, dass die \({\color{bl}5}<{\color{gr}9}\) ist, weshalb die Dezimalzahl \({\color{bl}1{,}95\text{€}} < {\color{gr}1{,}99\text{€}}\) ist, also ist sie auch günstiger.

    Dezimalzahlen – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie besteht aus Vorkommastellen, Komma und Nachkommastellen.
    • Wenn Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umformen möchtest, dann musst Du nur schauen, wie viele Nachkommastellen die Dezimalzahl hat und eine Zehnerpotenz in den Nenner schreiben, welche so viele Nullen hat, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen. Dann schreibst Du nur noch die ganze Zahl, ohne das Komma in den Zähler.
    • Wenn Du einen Bruch in die Dezimalzahl umwandeln willst, musst Du entweder den Zähler durch den Nenner teilen, oder schauen, welche Zehnerpotenz der Nenner hat und dann das Komma beim Zähler so setzen, dass die Dezimalzahl so viele Nachkommastellen hat, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.
    • Wenn Du eine Dezimalzahl in Prozent umwandeln willst, dann musst Du die Dezimalzahl mit \(100\) multiplizieren und ein Prozentzeichen dahinter setzen.
    • Beim Vergleichen zweier Dezimalzahlen gehst Du Stück für Stück durch die Zahlen und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.

    Nachweise

    1. Pampel (2017): Rechnen mit Zahlen und Variablen. In: Arbeitsbuch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
    2. Benker (2016). Zahlen. In: MATHEMATICA kompakt . Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Dezimalzahlen

    Was ist eine nicht abbrechende Dezimalzahl?

    Eine abbrechende Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.

    Was ist ein abbrechender Dezimalbruch?

    Ein abbrechender Dezimalbruch ist eine Zahl, die ab einer gewissen Nachkommastelle nur noch Nullen hat. 

    Wie kann man Dezimalzahlen miteinander vergleichen?

    Dezimalzahlen kannst Du miteinander vergleichen, indem Du Stück für Stück durch die Zahlen gehst und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.

    Wo findet man Dezimalzahlen im Alltag?

    Dezimalzahlen findest Du zum Beispiel im Supermarkt, beim Zeit stoppen und an der Tankstelle. 

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    Welche Art von Dezimalzahlen gehört nicht zu der Menge der rationalen Zahlen?

    Was ist ein hilfreiches Tool bei der Umwandlung von Bruch in Dezimalzahl?

    Gebe die Zehnerpotenzen an, welche in der wissenschaftlichen/technischen Schreibweise dargestellt ist.

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