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Dezimalzahlen

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Dezimalzahlen

In diesem Kapitel lernst du alles über Dezimalzahlen. Du wirst dieses Thema wahrscheinlich im Mathematik Unterricht in der 6. Klasse oder 7. Klasse behandeln.

Dezimalzahlen haben in der Mathematik eine hohe Bedeutung, und auch in vielen Berufsfeldern, die vielleicht gar nicht so viel mit Mathematik zu tun haben, werden sie gebraucht. Daher ist es wichtig, dass du sie zumindest grundlegend verstehst.

Das Thema Dezimalzahlen gehört in das Fach Mathematik, dort in den Bereich der Algebra und genauer in den Abschnitt Brüche und Dezimalzahlen.

Übrigens: Ganz am Ende dieses Artikels haben wir drei Aufgaben für dich zusammengestellt. Mit diesen Aufgaben und mit den Lösungen dazu kannst du überprüfen, ob du die Grundlagen zu Dezimalzahlen verstanden hast!

Was sind Dezimalzahlen?

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. Du kennst solche Zahlen bestimmt schon vom Rechnen mit Größen. Wenn du beispielsweise im Supermarkt für 23,75€ einkaufst, ist das eine Dezimalzahl, oder wenn du beim Basteln ein Stück Papier mit der Länge von 5,5cm ausschneiden willst, ist auch das eine Dezimalzahl.

Fallen dir noch weitere Beispiele von Dezimalzahlen ein, denen du im Alltag begegnest?

Lösungsideen: bei der Temperatur, Längen und Flächen, Mengenangaben in Gramm, Kilo oder Liter, oder bei Zeitangaben im Sport, bei denen sehr genau gemessen wird, werden Dezimalzahlen genutzt. Das sind aber nicht alle Möglichkeiten, vielleicht sind dir also noch andere Situationen eingefallen, die auch nicht falsch sind!

Dezimalzahlen werden manchmal auch Dezimalbrüche genannt. Die beiden Begriffe bedeuten also dasselbe. Beim Begriff Dezimalbruch wird jedoch noch ein bisschen betont, dass Dezimalbrüche etwas mit Brüchen zu tun haben. Sicherlich wirst du schon in der Schule gelernt haben, dass man jeden Bruch in einen Dezimalbruch bzw. in eine Dezimalzahl umwandeln kann, oder? Manchmal werden sie auch Kommazahlen genannt.

Dezimalschreibweise / Kommaschreibweise

Dezimalzahlen werden in der Dezimalschreibweise oder Kommaschreibweise aufgeschrieben (daher auch der Begriff Kommazahlen, aber gewöhne dir lieber Dezimalzahl oder Dezimalbruch an, das sind mathematisch schönere Begriffe).

Dafür wird die Stellenwerttafel, die du bereits aus der Grundschule kennen solltest, wieder wichtig. Sie wird nämlich rechts neben den Einern auf folgende Weise erweitert:

Vor dem KommaKommaNach dem Komma
...Zehner (Z)Einer (E)Zehntel (z)Hundertstel (h)Tausendstel (t)...
28,453

Die Zahlen rechts vom Komma werden Nachkommastellen genannt. Bei der hier eingetragenen Zahl 28,453 sind also die Ziffern 453 die Nachkommastellen.

Wichtig: hinter dem Komma gibt es keine "Eintel", sondern es kommen direkt die Zehnteln. Zehner und Zehntel, Hunderter und Hundertstel usw. sind also NICHT gleich weit vom Komma entfernt!

Die Aussprache von Dezimalzahlen ist eventuell auch etwas ungewohnt. Man spricht nämlich jede Ziffer der Nachkommastellen aus. In dem Fall der Dezimalzahl von eben würde man dann sprechen:

Achtundzwanzig Komma Vier Fünf Drei

Das solltest du dir auf jeden Fall angewöhnen, denn gerade beim Rechnen mit Dezimalzahlen ist das hilfreich. Sprechweisen wie "Komma Vierhundertdreiundfünfzig" können dagegen verwirren. Aber dazu mehr im Kapitel Rechnen mit Dezimalzahlen.

Die drei Arten von Dezimalzahlen

Es gibt drei verschiedene Arten von Dezimalzahlen:

Endliche Dezimalzahlen

Endliche Dezimalzahlen haben endlich viele Nachkommastellen. Irgendwann hört also die Zahl auf.

Endliche Dezimalzahlen kannst du prima in Stellenwerttafeln darstellen. Außerdem kannst du jede endliche Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln. Wie das funktioniert, kannst du dir im Artikel Dezimalzahlen in Brüche umwandeln anschauen. Endliche Dezimalzahlen sind also auch rationale Zahlen, genauso wie Brüche.

Periodische Dezimalzahlen

Periodische Dezimalzahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, jedoch wiederholt sich bei den Nachkommastellen eine Ziffernfolge immer wieder. Diese wird dann Periode genannt.

Es wird weiter unterschieden zwischen rein periodischen und gemischt periodischen Dezimalzahlen.

Bei rein periodischen Dezimalzahlen beginnt die Periode direkt hinter dem Komma. So wie im letzten Beispiel bei der ersten und der dritten Dezimalzahl.

Bei gemischt periodischen Dezimalzahlen stehen zwischen Komma und Periode eine oder mehrere Ziffern, die aber nicht zur Periode gehören. Beispiele dazu sind die zweite und die vierte Dezimalzahl von eben.

Das Eintragen von periodischen Dezimalzahlen in das Stellenwertsystem ist ganz korrekt nicht möglich, da du das Stellenwertsystem nicht unendlich lang in dein Matheheft schreiben kannst. Aber trotzdem kann man periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln! Also obwohl die Zahl in der Dezimalschreibweise nie ausgeschrieben werden kann, kannst du sie ganz einfach als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und einer ganzen Zahl im Nenner schreiben - faszinierend, oder?

Periodische Dezimalzahlen gehören also auch zu den rationalen Zahlen.

Unendliche Dezimalzahlen

Zuletzt gibt es einige Dezimalzahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die jedoch nicht periodisch sind. Diese Zahlen gehören dann nicht mehr zu den rationalen Zahlen, sondern zu den sogenannten reellen Zahlen, die du vermutlich erst in der 8. Klasse oder 9. Klasse kennenlernen wirst.

Für alle, die schon soweit sind: drei bekannte unendliche Dezimalzahlen sind Kreiszahl die Euler'sche Zahl e und die Zahl .

Unendliche Dezimalzahlen kann man also nicht in Brüche umwandeln!

Dezimalzahlen und Endnullen

An eine endliche Dezimalzahl kann man Nullen anhängen, ohne dass sie den Wert der Zahl verändern. Zum Beispiel sind die Zahlen 6,75 und 6,750 genau gleich, obwohl die zweite mehr Nachkommastellen hat. Genauso wäre die Zahl 6,7500000 gleichwertig. Solche Nullen, die ganz korrekt Endnullen genannt werden, sind manchmal beim Rechnen mit Dezimalzahlen wichtig.

Was lernst du in diesem Kapitel?

Im ersten Artikel, Vergleichen von Dezimalzahlen, kannst du lernen, wie du zwei Dezimalzahlen miteinander vergleicht. Wenn du mehrere Dezimalzahlen gegeben hast, möchtest du vielleicht wissen, welche davon die größte ist oder welche die kleinste. Genau das lernst du hier.

Dann wirst du zwei Artikel finden, wie man Brüche in Dezimalzahlen umwandelt und andersherum. Hier wird auch nochmal darauf eingegangen, welche Dezimalzahlen du überhaupt in Brüche umwandeln kannst, und welche nicht.

Zuletzt findest du einen Artikel über Zehnerpotenzen, weil auch alle endlichen Dezimalzahlen mithilfe von Zehnerpotenzen dargestellt werden können.

Was solltest du vor diesem Kapitel wissen?

Sicherlich wirst du in der Schule schon das Thema Brüche und Bruchrechnung behandelt haben. Dieses solltest du vor dem Thema Dezimalzahlen verstanden haben oder zumindest parallel dazu lernen.

Es ist außerdem empfehlenswert, unseren Artikel Zahlensysteme und das Stellenwertsystem durchzulesen.

Dezimalzahlen - Übungsaufgaben

Zum Abschluss dieses Kapitels findest du hier noch drei Aufgaben. Unter den Aufgaben wirst du die Lösungen finden, also erst ganz nach unten Scrollen, wenn du die Aufgaben bearbeitet hast!

Dezimalzahlen - Aufgabe 1

Entscheide jeweils, ob die Dezimalzahl endlich, rein periodisch oder gemischt periodisch ist. Kann man sie in einen Bruch umwandeln?

Dezimalzahlen - Aufgabe 2

Welche Dezimalzahlen sind gleichwertig? Lass dich nicht von den vielen Nullen verwirren!

Dezimalzahlen - Aufgabe 3

Wie spricht man diese Kommazahlen aus? Schreibe auf.

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1:

Die erste und die dritte Dezimalzahl ist endlich. Die zweite und die sechste Dezimalzahl ist rein periodisch. Und die vierte und fünfte Dezimalzahl ist gemischt periodisch.

Im Übrigen kann man alle diese Dezimalzahlen in einen Bruch umwandeln! Falls du dich fragst, wieso, solltest du oben die Absätze über endliche und periodische Dezimalzahlen nochmal durchlesen. Diese Arten von Kommazahlen sind immer gleichwertig zu einem Bruch.

Aufgabe 2:

Hoffentlich bist du nicht verwirrt worden von den vielen Nullen!

Gleichwertig sind:

  • 1.) 4.) und 10.)
  • 2.) und 7.)
  • 3.) 5.) und 9.)
6.) und 8.) sind nicht gleichwertig und auch nicht gleichwertig zu einer anderen gegebenen Zahl.

Aufgabe 3:

  1. Null Komma Sieben Fünf
  2. Null Komma Periode Drei
  3. Sechsundfünfzig Komma Acht Periode Sechs
  4. Zwölf Komma Sieben Null Neun
  5. Dreihundert Komma Neun Neun Fünf

Wenn du beim Bearbeiten der Aufgaben nur ein paar kleine Leichtsinnsfehler gemacht hast, dann hast du diese Einführung in Dezimalzahlen verstanden. Du kannst jetzt auf jeden Fall mit den weiteren Artikeln in diesem Kapitel weitermachen. Hast du viele Fehler gemacht, solltest du den Artikel nochmal durcharbeiten und auch die Aufgaben nochmal bearbeiten. Versuche zu verstehen, was deine Fehler beim Bearbeiten der Aufgaben waren.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dezimalzahlen

Beim Vergleichen von Dezimalzahlen schaut man sich zuerst die Zahl vor dem Komma an. Ist hier bereits eine größer     und eine kleiner, dann bist du schon fertig. Sind die Zahlen vor dem Komma - wie z. B. bei 24,935 und 24,94 - gleich, dann fängst du an, die Nachkommastellen zu betrachten. Dabei vergleichst du nach und nach erst die Zehntel, dann die Hundertstel usw. Sobald diese Ziffern nicht mehr gleich sind, kannst du sehen, welche der beiden größer ist. Im obigen Beispiel unterscheiden sich beide Zahlen in der zweiten Nachkommastelle (dem Hundertstel). Da die erste Zahl dort eine 3 hat, die zweite eine 4, so ist die zweite Zahl die größere. Also 24,935<24,94

Hier kannst du auch direkt sehen: mehr Nachkommastellen bedeutet nicht automatisch größer!

Eine endliche Dezimalzahl hat endlich viele Nachkommastellen. Sie kann in einen Bruch umgewandelt werden, der im Nenner eine Zehnerpotenz hat.

Es gibt endliche, periodische und unendliche Dezimalzahlen. Die ersten beiden Arten kannst du in Brüche umwandeln. Sie gehören zu den rationalen Zahlen. Unendliche Dezimalzahlen kannst du nicht in Brüche umwandeln. Sie gehören zu den reellen Zahlen.

Ein gemischt periodischer Dezimalbruch ist ein Dezimalbruch mit Periode in den Nachkommastellen, bei dem jedoch Ziffern zwischen dem Komma und der Periode stehen. Ein Beispiel hierfür wäre 0,0666666666... oder 3,5627272727272...

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, der als Dezimalzahl dargestellt werden kann. Im Dezimalsystem ist also jeder Bruch ein Dezimalbruch.

Dezimalbruch und Dezimalzahl sind zwei verschiedene Arten, dieselbe Zahl darzustellen. Im Prinzip sind alle Brüche, die in der Schule verwendet werden, Dezimalbrüche und können als Dezimalzahlen (also Kommazahlen) dargestellt werden. Dezimalzahl und Dezimalbruch sind also unterschiedliche Schreibweisen der gleichen Zahl.

Finales Dezimalzahlen Quiz

Frage

Was sind Dezimalzahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. 


Frage anzeigen

Frage

Welche drei Arten von Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • endliche Dezimalzahlen
  • periodische Dezimalzahlen
  • unendliche Dezimalzahlen
Frage anzeigen

Frage

Was ist eine endliche Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine endliche Dezimalzahl hat endlich viele Nachkommastellen. Irgendwann hört die Zahl also auf.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine periodische Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Periodische Dezimalzahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, jedoch wiederholt sich bei den Nachkommastellen eine Ziffernfolge immer wieder. Diese wird dann Periode genannt.


Frage anzeigen

Frage

Welche Arten von periodischen Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • rein periodische Dezimalzahlen
  • gemischt periodische Dezimalzahlen
Frage anzeigen

Frage

Welche Art von Dezimalzahlen gehört nicht zu der Menge der rationalen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

unendliche Dezimalbrüche

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine unendliche Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Unendliche Dezimalbrüche haben unendlich viele Nachkommastellen, die jedoch nicht periodisch sind. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Endnull?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Endnull ist eine Null, die man an endliche Dezimalzahlen anhängen kann. Sie verändern den Wert der Dezimalzahl nicht.

Frage anzeigen

Frage

Was für Brucharten gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt echte, unechte und gemischte Brüche.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein unechter Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein echter Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein gemischter Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen natürlichen Zahl und einem echten Bruch.

Frage anzeigen

Frage

Was für Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt endliche, unendliche, rein-periodische und gemischt-periodische Dezimalzahlen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einer rein-periodischen und gemischt-periodischen Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer rein-periodischen Dezimalzahl fängt die Periode direkt hinter dem Komma an. Bei einer gemischt-periodisch Dezimalzahl kommen erst noch Stellen die nicht teil der Periode sind.

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man ein endliche Dezimalzahl in einen Bruch um?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Schauen, wie viele Nachkommastellen die Zahl hat.
  2. In den Nenner dementsprechend 10 oder ein Vielfaches eintragen.
  3. In den Zähler die Nachkommastellen.
  4. Kürzen.
Frage anzeigen

Frage

Welche Zahl schreibt man in den Nenner bei einer periodischen Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Für jede Nachkommastelle, schreibt man eine 9 in den Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Welche Zahl steht für zwei Nachkommastellen bei einer endlichen Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Hierbei würde man 100 in den Nenner schreiben.

Frage anzeigen

Frage

Wie geht man bei einer periodischen Dezimalzahl vor?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Auf Nachkommastellen schauen.

2. Dementsprechend Neunen in den Nenner schreiben und Nachkommazahlen in den Zähler.

3. Die Zahl vor dem Komma ist der erste Summand, der Bruch der 2..

4. Beide addieren.

5. Kürzen.

Frage anzeigen

Frage

Kann man jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, man kann jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein unechter Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein echter Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann ein Bruch dargestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Bruch kann auch als Division dargestellt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Dividend und was der Divisor bei einem Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Dividend ist der Zähler und der Divisor der Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umgewandelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Dezimalzahl wird in eine Prozentzahl umgewandelt, indem die Dezimalzahl mit 100 multipliziert wird.

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein hilfreiches Tool bei der Umwandlung von Bruch in Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Stellenwerttafel

Frage anzeigen

Frage

Wie werden die verschiedenen Teiler einer Division bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Division gilt:


Dividend : Divisor = Quotient

Frage anzeigen

Frage

Was für Arten von Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt

  • endliche
  • unendliche
  • rein-periodische
  • gemischt-periodische

Dezimalzahlen

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst Du bei der Umwandlung von Bruch in Dezimalzahl vor?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. In eine Division umwandeln
  2. Division schrittweise ausrechnen
Frage anzeigen

Frage

Was kannst Du zur Umwandlung von Brüchen nutzen?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst auch die sogenannte Stellenwerttafel oder eine Division benutzen.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es, wenn der Zähler größer als der Nenner ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Es bedeutet das der Bruch in einen gemischten Bruch umgewandelt werden kann und vor dem Komma eine natürliche Zahl steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Methode kannst du noch zur Umwandlung benutzen?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst auch die Stellenwerttafel benutzen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der erste Schritt bei der Umwandlung von periodischen Dezimalzahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die periodische Zahl in eine nicht periodische Zahl umwandeln, indem du mit 10,100 ... multiplizierst.

Frage anzeigen
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