y-Achsenabschnitt

Q: Wie wird ein Y-Achsenabschnitt ausgerechnet?

Einen Y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in die Funktion die Zahl 0 eingesetzt und ausmultipliziert wird. Dadurch wird der y-Wert berechnet, der dann noch mit dem x-Wert (x=0) in einen Punkt P umgeformt wird.

Q: Was ist der Y-Achsenabschnitt?

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse. Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate: x=0.

Algebra

Analysis

Geometrie

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Stell Dir vor, Du stehst vor einer Straße, die Du überqueren musst, um an Deinem Ziel anzukommen. Die Straße stellt die y-Achse dar, während Du den Verlauf der Funktion vorgibst, wenn Du die Straße überquerst. Der Punkt, an dem Du die Straße überquerst, ist der y-Achsenabschnitt und dieser Punkt kann berechnet oder sogar abgelesen werden. Wie du den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse bestimmen kannst, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.

y-Achsenabschnitt

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.

$y_{0} = f (x)$

Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate $x = 0$ .

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

Eine lineare Funktion ist im Koordinatensystem durch eine Gerade dargestellt.

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form $f (x) = m x + t$ mit $D_{f} = ℝ$ .

Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.

Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest

( $f (x) = m x + t$ ).

In dieser Abbildung siehst Du den Y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x) = 2 x + 4$ .

Y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 1: Y-Achsenabschnitt

y-Achsenabschnitt bestimmen

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du durch Ablesen bestimmen. Das ist der Vorgang:

Zuerst gehst Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse.
Dann markierst Du die Schnittstelle der Funktion $f (x)$ mit der y-Achse und liest den y-Wert ab.
Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert $x = 0$ und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen

Wie Du einen Y-Achsenabschnitt bestimmst, wird Dir anhand einer linearen Funktion gezeigt.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 1

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion $f (x)$ mithilfe des Koordinatensystems.

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Lösung

Du gehst jetzt entlang der y-Achse (pinkfarbene Linie) und markierst den Schnittpunkt P der linearen Funktion mit der Achse.

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y = 2$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P (0 | 2)$ .

Die lineare Funktion $f (x)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P (0 | 2)$ .

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 4: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest ( $f (x) = m x + t$ ).

Wie gehst Du jetzt bei einer quadratischen Funktion vor?

y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen & ablesen

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du auch an einer Parabel ablesen. Doch wie funktioniert das?

Du gehst genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 2

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der abgebildeten Parabel.

y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarter Abbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

Lösung

Du gehst jetzt entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarter Abbildung 6: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y = - 1, 5$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P (0 | - 1, 5)$ .

Die quadratische Funktion $f (x)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P (0 | - 1, 5)$ .

y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarter Abbildung 7: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

y-Achsenabschnitt berechnen

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du nicht nur bestimmen, sondern auch berechnen.

Du setzt zuerst eine 0 statt der Variable in die gegebene Funktion ein.
Dann berechnest Du die Funktion.
Die Zahl, die Du berechnet hast, ist der y-Wert, beziehungsweise der Y-Achsenabschnitt.
Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert $x = 0$ und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.

Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

In der Praxis sieht das bei einer linearen Funktion $f (x)$ folgendermaßen aus:

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 3

Berechne den Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du die Straße überquerst. Es ist die Funktion $f (x) = 3 x + 5$ vorgegeben.

Lösung

Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktion einsetzen.

$f (x) = 3 x + 5 f (0) = 3 \cdot 0 + 5 = 5$

Der Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du eine Straße überquerst, ist $y = 5$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $P (0 | 5)$ .

y Achsenabschnitt berechnen StudySmarter Abbildung 8: Y-Achsenabschnitt berechnen

y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion berechnen

Auch bei einer quadratischen Funktion kann der Y-Achsenabschnitt berechnet werden.

Bei einer quadratischen Funktion gehst Du genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, nämlich 0 für x in die Funktionsgleichung einsetzen und den gewonnenen y-Wert in einen Punkt P umformen. Als x-Wert des Punktes wird dann $x = 0$ eingesetzt.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 4

Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 4, 5$ .

Lösung

Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du statt dem x eine 0 in die Funktionsgleichung einsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{2} + 5 x - 4, 5 \\ f (0) & = & 2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 4, 5 = - 4, 5 \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y = - 4, 5$ . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x = 0$ und $y = - 4, 5$ ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei $P (0 | - 4, 5)$ .

y Achsenabschnitt einer Parabel StudySmarter Abbildung 9: Y-Achsenabschnitt einer Parabel

y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten berechnen

Wie gehst Du vor, wenn Du einen Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen musst, Dir aber nur zwei Punkte gegeben sind?

Dazu gehst Du in diesen Schritten vor:

Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten aufstellen
In der Geradengleichung x durch null ersetzen ( $f (0)$ )
Gleichung berechnen & das Ergebnis gibt die y-Koordinate des y-Achsenabschnitts an ( $y = . . .$ )

Schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an, wenn Du noch mal nachlesen möchtest, wie genau eine Geradengleichung aufgestellt wird.

Die Formel zur Berechnung der Steigung einer linearen Funktion lautet:

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{2}} \end{array}$

Wie Du eine solche Gerade und den zugehörigen Y-Achsenabschnitt berechnest, siehst Du jetzt in der Praxis.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 5

Stelle die Gleichung der Geraden $f (x)$ auf, die durch die Punkte $P (- 2 | 3)$ und $Q (4 | - 7)$ verläuft. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt dieser Gerade.

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{- 7 - 3}{4 - (- 2)} = - \frac{5}{3} \end{array}$

Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

$y = - \frac{5}{3} x + t$

Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt $P (- 2 | 3)$ eingesetzt und nach t umgestellt.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 3 = - \frac{5}{3} (- 2) + t \\ 3 = \frac{10}{3} + t & | - \frac{10}{3} \\ - \frac{1}{3} = t \end{matrix} \end{array}$

Diese Werte werden jetzt in die Gerade $f (x)$ eingesetzt.

$f (x) = - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$

Dann, beim Berechnen des Y-Achsenabschnitts, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3} \\ f (0) & = & - \frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y = - \frac{1}{3}$ . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x = 0$ und damit $y = - \frac{1}{3}$ der Schnittpunkt der linearen Funktion $f (x)$ mit der y-Achse bei $P (\begin{matrix} 0 | \frac{1}{3} \end{matrix})$ ist.

y Achsenabschnitt berechnen StudySmarter Abbildung 10: Y-Achsenabschnitt berechnen

y-Achsenabschnitt – Aufgaben zum Üben

Jetzt kannst Du Dein Wissen stärken, in dem Du die Übungsaufgaben rechnest.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 6

Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f (x) = 4 x^{2} + 0, 5 x + 3, 1$ .

Lösung

Der Y-Achsenabschnitt wird berechnet, in dem Du 0 in die quadratische Funktion einsetzt und ausmultiplizierst.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{2} + 0, 5 x + 3, 1 \\ f (0) & = & 4 \cdot 0^{2} + 0, 5 \cdot 0 + 3, 1 = 3, 1 \end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt liegt bei $y = 3, 1$ . Nun muss der y-Wert noch in einen Punkt umgewandelt werden, indem für $x = 0$ eingesetzt wird.

Der Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f (x)$ liegt an dem Punkt $P (0 | 3, 1)$ .

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 7

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion $f (x)$ mithilfe des Koordinatensystems.

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 11: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Lösung

Du gehst zuerst entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 12: Y-Achsenabschnitt bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y = 1$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P (0 | 1)$ .

Die quadratische Funktion $f (x)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P (0 | 1)$ .

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 13: Y-Achsenabschnitt bestimmen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 8

Stelle die Geradengleichung der Gerade $f (x)$ mithilfe der Punkte $P (- 3 | 5)$ und $Q (4 | 2)$ auf. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt der Gerade.

Lösung

Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{2 - 5}{4 - (- 3)} = - \frac{3}{7} \end{array}$

Die Steigung der Gerade $f (x)$ ist $m = - \frac{3}{7}$ . Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl} y & = & m x + t = - \frac{3}{7} x + t \end{array}$

In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 2 = - \frac{3}{7} \cdot 4 + t \\ 2 = - \frac{12}{7} + t & | + \frac{12}{7} \\ t = \frac{26}{7} \end{matrix} \end{array}$

Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion $f (x)$ eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

$f (x) = - \frac{3}{7} x + \frac{26}{7}$

Um nun den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - \frac{3}{7} x + \frac{26}{7} \\ f (0) & = & - \frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{26}{7} = \frac{26}{7} \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y = \frac{26}{7}$ . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x = 0$ und $y = \frac{26}{7}$ ist der Schnittpunkt der linearen Funktion $f (x)$ mit der y-Achse bei $P (\begin{matrix} 0 | \frac{26}{7} \end{matrix})$ .

y Achsenabschnitt – Das Wichtigste

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.
Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate $x = 0$ .
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du berechnen, indem Du in die Funktion 0 einsetzt und sie ausmultiplizierst.
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du bestimmen, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.
Y-Achsenabschnitt berechnen mit zwei gegeben Punkten:
Du musst, um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, erst die Geradengleichung bestimmen und danach 0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann hast Du den y-Wert, der noch in einen Punkt umgewandelt werden muss.

Nachweise

Flotho (2021): Wirtschaftsmathematik. Springer Gabler.
Pampel (2017): Geraden und Parabeln. Springer.

Häufig gestellte Fragen zum Thema y-Achsenabschnitt

Einen Y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in die Funktion die Zahl 0 eingesetzt und ausmultipliziert wird. Dadurch wird der y-Wert berechnet, der dann noch mit dem x-Wert (x=0) in einen Punkt P umgeformt wird.

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.

Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate: x=0.

Den Y-Achsenabschnitt liest Du ab, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse abliest.

Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und den Parameter t abliest, denn t ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ( f(x)=mx+t ).

Finales y-Achsenabschnitt Quiz

y-Achsenabschnitt Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was ist ein Y-Achsenabschnitt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Wie wird ein Y-Achsenabschnitt einer Funktion berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du berechnen, indem Du in die gegebene Funktion 0 einsetzt und sie ausmultiplizierst. Der errechnete y-Wert ist der Y-Achsenabschnitt, der nur noch in einen Punkt umgewandelt werden muss, in dem man den y-Wert nimmt und den x-Wert .

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort

Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktion einsetzen.

Der Y-Achsenabschnitt der Funktion ist und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmst Du einen Y-Achsenabschnitt der Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Y-Achsenabschnitt bestimmst Du, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion :

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Antwort

Du gehst jetzt entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der linearen Funktion mit der Achse.

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle ist. Das führt zu dem Schnittpunkt .

Die lineare Funktion hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt .

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort

Du liest den y-Achsenabschnitt der Funktion ab. Der y-Achsenabschnitt ist der Parameter t in der Funktion.

Der y-Achsenabschnitt der Funktion ist an dem y-Wert . Zuletzt muss der y-Wert in einen Punkt umgewandelt werden.

Somit liegt der y-Achsenabschnitt liegt bei .

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Frage

Wie gehst Du vor, wenn Du einen Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen musst, Dir aber nur zwei Punkte gegeben sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Du musst, um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, erst die Geradengleichung berechnen und danach 0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann hast Du den y-Wert, der noch in einen Punkt umgewandelt werden muss.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine Geradengleichung aufgestellt?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Geradengleichung kann mithilfe zweier Punkte aufgestellt werden.

Zuerst werden die x- und y-Werte der gegebenen Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung eingesetzt.
Sobald Du die Steigung berechnet hast, musst Du diese in die rohe Form der linearen Funktion () einsetzen.
In diese Funktion setzt Du nun einen der beiden Punkte P und Q ein.
Nach dem Einsetzen stellst Du die Funktionsgleichung nach t um.
Der errechnete Wert ist der y-Achsenabschnitt, welchen Du nur noch in die Funktion einsetzen musst.
Die zusammengesetzte Funktion ist jetzt Deine Gerade.

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Frage

Wie lautet die Steigungsformel?

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Antwort

Die Steigungsformel lautet:

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Frage

Stelle die Geradengleichung einer Funktion mithilfe zweier Punkte und auf und berechne den zugehörigen Y-Achsenabschnitt.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt eingesetzt und nach t umgestellt.

Diese Werte werden jetzt in die Geradengleichung eingesetzt.

Jetzt, beim Berechnen des Y-Achsenabschnitts, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

Der y-Achsenabschnitt liegt bei . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da und ist der Schnittpunkt der linearen Funktion mit der y-Achse bei .

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y-Achsenabschnitt berechnen

Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 3

y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion berechnen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 4

y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten berechnen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 5

y-Achsenabschnitt – Aufgaben zum Üben

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 6

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 7

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 8

y Achsenabschnitt – Das Wichtigste

Nachweise

Häufig gestellte Fragen zum Thema y-Achsenabschnitt

Wie wird ein Y-Achsenabschnitt ausgerechnet?

Was ist der Y-Achsenabschnitt?

Wie liest Du den y-Achsenabschnitt im Koordinatensystem ab?

Wie lese ich den y-Achsenabschnitt einer Funktionsgleichung ab?

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