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Anwendung der Differentialrechnung – Grundlagenwissen
Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Änderungsverhalten einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Das Änderungsverhalten wird mithilfe des Differentialquotienten bestimmt und wird auch als Ableitung der Funktion bezeichnet.
Um diese Ableitung zu bestimmen, gibt es einige Ableitungsregeln für die verschiedenen Arten von Funktionen.
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
| Ableitung einer konstanten Funktion | \[f(x)=c\] | \[f'(x)=0\] |
| Ableitung einer linearen Funktion | \[f(x)=x\] | \[f'(x)=1\] |
| Potenzregel | \[f(x)=x^n\] | \[f'(x)=n\cdot x^{n-1}\] |
| Faktorregel | \[f(x)=c\cdot g(x)\] | \[f'(x)=c \cdot g'(x)\] |
| Summenregel | \[f(x)=h(x)+g(x)\] | \[f'(x)=h'(x)+g'(x)\] |
| Produktregel | \[f(x)=g(x)\cdot h(x)\] | \[f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\] |
| Quotientenregel | \[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\] | \[f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}\] |
| Kettenregel | \[f(x)=g(h(x))\] | \[f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\] |
Weitere Erklärungen und Übungen zu den Ableitungsregeln findest Du in der Erklärung „Ableitungsregeln“ und in der jeweiligen Erklärung zu der Ableitungsregel.
Mithilfe der Differentialrechnung kannst Du ebenfalls die Tief- und Hochpunkte einer Funktion bestimmen.
Wie Du Hoch-, Tiefpunkte berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Extremwert berechnen“.
Differentialrechnung im Alltag
Wann nutzt Du nun die Differentialrechnung im Alltag? Grundsätzlich wirst Du die Differentialrechnung nicht so oft wie die Grundrechenarten benötigen, trotzdem solltest Du den Einfluss der Differentialrechnung in Deinem Alltag nicht unterschätzen.
Zu den alltäglichen Anwendungen zählen das Extremwertproblem, die Anwendung in der Ökonomie sowie in der Physik.
Anwendung der Differentialrechnung – Extremalprobleme
Extremalprobleme, oder auch Extremwertprobleme genannt, existieren mit oder ohne Nebenbedingung.
Ein Extremwertproblem ist eine Aufgabe, bei welcher entweder der minimale oder maximale Wert einer Funktion gesucht ist.
In der Realität möchtest Du zum Beispiel oftmals möglichst viel Rasenfläche mit möglichst wenig Zaun abstecken.
Dieses Beispiel wäre ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung. Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen unterscheiden sich zu den ohne Nebenbedingungen darin, dass sie mehr als eine Variable haben.
Genauer gesagt:
\[\text{Hauptbedingung}+\text{Nebenbedingung}=\text{Zielfunktion}\]
Extremwertprobleme mit Nebenbedingung kannst Du mithilfe der folgenden Schritte berechnen.
- Bestimme die Hauptbedingung.
- Bestimme die Nebenbedingung.
- Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen (a) auf.
- Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
- Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable (b).
- Setze den errechneten Wert (von b) in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable (a) zu erhalten.
- Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.
Damit Du nicht den Überblick verlierst, kann es auch sinnvoll sein zu Beginn eine Skizze über das Problem anzufertigen.
Wenn Du die Theorie an einem Beispiel sehen möchtest, schau Dir die Erklärung "Extremwertprobleme" oder das Beispiel am Ende der Erklärung an.
Ökonomische Anwendung der Differentialrechnung
Die Differentialrechnung findet auch in der Ökonomie Anwendung – genauer gesagt, in der Kosten- und Preistheorie. Dort wird versucht, Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne mithilfe von mathematischen Funktionen darzustellen.
Die wichtigsten Funktionen in der Kosten- und Preistheorie sind die Folgenden:
Die Kostenfunktion \(K\) beschreibt die gesamten Kosten für die Produktion, bestehend aus den Fixkosten und den variablen Kosten, welche abhängig von der Produktionsmenge sind.
\[K(x)={\color{#00dcb4}K_{fix}}+{\color{#fa3273}K_{var}}\cdot x\]
Die Preisfunktion \(P\) gibt den Preis pro Stück an.
\[P(x)=\frac{E(x)}{x}\]
Die Erlösfunktion \(E\) gibt den Erlös pro Stück an.
\[E(x)=P(x)\cdot x\]
Die Gewinnfunktion \(G\) beschreibt den Gewinn der Produktion als Differenz von Erlös und Kosten.
\[G(x)={\color{#8363e2}E(x)}-\color{#ffcd00}K(x)\]
Mehr zu den wirtschaftlichen Zusammenhängen erfährst Du im Themengebiet „Wirtschaft“.
Neben der linearen Kostenfunktion \(K(x)=K_{fix}+K_{var}\cdot x\) gibt es noch weitere Kostenfunktionen, unter anderem die durchschnittliche Stückkostenfunktion. Bei dieser Funktion sinken die Fixkosten mit der Produktionsmenge.
Jetzt bleibt die Frage, was das Ganze überhaupt mit der Differentialrechnung zu tun hat. Sobald Du die Gewinnfunktion aufgestellt hast, zeigt diese Dir den Verlauf Deines möglichen Gewinns in Abhängigkeit der verkauften Menge. Wenn Du nun den Extrempunkt der Gewinnfunktion mittels der Differentialrechnung bestimmst, erfährst Du, wie viele Produkte Du für einen maximalen Gewinn verkaufen musst.
Aufgabe 1
Stell Dir vor, Du verkaufst bei einem Kuchenbasar Kuchen. Die Kostenfunktion für Deinen Kuchenverkauf lautet: \[K(x)=25+\text{0,1}x+\text{0,02}x^2\]Dabei steht das \(x\) für die Anzahl der Kuchenstücke. Die produzierten Kuchen verkaufst Du für \(\text{2 €}\). Berechne den maximalen Gewinn und die dafür verkaufte Anzahl an Kuchenstücken.
Lösung
Da die Kostenfunktion bereits gegeben ist, stellst Du zuerst die Erlösfunktion auf. Der Preis pro Stück Kuchen beträgt \(\text{2 €}\).
\begin{align}E(x)&=P(x)\cdot x \\E(x)&=2x\end{align}
Als Nächstes stellst Du die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus der Differenz der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.
\begin{align}G(x)&=E(x)-K(x) \\G(x)&=2x-(25+\text{0,1}x+\text{0,02}x^2) \\G(x)&=2x-25-\text{0,1}x-\text{0,02}x^2 \\G(x)&=-\text{0,02}x^2+\text{1,9}x-25\end{align}
Jetzt leitest Du die Gewinnfunktion ab und berechnest die Extremstelle. Mit der Extremstelle erhältst Du die Anzahl der Kuchenstücke, mit welcher Du den größten Gewinn erzielst.
\begin{align}G'(x)&=-\text{0,04}x+\text{1,9}\\G''(x)&=-\text{0,04} <0\rightarrow HP \\ \\G'(x)&=0 \\0&=-\text{0,04}x+\text{1,9} &|&-\text{1,9}\\-\text{1,9}&=-\text{0,04}x &|&:(-\text{0,04})\\\text{47,5}&=x\end{align}
Die Extremstelle liegt bei 47,5 Kuchenstücken, jedoch kannst Du keine halben Kuchenstücke verkaufen. Deshalb rundest Du auf 48 Kuchenstücke auf. Zum Schluss berechnest Du den Gewinn, den Du erzielst, mit 48 verkauften Kuchenstücken. Setze den Hochpunkt dafür in die Gewinnfunktion ein.
\begin{align}G(x)&=-\text{0,02}x^2+\text{1,9}x-25 \\G(48)&=-\text{0,02}\cdot 48^2+\text{1,9}\cdot 48-25 \\G(48)&=\text{20,12}\end{align}
Der maximal erzielbare Gewinn liegt bei \(\text{20,12 €}\), wenn Du 48 Kuchenstücke verkaufst.
Anwendung Differentialrechnung Physik
In der Physik werden Bewegungen häufig in Diagrammen und als Funktionen dargestellt. Eine Bewegung kann dabei in verschiedenen Diagrammen dargestellt werden, welche Du durch die Differentialrechnung berechnen kannst.
Besonders gut lässt sich dieser Zusammenhang anhand einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nachvollziehen.
Das Weg-Zeit-Diagramm zeigt den positiven Teil einer Parabel. Die Werte eines Weg-Zeit-Diagramms berechnest Du mit der Formel:
\[s(t)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\]
In den folgenden Abbildungen wird eine Beschleunigung von \(a=2\, \frac{m}{s^2}\) zur Veranschaulichung angenommen.
Abb. 1 - Weg-Zeit-Diagramm
Wenn Du diese Formel in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) ableitest, erhältst Du die Formel:
\[v(t)=a\cdot t\]
Abb. 2 - Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Beim weiteren Differenzieren der Geschwindigkeit \(v\) erhältst Du die Beschleunigung \(a\) mit der Formel:
\[a(t)=a\]
Abb. 3 - Beschleunigung-Zeit-Diagramm
Das bedeutet für die Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, dass die Beschleunigung \(a\) nicht abhängig von der Zeit ist, sondern konstant.
Auch bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung oder anderen Bewegungsformen kannst Du die Differenzialrechnung anwenden.
Mehr zu den Bewegungsformen erfährst Du in der Erklärung „Bewegung von Körpern“.
Anwendung – Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Der Mittelwertsatz ist kein Teil der Schulmathematik. Dieser Satz wird Dir erst in der Uni-Mathematik begegnen. Trotzdem ist er ein wichtiger Teil der Anwendung der Differentialrechnung.
Der Mittelwertsatz besagt, dass es in einem differenzierbaren Intervall \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}\) eines Funktionsgraphen \(f\) mindestens eine Tangente gibt, die parallel zur Sekante zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) verläuft.
Es gilt:
\[f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Abb. 4 - Mittelwertsatz
Mithilfe des Mittelwertsatzes kannst Du bestimmte Stellen nachweisen, welche eine bestimmte Steigung besitzen sollen.
Aufgabe 2
Berechne die Punkte der Funktion \[f(x)=2x^3-3x^2-4x+4\] an die Funktion, die dieselbe Tangentensteigung hat wie die Sekante zwischen den Punkten \(A(-1|3)\) und \(B(2|0)\).
Lösung
Als Erstes leitest Du die Funktion \(f(x)\) ab.
\begin{align}f(x)&=2x^3-3x^2-4x+4 \\f'(x)&=6x^2-6x-4\end{align}
Jetzt stellst Du die Formel des Mittelwertsatzes auf.
\begin{align}f'(x)&=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\[0.2cm]f'(x)&=\frac{0-3}{2-(-1)} \\[0.2cm]f'(x)&=\frac{-3}{3}=-1\end{align}
Als Nächstes setzt Du die eben errechnete Steigung in die Ableitung ein und berechnest \(x\) mithilfe der pq-Formel.
\begin{align}f'(x)&=-1 \\-1&=6x^2-6x-4 &|&+1 \\0&=6x^2-6x-3 &|&:6 \\0&=x^2-x-\text{0,5} &|&\text {pq-Formel} \\x_{1,2} &= -\frac{(-1)}{2} \pm \sqrt {\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-\text{0,5})} \\[0.2cm]x_{1,2} &= 0,5 \pm \sqrt {\text{0,25}+\text{0,5}} \\x_1&=\text{1,366} \\x_2&=-\text{0,366}\end{align}
Zum Schluss setzt Du beide x-Werte in die Funktion ein und berechnest den dazugehörigen y-Wert.
\begin{align}f(x)&=2x^3-3x^2-4x+4 \\f_1(\text{1,366})&=2\cdot \text{1,366}^3-3\cdot \text{1,366}^2-4\cdot \text{1,366}+4 \\f_1(\text{1,366})&= -\text{1,964} \\f_2(-\text{0,366})&=2\cdot (-\text{0,366})^3-3\cdot (-\text{0,366})^2-4\cdot (-\text{0,366})+4 \\f_2(-\text{0,366})&=\text{4,964} \\\\&\rightarrow P_1(\text{1,366}|-\text{1,964}) \\&\rightarrow P_2(-\text{0,366}|\text{4,964})\end{align}
Der Funktionsgraph hat in den Punkten \(P_1(\text{1,366}|-\text{1,964})\) und \(P_2(-\text{0,366}|\text{4,964})\) dieselbe Steigung wie die Sekante zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).
Anwendung der Differentialrechnung Aufgaben
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
In einer Fabrik werden Dosen aus einem \(16\, dm^2\) großem quadratischem Blechstück hergestellt. Der Besitzer der Fabrik möchte nun überprüfen, wie groß das Volumen einer Dose maximal sein kann, wenn dafür nur das \(16\, dm^2\) große Stück Blech verwendet wird.
Abb. 5 - Extremwertaufgabe Skizze
Lösung
1. Schritt: Bestimme die Hauptbedingung.
Das Volumen der Dose soll maximal werden. Als Hauptbedingung ist das Volumen eines geraden Zylinders gesucht.
\[V(r,h)=\pi\cdot r^2 \cdot h\]
2. Schritt: Bestimme die Nebenbedingung.
Für den Zylinder steht eine bestimmte Fläche an Material zur Verfügung. Gesucht ist somit der Oberflächeninhalt der Dose.
\[A=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h\]
3. Schritt: Löse jetzt die Nebenbedingung nach einer der Variablen auf.
\begin{align}A&=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h &|&-2\pi \cdot r^2 \\A-2\pi \cdot r^2&= 2\pi\cdot r \cdot h &|& :(2\pi \cdot r)\\\frac{A}{2\pi \cdot r}-r &=h\end{align}
4. Schritt: Die nach der Variablen aufgelösten Nebenbedingung setzt Du nun in die Hauptbedingung ein.
In die Hauptbedingung setzt Du \(h=\frac{A}{2\pi \cdot r}-r\) und den Flächeninhalt \(A=16\) ein.
\begin{align}V(r,h)&=\pi\cdot r^2 \cdot h \\V(r)&=\pi\cdot r^2 \cdot \left(\frac{A}{2\pi \cdot r}-r\right) \\[0.1cm]V(r)&= \frac{1}{2}A\cdot r-\pi \cdot r^3 \\[0.1cm]V(r)&=8r-\pi \cdot r^3\end{align}
5. Schritt: Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.
Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable. Nachdem Du die Ableitungen der Zielfunktion gebildet hast, setzt Du die erste Ableitung gleich null (notwendige Bedingung beim Berechnen von Extremstellen). Anschließend überprüfst Du mithilfe der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
\begin {align}V(r)&=8 r-\pi \cdot r^3 \\V'(r)&=8-3\pi\cdot r^2 \\V''(r)&=-6\pi \cdot r \\\\V'(r)&=0 \\0&=8-3\pi\cdot r^2 &|&-8 \\-8&=-3\pi\cdot r^2 &|&:(-3\pi) \\[0.1cm]\frac{8}{3\pi}&=r^2 &|&\sqrt{\text{ }} \\[0.1cm]r&=\sqrt{\frac{8}{3\pi}} \,[dm] \approx \text{0,921} \, [dm]\end{align}
6. Schritt: Anschließend setzt Du den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable zu erhalten. Für den Radius setzt Du \(r=\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\) in die Nebenbedingung ein.
\begin{align}h&=\frac{16}{2\pi \cdot r}-r \\[0.1cm]h&= \frac{8}{\pi\cdot \sqrt{\frac{8}{3\pi}}}-\sqrt{\frac{8}{3\pi}} \\[0.2cm]h&\approx \text{1,843} [dm]\end{align}
7. Schritt: Mit den Werten kannst Du jetzt die Hauptbedingung ausrechnen und erhältst das Ergebnis für das maximale Volumen der Dose.
\begin{align}V(r)&=8r-\pi \cdot r^3 \\[0.1cm]V\left(\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\right)&=8\cdot \sqrt{\frac{8}{3\pi}}-\pi \cdot \left(\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\right)^3 \\[0.1cm]V&\approx \text{4,914}\, [dm^3]\end{align}
Die Dose kann ein maximales Volumen von \(\text{4,914 }dm^2\) annehmen.
Aufgabe 4
Eine Firma produziert und verkauft Kinderfahrräder. Die entstehende Kostenfunktion lautet: \[K(x)=650+\text{10,5}x+\text{1,25}x^2\] Dabei steht das \(x\) für die Anzahl der Kinderfahrräder in einem Jahr. Die Fahrräder werden für 320 € verkauft. Berechne den maximalen Gewinn und die dafür verkaufte Anzahl an Kinderfahrrädern innerhalb eines Jahres.
Lösung
Da die Kostenfunktion bereits gegeben ist, stellst Du zuerst die Erlösfunktion auf. Der Preis pro Fahrrad beträgt 320 €.
\begin{align}E(x)&=P(x)\cdot x \\E(x)&=320x\end{align}
Als Nächstes stellst Du die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus der Differenz der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.
\begin{align}G(x)&=E(x)-K(x) \\G(x)&=320x-(650+\text{10,5}x+\text{1,25}x^2) \\G(x)&=320x-650-\text{10,5}x-\text{1,25}x^2 \\G(x)&=-\text{1,25}x^2+\text{309,5}x-650\end{align}
Jetzt leitest Du die Gewinnfunktion ab und berechnest die Extremstelle. Mit der Extremstelle erhältst Du die Anzahl der Fahrräder, mit welcher Du den größten Gewinn erzielst.
\begin{align}G'(x)&=-\text{2,5}x+\text{309,5}\\G''(x)&=-\text{2,5} <0\rightarrow HP \\ \\G'(x)&=0 \\0&=-\text{2,5}x+\text{309,5} &|&-\text{309,5}\\-\text{309,5}&=-\text{2,5}x &|&:(-\text{2,5})\\\text{123,8}&=x\end{align}
Die Extremstelle liegt bei \(\text{123,8}\) Kinderfahrrädern, jedoch verkauft die Firma nur ganze Fahrräder. Deshalb rundest Du auf 124 Fahrräder auf. Zum Schluss berechnest Du den Gewinn, der erzielt wird 124 verkauften Fahrrädern erzielt wird. Setze den Hochpunkt dafür in die Gewinnfunktion ein.
\begin{align}G(x)&=-\text{1,25}x^2+\text{309,5}x-650 \\G(124)&=-\text{1,25}\cdot 124^2+\text{309,5}\cdot 124-650 \\G(124)&=\text{18508}\end{align}
Der maximal erzielbare Gewinn liegt bei \(\text{18508 €}\), wenn die Firma 124 Kinderfahrräder im Jahr verkauft.
Anwendung der Differentialrechnung – Das Wichtigste
- Anwendung der Differentialrechnung – Extremalprobleme
- Ein Extremwertproblem ist eine Aufgabe, bei welcher entweder der minimale oder maximale Wert einer Funktion gesucht ist.
- Extremwertprobleme existieren mit oder ohne Nebenbedingung.
- Ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung setzt sich folgendermaßen zusammen:
\[\text{Hauptbedingung}+\text{Nebenbedingung}=\text{Zielfunktion}\]
Ökonomische Anwendung der Differentialrechnung
Die Differentialrechnung findet in der Kosten- und Preistheorie Anwendung, wobei Preise, Kosten, Erlöse und Gewinne in mathematische Funktionen dargestellt werden.
Die Gewinnfunktion beschreibt dabei den Gewinn der Produkte im Verhältnis zu der verkauften Gütermenge als Differenz von Erlös und Kosten.\[G(x)=E(x)-K(x)\]
Um den maximal möglichen Gewinn zu berechnen, bestimmst Du mithilfe der Differentialrechnung die optimale Verkaufsmenge, bei welcher der Gewinn am höchsten ist – den Hochpunkt der Gewinnfunktion.
Anwendung Differentialrechnung Physik
In der Physik werden Bewegungen häufig in Diagrammen und als Funktionen dargestellt. Eine Bewegung hat dabei verschiedene Diagramme, welche durch die Differentialrechnung berechnet werden können.
Nachweise
- Schmidt (2015). Basiswissen Mathematik - Der smarte Einstieg in die Mathematikausbildung an Hochschulen. Springer. Berlin Heidelberg
Beschreibe Dein Vorgehen beim Berechnen eines Extremwertproblems mit Nebenbedingung.
- Bestimme die Hauptbedingung.
- Bestimme die Nebenbedingung.
- Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen (a) auf.
- Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
- Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable (b).
- Setze den errechneten Wert (von b) in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable (a) zu erhalten.
- Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Anwendung der Differentialrechnung
Für was braucht man die Differentialrechnung?
Die Differentialrechnung brauchst Du immer dann, wenn Du nach einem Maximum oder Minimum einer mathematischen Funktion suchst, so zum Beispiel in den Extremwertaufgaben, in der Ökonomie sowie in der Physik.
Was behandelt die Differentialrechnung?
In der Differentialrechnung geht es darum, die Funktionen nach den Regeln der Differentialrechnung abzuleiten. Diese Ableitungen geben die Änderungsrate der Funktion an. Mithilfe dieser Änderungsrate lassen sich Hoch-, Tiefpunkte und Wendepunkte einer Funktion bestimmen. Die Differentialrechnung dient also der Analyse einer Funktion.
Was berechnet man mit der Differentialrechnung?
Die Differentialrechnung leitet Funktionen f(x) ab. Es entsteht eine neue Funktion f'(x), die die Steigungen/Änderungsraten der Ursprungsfunktion f(x) angibt.
Was ist der Unterschied zwischen der Integral- und Differentialrechnung?
Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Ableiten von Funktionen. Die Integralrechnung hingegen beschäftigt sich mit dem Aufleiten. Also sind die Integral- und Differentialrechnung Umkehroperationen wie „plus und minus“.
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