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Dezimalzahlen

Dezimalzahlen

Stell Dir vor, Du bist Einkaufen und die Packung Chips kostet \(1{,}95 \text{€}\). Diese Zahl ist eine Dezimalzahl, weil sie ein Komma enthält. In dieser Erklärung erfährst Du die Definition und den Aufbau von Dezimalzahlen, wie Du sie rundest und wie Du sie in einen Bruch umrechnest und andersherum. Außerdem lernst Du, wie Du Dezimalzahlen vergleichen kannst.

Dezimalzahl – Definition

Eine Dezimalzahl (auch Kommazahl genannt) stellt eine Zahl dar, die weder den natürlichen Zahlen noch den rationalen Zahlen zuzuordnen ist. Rechts vom Komma steht dabei der Bruchteil.

Eine Dezimalzahl wird deshalb auch als Dezimalbruch bezeichnet, da sie eigentlich ein Bruch ist, nur in anderer Schreibweise. In der Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl notiert. Das heißt, jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln und umgekehrt.

Der Bruch \(\frac{35}{100}\) lässt sich also umwandeln in:

\[\frac{35}{100}=35: 100=0{,}35\]

Mit Dezimalzahlen kannst Du auch rechnen. Wenn Du mehr zum Thema Dezimalzahlen multiplizieren und subtrahieren erfahren möchtest, dann schau Dir gern die Erklärung "Rechnen mit Dezimalzahlen" an.

Aufbau einer Dezimalzahl

Wie Du bereits gesehen hast, beschreibt eine Dezimalzahl eine Kommazahl, die aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen oder sogenannten Dezimalen besteht.

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie besteht aus Vorkommastellen, Komma und Nachkommastellen.

\[ {\color{#1478c8} 0} {\color{#00dcb4} {,} } {\color{#fa3273} 4} \]

Hast Du verschiedene Brüche schon in Dezimalschreibweise umgewandelt? Dann ist Dir vielleicht aufgefallen, dass die Zahlen teilweise mehr Nachkommastellen haben als andere oder sogar gar nicht mehr aufhören. Das liegt daran, dass zwischen verschiedenen Arten von Dezimalzahlen unterschieden werden kann.

Kommastellen einer Dezimalzahl

In diesem Abschnitt werden die Kommastellen der Dezimalzahl benannt. Als Beispiel wird hier die Dezimalzahl \(28{,}436\) betrachtet.

28,436
Zehner EinerKommaZehntelHundertstelTausendstel

Du kannst Dezimalzahlen auch auf ihre Nachkommastellen runden, schau Dir gern den passenden Artikel dazu an, wenn Du mehr zum Thema erfahren möchtest.

Arten von Dezimalzahlen

Es gibt abbrechende, periodische und irrationale Dezimalzahlen. Was genau diese sind, soll folgende Abbildung beschreiben und erklären:

Dezimalzahlen subtrahieren Arten von Dezimalzahlen StudySmarterAbb. 1 – Arten von Dezimalzahlen


  • Abbrechende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen, die an einem bestimmten Punkt enden. Das sind zum Beispiel Zahlen, wie \(12{,}43\), da ihre Nachkommastellen, nach der \(3\) enden.

  • Bei nicht-abbrechenden Dezimalzahlen enden die Nachkommastellen nie. Sie gehen ins Unendliche.

    • Dabei können sich die Nachkommastellen entweder bis ins Unendliche wiederholen (periodisch), wie zum Beispiel die Zahl \(0{,}\bar{3}\). Diese Zahlen sind rationale Zahlen.
    • Oer die Dezimalzahl weißt keine bestimmte Zahlenfolge auf (nicht-periodisch). Ein klassisches Beispiel für eine nicht periodische Dezimalzahl wäre die Zahl Pi \((\pi)\), die der Dezimalzahl \(3{,}1415926\) entspricht. Diese Zahlen nennen sich auch irrationale Zahlen.

Mehr zum Thema rationale und irrationale Zahlen erfährst Du in der Erklärung "Zahlenmengen".

Dezimalzahlen vergleichen

Dezimalzahlen kannst Du auch miteinander vergleichen, wenn Du zum Beispiel im Supermarkt bist. Die eine Packung Schokoriegel kostet \({\color{bl}1{,}95\text{€}}\) und die andere \({\color{gr}1{,}99\text{€}}\). Jetzt musst Du herausfinden, welche Packung günstiger ist.

Aber wie machst Du das?

Du gehst von links nach rechts durch die Zahlen und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.

\begin{align} {\color{bl}1}&={\color{gr}1} \\[0.2cm] {\color{bl}9}&={\color{gr}9}\\[0.2cm]{\color{bl}5}&<{\color{gr}9} \end{align}

Hier erkennst Du, dass die \({\color{bl}5}<{\color{gr}9}\) ist, weshalb die Dezimalzahl \({\color{bl}1{,}95\text{€}} < {\color{gr}1{,}99\text{€}}\) ist, also ist sie auch günstiger.

Wenn Du noch mehr zum Thema "Dezimalzahlen vergleichen" erfahren möchtest, schau Dir gerne die passende Erklärung dazu an.

Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. So hast Du die Möglichkeit, große Zahlen kompakt darzustellen.

Die allgemeine Zehnerpotenz sieht folgendermaßen aus:

\[10^c\]

\(c\) ist ein ganzzahliger Exponent. Oft ist vor der Zehnerpotenz noch ein Faktor \(a\), eine beliebige reelle Zahl.

\[a\cdot 10^c\]

Wenn Du mehr über die Zehnerpotenzen herausfinden willst, schau Dir gerne die Erklärung an.

Dezimalzahlen umrechnen

Dezimalzahlen sind Zahlen, die Du in Brüche umrechnen kannst. Du kannst aber auch einen Bruch in eine Dezimalzahl umrechnen, je nachdem, wie die Aufgabe wünscht.

Ein Bruch ist folgendermaßen aufgebaut. Wichtig hierbei zu wissen ist, was der Nenner und der Zähler eines Bruchs ist.

\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]

Wenn Du noch mehr zum Thema Brüche erfahren möchtest, schau Dir gern die passende Erklärung "Bruchrechnen" dazu an.

Aber wie wird eine solche Dezimalzahl in einen Bruch umgerechnet? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Wenn Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umformen möchtest, musst Du folgende Schritte befolgen.

  1. Zuerst schaust Du, wie viele Nachkommastellen die Zahl hat, um zu entscheiden, welche Zahl in den Nenner kommt. Das machst Du, in dem Du die Anzahl an Nachkommastellen als Nullen an die \(1\) hängst.
  2. Danach nimmst Du die Zahl als Ganze, ohne Komma und erhältst den Zähler.
  3. Wenn die Aufgabe wünscht, kannst Du den Bruch noch umformen, in dem Du die Vorkommastellen vor den Bruch schreibst und die Nachkommastellen in den Nenner schreibst. Der Zähler bleibt gleich.

Schau Dir die Erklärung "Dezimalzahlen in Brüche umwandeln" an, wenn Du mehr zum Thema erfahren möchtest.

Brüche in Dezimalzahlen umrechnen

Es gibt drei Möglichkeiten, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzurechnen.

MöglichkeitenDurchführung
Bruch mit willkürlichem Nenner.

Einen Bruch wandelst Du in eine Dezimalzahl um, in dem Du eine schriftliche Division durchführst und Zähler durch Nenner teilst.

Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner.

Wenn Dein Bruch eine Zehnerpotenz im Nenner hat, nimmst Du die Zahl aus dem Zähler und setzt das Komma so, dass die Dezimalzahl so viele Nachkommastellen hat, wie Deine Zehnerpotenz Nullen hat.

Bruch mit einem Nenner, der zu einer Zehnerpotenz gekürzt, oder erweitert werden kann.

Wenn Du einen Nenner hast, der auf eine Zehnerpotenz gekürzt oder erweitert werden kann, wie zum Beispiel eine \(5\) oder eine \(200\), dann kannst Du die Zahl kürzen oder erweitern und genau so vorgehen, wie bei einer Zehnerpotenz im Nenner.

Wenn Du mehr zum Thema "Brüche in Dezimalzahlen umwandeln" erfahren möchtest, schau Dir gerne die passende Erklärung dazu an

Dezimalzahlen in Prozent

Wenn Du eine Dezimalzahl in Prozent umwandeln möchtest, dann musst Du immer die Zahl mit \(100\) multiplizieren und hinter das Ergebnis ein Prozentzeichen setzen.

Angaben in Prozent stellen die Menge der Angabe im Verhältnis zu \(100\) dar.

Das sieht dann so aus.

Wenn Du die Dezimalzahl \(0{,}043\) in Prozent umwandeln möchtest, musst Du die Zahl \(0,043\) mit der Zahl \(100\) multiplizieren.

\[0{,}043 \cdot 100= 4{,}3 \text{%}\]

Die Dezimalzahl \(0{,}043\) sind \(4{,}3 \text{%}\).

Runden auf Zehntel

Um eine ganze Dezimalzahl auf ein Zehntel zu runden, schaust Du Dir nur die zweite Ziffer nach dem Komma der Zahl an, das Hundertstel.

Ein Zehntel ist immer die erste Ziffer nach dem Komma.

Auch hier gelten die Regeln: Wenn der Hundertstel \( \leq 4 \) ist, wird abgerundet und ab \( \geq 5 \) wird aufgerundet.

Als Beispiel gibt es die Zahl \(1{,}25\) und \(12{,}41\) , die auf das Zehntel gerundet werden müssen.

\[ 13{,}4{ \color{#1478c8}1} \approx 13{,}4 \]

\[ 1{,}2{ \color{#00dcb4}6} \approx 1{,}3 \]

Dezimalzahlen – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie besteht aus Vorkommastellen, Komma und Nachkommastellen.
  • Wenn Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umformen möchtest, dann musst Du nur schauen, wie viele Nachkommastellen die Dezimalzahl hat und eine Zehnerpotenz in den Nenner schreiben, welche so viele Nullen hat, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen. Dann schreibst Du nur noch die ganze Zahl, ohne das Komma in den Zähler.
  • Wenn Du einen Bruch in die Dezimalzahl umwandeln willst, musst Du entweder den Zähler durch den Nenner teilen, oder schauen, welche Zehnerpotenz der Nenner hat und dann das Komma beim Zähler so setzen, dass die Dezimalzahl so viele Nachkommastellen hat, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.
  • Wenn Du eine Dezimalzahl in Prozent umwandeln willst, dann musst Du die Dezimalzahl mit \(100\) multiplizieren und ein Prozentzeichen dahinter setzen.
  • Beim Vergleichen zweier Dezimalzahlen gehst Du Stück für Stück durch die Zahlen und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.

Nachweise

  1. Pampel (2017): Rechnen mit Zahlen und Variablen. In: Arbeitsbuch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.
  2. Benker (2016). Zahlen. In: MATHEMATICA kompakt . Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dezimalzahlen

Eine abbrechende Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.

Ein abbrechender Dezimalbruch ist eine Zahl, die ab einer gewissen Nachkommastelle nur noch Nullen hat. 

Dezimalzahlen kannst Du miteinander vergleichen, indem Du Stück für Stück durch die Zahlen gehst und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.

Dezimalzahlen findest Du zum Beispiel im Supermarkt, beim Zeit stoppen und an der Tankstelle. 

Finales Dezimalzahlen Quiz

Frage

Was sind Dezimalzahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Nachkommastellen. 


Frage anzeigen

Frage

Welche drei Arten von Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • endliche Dezimalzahlen
  • periodische Dezimalzahlen
  • unendliche Dezimalzahlen

Frage anzeigen

Frage

Wie spricht man die folgende Dezimalzahl aus?



Antwort anzeigen

Antwort

Zweiundvierzig Komma Drei Sieben Periode Fünf

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine endliche Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine endliche Dezimalzahl hat endlich viele Nachkommastellen. Irgendwann hört die Zahl also auf.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine periodische Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Periodische Dezimalzahlen haben unendlich viele Nachkommastellen, jedoch wiederholt sich bei den Nachkommastellen eine Ziffernfolge immer wieder. Diese wird dann Periode genannt.


Frage anzeigen

Frage

Welche Arten von periodischen Dezimalzahlen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • rein periodische Dezimalzahlen
  • gemischt periodische Dezimalzahlen

Frage anzeigen

Frage

Welche Art von Dezimalzahlen gehört nicht zu der Menge der rationalen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

unendliche Dezimalbrüche

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine unendliche Dezimalzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Unendliche Dezimalbrüche haben unendlich viele Nachkommastellen, die jedoch nicht periodisch sind. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Endnull?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Endnull ist eine Null, die man an endliche Dezimalzahlen anhängen kann. Sie verändern den Wert der Dezimalzahl nicht.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was eine Dezimalzahl ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie besteht aus Vorkommastellen, Komma und Nachkommastellen.


\[ {\color{#1478c8} 0} {\color{#00dcb4} {,} } {\color{#fa3273} 4} \]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Dezimalzahlen entstehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Dezimalzahl kann entstehen, in dem eine Zahl durch eine andere Dividiert wird

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Zahl eine Dezimalzahl ist.

Antwort anzeigen

Antwort

\[1\,576\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Ziffer ist das Zehntel einer Dezimalzahl ist.

Antwort anzeigen

Antwort

\[{\color{#1478c8}1}0,01\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Ziffer das Hundertstel einer Dezimalzahl ist.

Antwort anzeigen

Antwort

\[1,0{\color{#1478c8}1}\]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du Dezimalzahlen miteinander vergleichst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um Dezimalzahlen zu vergleichen, gehst Du Stück für Stück durch die Zahlen und schaust, welche Ziffer größer, kleiner oder ob sie gleich sind.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welcher Vergleich richtig ist.

Antwort anzeigen

Antwort

\[2{,}34 = 2{,}45\]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umrechnest.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst schaust Du, wie viele Nachkommastellen die Zahl hat. So viele Nachkommastellen, wie die Zahl hat, kommen als Nullen in den Nenner . Dann nimmst Du die Zahl als Ganze, ohne Komma und erhältst den Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welcher Bruch zu der Dezimalzahl \(1{,}23\) gehört

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{123}{10}\]

Frage anzeigen

Frage

Berechne, wie viel \(0{,}87\) in Prozent sind.

Antwort anzeigen

Antwort

\[0{,}87 \cdot 100 = 87\text{%}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Dezimalzahl zu dem Bruch \(\frac{23}{10}\) gehört.

Antwort anzeigen

Antwort

\[2{,}3\]

Frage anzeigen

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