Systematisches Probieren

Du hast in Mathematik die Gleichung \(5+x^2=14\) und vielleicht weißt Du noch nicht, mit welchem Verfahren oder mit welcher Formel Du sie lösen kannst. In diesem Fall kannst Du den Wert durch systematisches Probieren erraten. Ob es Formeln dafür gibt und ob Du das auch mit Excel lösen kannst, erfährst Du hier!

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Systematisches Probieren Mathematik Grundlagen

    Bevor Du Dich damit auseinandersetzt, solltest Du allerdings in den Bereichen

    in Mathematik fit sein.

    Systematisches Probieren Definition

    Wenn Du eine Aufgabe oder Gleichung durch systematisches Probieren lösen willst, setzt Du für die Variable bestimmte Zahlen ein. Dabei gehst Du geschickt vor, um Dich möglichst schnell der Lösung zu nähern. Die Frage hierbei lautet: Welche Zahl muss ich einsetzen, damit ich das Ergebnis auf der anderen Seite der Gleichung erhalte?

    Grundsätzlich empfiehlt es sich, im 1. Schritt immer \(0\) einzusetzen und zu schauen, welcher Wert dabei herauskommt.

    Addition:

    Wenn der Wert größer ist, als das vorgegebene Ergebnis, dann setzt Du negative Zahlen ein, um den Wert in Richtung des Ergebnisses zu verkleinern.

    Analog dazu setzt Du bei einem kleineren Ergebnis positive Zahlen ein.

    Subtraktion:

    Hier kehrt sich die Regel entsprechend um, da ein Minus vor dem Platzhalter steht. Beachte: Minus und minus ergibt plus.

    Wird eine gerade Potenz, wie zum Beispiel \(x^2\) addiert oder subtrahiert, kannst Du sowohl positive, als auch negative Werte einsetzen. Achte also immer auf die Vorzeichen!

    Im folgenden Beispiel siehst Du, wie Du diese Regeln anwendest. Zur Vereinfachung musst Du hier aber noch nicht selbst Werte suchen, sondern es sind mögliche Werte vorgegeben.

    Du hast für die Gleichung

    \[\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200}\definecolor{türkies}{RGB}{0,220,180}10{\color{blau}+x}=15\]

    die Zahlen \(-5\) und \(5\) zur Auswahl.

    Wenn Du \(0\) in die Gleichung einsetzt, erhältst Du den Wert \(10\).

    \begin{align}10{\color{blau}+0}&=15\\10&\neq15\quad\end{align}

    Das ist kleiner als das gewünschte Ergebnis (\(15\)), also kommt hier nur die positive Zahl \(5\) infrage.

    \begin{align}10{\color{blau}+5}&=15\\15&=15\quad{\color{green}✔}\end{align}

    Würde die Gleichung dagegen so aussehen

    \[10{\color{türkies}-x}=15\]

    dann müsstest Du die negative Zahl einsetzen, weil minus und minus wieder plus ergibt.

    \begin{align}10{\color{türkies}-(-5)}&=15\\10{\color{türkies}+5}&=15\\15&=15\quad{\color{green}✔}\end{align}

    Ähnlich verhält es sich, wenn Multiplikation oder Division ins Spiel kommen.

    Division/Multiplikation:

    Haben beide Seiten der Gleichung das gleiche Vorzeichen – das heißt beide Seiten sind entweder positiv oder negativ – dann teilst/multiplizierst Du mit einer positiven Zahl.

    Haben sie jedoch unterschiedliche Vorzeichen, so setzt Du eine negative Zahl ein.

    Hier kommt wieder die Regel "Minus mal/durch minus ergibt plus" ins Spiel.

    Bei dieser Gleichung\[4:{\color{blau}x}=2\]

    hast Du die Möglichkeit, entweder \(-2\) oder \(2\) einzusetzen. Da beide Seiten der Gleichung positiv sind, fällt die Wahl auf die positive Zahl.

    \begin{align}4:{\color{blau}2}&=2\\2&=2\quad{\color{green}✔}\end{align}

    Würde man stattdessen \(-2\) einsetzen, würde die Gleichung nicht aufgehen:

    \begin{align}4:{\color{türkies}(-2)}&=2\\-2&=2\end{align}

    Genau dasselbe Prinzip gilt für die Division.

    Systematisches Probieren Gleichungen

    Bisher waren in den Beispielen bestimmte Zahlen gegeben, um das Prinzip zu verdeutlichen. Du weißt jetzt schon, wann Du eine positive und wann eine negative Zahl nehmen kannst. Du weißt aber immer noch nicht, welche Zahl die richtige ist, denn sowohl im positiven, als auch im negativen Bereich gibt es unendlich viele Möglichkeiten.

    Dazu gibt es keine Formeln oder eine bestimmte Vorgehensweise, aber dennoch kannst Du geschickt vorgehen.

    Es empfiehlt sich, bei überschaubaren Werten zu beginnen, beispielsweise \(1\). Je nachdem, wie weit der resultierende Wert vom Ergebnis entfernt ist, wählst Du die nächste Zahl, die Du einsetzt, entweder direkt daneben (also beispielsweise eine \(2\)), oder weit davon entfernt (\(10, 100\) oder noch weiter).

    Springst Du beim nachfolgenden Einsetzen über bzw. unter das Ergebnis, so wählst Du beim nächsten Schritt wieder eine kleinere bzw. größere Zahl.

    Solltest Du bei einem Wert unter dem Ergebnis und beim nächstgelegenen Wert über dem Ergebnis liegen, dann probiere Dezimalzahlen zwischen diesen beiden Zahlen aus.

    Diesen Tipp kannst Du auf alle Gleichungen anwenden.

    Versuche einmal, in die Gleichung

    \[10{\color{blau}x}+5=25\]

    \(1\) einzusetzen. Du erhältst

    \begin{align}10{\color{blau}\cdot1}+5&=25\\10+5&=25\\15&=25\end{align}

    Die Gleichung geht nicht auf und Du siehst, dass der Wert \(15\) noch weit vom Ergebnis \(25\) entfernt ist. Wage also einen größeren Sprung und setze \(3\) ein.

    \begin{align}10{\color{blau}\cdot3}+5&=25\\30+5&=25\\35&=25\end{align}

    Jetzt bist Du über das Ziel hinausgeschossen und solltest einen Schritt zurückgehen. Du setzt also \(2\) ein.

    \begin{align}10{\color{blau}\cdot2}+5&=25\\20+5&=25\\25&=25\quad{\color{green}✔}\end{align}

    Du hast das richtige Ergebnis gefunden! Die gesuchte Zahl lautet also \(2\).

    Systematisches Probieren mit dem Taschenrechner

    Was Du in Mathematik auf dem Blatt machen kannst, geht natürlich auch mit etwas Hilfe.

    Auf dem Taschenrechner wählst Du die Funktion "Tabelle" aus. Hier kannst Du erst die Gleichung eintippen und dann die Werte, die eingesetzt werden sollen.

    Aber Achtung! Da der Taschenrechner hier eine Funktion (meist \(f(x)\)) verlangt, muss die Gleichung erst nach \(0\) aufgelöst werden, sodass alle Zahlen und Variablen auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen.

    Nachdem Du also die Funktion eingegeben hast, fragt Dein Taschenrechner nach einem Startwert (die Zahl, die er zuerst einsetzen soll), einem Endwert (die Zahl, bei der er aufhören soll) und der Schrittweite. Mit Schrittweite ist gemeint, in welchem Abstand die Zahlen eingesetzt werden. Also entweder jede Zahl, jede zweite, jede dritte oder auch etwas anderes.

    Möchtest Du beispielsweise die gesuchte Zahl der Gleichung

    \[\frac{12}{x}+4=7\]

    mit dem Taschenrechner "erraten", so stellst Du die Gleichung zuerst nach \(0\) um:

    \begin{align}\frac{12}{x}+4&=7&&|-7\\[0.2 cm]\frac{12}{x}+4-7&=0\\[0.2 cm]\frac{12}{x}-3&=0\\\\\Rightarrow\quad f(x)&=\frac{12}{x}-3\end{align}

    Anschließend kannst Du die Funktion \(f(x)\) in Deinen Taschenrechner eingeben. Als Start- und Endwert legst Du beispielsweise \(1\) und \(10\) fest, für die Schrittweite ist 1 meist ein guter Wert. Als Ergebnis gibt Dir Dein Taschenrechner eine Tabelle aus, welche Zahl welches Ergebnis erzeugt.

    \(\boldsymbol{x_i}\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)\(6\)\(7\)\(8\)\(9\)\(10\)
    \(\quad\boldsymbol{f(x)=\frac{12}{x}-3}\quad\)\(9\)\(3\)\(1\)\(0\)\(-\text{0,6}\)\(-1\)\(-\text{1,285}\)\(-\text{1,5}1\)\(-\text{1,666}\)\(-\text{1,8}\)

    Du siehst, bei der Zahl \(4\) ergibt die Funktion \(0\). Das heißt, \(4\) ist die gesuchte Zahl. Zur Kontrolle kannst Du sie auch nochmal in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

    \begin{align}\frac{12}{{\color{blau}4}}+4&=7\\[0.1 cm]3+4&=7\\[0.2 cm]7&=7\quad{\color{green}✔}\end{align}

    Systematisches Probieren Mathe – Fazit

    Spätestens wenn Du weißt, wie Du in Mathematik Gleichungen umstellen und rechnerisch lösen kannst, musst Du die gesuchte Zahl nicht mehr erraten. Wirklich nötig wird das systematische Probieren erst in der Mathematik der Oberstufe, denn hier muss beispielsweise bei Funktionen 3. Grades eine Nullstelle ermittelt werden, damit eine Lösungsformel angewendet werden kann.

    Du kannst das systematische Probieren allerdings auch immer dann in Mathematik anwenden, wenn Du beispielsweise eine Rechenregel vergessen hast und schnell zum Ergebnis kommen musst, oder Du vor einer komplizierten Aufgabe stehst und nicht weißt, wie Du sie lösen kannst.

    Wusstest Du, dass elektronische Geräte mit dem systematischen Probieren rechnen? So nähert sich beispielsweise Dein Taschenrechner in vielen Rechenschritten dem Ergebnis an, das er Dir am Ende anzeigt. Mehr dazu findest Du beim Newton Verfahren!

    Systematisches Probieren im Mathematik – Aufgaben mit Lösungen

    Zum Abschluss kannst Du hier noch ein bisschen Üben. Viel Spaß!

    Aufgabe 1

    Kommen für die Gleichung

    \[12x+3=-33\]

    positive oder negative Zahlen infrage?

    Lösung

    Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht eine negative Zahl. Das heißt, das Ergebnis ist negativ. Auf der linken Seite der Gleichung stehen jedoch positive Zahlen. Aus diesem Grund muss eine negative Zahl eingesetzt werden, um auf das Ergebnis zu kommen.

    Aufgabe 2

    Erstelle auf deinem Taschenrechner eine Tabelle für die Gleichung

    \[4-x+10=10\]

    und setze die Zahlen \(1\) bis \(5\) in Einerschritten ein.

    Lösung

    Zuerst musst Du die Gleichung nach \(0\) umstellen, weil Dein Taschenrechner eine Funktion statt einer Gleichung verlangt.

    \begin{align}4-x+10&=10&&|-10\\4-x&=0\\[0.3 cm]\Rightarrow\quad f(x)&=4-x\end{align}

    Nun kannst Du den Startwert \(1\), den Endwert \(5\) und die Schrittweite \(1\) festlegen. Der Taschenrechner sollte Dir folgende Werte ausgeben:

    \(\boldsymbol{x_i}\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)
    \(\quad\boldsymbol{f(x)=4-x}\quad\)\(3\)\(2\)\(1\)\(0\)\(-1\)

    Die Zahl \(4\) ergibt \(0\), also ist die \(4\) die gesuchte Zahl.

    Aufgabe 3

    Löse die Gleichung

    \[3x-5=40\]

    durch systematisches Probieren. Entscheide selbst, welche Zahlen Du einsetzt.

    Lösung

    Du musst Dich nicht exakt an diesen Lösungsvorschlag halten. Hier gibt es viele Möglichkeiten. Dieser Lösungsweg soll nur beispielhaft das Vorgehen zeigen.

    Zu Beginn empfiehlt es sich, eine einfache Zahl zu testen. Beispielsweise \(1\).

    \begin{align}3\cdot1-5&=40\\3-5&=40\\-2&=40\quad{\color{red}✘}\end{align}

    Das Ergebnis ist noch weit vom richtigen Ergebnis entfernt, also kannst Du einen größeren Sprung wagen. Beispielsweise \(10\).

    \begin{align}3\cdot10-5&=40\\30-5&=40\\25&=40\quad{\color{red}✘}\end{align}

    Noch einen Sprung weiter auf \(20\):

    \begin{align}3\cdot20-5&=40\\60-5&=40\\55&=40\quad{\color{red}✘}\end{align}

    Jetzt ist der Wert größer, als das Ergebnis der Gleichung, also musst Du wieder zurückgehen. Nimm den Mittelwert zwischen \(10\) und \(20\), also die \(15\):

    \begin{align}3\cdot15-5&=40\\45-5&=40\\40&=40\quad{\color{green}✔}\end{align}

    Die Gleichung geht auf! Die gesuchte Zahl ist also \(15\).

    Systematisches Probieren – Das Wichtigste

    • Das systematische Probieren kannst Du in Mathematik immer dann zur Lösung von Gleichungen anwenden, wenn kein bekanntes Verfahren anwendbar ist.
    • Dazu gibt es keine Rechenregeln oder Formeln, aber einige Anhaltspunkte
      • Bei der Addition und Subtraktion setzt Du positive Zahlen ein, wenn das Ergebnis größer ist, als die Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung und negative, wenn es kleiner ist. Steht vor der gesuchten Zahl ein Minus, so kehrt sich diese Regel um.
      • Bei der Multiplikation und Division verwendest du positive Zahlen, wenn beide Seiten der Gleichung das gleiche Vorzeichen haben und negative, wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind. Achte dabei auch wieder auf das Vorzeichen der gesuchten Zahl, denn minus mal minus ergibt plus.
    • Du kannst das systematische Probieren auch mit dem Taschenrechner oder Excel durchführen.

    Nachweise

    1. Hauf, M (2018) Mein Helfer-Heft Mathematik Algebra/Arithmetik, 1. Aufl., Verlag an der Ruhr
    2. Theo de Jong (2020) Lineare Algebra, 2. aktualisierte Aufl., Pearson Studium ein Imprint von Pearson Deutschland
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Systematisches Probieren

    Wie löst man Gleichungen durch Probieren? 

    Du kannst Gleichungen lösen, indem Du beliebige Werte einsetzt und prüfst, ob am Ende auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht. Ist das nicht der Fall, nutzt Du einen anderen Wert, solange bis Du den richtigen gefunden hast.

    Gibt es Regeln, wie ich Gleichungen durch systematisches Probieren lösen kann?

    In Stein gemeißelte Regeln gibt es nicht, aber Du kannst Dir merken, dass Du bei der Addition/Subtraktion positive Zahlen einsetzt, wenn das Ergebnis größer ist, als die Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung und umgekehrt. Bei der Division/Multiplikation setzt Du positive Zahlen ein, wenn die Vorzeichen beider Seiten gleich sind und negative, wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind. Bei beiden Strategien gilt: Ist das Vorzeichen der gesuchten Zahl ein Minus, so kehren sich die Strategien um.

    Wo wird das systematische Probieren gebraucht?

    Spätestens wenn Du weißt, wie Du Gleichungen umstellen und rechnerisch lösen kannst, musst Du die gesuchte Zahl nicht mehr erraten. Wirklich nötig wird das systematische Probieren erst in der Oberstufe, denn hier muss beispielsweise bei Funktionen 3. Grades eine Nullstelle erraten werden, damit eine Lösungsformel angewendet werden kann. Du kannst das systematische Probieren allerdings auch immer dann anwenden, wenn Du beispielsweise eine Rechenregel vergessen hast und schnell zum Ergebnis kommen musst, oder Du vor einer komplizierten Aufgabe stehst und nicht weißt, wie Du sie lösen kannst.

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    Wenn bei der Addition/Subtraktion das Ergebnis größer ist, als die Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung, dann...

    Wenn bei der Addition/Subtraktion das Ergebnis kleiner ist, als die Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung, dann...

    Wenn bei der Multiplikation/Division beide Seiten der Gleichung dasselbe Vorzeichen haben, dann...

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