y-Achsenabschnitt

Stell Dir vor, Du stehst vor einer Straße, die Du überqueren musst, um an Deinem Ziel anzukommen. Die Straße stellt die y-Achse dar, während Du den Verlauf der Funktion vorgibst, wenn Du die Straße überquerst. Der Punkt, an dem Du die Straße überquerst, ist der y-Achsenabschnitt und dieser Punkt kann berechnet oder sogar abgelesen werden. Wie du den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse bestimmen kannst, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    y-Achsenabschnitt

    Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.

    y0=f(x)

    Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate x=0.

    y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

    Eine lineare Funktion ist im Koordinatensystem durch eine Gerade dargestellt.

    Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form f(x) = mx+t mit Df = .

    Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.

    Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest

    (f(x) = mx+t ).

    In dieser Abbildung siehst Du den Y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)=2x+4.

    Y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 1: Y-Achsenabschnitt

    y-Achsenabschnitt bestimmen

    Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du durch Ablesen bestimmen. Das ist der Vorgang:

    1. Zuerst gehst Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse.
    2. Dann markierst Du die Schnittstelle der Funktionf(x) mit der y-Achse und liest den y-Wert ab.
    3. Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert x=0 und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.

    y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen

    Wie Du einen Y-Achsenabschnitt bestimmst, wird Dir anhand einer linearen Funktion gezeigt.

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 1

    Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion f(x) mithilfe des Koordinatensystems.

    y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen

    Lösung

    Du gehst jetzt entlang der y-Achse (pinkfarbene Linie) und markierst den Schnittpunkt P der linearen Funktion mit der Achse.

    y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen

    An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle y=2 ist. Das führt zu dem Schnittpunkt P(0|2).

    Die lineare Funktion f(x) hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt P(0|2).

    y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 4: Y-Achsenabschnitt bestimmen

    Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest (f(x) = mx+t ).

    Wie gehst Du jetzt bei einer quadratischen Funktion vor?

    y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen & ablesen

    Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du auch an einer Parabel ablesen. Doch wie funktioniert das?

    Du gehst genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 2

    Bestimme den Y-Achsenabschnitt der abgebildeten Parabel.

    y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarterAbbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

    Lösung

    Du gehst jetzt entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

    y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarterAbbildung 6: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

    An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle y=-1,5 ist. Das führt zu dem Schnittpunkt P(0|-1,5).

    Die quadratische Funktion f(x) hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt P(0|-1,5).

    y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarterAbbildung 7: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

    y-Achsenabschnitt berechnen

    Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du nicht nur bestimmen, sondern auch berechnen.

    1. Du setzt zuerst eine 0 statt der Variable in die gegebene Funktion ein.
    2. Dann berechnest Du die Funktion.
    3. Die Zahl, die Du berechnet hast, ist der y-Wert, beziehungsweise der Y-Achsenabschnitt.
    4. Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert x=0 und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.

    Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

    In der Praxis sieht das bei einer linearen Funktion f(x) folgendermaßen aus:

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 3

    Berechne den Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du die Straße überquerst. Es ist die Funktion f(x)=3x+5vorgegeben.

    Lösung

    Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktion einsetzen.

    f(x)=3x+5f(0)=3·0+5=5

    Der Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du eine Straße überquerst, ist y=5 und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist P(0|5).

    y Achsenabschnitt berechnen StudySmarterAbbildung 8: Y-Achsenabschnitt berechnen

    y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion berechnen

    Auch bei einer quadratischen Funktion kann der Y-Achsenabschnitt berechnet werden.

    Bei einer quadratischen Funktion gehst Du genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, nämlich 0 für x in die Funktionsgleichung einsetzen und den gewonnenen y-Wert in einen Punkt P umformen. Als x-Wert des Punktes wird dann x=0 eingesetzt.

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 4

    Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion f(x)=2x2+5x-4,5.

    Lösung

    Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du statt dem x eine 0 in die Funktionsgleichung einsetzen.

    f(x)=2x2+5x-4,5f(0)=2·02+5·0-4,5=-4,5

    Der y-Achsenabschnitt liegt bei y=-4,5. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da x=0 und y=-4,5 ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei P(0|-4,5).

    y Achsenabschnitt einer Parabel StudySmarterAbbildung 9: Y-Achsenabschnitt einer Parabel

    y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten berechnen

    Wie gehst Du vor, wenn Du einen Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen musst, Dir aber nur zwei Punkte gegeben sind?

    Dazu gehst Du in diesen Schritten vor:

    • Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten aufstellen
    • In der Geradengleichung x durch null ersetzen (f(0))
    • Gleichung berechnen & das Ergebnis gibt die y-Koordinate des y-Achsenabschnitts an (y=...)

    Schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an, wenn Du noch mal nachlesen möchtest, wie genau eine Geradengleichung aufgestellt wird.

    Die Formel zur Berechnung der Steigung einer linearen Funktion lautet:

    m = y2-y1x2-x2

    Wie Du eine solche Gerade und den zugehörigen Y-Achsenabschnitt berechnest, siehst Du jetzt in der Praxis.

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 5

    Stelle die Gleichung der Geraden f(x) auf, die durch die Punkte P(-2|3) und Q(4|-7) verläuft. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt dieser Gerade.

    Lösung

    Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

    m = yQ-yPxQ-xP = -7-34-(-2) = -53

    Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

    y = -53x+t

    Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt P(-2|3) eingesetzt und nach t umgestellt.

    3 = -53(-2)+t3 = 103+t|-103-13 = t

    Diese Werte werden jetzt in die Gerade f(x) eingesetzt.

    f(x) = -53x-13

    Dann, beim Berechnen des Y-Achsenabschnitts, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

    f(x) = -53x-13f(0)=-53·0-13=-13

    Der y-Achsenabschnitt liegt bei y=-13. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da x=0und damity=-13 der Schnittpunkt der linearen Funktion f(x) mit der y-Achse bei P 0|13ist.

    y Achsenabschnitt berechnen StudySmarterAbbildung 10: Y-Achsenabschnitt berechnen

    y-Achsenabschnitt – Aufgaben zum Üben

    Jetzt kannst Du Dein Wissen stärken, in dem Du die Übungsaufgaben rechnest.

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 6

    Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion f(x)=4x2+0,5x+3,1.

    Lösung

    Der Y-Achsenabschnitt wird berechnet, in dem Du 0 in die quadratische Funktion einsetzt und ausmultiplizierst.

    f(x)=4x2+0,5x+3,1f(0)=4·02+0,5·0+3,1=3,1

    Der Y-Achsenabschnitt liegt bei y=3,1. Nun muss der y-Wert noch in einen Punkt umgewandelt werden, indem für x=0 eingesetzt wird.

    Der Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion f(x) liegt an dem Punkt P(0|3,1).

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 7

    Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion f(x) mithilfe des Koordinatensystems.

    y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 11: Y-Achsenabschnitt bestimmen

    Lösung

    Du gehst zuerst entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

    y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 12: Y-Achsenabschnitt bestimmen

    An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle y=1 ist. Das führt zu dem Schnittpunkt P(0|1).

    Die quadratische Funktion f(x) hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt P(0|1).

    y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarterAbbildung 13: Y-Achsenabschnitt bestimmen

    y-Achsenabschnitt – Aufgabe 8

    Stelle die Geradengleichung der Geradef(x) mithilfe der Punkte P(-3|5) und Q(4|2) auf. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt der Gerade.

    Lösung

    Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

    m= yQ-yPxQ-xP = 2-54-(-3) = -37

    Die Steigung der Geradef(x) ist m=-37. Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

    y = mx+t = -37x+t

    In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

    2 = -37·4+t2 = -127+t|+127t = 267

    Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion f(x) eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

    f(x) = -37x+267

    Um nun den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

    f(x) = -37x+267f(0)=-37·0+267=267

    Der y-Achsenabschnitt liegt bei y=267. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da x=0und y=267 ist der Schnittpunkt der linearen Funktion f(x) mit der y-Achse bei P 0|267.

    y Achsenabschnitt – Das Wichtigste

    • Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.
    • Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate x=0.
    • Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du berechnen, indem Du in die Funktion 0 einsetzt und sie ausmultiplizierst.
    • Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du bestimmen, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.
    • Y-Achsenabschnitt berechnen mit zwei gegeben Punkten:

      Du musst, um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, erst die Geradengleichung bestimmen und danach 0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann hast Du den y-Wert, der noch in einen Punkt umgewandelt werden muss.


    Nachweise

    1. Flotho (2021): Wirtschaftsmathematik. Springer Gabler.
    2. Pampel (2017): Geraden und Parabeln. Springer.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema y-Achsenabschnitt

    Wie wird ein Y-Achsenabschnitt ausgerechnet? 

    Einen Y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in die Funktion die Zahl 0 eingesetzt und ausmultipliziert wird. Dadurch wird der y-Wert berechnet, der dann noch mit dem x-Wert (x=0) in einen Punkt P umgeformt wird.

    Was ist der Y-Achsenabschnitt?

    Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse. 

    Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate: x=0.

    Wie liest Du den y-Achsenabschnitt im Koordinatensystem ab? 

    Den Y-Achsenabschnitt liest Du ab, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse abliest. 

    Wie lese ich den y-Achsenabschnitt einer Funktionsgleichung ab? 

    Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und den Parameter t abliest, denn t ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ( f(x)=mx+t ). 

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