Aufgabe 3
In einer Fabrik werden Dosen aus einem \(16\, dm^2\) großem quadratischem Blechstück hergestellt. Der Besitzer der Fabrik möchte nun überprüfen, wie groß das Volumen einer Dose maximal sein kann, wenn dafür nur das \(16\, dm^2\) große Stück Blech verwendet wird.
Abb. 5 - Extremwertaufgabe Skizze
Lösung
1. Schritt: Bestimme die Hauptbedingung.
Das Volumen der Dose soll maximal werden. Als Hauptbedingung ist das Volumen eines geraden Zylinders gesucht.
\[V(r,h)=\pi\cdot r^2 \cdot h\]
2. Schritt: Bestimme die Nebenbedingung.
Für den Zylinder steht eine bestimmte Fläche an Material zur Verfügung. Gesucht ist somit der Oberflächeninhalt der Dose.
\[A=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h\]
3. Schritt: Löse jetzt die Nebenbedingung nach einer der Variablen auf.
\begin{align}A&=2\pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h &|&-2\pi \cdot r^2 \\A-2\pi \cdot r^2&= 2\pi\cdot r \cdot h &|& :(2\pi \cdot r)\\\frac{A}{2\pi \cdot r}-r &=h\end{align}
4. Schritt: Die nach der Variablen aufgelösten Nebenbedingung setzt Du nun in die Hauptbedingung ein.
In die Hauptbedingung setzt Du \(h=\frac{A}{2\pi \cdot r}-r\) und den Flächeninhalt \(A=16\) ein.
\begin{align}V(r,h)&=\pi\cdot r^2 \cdot h \\V(r)&=\pi\cdot r^2 \cdot \left(\frac{A}{2\pi \cdot r}-r\right) \\[0.1cm]V(r)&= \frac{1}{2}A\cdot r-\pi \cdot r^3 \\[0.1cm]V(r)&=8r-\pi \cdot r^3\end{align}
5. Schritt: Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.
Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable. Nachdem Du die Ableitungen der Zielfunktion gebildet hast, setzt Du die erste Ableitung gleich null (notwendige Bedingung beim Berechnen von Extremstellen). Anschließend überprüfst Du mithilfe der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
\begin {align}V(r)&=8 r-\pi \cdot r^3 \\V'(r)&=8-3\pi\cdot r^2 \\V''(r)&=-6\pi \cdot r \\\\V'(r)&=0 \\0&=8-3\pi\cdot r^2 &|&-8 \\-8&=-3\pi\cdot r^2 &|&:(-3\pi) \\[0.1cm]\frac{8}{3\pi}&=r^2 &|&\sqrt{\text{ }} \\[0.1cm]r&=\sqrt{\frac{8}{3\pi}} \,[dm] \approx \text{0,921} \, [dm]\end{align}
6. Schritt: Anschließend setzt Du den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable zu erhalten. Für den Radius setzt Du \(r=\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\) in die Nebenbedingung ein.
\begin{align}h&=\frac{16}{2\pi \cdot r}-r \\[0.1cm]h&= \frac{8}{\pi\cdot \sqrt{\frac{8}{3\pi}}}-\sqrt{\frac{8}{3\pi}} \\[0.2cm]h&\approx \text{1,843} [dm]\end{align}
7. Schritt: Mit den Werten kannst Du jetzt die Hauptbedingung ausrechnen und erhältst das Ergebnis für das maximale Volumen der Dose.
\begin{align}V(r)&=8r-\pi \cdot r^3 \\[0.1cm]V\left(\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\right)&=8\cdot \sqrt{\frac{8}{3\pi}}-\pi \cdot \left(\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\right)^3 \\[0.1cm]V&\approx \text{4,914}\, [dm^3]\end{align}
Die Dose kann ein maximales Volumen von \(\text{4,914 }dm^2\) annehmen.
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