Stell Dir vor, Du stehst vor einer Straße, die Du überqueren musst, um an Deinem Ziel anzukommen. Die Straße stellt die y-Achse dar, während Du den Verlauf der Funktion vorgibst, wenn Du die Straße überquerst. Der Punkt, an dem Du die Straße überquerst, ist der y-Achsenabschnitt und dieser Punkt kann berechnet oder sogar abgelesen werden. Wie du den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse bestimmen kannst, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.
y-Achsenabschnitt
Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate 
.
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion
Eine lineare Funktion ist im Koordinatensystem durch eine Gerade dargestellt.
Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form 
mit 
.
Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.
Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest
(
).
In dieser Abbildung siehst Du den Y-Achsenabschnitt der Funktion 
.
Abbildung 1: Y-Achsenabschnitt
y-Achsenabschnitt bestimmen
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du durch Ablesen bestimmen. Das ist der Vorgang:
- Zuerst gehst Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse.
- Dann markierst Du die Schnittstelle der Funktion
mit der y-Achse und liest den y-Wert ab. - Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert
und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen
Wie Du einen Y-Achsenabschnitt bestimmst, wird Dir anhand einer linearen Funktion gezeigt.
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 1
Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion 
mithilfe des Koordinatensystems.
Abbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen
Lösung
Du gehst jetzt entlang der y-Achse (pinkfarbene Linie) und markierst den Schnittpunkt P der linearen Funktion mit der Achse.
Abbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen
An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle 
ist. Das führt zu dem Schnittpunkt 
.
Die lineare Funktion 
hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt 
.
Abbildung 4: Y-Achsenabschnitt bestimmen
Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest ().
Wie gehst Du jetzt bei einer quadratischen Funktion vor?
y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen & ablesen
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du auch an einer Parabel ablesen. Doch wie funktioniert das?
Du gehst genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 2
Bestimme den Y-Achsenabschnitt der abgebildeten Parabel.
Abbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen
Lösung
Du gehst jetzt entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).
Abbildung 6: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen
An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle 
ist. Das führt zu dem Schnittpunkt 
.
Die quadratische Funktion 
hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt 
.
Abbildung 7: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen
y-Achsenabschnitt berechnen
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du nicht nur bestimmen, sondern auch berechnen.
- Du setzt zuerst eine 0 statt der Variable in die gegebene Funktion ein.
- Dann berechnest Du die Funktion.
- Die Zahl, die Du berechnet hast, ist der y-Wert, beziehungsweise der Y-Achsenabschnitt.
- Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert
und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.
Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
In der Praxis sieht das bei einer linearen Funktion 
folgendermaßen aus:
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 3
Berechne den Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du die Straße überquerst. Es ist die Funktion 
vorgegeben.
Lösung
Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktion einsetzen.
Der Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du eine Straße überquerst, ist 
und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist 
.
Abbildung 8: Y-Achsenabschnitt berechnen
y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion berechnen
Auch bei einer quadratischen Funktion kann der Y-Achsenabschnitt berechnet werden.
Bei einer quadratischen Funktion gehst Du genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, nämlich 0 für x in die Funktionsgleichung einsetzen und den gewonnenen y-Wert in einen Punkt P umformen. Als x-Wert des Punktes wird dann 
eingesetzt.
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 4
Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion 
.
Lösung
Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du statt dem x eine 0 in die Funktionsgleichung einsetzen.
Der y-Achsenabschnitt liegt bei 
. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da 
und 
ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei 
.
Abbildung 9: Y-Achsenabschnitt einer Parabel
y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten berechnen
Wie gehst Du vor, wenn Du einen Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen musst, Dir aber nur zwei Punkte gegeben sind?
Dazu gehst Du in diesen Schritten vor:
- Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten aufstellen
- In der Geradengleichung x durch null ersetzen (
) - Gleichung berechnen & das Ergebnis gibt die y-Koordinate des y-Achsenabschnitts an (
)
Schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an, wenn Du noch mal nachlesen möchtest, wie genau eine Geradengleichung aufgestellt wird.
Die Formel zur Berechnung der Steigung einer linearen Funktion lautet:
Wie Du eine solche Gerade und den zugehörigen Y-Achsenabschnitt berechnest, siehst Du jetzt in der Praxis.
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 5
Stelle die Gleichung der Geraden 
auf, die durch die Punkte 
und 
verläuft. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt dieser Gerade.
Lösung
Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.
Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.
Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt 
eingesetzt und nach t umgestellt.
Diese Werte werden jetzt in die Gerade 
eingesetzt.
Dann, beim Berechnen des Y-Achsenabschnitts, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.
Der y-Achsenabschnitt liegt bei 
. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da 
und damit
der Schnittpunkt der linearen Funktion 
mit der y-Achse bei 
ist.
Abbildung 10: Y-Achsenabschnitt berechnen
y-Achsenabschnitt – Aufgaben zum Üben
Jetzt kannst Du Dein Wissen stärken, in dem Du die Übungsaufgaben rechnest.
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 6
Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion 
.
Lösung
Der Y-Achsenabschnitt wird berechnet, in dem Du 0 in die quadratische Funktion einsetzt und ausmultiplizierst.
Der Y-Achsenabschnitt liegt bei 
. Nun muss der y-Wert noch in einen Punkt umgewandelt werden, indem für 
eingesetzt wird.
Der Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion 
liegt an dem Punkt 
.
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 7
Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion 
mithilfe des Koordinatensystems.
Abbildung 11: Y-Achsenabschnitt bestimmen
Lösung
Du gehst zuerst entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).
Abbildung 12: Y-Achsenabschnitt bestimmen
An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle 
ist. Das führt zu dem Schnittpunkt 
.
Die quadratische Funktion 
hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt 
.
Abbildung 13: Y-Achsenabschnitt bestimmen
y-Achsenabschnitt – Aufgabe 8
Stelle die Geradengleichung der Gerade
mithilfe der Punkte 
und 
auf. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt der Gerade.
Lösung
Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.
Die Steigung der Gerade
ist 
. Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.
In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.
Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion 
eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.
Um nun den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.
Der y-Achsenabschnitt liegt bei 
. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da 
und 
ist der Schnittpunkt der linearen Funktion 
mit der y-Achse bei 
.
y Achsenabschnitt – Das Wichtigste
- Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.
- Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate .
- Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du berechnen, indem Du in die Funktion 0 einsetzt und sie ausmultiplizierst.
- Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du bestimmen, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.
Y-Achsenabschnitt berechnen mit zwei gegeben Punkten:
Du musst, um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, erst die Geradengleichung bestimmen und danach 0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann hast Du den y-Wert, der noch in einen Punkt umgewandelt werden muss.
Nachweise
- Flotho (2021): Wirtschaftsmathematik. Springer Gabler.
- Pampel (2017): Geraden und Parabeln. Springer.
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