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Stell Dir vor, Du bist Einkaufen und die Packung Chips kostet \(1{,}95 \text{€}\). Diese Zahl ist eine Dezimalzahl, weil sie ein Komma enthält. In dieser Erklärung erfährst Du die Definition und den Aufbau von Dezimalzahlen, wie Du sie rundest und wie Du sie in einen Bruch umrechnest und andersherum. Außerdem lernst Du, wie Du Dezimalzahlen vergleichen kannst.
Eine Dezimalzahl (auch Kommazahl genannt) stellt eine Zahl dar, die weder den natürlichen Zahlen noch den rationalen Zahlen zuzuordnen ist. Rechts vom Komma steht dabei der Bruchteil.
Eine Dezimalzahl wird deshalb auch als Dezimalbruch bezeichnet, da sie eigentlich ein Bruch ist, nur in anderer Schreibweise. In der Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl notiert. Das heißt, jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln und umgekehrt.
Der Bruch \(\frac{35}{100}\) lässt sich also umwandeln in:
\[\frac{35}{100}=35: 100=0{,}35\]
Mit Dezimalzahlen kannst Du auch rechnen. Wenn Du mehr zum Thema Dezimalzahlen multiplizieren und subtrahieren erfahren möchtest, dann schau Dir gern die Erklärung "Rechnen mit Dezimalzahlen" an.
Wie Du bereits gesehen hast, beschreibt eine Dezimalzahl eine Kommazahl, die aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen oder sogenannten Dezimalen besteht.
Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie besteht aus Vorkommastellen, Komma und Nachkommastellen.
\[ {\color{#1478c8} 0} {\color{#00dcb4} {,} } {\color{#fa3273} 4} \]
Hast Du verschiedene Brüche schon in Dezimalschreibweise umgewandelt? Dann ist Dir vielleicht aufgefallen, dass die Zahlen teilweise mehr Nachkommastellen haben als andere oder sogar gar nicht mehr aufhören. Das liegt daran, dass zwischen verschiedenen Arten von Dezimalzahlen unterschieden werden kann.
In diesem Abschnitt werden die Kommastellen der Dezimalzahl benannt. Als Beispiel wird hier die Dezimalzahl \(28{,}436\) betrachtet.
2 | 8 | , | 4 | 3 | 6 |
Zehner | Einer | Komma | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
Du kannst Dezimalzahlen auch auf ihre Nachkommastellen runden, schau Dir gern den passenden Artikel dazu an, wenn Du mehr zum Thema erfahren möchtest.
Es gibt abbrechende, periodische und irrationale Dezimalzahlen. Was genau diese sind, soll folgende Abbildung beschreiben und erklären:
Abb. 1 – Arten von Dezimalzahlen
Abbrechende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen, die an einem bestimmten Punkt enden. Das sind zum Beispiel Zahlen, wie \(12{,}43\), da ihre Nachkommastellen, nach der \(3\) enden.
Bei nicht-abbrechenden Dezimalzahlen enden die Nachkommastellen nie. Sie gehen ins Unendliche.
Mehr zum Thema rationale und irrationale Zahlen erfährst Du in der Erklärung "Zahlenmengen".
Dezimalzahlen kannst Du auch miteinander vergleichen, wenn Du zum Beispiel im Supermarkt bist. Die eine Packung Schokoriegel kostet \({\color{bl}1{,}95\text{€}}\) und die andere \({\color{gr}1{,}99\text{€}}\). Jetzt musst Du herausfinden, welche Packung günstiger ist.
Aber wie machst Du das?
Du gehst von links nach rechts durch die Zahlen und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.
\begin{align} {\color{bl}1}&={\color{gr}1} \\[0.2cm] {\color{bl}9}&={\color{gr}9}\\[0.2cm]{\color{bl}5}&<{\color{gr}9} \end{align}
Hier erkennst Du, dass die \({\color{bl}5}<{\color{gr}9}\) ist, weshalb die Dezimalzahl \({\color{bl}1{,}95\text{€}} < {\color{gr}1{,}99\text{€}}\) ist, also ist sie auch günstiger.
Wenn Du noch mehr zum Thema "Dezimalzahlen vergleichen" erfahren möchtest, schau Dir gerne die passende Erklärung dazu an.
Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. So hast Du die Möglichkeit, große Zahlen kompakt darzustellen.
Die allgemeine Zehnerpotenz sieht folgendermaßen aus:
\[10^c\]
\(c\) ist ein ganzzahliger Exponent. Oft ist vor der Zehnerpotenz noch ein Faktor \(a\), eine beliebige reelle Zahl.
\[a\cdot 10^c\]
Wenn Du mehr über die Zehnerpotenzen herausfinden willst, schau Dir gerne die Erklärung an.
Dezimalzahlen sind Zahlen, die Du in Brüche umrechnen kannst. Du kannst aber auch einen Bruch in eine Dezimalzahl umrechnen, je nachdem, wie die Aufgabe wünscht.
Ein Bruch ist folgendermaßen aufgebaut. Wichtig hierbei zu wissen ist, was der Nenner und der Zähler eines Bruchs ist.
\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
Wenn Du noch mehr zum Thema Brüche erfahren möchtest, schau Dir gern die passende Erklärung "Bruchrechnen" dazu an.
Aber wie wird eine solche Dezimalzahl in einen Bruch umgerechnet? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.
Wenn Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umformen möchtest, musst Du folgende Schritte befolgen.
Schau Dir die Erklärung "Dezimalzahlen in Brüche umwandeln" an, wenn Du mehr zum Thema erfahren möchtest.
Es gibt drei Möglichkeiten, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzurechnen.
Möglichkeiten | Durchführung |
Bruch mit willkürlichem Nenner. | Einen Bruch wandelst Du in eine Dezimalzahl um, in dem Du eine schriftliche Division durchführst und Zähler durch Nenner teilst. |
Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner. | Wenn Dein Bruch eine Zehnerpotenz im Nenner hat, nimmst Du die Zahl aus dem Zähler und setzt das Komma so, dass die Dezimalzahl so viele Nachkommastellen hat, wie Deine Zehnerpotenz Nullen hat. |
Bruch mit einem Nenner, der zu einer Zehnerpotenz gekürzt, oder erweitert werden kann. | Wenn Du einen Nenner hast, der auf eine Zehnerpotenz gekürzt oder erweitert werden kann, wie zum Beispiel eine \(5\) oder eine \(200\), dann kannst Du die Zahl kürzen oder erweitern und genau so vorgehen, wie bei einer Zehnerpotenz im Nenner. |
Wenn Du mehr zum Thema "Brüche in Dezimalzahlen umwandeln" erfahren möchtest, schau Dir gerne die passende Erklärung dazu an
Wenn Du eine Dezimalzahl in Prozent umwandeln möchtest, dann musst Du immer die Zahl mit \(100\) multiplizieren und hinter das Ergebnis ein Prozentzeichen setzen.
Angaben in Prozent stellen die Menge der Angabe im Verhältnis zu \(100\) dar.
Das sieht dann so aus.
Wenn Du die Dezimalzahl \(0{,}043\) in Prozent umwandeln möchtest, musst Du die Zahl \(0,043\) mit der Zahl \(100\) multiplizieren.
\[0{,}043 \cdot 100= 4{,}3 \text{%}\]
Die Dezimalzahl \(0{,}043\) sind \(4{,}3 \text{%}\).
Um eine ganze Dezimalzahl auf ein Zehntel zu runden, schaust Du Dir nur die zweite Ziffer nach dem Komma der Zahl an, das Hundertstel.
Ein Zehntel ist immer die erste Ziffer nach dem Komma.
Auch hier gelten die Regeln: Wenn der Hundertstel \( \leq 4 \) ist, wird abgerundet und ab \( \geq 5 \) wird aufgerundet.
Als Beispiel gibt es die Zahl \(1{,}25\) und \(12{,}41\) , die auf das Zehntel gerundet werden müssen.
\[ 13{,}4{ \color{#1478c8}1} \approx 13{,}4 \]
\[ 1{,}2{ \color{#00dcb4}6} \approx 1{,}3 \]
Eine abbrechende Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.
Ein abbrechender Dezimalbruch ist eine Zahl, die ab einer gewissen Nachkommastelle nur noch Nullen hat.
Dezimalzahlen kannst Du miteinander vergleichen, indem Du Stück für Stück durch die Zahlen gehst und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.
Dezimalzahlen findest Du zum Beispiel im Supermarkt, beim Zeit stoppen und an der Tankstelle.
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