Anwendung der Differentialrechnung

Q: Für was braucht man die Differentialrechnung?

Die Differentialrechnung brauchst Du immer dann, wenn Du nach einem Maximum oder Minimum einer mathematischen Funktion suchst, so zum Beispiel in den Extremwertaufgaben, in der Ökonomie sowie in der Physik.

Q: Was behandelt die Differentialrechnung?

In der Differentialrechnung geht es darum, die Funktionen nach den Regeln der Differentialrechnung abzuleiten. Diese Ableitungen geben die Änderungsrate der Funktion an. Mithilfe dieser Änderungsrate lassen sich Hoch-, Tiefpunkte und Wendepunkte einer Funktion bestimmen. Die Differentialrechnung dient also der Analyse einer Funktion.

Q: Was berechnet man mit der Differentialrechnung?

Die Differentialrechnung leitet Funktionen f(x) ab. Es entsteht eine neue Funktion f'(x), die die Steigungen/Änderungsraten der Ursprungsfunktion f(x) angibt.

Q: Was ist der Unterschied zwischen der Integral- und Differentialrechnung?

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Ableiten von Funktionen. Die Integralrechnung hingegen beschäftigt sich mit dem Aufleiten. Also sind die Integral- und Differentialrechnung Umkehroperationen wie &bdquo;plus und minus“.

Algebra

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Im Matheunterricht fragst Du Dich wahrscheinlich häufig, wofür Du im Leben die Vektorrechnung, die Integralrechnung oder die Differentialrechnung benötigst. Sollte es nicht reichen, wenn Du plus, minus, mal und geteilt kannst? Nicht ganz! Ein Großteil der Mathematik kannst Du auch im Alltag nutzen. Wie Du die Differentialrechnung anwendest, erfährst Du in dieser Erklärung.

Anwendung der Differentialrechnung – Grundlagenwissen

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Änderungsverhalten einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Das Änderungsverhalten wird mithilfe des Differentialquotienten bestimmt und wird auch als Ableitung der Funktion bezeichnet.

Um diese Ableitung zu bestimmen, gibt es einige Ableitungsregeln für die verschiedenen Arten von Funktionen.

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Ableitung einer konstanten Funktion	\[f(x)=c\]	\[f'(x)=0\]
Ableitung einer linearen Funktion	\[f(x)=x\]	\[f'(x)=1\]
Potenzregel	\[f(x)=x^n\]	\[f'(x)=n\cdot x^{n-1}\]
Faktorregel	\[f(x)=c\cdot g(x)\]	\[f'(x)=c \cdot g'(x)\]
Summenregel	\[f(x)=h(x)+g(x)\]	\[f'(x)=h'(x)+g'(x)\]
Produktregel	\[f(x)=g(x)\cdot h(x)\]	\[f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\]
Quotientenregel	\[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\]	\[f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}\]
Kettenregel	\[f(x)=g(h(x))\]	\[f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\]

Weitere Erklärungen und Übungen zu den Ableitungsregeln findest Du in der Erklärung „Ableitungsregeln“ und in der jeweiligen Erklärung zu der Ableitungsregel.

Mithilfe der Differentialrechnung kannst Du ebenfalls die Tief- und Hochpunkte einer Funktion bestimmen.

Wie Du Hoch-, Tiefpunkte berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Extremwert berechnen“.

Differentialrechnung im Alltag

Wann nutzt Du nun die Differentialrechnung im Alltag? Grundsätzlich wirst Du die Differentialrechnung nicht so oft wie die Grundrechenarten benötigen, trotzdem solltest Du den Einfluss der Differentialrechnung in Deinem Alltag nicht unterschätzen.

Zu den alltäglichen Anwendungen zählen das Extremwertproblem, die Anwendung in der Ökonomie sowie in der Physik.

Anwendung der Differentialrechnung – Extremalprobleme

Extremalprobleme, oder auch Extremwertprobleme genannt, existieren mit oder ohne Nebenbedingung.

Ein Extremwertproblem ist eine Aufgabe, bei welcher entweder der minimale oder maximale Wert einer Funktion gesucht ist.

In der Realität möchtest Du zum Beispiel oftmals möglichst viel Rasenfläche mit möglichst wenig Zaun abstecken.

Dieses Beispiel wäre ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung. Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen unterscheiden sich zu den ohne Nebenbedingungen darin, dass sie mehr als eine Variable haben.

Genauer gesagt:

\[\text{Hauptbedingung}+\text{Nebenbedingung}=\text{Zielfunktion}\]

Extremwertprobleme mit Nebenbedingung kannst Du mithilfe der folgenden Schritte berechnen.

Bestimme die Hauptbedingung.
Bestimme die Nebenbedingung.
Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen (a) auf.
Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable (b).
Setze den errechneten Wert (von b) in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable (a) zu erhalten.
Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.

Damit Du nicht den Überblick verlierst, kann es auch sinnvoll sein zu Beginn eine Skizze über das Problem anzufertigen.

Wenn Du die Theorie an einem Beispiel sehen möchtest, schau Dir die Erklärung "Extremwertprobleme" oder das Beispiel am Ende der Erklärung an.

Ökonomische Anwendung der Differentialrechnung

Die Differentialrechnung findet auch in der Ökonomie Anwendung – genauer gesagt, in der Kosten- und Preistheorie. Dort wird versucht, Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne mithilfe von mathematischen Funktionen darzustellen.

Die wichtigsten Funktionen in der Kosten- und Preistheorie sind die Folgenden:

Die Kostenfunktion \(K\) beschreibt die gesamten Kosten für die Produktion, bestehend aus den Fixkosten und den variablen Kosten, welche abhängig von der Produktionsmenge sind.

\[K(x)={\color{#00dcb4}K_{fix}}+{\color{#fa3273}K_{var}}\cdot x\]

Die Preisfunktion \(P\) gibt den Preis pro Stück an.

\[P(x)=\frac{E(x)}{x}\]

Die Erlösfunktion \(E\) gibt den Erlös pro Stück an.

\[E(x)=P(x)\cdot x\]

Die Gewinnfunktion \(G\) beschreibt den Gewinn der Produktion als Differenz von Erlös und Kosten.

\[G(x)={\color{#8363e2}E(x)}-\color{#ffcd00}K(x)\]

Mehr zu den wirtschaftlichen Zusammenhängen erfährst Du im Themengebiet „Wirtschaft“.

Neben der linearen Kostenfunktion \(K(x)=K_{fix}+K_{var}\cdot x\) gibt es noch weitere Kostenfunktionen, unter anderem die durchschnittliche Stückkostenfunktion. Bei dieser Funktion sinken die Fixkosten mit der Produktionsmenge.

Jetzt bleibt die Frage, was das Ganze überhaupt mit der Differentialrechnung zu tun hat. Sobald Du die Gewinnfunktion aufgestellt hast, zeigt diese Dir den Verlauf Deines möglichen Gewinns in Abhängigkeit der verkauften Menge. Wenn Du nun den Extrempunkt der Gewinnfunktion mittels der Differentialrechnung bestimmst, erfährst Du, wie viele Produkte Du für einen maximalen Gewinn verkaufen musst.

Aufgabe 1

Stell Dir vor, Du verkaufst bei einem Kuchenbasar Kuchen. Die Kostenfunktion für Deinen Kuchenverkauf lautet: \[K(x)=25+\text{0,1}x+\text{0,02}x^2\]Dabei steht das \(x\) für die Anzahl der Kuchenstücke. Die produzierten Kuchen verkaufst Du für \(\text{2 €}\). Berechne den maximalen Gewinn und die dafür verkaufte Anzahl an Kuchenstücken.

Lösung

Da die Kostenfunktion bereits gegeben ist, stellst Du zuerst die Erlösfunktion auf. Der Preis pro Stück Kuchen beträgt \(\text{2 €}\).

\begin{align}E(x)&=P(x)\cdot x \\E(x)&=2x\end{align}

Als Nächstes stellst Du die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus der Differenz der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.

\begin{align}G(x)&=E(x)-K(x) \\G(x)&=2x-(25+\text{0,1}x+\text{0,02}x^2) \\G(x)&=2x-25-\text{0,1}x-\text{0,02}x^2 \\G(x)&=-\text{0,02}x^2+\text{1,9}x-25\end{align}

Jetzt leitest Du die Gewinnfunktion ab und berechnest die Extremstelle. Mit der Extremstelle erhältst Du die Anzahl der Kuchenstücke, mit welcher Du den größten Gewinn erzielst.

\begin{align}G'(x)&=-\text{0,04}x+\text{1,9}\\G''(x)&=-\text{0,04} <0\rightarrow HP \\ \\G'(x)&=0 \\0&=-\text{0,04}x+\text{1,9} &|&-\text{1,9}\\-\text{1,9}&=-\text{0,04}x &|&:(-\text{0,04})\\\text{47,5}&=x\end{align}

Die Extremstelle liegt bei 47,5 Kuchenstücken, jedoch kannst Du keine halben Kuchenstücke verkaufen. Deshalb rundest Du auf 48 Kuchenstücke auf. Zum Schluss berechnest Du den Gewinn, den Du erzielst, mit 48 verkauften Kuchenstücken. Setze den Hochpunkt dafür in die Gewinnfunktion ein.

\begin{align}G(x)&=-\text{0,02}x^2+\text{1,9}x-25 \\G(48)&=-\text{0,02}\cdot 48^2+\text{1,9}\cdot 48-25 \\G(48)&=\text{20,12}\end{align}

Der maximal erzielbare Gewinn liegt bei \(\text{20,12 €}\), wenn Du 48 Kuchenstücke verkaufst.

Anwendung Differentialrechnung Physik

In der Physik werden Bewegungen häufig in Diagrammen und als Funktionen dargestellt. Eine Bewegung kann dabei in verschiedenen Diagrammen dargestellt werden, welche Du durch die Differentialrechnung berechnen kannst.

Besonders gut lässt sich dieser Zusammenhang anhand einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nachvollziehen.

Das Weg-Zeit-Diagramm zeigt den positiven Teil einer Parabel. Die Werte eines Weg-Zeit-Diagramms berechnest Du mit der Formel:

\[s(t)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\]

In den folgenden Abbildungen wird eine Beschleunigung von \(a=2\, \frac{m}{s^2}\) zur Veranschaulichung angenommen.

Anwendung der Differentialrechnung Weg-Zeit-Diagramm StudySmarter Abb. 1 - Weg-Zeit-Diagramm

Wenn Du diese Formel in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) ableitest, erhältst Du die Formel:

\[v(t)=a\cdot t\]

Anwendung der Differentialrechnung Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm StudySmarter Abb. 2 - Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Beim weiteren Differenzieren der Geschwindigkeit \(v\) erhältst Du die Beschleunigung \(a\) mit der Formel:

\[a(t)=a\]

Anwendung der Differentialrechnung Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm StudySmarter Abb. 3 - Beschleunigung-Zeit-Diagramm

Das bedeutet für die Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, dass die Beschleunigung \(a\) nicht abhängig von der Zeit ist, sondern konstant.

Auch bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung oder anderen Bewegungsformen kannst Du die Differenzialrechnung anwenden.

Mehr zu den Bewegungsformen erfährst Du in der Erklärung „Bewegung von Körpern“.

Anwendung – Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der Mittelwertsatz ist kein Teil der Schulmathematik. Dieser Satz wird Dir erst in der Uni-Mathematik begegnen. Trotzdem ist er ein wichtiger Teil der Anwendung der Differentialrechnung.

Der Mittelwertsatz besagt, dass es in einem differenzierbaren Intervall \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}\) eines Funktionsgraphen \(f\) mindestens eine Tangente gibt, die parallel zur Sekante zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) verläuft.

Es gilt:

\[f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Anwendung der Differentialrechnung Mittelwertsatz StudySmarter Abb. 4 - Mittelwertsatz

Mithilfe des Mittelwertsatzes kannst Du bestimmte Stellen nachweisen, welche eine bestimmte Steigung besitzen sollen.

Aufgabe 2

Berechne die Punkte der Funktion \[f(x)=2x^3-3x^2-4x+4\] an die Funktion, die dieselbe Tangentensteigung hat wie die Sekante zwischen den Punkten \(A(-1|3)\) und \(B(2|0)\).

Lösung

Als Erstes leitest Du die Funktion \(f(x)\) ab.

\begin{align}f(x)&=2x^3-3x^2-4x+4 \\f'(x)&=6x^2-6x-4\end{align}

Jetzt stellst Du die Formel des Mittelwertsatzes auf.

\begin{align}f'(x)&=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\[0.2cm]f'(x)&=\frac{0-3}{2-(-1)} \\[0.2cm]f'(x)&=\frac{-3}{3}=-1\end{align}

Als Nächstes setzt Du die eben errechnete Steigung in die Ableitung ein und berechnest \(x\) mithilfe der pq-Formel.

\begin{align}f'(x)&=-1 \\-1&=6x^2-6x-4 &|&+1 \\0&=6x^2-6x-3 &|&:6 \\0&=x^2-x-\text{0,5} &|&\text {pq-Formel} \\x_{1,2} &= -\frac{(-1)}{2} \pm \sqrt {\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-\text{0,5})} \\[0.2cm]x_{1,2} &= 0,5 \pm \sqrt {\text{0,25}+\text{0,5}} \\x_1&=\text{1,366} \\x_2&=-\text{0,366}\end{align}

Zum Schluss setzt Du beide x-Werte in die Funktion ein und berechnest den dazugehörigen y-Wert.

\begin{align}f(x)&=2x^3-3x^2-4x+4 \\f_1(\text{1,366})&=2\cdot \text{1,366}^3-3\cdot \text{1,366}^2-4\cdot \text{1,366}+4 \\f_1(\text{1,366})&= -\text{1,964} \\f_2(-\text{0,366})&=2\cdot (-\text{0,366})^3-3\cdot (-\text{0,366})^2-4\cdot (-\text{0,366})+4 \\f_2(-\text{0,366})&=\text{4,964} \\\\&\rightarrow P_1(\text{1,366}|-\text{1,964}) \\&\rightarrow P_2(-\text{0,366}|\text{4,964})\end{align}

Der Funktionsgraph hat in den Punkten \(P_1(\text{1,366}|-\text{1,964})\) und \(P_2(-\text{0,366}|\text{4,964})\) dieselbe Steigung wie die Sekante zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).

Anwendung der Differentialrechnung Aufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 3

In einer Fabrik werden Dosen aus einem \(16\, dm^2\) großem quadratischem Blechstück hergestellt. Der Besitzer der Fabrik möchte nun überprüfen, wie groß das Volumen einer Dose maximal sein kann, wenn dafür nur das \(16\, dm^2\) große Stück Blech verwendet wird.

Anwendung der Differentialrechnung Extremwertaufgabe Skizze StudySmarter Abb. 5 - Extremwertaufgabe Skizze

Lösung

1. Schritt: Bestimme die Hauptbedingung.

Das Volumen der Dose soll maximal werden. Als Hauptbedingung ist das Volumen eines geraden Zylinders gesucht.

\[V(r,h)=\pi\cdot r^2 \cdot h\]

2. Schritt: Bestimme die Nebenbedingung.

Für den Zylinder steht eine bestimmte Fläche an Material zur Verfügung. Gesucht ist somit der Oberflächeninhalt der Dose.

\[A=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h\]

3. Schritt: Löse jetzt die Nebenbedingung nach einer der Variablen auf.

\begin{align}A&=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h &|&-2\pi \cdot r^2 \\A-2\pi \cdot r^2&= 2\pi\cdot r \cdot h &|& :(2\pi \cdot r)\\\frac{A}{2\pi \cdot r}-r &=h\end{align}

4. Schritt: Die nach der Variablen aufgelösten Nebenbedingung setzt Du nun in die Hauptbedingung ein.

In die Hauptbedingung setzt Du \(h=\frac{A}{2\pi \cdot r}-r\) und den Flächeninhalt \(A=16\) ein.

\begin{align}V(r,h)&=\pi\cdot r^2 \cdot h \\V(r)&=\pi\cdot r^2 \cdot \left(\frac{A}{2\pi \cdot r}-r\right) \\[0.1cm]V(r)&= \frac{1}{2}A\cdot r-\pi \cdot r^3 \\[0.1cm]V(r)&=8r-\pi \cdot r^3\end{align}

5. Schritt: Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.

Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable. Nachdem Du die Ableitungen der Zielfunktion gebildet hast, setzt Du die erste Ableitung gleich null (notwendige Bedingung beim Berechnen von Extremstellen). Anschließend überprüfst Du mithilfe der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

\begin {align}V(r)&=8 r-\pi \cdot r^3 \\V'(r)&=8-3\pi\cdot r^2 \\V''(r)&=-6\pi \cdot r \\\\V'(r)&=0 \\0&=8-3\pi\cdot r^2 &|&-8 \\-8&=-3\pi\cdot r^2 &|&:(-3\pi) \\[0.1cm]\frac{8}{3\pi}&=r^2 &|&\sqrt{\text{ }} \\[0.1cm]r&=\sqrt{\frac{8}{3\pi}} \,[dm] \approx \text{0,921} \, [dm]\end{align}

6. Schritt: Anschließend setzt Du den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable zu erhalten. Für den Radius setzt Du \(r=\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\) in die Nebenbedingung ein.

\begin{align}h&=\frac{16}{2\pi \cdot r}-r \\[0.1cm]h&= \frac{8}{\pi\cdot \sqrt{\frac{8}{3\pi}}}-\sqrt{\frac{8}{3\pi}} \\[0.2cm]h&\approx \text{1,843} [dm]\end{align}

7. Schritt: Mit den Werten kannst Du jetzt die Hauptbedingung ausrechnen und erhältst das Ergebnis für das maximale Volumen der Dose.

\begin{align}V(r)&=8r-\pi \cdot r^3 \\[0.1cm]V\left(\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\right)&=8\cdot \sqrt{\frac{8}{3\pi}}-\pi \cdot \left(\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\right)^3 \\[0.1cm]V&\approx \text{4,914}\, [dm^3]\end{align}

Die Dose kann ein maximales Volumen von \(\text{4,914 }dm^2\) annehmen.

Aufgabe 4

Eine Firma produziert und verkauft Kinderfahrräder. Die entstehende Kostenfunktion lautet: \[K(x)=650+\text{10,5}x+\text{1,25}x^2\] Dabei steht das \(x\) für die Anzahl der Kinderfahrräder in einem Jahr. Die Fahrräder werden für 320 € verkauft. Berechne den maximalen Gewinn und die dafür verkaufte Anzahl an Kinderfahrrädern innerhalb eines Jahres.

Lösung

Da die Kostenfunktion bereits gegeben ist, stellst Du zuerst die Erlösfunktion auf. Der Preis pro Fahrrad beträgt 320 €.

\begin{align}E(x)&=P(x)\cdot x \\E(x)&=320x\end{align}

Als Nächstes stellst Du die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus der Differenz der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.

\begin{align}G(x)&=E(x)-K(x) \\G(x)&=320x-(650+\text{10,5}x+\text{1,25}x^2) \\G(x)&=320x-650-\text{10,5}x-\text{1,25}x^2 \\G(x)&=-\text{1,25}x^2+\text{309,5}x-650\end{align}

Jetzt leitest Du die Gewinnfunktion ab und berechnest die Extremstelle. Mit der Extremstelle erhältst Du die Anzahl der Fahrräder, mit welcher Du den größten Gewinn erzielst.

\begin{align}G'(x)&=-\text{2,5}x+\text{309,5}\\G''(x)&=-\text{2,5} <0\rightarrow HP \\ \\G'(x)&=0 \\0&=-\text{2,5}x+\text{309,5} &|&-\text{309,5}\\-\text{309,5}&=-\text{2,5}x &|&:(-\text{2,5})\\\text{123,8}&=x\end{align}

Die Extremstelle liegt bei \(\text{123,8}\) Kinderfahrrädern, jedoch verkauft die Firma nur ganze Fahrräder. Deshalb rundest Du auf 124 Fahrräder auf. Zum Schluss berechnest Du den Gewinn, der erzielt wird 124 verkauften Fahrrädern erzielt wird. Setze den Hochpunkt dafür in die Gewinnfunktion ein.

\begin{align}G(x)&=-\text{1,25}x^2+\text{309,5}x-650 \\G(124)&=-\text{1,25}\cdot 124^2+\text{309,5}\cdot 124-650 \\G(124)&=\text{18508}\end{align}

Der maximal erzielbare Gewinn liegt bei \(\text{18508 €}\), wenn die Firma 124 Kinderfahrräder im Jahr verkauft.

Anwendung der Differentialrechnung – Das Wichtigste

Anwendung der Differentialrechnung – Extremalprobleme
- Ein Extremwertproblem ist eine Aufgabe, bei welcher entweder der minimale oder maximale Wert einer Funktion gesucht ist.
- Extremwertprobleme existieren mit oder ohne Nebenbedingung.
- Ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung setzt sich folgendermaßen zusammen:

\[\text{Hauptbedingung}+\text{Nebenbedingung}=\text{Zielfunktion}\]

Ökonomische Anwendung der Differentialrechnung
- Die Differentialrechnung findet in der Kosten- und Preistheorie Anwendung, wobei Preise, Kosten, Erlöse und Gewinne in mathematische Funktionen dargestellt werden.
- Die Gewinnfunktion beschreibt dabei den Gewinn der Produkte im Verhältnis zu der verkauften Gütermenge als Differenz von Erlös und Kosten.\[G(x)=E(x)-K(x)\]
- Um den maximal möglichen Gewinn zu berechnen, bestimmst Du mithilfe der Differentialrechnung die optimale Verkaufsmenge, bei welcher der Gewinn am höchsten ist – den Hochpunkt der Gewinnfunktion.
Anwendung Differentialrechnung Physik
- In der Physik werden Bewegungen häufig in Diagrammen und als Funktionen dargestellt. Eine Bewegung hat dabei verschiedene Diagramme, welche durch die Differentialrechnung berechnet werden können.

Nachweise

Schmidt (2015). Basiswissen Mathematik - Der smarte Einstieg in die Mathematikausbildung an Hochschulen. Springer. Berlin Heidelberg

Häufig gestellte Fragen zum Thema Anwendung der Differentialrechnung

Die Differentialrechnung brauchst Du immer dann, wenn Du nach einem Maximum oder Minimum einer mathematischen Funktion suchst, so zum Beispiel in den Extremwertaufgaben, in der Ökonomie sowie in der Physik.

In der Differentialrechnung geht es darum, die Funktionen nach den Regeln der Differentialrechnung abzuleiten. Diese Ableitungen geben die Änderungsrate der Funktion an. Mithilfe dieser Änderungsrate lassen sich Hoch-, Tiefpunkte und Wendepunkte einer Funktion bestimmen. Die Differentialrechnung dient also der Analyse einer Funktion.

Die Differentialrechnung leitet Funktionen f(x) ab. Es entsteht eine neue Funktion f'(x), die die Steigungen/Änderungsraten der Ursprungsfunktion f(x) angibt.

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Ableiten von Funktionen. Die Integralrechnung hingegen beschäftigt sich mit dem Aufleiten. Also sind die Integral- und Differentialrechnung Umkehroperationen wie „plus und minus“.

Finales Anwendung der Differentialrechnung Quiz

Anwendung der Differentialrechnung Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Welche Arten von Extremwertproblemen gibt es?

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Antwort

Es gibt einfache Extremwertprobleme und welche mit Nebenbedingung.

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Frage

Was ist eine Zielfunktion im Zusammenhang mit Extremwertproblemen?

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Antwort

Das Ergebnis der Aufgabe.

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Frage

Was machst Du mit der Ableitung der Zielfunktion?

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Antwort

Ich setze 0 ein und rechne sie aus.

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Frage

Wie kannst Du erkennen, ob ein Extrempunkt ein Minimum oder Maximum ist?

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Antwort

Du kannst die Zielfunktion ein weiteres Mal ableiten.

Wenn sie einen Wert größer 0 ergibt, steigt die Funktion danach wieder, also ist es ein Minimum. Ist der Wert kleiner als 0, so fällt die Funktion nach dem Extrempunkt. Es handelt sich also um ein Maximum.

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Frage

Wie erkennst Du, ob es sich um ein Extremwertproblem mit oder ohne Nebenbedingung handelt?

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Antwort

Es sind 2 oder mehr Variablen vorhanden.

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Frage

Wie setzt sich die Zielfunktion zusammen?

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Antwort

Hauptbedingung + Nebenbedingung = Zielfunktion

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Frage

Woran erkennst Du die Hauptbedingung?

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Antwort

Die Hauptbedingung beschreibt bei Extremwertproblemen immer die Größe, welche maximal/minimal werden soll.

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Frage

Was ist die Nebenbedingung? Woran erkennst Du sie?

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Antwort

Die Nebenbedingung liefert Informationen, welche dabei helfen, die Zielfunktion aufzustellen.

Meist ist dabei ein konkreter Wert gegeben, wie zum Beispiel welche Menge an Material zur Verfügung steht.

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Frage

Wie findest Du eine Extremstelle heraus?

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Antwort

Ich leite die Zielfunktion so lange ab, bis nur noch eine Zahl vorhanden ist.

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Frage

Warum wird die Ableitung der Zielfunktion mit 0 gleichgesetzt? Warum ist an dieser Stelle ein Extrempunkt?

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Antwort

Ein Extrempunkt ist ein Maximum oder ein Minimum.

Der Graph ändert an diesem Punkt seine Richtung, also gibt es eine Stelle, an der die Steigung 0 ist.

Da die 1. Ableitung die Steigung eines Graphen darstellt, wird diese Steigung mit 0 gleichgesetzt. Dadurch findest Du den Punkt, an dem die Steigung 0 ist, was im Umkehrschluss der gesuchte Extrempunkt ist.

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Frage

Wie gehst Du Schritt für Schritt vor, wenn Du den Extremwert einer Funktion mit Nebenbedingung suchst?

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Antwort

Bestimme die Hauptbedingung.
Bestimme die Nebenbedingung.
Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.
Setze das Ergebnis von 4. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
Berechne die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable.
Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable zu erhalten.
Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.

Frage anzeigen

Frage

Was sind typische Anwendungen für Extremwertprobleme?

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Antwort

Extremwerte werden vor allem in der Industrie verwendet: Jede Firma möchte mit wenig Material und Kosten möglichst viel produzieren.

Der optimale Wert zwischen diesen beiden Bedingungen kann mit so einer Rechnung gefunden werden.

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Frage

Mit welchen Informationen kannst Du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aufstellen?

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Antwort

2 Punkte

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Frage

Wie kannst Du die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion herausfinden?

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Antwort

Steigung und Punkt

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Frage

Welche Formeln kannst Du anwenden, um die Funktionsgleichung einer Parabel herauszufinden?

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Antwort

allgemeine Form

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Frage

Welche Information muss gegeben sein, damit Du eine quadratische Funktion aufstellen kannst?

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Antwort

3 Punkte

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Frage

Wie ist das allgemeine Vorgehen für Steckbriefaufgaben?

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Antwort

Welche Funktionsart ist gesucht? Diese Frage ist entscheidend für die Wahl der Formel. Grundsätzlich gilt: Du brauchst genauso viele Punkte wie Unbekannte.
Erstelle Dir ein Gleichungssystem, indem Du alle Punkte jeweils in die gewählte Formel einsetzt und löse es auf.
Setze die berechneten Unbekannten ohne die Punkte in die Formel ein und multipliziere aus. Nun hast Du die Funktionsgleichung gefunden.

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Frage

Definiere das Extremwertproblem.

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Antwort

Ein Extremwertproblem ist eine Aufgabe, bei welcher entweder der minimale oder maximale Wert einer Funktion gesucht ist.

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Frage

Welche Extremwertprobleme existieren?

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Antwort

Es gibt Extremwertprobleme mit und ohne Nebenbedingung.

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Frage

Wie setzt sich die Zielfunktion des Extremwertproblems mit Nebenbedingung zusammen?

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Antwort

\[\text{Hauptbedingung}+\text{Nebenbedingung}=\text{Zielfunktion}\]

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Frage

Beschreibe Dein Vorgehen beim Berechnen eines Extremwertproblems mit Nebenbedingung.

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Antwort

Bestimme die Hauptbedingung.
Bestimme die Nebenbedingung.
Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen (a) auf.
Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable (b).
Setze den errechneten Wert (von b) in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable (a) zu erhalten.
Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest Du die lineare Funktion durch zwei gegebene Punkte?

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Antwort

Die allgemeine Form der linearen Funktion lautet:

\[f(x)=y=mx+t\]

Die Steigung m kannst Du mithilfe folgender Gleichung berechnen:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Dabei sind x und y die Koordinaten der Punkte \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\) durch welche der Graph verläuft.

Den y-Achsenabschnitt t berechnest Du, in dem Du die allgemeine Form nach t umstellst.

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Frage

Beschreibe die Kostenfunktion K(x) mathematisch und ihre Bedeutung.

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Antwort

\[K(x)=K_{fix}+K_{var}\cdot x\]

Die Kostenfunktion beschreibt die gesamten Kosten für die Produktion, bestehend aus den Fixkosten und den variablen Kosten, welche abhängig von der Produktionsmenge sind.

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet sich die Gewinnfunktion?

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Antwort

\[G(x)=E(x)-K(x)\]

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Frage

Wie definiert sich der Mittelwertsatz?

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Antwort

Der Mittelwertsatz besagt, dass es in einem differenzierbaren Intervall \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) eines Funktionsgraphen f mindestens eine Tangente gibt, die parallel zur Sekante zwischen den Punkten A und B verläuft.

Es gilt:

\[f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion durch die Punkte \(A(4|2)\) und \(B(-2|-1)\).

Antwort anzeigen

Antwort

Als Erstes berechnest Du die Steigung, indem Du die Punkte A und B in die Gleichung \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) einsetzt.

\begin{align}
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
m=\frac{-1-2}{-2-4} \\
m=\frac{3}{6}=0,5
\end{align}

Jetzt setzt Du einen der Punkt und den Anstieg in die allgemeine Form der linearen Funktion ein und berechnest t, indem Du nach t umstellst.

\begin{align}
y&=m\cdot x+t &|&A(4|2),\,m=0,5 \\
2&=0,5\cdot 4+t &|&-(0,5 \cdot 4) \\
2-2&=t \\ 0&=t
\end{align}

Zum Schluss musst Du noch die lineare Funktionsgleichung mit der Steigung und dem y-Achsenabschnitt aufschreiben.

\[f(x)=y=0,5\cdot x \]

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Frage

Du verkaufst bei einem Straßenverkauf Limonade. Um die Limonade frisch zu pressen, kaufst Du Dir einen Entsafter für 50 €. In der Produktion kostet Dich jedes Glas Limonade 0,80 €. Berechne nun Deinen Gewinn, wenn Du 45 Gläser Limonade verkaufst für jeweils 2,00 €.

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Als Erstes stellst Du die Kostenfunktion auf.

\begin{align}
K(x)&=K_{fix}+K_{var}\cdot x \\
K(x)&=50+0,8x \\
\end{align}

Jetzt stellst Du die Erlösfunktion auf. Der Preis pro Glas Limonade beträgt 2,00 €.

\begin{align}
E(x)&=P(x)\cdot x \\
E(x)&=2x
\end{align}

Als Nächstes stellst Du die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus der Differenz der Erlösfunktion und der Kostenfunktion.

\begin{align}
G(x)&=E(x)-K(x) \\
G(x)&=2x-(50+0,8x) \\
G(x)&=2x-50-0,8x \\
G(x)&=1,2x-50
\end{align}

Zum Schluss setzt Du die Anzahl der verkauften Gläser Limonade in die Gewinnfunktion ein und erhältst Deinen Gewinn.

\begin{align}
G(x)&=1,2x-50 &|& x=45 \\
G(x)&= 1,2\cdot 45 -50 \\
G(x)&= 4
\end{align}

Bei dem Limonadenverkauf erarbeitest Du einen Gewinn von 4 €.

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In welcher Reihenfolge differenzierst Du die Funktion einer Bewegung?

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\[s(t) \rightarrow v(t) \rightarrow a(t)\]

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Leite die Funktionsgleichung \(s(t)=a\cdot t^2\) zweimal ab.

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\begin{align}
s(t)&=\frac{1}{2}a\cdot t^2 \\
v(t)&=a\cdot t \\
a(t)&=a
\end{align}

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