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Differentialrechnung

Differentialrechnung

Funktionen sind nicht immer linear. Bei nicht linearen Funktionen ändert sich die Steigung der Funktion in jedem Punkt. Wenn Du nun diese Steigung benötigst, um etwas zu berechnen, kommt die Differentialrechnung ins Spiel. In dieser Erklärung erfährst Du die Definition, die Regeln und die Anwendung der Differentialrechnung.

Differentialrechnung – Definition

Die Differentialrechnung ist ein großes Teilgebiet der Analysis, welches sich mit dem Ableiten von Funktionen beschäftigt.

Unter der Differentialrechnung wird die Bestimmung der lokalen Änderung von Funktionen verstanden. Sie beschreibt somit das Änderungsverhalten einer Funktion \(f\) in einem bestimmten Punkt \(P\).

Das Änderungsverhalten kann auch als Tangentensteigung \(m\) bezeichnet werden. Die Tangentensteigung ermittelst Du über den Differentialquotienten.

Als Differentialquotient wird der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleineres Intervall bezeichnet. Mit dem Differentialquotienten berechnest Du die lokale Änderungsrate \(m\) der Tangente \(t\) im Punkt \(P(x_0|y_0)\) der Funktion \(f\).

Es gilt: \[f'(x_0)=\lim_{x\to\infty}\, \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

Je nachdem, wie groß Du das Intervall wählst, erhältst Du verschiedene Sekanten (in Abb. 1: \(s_1(x)\) und \(s_2(x)\)) und schließlich die Tangente \(t(x)\) in einem bestimmten Punkt.

Differentialrechnung Differentialquotient StudySmarterAbb. 1 – Differentialquotient.

Wie das genau funktioniert, erfährst Du in der Erklärung „Differentialquotient“.

Der Differenzenquotient ist die Formel der mittleren Änderungsrate.

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten auf einem Graphen einer Funktion. Diese kann im Intervall \([a, b]\) auf dem Graphen der Funktion \(f\) mithilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Es gilt: \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Die mittlere Änderungsrate wird auch durchschnittliche Änderungsrate genannt. Mehr zu ihr erfährst Du in der Erklärung „mittlere Änderungsrate“.

Die Differentialrechnung in der Schule ist im zweidimensionalen Raum. Sie existiert ebenfalls im mehr dimensionalen Raum. Mit dieser Art der Differentialrechnung, der totalen Differentialrechnung, wirst Du Dich in der Schule nicht beschäftigen, jedoch könnte sie Dir im Studium begegnen.

Differentialrechnung – Regeln

In der Differentialrechnung gibt es einige Regeln, nach denen Du die Funktionen ableitest. Außerdem gibt es einige Funktionen, welche Du nicht nach den Ableitungsregeln ableiten kannst. Für diese kannst Du die Ableitungen auswendig lernen.

Ableitungsregeln

Es gibt verschiedene Ableitungsregeln, womit Du einzelne Komponenten einer Funktion ableiten kannst, aber auch verknüpfte Funktionen. Nicht jede Ableitungsregel kannst Du auf jede Funktion anwenden. Stattdessen wendest Du immer nur die Regel an, welche mit dem Aufbau der Funktion übereinstimmt.

AbleitungsregelFunktion \(f(x)\)Ableitung \(f'(x)\)
Konstantenregel\[f(x)=\color{bl}c\]\[f'(x)=0\]
Summenregel & Differenzregel\[f(x)={\color{bl}u(x)}\pm \color{gr}v(x)\]\[f'(x)={\color{bl}u'(x)}\pm \color{gr}v'(x)\]
Faktorregel\[f(x)={\color{bl}c}\cdot \color{gr}g(x)\]\[f'(x)={\color{bl}c}\cdot \color{gr}g'(x)\]
Potenzregel\[f(x)=x^{\color{bl}n}\]\[f'(x)={\color{bl}n}\cdot x^{{\color{bl}n}-1}\]
Quotientenregel\[f(x)=\frac{\color{bl}u(x)}{\color{gr}v(x)}\]\[f'(x)=\frac{{\color{r}u'(x)}\cdot {\color{gr}v(x)}-{\color{bl}u(x)}\cdot \color{li}v'(x)}{{\color{gr}v(x)}^2}\]
Kettenregel\[f(x)={\color{bl}u(x)}\cdot {\color{gr}v(x)}\]\[f'(x)={\color{r}u'(x)}\cdot {\color{gr}v(x)}+ {\color{bl}u(x)}\cdot \color{li}v'(x)\]
partielle Ableitung\begin{align} f({\color{bl}x}; {\color{gr}y})&= {\color{bl}x}^n+ {\color{gr}y}^n \\ f({\color{bl}x}; {\color{gr}y})&= {\color{bl}x}^n+ {\color{gr}y}^n \end{align}\begin{align} f'({\color{bl}x}; {\color{gr}y})&= n\cdot {\color{bl}x}^{n-1}+0 \\ f'({\color{bl}x}; {\color{gr}y})&= 0+n\cdot {\color{gr}y}^{n-1} \end{align}

Übungsaufgaben zu den einzelnen Ableitungsregeln findest Du in der Erklärung „Ableitungsregeln“ oder direkt in den Erklärungen der Regel.

Wichtige Ableitungen

Einige Funktionen kannst Du nach keiner der Ableitungsregeln ableiten. Damit Du sie trotzdem ableiten kannst, gibt es diese Liste an wichtigen Ableitungen.

Funktionsname
Funktionen
Ableitungen
Sinusfunktion\[f(x)=\sin(x)\]\[f'(x)=cos(x)\]
Kosinusfunktion\[f(x)=\cos(x)\]\[f'(x)=-\sin(x)\]
Tangensfunktion
\[f(x)=\tan(x)\]
\[f'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\]
e-Funktion\[f(x)=e^x\]\[f'(x)=e^x\]
Logarithmusfunktion\[f(x)=log_a(x)\]\[f'(x)=\frac{1}{x\cdot ln(a)}\]
natürliche Logarithmusfunktion\[f(x)=ln(x)\]\[f'(x)=\frac{1}{x}\]
Wurzelfunktion\[f(x)=\sqrt{x}\]\[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Exponentialfunktion\[f(x)=a^x\]\[f'(x)=a^x\cdot ln (a)\]

Zu allen wichtigen Ableitungen findest Du auch eine einzelne Erklärung, wo Dir die Herleitung erklärt wird und vieles mehr. Du findest die Erklärungen unter der Erklärung „Besondere Ableitungen“.

Wenn die Funktion weder nach den Ableitungsregeln ableitbar ist, noch unter den besonderen Ableitungen sich befindet, ist sie wahrscheinlich nicht differenzierbar.

Wie Du feststellst, ob die Funktion wirklich nicht differenzierbar ist, erfährst Du in der Erklärung „Differenzierbarkeit“.

Differentialrechnung – Anwendung

Die Differentialrechnung hat verschiedene Anwendungsbereiche, welche auch außerhalb des Mathematikunterrichts gebraucht werden. Unter anderem wird die Differentialrechnung in der Physik und Wirtschaft genutzt.

Eine Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik ist das Extremwertproblem.

Bei einem Extremwertproblem wird nach dem minimalen oder maximalen Wert einer Funktion \(f\) gefragt. Dabei können diese Extrema an eine Nebenbedingung gebunden sein.

In der Kosten- und Preistheorie der Wirtschaft hat die Differentialrechnung ebenfalls eine Anwendung.

Die Kosten- und Preistheorie beinhaltet viel zusammenhängende Funktionen in einer Produktion. Mit diesen kannst Du den Verlauf des möglichen Gewinns in Abhängigkeit von der verkauften Menge darstellen und mithilfe der Differentialrechnung den maximalen Gewinn errechnen.

In der Physik werden Bewegungen häufig in Diagrammen und als Funktionen dargestellt. Eine Bewegung kann dabei in verschiedenen Diagrammen dargestellt werden, welche Du durch die Differentialrechnung berechnen kannst.

Mehr zu den Anwendungen der Differentialrechnung erfährst Du in der Erklärung „Anwendung der Differentialrechnung“.

Differentialrechnung Zusammenfassung – Das Wichtigste

  • Unter der Differentialrechnung wird die Bestimmung der lokalen Änderung von Funktionen verstanden. Sie beschreibt somit das Änderungsverhalten einer Funktion \(f\) in einem bestimmten Punkt \(P\).
  • Als Differentialquotient wird der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleineres Intervall bezeichnet. Mit dem Differentialquotienten berechnest Du die lokale Änderungsrate \(m\) der Tangente \(t\) in dem Punkt \(P(x_0|y_0)\) der Funktion \(f\).

    Es gilt: \[f'(x_0)=\lim_{x\to\infty}\, \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

  • Es gibt verschiedene Ableitungsregeln, welche Du für die verschiedenen Funktionen nutzen kannst.

  • Für die Funktion, für welche keine Ableitungsregel gilt, gibt es eine Auflistung mit besonderen Ableitungen.

  • Die Differentialrechnung findet ihre Anwendung neben der Mathematik im Extremwertproblem, in der Kosten- und Preistheorie in der Wirtschaft und in der Physik zum Beispiel in der Darstellung von Bewegungen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Differentialrechnung

Ableitungen sind Funktionen mit denen du die Steigung einer Funktion in einer Stelle sehr schnell und effizient ausrechnen kannst. Ableitungen helfen dir eine Funktion auf ihre Änderungsrate zu vereinfachen.

Differenzieren und Ableiten werden als Synonyme benutzt. Dabei ist Ableiten der umgangssprachliche Begriff.

Wenn die zweite Ableitung gleich null ist, hat die Funktion an dieser Stelle keine Steigung und es liegt bei der Ausgangsfunktion ein Wendepunkt vor. Wenn die erste und die zweite Ableitung gleich null sind, liegt ein Sattelpunkt vor.

Mithilfe der Ableitungen kannst Du die Extrema einer Funktion bestimmen, aber auch in jedem beliebigen Punkt der Funktion die Steigung berechnen.

Mithilfe der Differentialrechnung kannst Du die Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Punkt berechnen. Du berechnest die Steigung der Tangente in dem Punkt an die Funktion.

Finales Differentialrechnung Quiz

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)


Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x 

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³) 

Frage anzeigen

Frage


Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

Frage anzeigen

Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

Antwort anzeigen

Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x 

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

Frage anzeigen

Frage

Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

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Antwort

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

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Frage

Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

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Antwort

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

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Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

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Antwort

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

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Frage

Untersuche die Funktion f(x)=ln(x²+3) auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte.

(Hinweis: die 3. Ableitung von f lautet (4x³-36x)/(x²+3)³)

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Antwort

Keine Nullstellen.

Minimum bei x=0

Wendepunkte bei x=√3 , x= -√3


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Frage

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt. Dabei besteht sowohl der Zähler als auch der Nenner aus Polynome. Insgesamt unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine gebrochen rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, welche sich als Bruch darstellen lässt. Dabei besteht sowohl der Zähler als auch der Nenner aus Polynome. Insgesamt unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochen rationale Funktionen.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion echt gebrochen rational?


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Antwort

Eine Funktion ist echt gebrochen rationale, wenn die Nennerfunktion ein größeres Polynom besitzt als die Zählerfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion unecht gebrochen rational?

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Antwort

Eine Funktion ist unecht gebrochen rational, wenn die Zählerfunktion ein größeres Polynom besitzt als die Nennerfunktion.

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Frage

Wozu braucht man die Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen bei der Kurvendiskussion?

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Antwort

Man benötigt die Ableitung von gebrochen rationale Funktion zur Berechnung der Extremwerte , um das Steigungsverhalten und Krümmungsverhalten der Funktion festzustellen.

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Frage

Mit welchem Hilfsmittel lässt sich die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion herleiten?

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Antwort

Mit Hilfe des Differentialquotienten.

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Frage

Welche Aussage ist richtig?

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Antwort

Wenn du den Kosinus ableitest erhältst du den Sinus.

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Frage

Definiere die Summenregel.

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Antwort

Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion\(f(x)=g(x)+h(x)\) wie folgt lautet:

\[f^\prime(x)=g'(x)+h'(x)\] 

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Frage

Beschreibe, wie Funktionen aussehen, auf die die Summenregel angewandt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Summenregel wird kann verwendet werden, wenn eine Summe von Funktionen abgeleitet werden muss:

\[f(x)=g(x)+h(x)\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Eselsbrücke, um die e-Funktion abzuleiten.

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Antwort

Bleib so wie du bist - so wie die e-Funktion beim Ableiten!

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Frage

Wann muss die Kettenregel bei der e-Funktion angewandt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Kettenregel muss immer dann angewandt werden, wenn im Exponenten der e-Funktion nicht nur "x" steht.

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Frage

 Auf welche Funktionen kannst du die Potenzregel anwenden?

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Antwort

Die Potenzregel kannst du bei Potenzfunktionen verwenden oder wenn du eine Wurzelfunktion gegeben hast, die du in eine Potenzdarstellung überführst.

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Frage

Beschreibe die Potenzregel in eigenen Worten!

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Antwort

Du schreibst den Exponenten als Multiplikation vor das x und ziehst vom Exponenten 1 ab.

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Frage

Kannst du Wurzeln als Potenz schreiben?

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Antwort

Ja

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Frage

Wie wird eine Polynomfunktion noch genannt?

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Antwort

ganzrationale Funktion

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Frage

Welche Teile hat eine Polynomfunktion?

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Antwort

Eine Polynomfunktion besteht aus einem Polynom (Term), bestehend aus Koeffizienten, Variablen und Exponenten

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Frage

Wie bestimmst Du den Grad einer Polynomfunktion?

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Antwort

Der Grad einer Polynomfunktion ist sein höchster Exponent.

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Frage

Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion mit dem Grad 6 höchstens haben?

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Antwort

Höchstens 6 Nullstellen

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Frage

Wie berechnest Du die Nullstellen von Polynomfunktionen mit Grad 3 oder höher?

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Antwort

Die Nullstellen von Polynomfunktionen mit Grad 3 werden mit der Polynomdivision berechnet.

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Frage

Nenne wichtige Ableitungsregeln für die Ableitung von Polynomfunktionen.

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Antwort

  • Faktorregel
  • Potenzregel
  • Summenregel
  • Differenzregel

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Frage

Um wie viel verringert sich der Grad der Ableitung einer Funktion?

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Antwort

Bei jeder Ableitung verringert sich der Grad der Funktion um 1.

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Frage

Zu welchem Teilgebiet der Mathematik gehört das Ableiten?

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Antwort

Analysis

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Frage

Wofür brauchst Du die Nullstellen der ersten Ableitung einer Funktion?

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Antwort

Du brauchst die Nullstellen der ersten Ableitung einer Funktion für die Berechnung von Extrema.

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Frage

Wofür brauchst Du die zweite Ableitung von Funktionen?

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Antwort

Für die Berechnung der Wendepunkte und Klassifikation der Extrema brauchst Du die zweite Ableitung von Funktionen.

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Frage

Mit welchen Schritten wird die Kettenregel angewendet?

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Antwort

  • Zuerst musst du die innere und die äußere Funktion definieren.

  • Dann muss jeweils die Ableitung der inneren und äußeren Funktion gebildet werden.

  • Zum Schluss müssen die Ableitungen und die Funktionen eingesetzt werden, um die gesamte Ableitung zu erhalten.

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Frage

Bei welchen Funktionen macht die Ableitung über die Umkehrfunktion sinn?

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Antwort

hyperbolische Funktionen

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Frage

Muss eine Funktion immer f(x) heißen?

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Antwort

Nein, Du kannst auch jeden beliebigen anderen Buchstaben anstatt f nehmen.

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Frage

Was ändert sich, wenn Du eine Funktion umdrehst?

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Antwort

Die Umkehrfunktion ordnet die Variablen umgekehrt zu. Das heißt, während die Funktion f(x)  jedem x-Wert einen y-Wert zuordnet, tut es die Umkehrfunktion genau anders herum.

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Frage

Welche Eigenschaften muss eine Funktion haben, damit sie umgekehrt werden kann?

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Antwort

Eine Funktion muss durchgehend differenzierbar und an jeder Stelle im Definitionsbereich eindeutig sein, damit sie umgekehrt werden kann.

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst Du vor, wenn Du eine Funktion umkehren willst?

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Antwort

  1. Ersetze f(x) durch y.
  2. Löse die Funktion nach x auf.
  3. Ersetze jedes x durch ein y und umgekehrt.
  4. Ersetze x durch f-1(x).

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Frage

Was fällt auf, wenn Du f(x) und f-1(x) in ein Koordinatensystem einzeichnest?

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Antwort

f-1(x) ist die Spiegelung von f(x) an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten.

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Frage

Mit der Umkehrregel kannst Du die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen. Was bringt Dir das?

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Antwort

Du kannst die Umkehrfunktion und die ursprüngliche Funktion vertauschen und somit die Ableitung der ursprünglichen Funktion berechnen. Auf diesem Weg kannst Du beispielsweise die Ableitung der Logarithmusfunktion oder einer Wurzel berechnen.

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Frage

Welche Arten von Extremwertproblemen gibt es?

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Antwort

Es gibt einfache Extremwertprobleme und welche mit Nebenbedingung.

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Frage

Was ist eine Zielfunktion im Zusammenhang mit Extremwertproblemen?

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Antwort

Das Ergebnis der Aufgabe.

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Frage

Was machst Du mit der Ableitung der Zielfunktion?

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Antwort

Ich setze 0 ein und rechne sie aus.

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Frage

Wie kannst Du erkennen, ob ein Extrempunkt ein Minimum oder Maximum ist?

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Antwort

Du kannst die Zielfunktion ein weiteres Mal ableiten. 

Wenn sie einen Wert größer 0 ergibt, steigt die Funktion danach wieder, also ist es ein Minimum. Ist der Wert kleiner als 0, so fällt die Funktion nach dem Extrempunkt. Es handelt sich also um ein Maximum.

Frage anzeigen

Frage

Wie erkennst Du, ob es sich um ein Extremwertproblem mit oder ohne Nebenbedingung handelt?

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Antwort

Es sind 2 oder mehr Variablen vorhanden.

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Frage

Wie setzt sich die Zielfunktion zusammen?

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Antwort

Hauptbedingung + Nebenbedingung = Zielfunktion

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Frage

Woran erkennst Du die Hauptbedingung?

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Antwort

Die Hauptbedingung beschreibt bei Extremwertproblemen immer die Größe, welche maximal/minimal werden soll. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Nebenbedingung? Woran erkennst Du sie?

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Antwort

Die Nebenbedingung liefert Informationen, welche dabei helfen, die Zielfunktion aufzustellen. 

Meist ist dabei ein konkreter Wert gegeben, wie zum Beispiel welche Menge an Material zur Verfügung steht.

Frage anzeigen

Frage

Wie findest Du eine Extremstelle heraus?

Antwort anzeigen

Antwort

Ich leite die Zielfunktion so lange ab, bis nur noch eine Zahl vorhanden ist.

Frage anzeigen

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